KURS MATLAB II - Instytut Geofizyki

KURS
MATLAB II
Rok 2005/2006, semestr zimowy
Uniwersytet Warszawski
Wydzia! Fizyki
Ryszard Buczy%ski, Rafa! Kasztelanic
1

Spis Tre)ci
Fourierowska analiza danych ............................................................................................... 4
Przetwarzanie dwików ..................................................................................................... 6
Przetwarzanie obrazów – toolbox Image Processing ............................................................ 8
Ca!kowanie numeryczne .................................................................................................... 11
Numeryczne ró$niczkowanie funkcji ................................................................................. 13
Równania ró$niczkowe i ca!kowe ...................................................................................... 14
Obs!uga b!dów ................................................................................................................. 18
Grafika uchwytów ............................................................................................................. 20
Graficzny interfejs u$ytkownika (GUI)............................................................................... 22
Z!o$one struktury danych .................................................................................................. 27
Programowanie zorientowane obiektowo ........................................................................... 29
Obliczenia symboliczne w Matlabie – toolbox Symbolic Math............................................ 32
Wspó!praca Matlaba z innymi 7rodowiskami programistycznymi ...................................... 36
2

KURS MATLAB II
Rok 2005/2006 semestr zimowy, wymiar 15h
Prowadz-cy:
dr Ryszard Buczy:ski, ryszard.buczynski@mimuw.edu.pl,
dr Rafa! Kasztelanic, kasztel@mimuw.edu.pl
Zak!ad Optyki Informacyjnej, Instytut Geofizyki, Wydz. Fizyki UW
Zajcia odbywaj> si w Instytucie Geofizyki, ul. Pasteura 7, V pitro, pok. 508. (lub pok. 106)
Oprogramowanie:
Matlab, The MathWorks, Inc.; wersja 7.0; platforma UNIX/LINUX.
Krótki opis kursu:
G!ównym celem kursu jest nauka pos!ugiwania si Matlabem jako narzdziem programistycznym na poziomie
7rednio zaawansowanym. Kurs MATLAB II jest kontynuacj> kursu MATLAB I skoncentrowany na
zagadnieniach zwi>zanych z programowaniem. W programie kursu przewidziane s> równie$ tematy wymagaj>ce
korzystania z dodatkowych modu!ów pakietu Matlab oraz dodatkowych narzdzi programistycznych.
Kurs sk!ada si z 15 godzin zajG komputerowych. Ka$dy student pracuje indywidualnie przy osobnym
terminalu. Wszystkie spotkania rozpoczynaj> si od wprowadzenia merytorycznego do poruszanych zagadnie:.
Dalsza cz7G zajG po7wicona jest na indywidualn> prac z komputerem nad seri> zada:.
Kurs odbywaG si bdzie zarówno w jzyku polskim jak i angielskim.
Forma zaliczenia:
Do zaliczenia Kursu na ocen dostateczn> lub zal. wymagane jest zaliczenie wszystkich Gwicze:-laboratoriów.
Ocena ko:cowa wystawiana jest przez prowadz>cego na podstawie osi>gnitej sprawno7ci i postpów w
pos!ugiwaniu si MATLABem, oraz kreatywno7ci studenta.
Obecno7G na wszystkich zajciach jest obowi>zkowa, dopuszczamy jedna nieobecno7G, przy wikszej ilo7ci
wymagane jest zwolnienie lekarskie. Nieobecno7G nie zwalnia studenta z zaliczenia poszczególnych zada:.
Ostatnia godzina 15-ta jest przeznaczona na wystawianie ocen i ewentualne poprawki.
Wymagania:
MATLAB I, znajomo7G algebry, analizy matematycznej i programowania.
Zagadnienia poruszane w ramach kursu MATLAB II:
Kurs MATLAB II bazuje na wiedzy zdobytej w trakcie kursu MATLAB I. DO g!ównych zagadnie:
poruszanych w trakcie trwania kursu nale$>:
1. Fourierowska analiza danych
2. Przetwarzanie obrazów – toolbox Image Processing
3. Ca!kowanie numeryczne
4. Numeryczne ró$niczkowanie funkcji
5. Równania ró$niczkowe i ca!kowe
6. Obs!uga b!dów
7. Grafika uchwytów
8. Graficzny interfejs u$ytkownika
9. Z!o$one struktury danych
10. Programowanie zorientowane obiektowo
11. Obliczenia symboliczne w Matlabie
12. Wspó!praca Matlaba z innymi 7rodowiskami programistycznymi
Literatura:
1. A. Zalewski, R. Cegie!a, Matlab - obliczenia numeryczne i ich zastosowania.
2. B. Mrozek, Z. Mrozek, Matlab 6 - poradnik u$ytkownika.
3. D. Higham, N. Higham: Matlab guide.
4. The MathWorks, Inc: Numerical Computing with MATLAB.
5. http://www.mathworks.com/
3

TEMATY
FOURIEROWSKA ANALIZA DANYCH
Analiza widma funkcji otrzymywanej za pomoc> transformaty Fouriera stanowi podstawi
wikszo7ci algorytmów przetwarzania sygna!ów.
Matlab dostarcza wygodnych narzdzi do takiej analizy.
Temat 1
Jedno wymiarowa transformata Fouriera
Definicja fft(x) gdzie x jest wektorem próbek sygna!u. ifft(x) – oznacza odwrotn>
transformat Fouriera.
Wszystkie pochodne funkcji transformaty Fouriera znajduj> si w grupie datafun.
UWAGA: Funkcja fft i jej pochodne najszybciej wykonywana jest dla danych o rozmiarze
bd>cym potg> dwójki, np. 16, 32, 64, itd. Troch wolniej trwaj> obliczenia dla danych o
rozmiarze bd>cym liczb> pierwsz>. Obliczenia dla danych o innych rozmiarach s>
zdecydowanie wolniejsze.
Temat 2
Inne pomocne funkcje
fftshift
real
imag
conj
angle
abs
conv
deconv
cov
decimate
interp
unwrap
przesunicie odpowiednich elementów sk!adowych sygna!u
cz7G rzeczywista liczby zespolonej
cz7G urojona liczby zespolonej
sprz$enie zespolone
cz7G fazowa sygna!u
modu! sygna!u
splot dwóch wektorów
dekonvolucja dwóch wektorów
kowariancja
przetworzenie wektora – rzadsze próbkowanie
przetworzenie wektora – gstsze próbkowanie
Uci>glenie fazy
UWAGA: Aby obliczyG warto7G nat$enia sygna!u nale$y skorzystaG z nastpuj>cego
przekszta!cenia:
>> nat = abs(sygnal).^2;
4

Temat 3
Dwu wymiarowa transformata Fouriera Transformata
Z przypadkiem dwu wymiarowej transformaty Fouriera najcz7ciej mamy do czynienia przy
przetwarzaniu zdjG.
Dwu wymiarowa transformata Fouriera – fft2.
Funkcje odwrotne: ifft2, ifftshift.
Przyk!ad:
>> s = rand(128); % stworzenie 2 wymiarowego zbioru danych
>> fs = fftshift(fft2(s)); % 2 wymiarowa transformata Fouriera wraz z przesuni4ciem danych
Temat 4
Wielowymiarowa transformata Fouriera Transformata
Matlab oferuje mo$liwo7G obliczenia wielowymiarowej transformaty Fouriera przy
wykorzystaniu funkcji fftn.
Przyk!ad:
>> s4 = rand(32,32,32,32); % stworzenie 4 wymiarowego zbioru danych
>> fs4 = fftshift(fftn(s4));
Temat 5
Filtry analogowe i cyfrowe
Signal Processing Toolbox udostpnia wiele funkcji zwi>zanych z przetwarzaniem sygna!ów
za pomoc> filtrów. Filtr analogowy, odpowied czstotliwo7ciowa, realizowany jest przy
wykorzystaniu funkcji freqs(a, b, w). Gdzie a i b s> wspó!czynnikami wielomianów a w jest
wektorem z czsto7ciami, dla których prowadzimy analiz.
Filtracj cyfrow>, FIR (sko:czona odpowied impulsowe) lub IIR (niesko:czona odpowied
impulsowa), wykonuje si za pomoc> funkcji filter(b, a, x). Gdzie b i a s> wspó!czynnikami
odpowiednich wielomianów a w jest wektorem dyskretnych warto7ci sygna!u na wej7ciu
filtra.
Przyk!ad:
>> data = [1:0.2:4]';
>> filter(ones(1,5)/5,1,data); % filtr cyfrowy tyu FIR (u-redniaj/cy)
>> a = [1 0.4 1]; b = [0.2 0.3 1]; w = logspace(-1,1);
>> freqs(b,a,w) % filtr analogowy
5

PRZETWARZANIE D@WIAKU
Przyk!adem sygna!u 1 wymiarowego jest sygna! dwikowy.
Temat 6
Wczytanie pliku dBwiCkowego – funkcja wavread
Do wczytania pliku dwikowego w formacie .wav wykorzystuje si funkcj wavread().
Przyk!ad:
>> y = wavread(‘plik.wav’); % wczytanie pliku d9wi4kowego
>> [y,Fs,bits] = wavread(‘plik.wav’); % zwraca plik d9wi4kowy y, cz4sto-: próbkowania Fs
i liczb4 bitów próbkowania
UWAGA: Do wczytania ci>gu danych niebd>cych plikiem dwikowym s!u$y funkcja load.
Temat 7
Odtworzenie pliku dBwiCkowego – funkcja wavplay
Funkcj> wavplay mo$na odtworzyG jako dwik dowoln> zmienn> bd>c> wektorem liczb
rzeczywistych.
Przyk!ad:
>> wavplay(y); % odtworzenie pliku d9wi4kowego y
>> d = rand(1,20000);
>> wavplay(d); % odtworzenie wektora losowego
>> t = (0:0.001:1)';
>> y = sin(2*pi*50*t) + 2*sin(2*pi*120*t); sygna> o 2 sk>adowych o cz4sto-ciach 50 i 120 Hz
>> wavplay(y) % odtworzenie d9wi4ku y
Temat 8
Zarejestrowanie dBwiCku – funkcja wavrecord
Do zarejestrowania dwiku wykorzystuje si funkcj wavrecord. Funkcja ta mo$e byG
wywo!ywane z kilkoma parametrami:
waverecord(liczba próbek, czsto7G próbkowania, próbkowanie);
Przyk!ad:
>> Fs = 11025;
>> y = wavrecord(5*Fs,Fs,'int16'); % Nagranie 5 sekund z cz4sto-ci/ 11025 Hz i
próbkowaniem 16 bitowym
6

Temat 9
Zapisanie pliku dBwiCkowego – funkcja wavwrite
Do zapisania zarejestrowanego lub zmienionego pliku dwikowego wykorzystuje si funkcj
wavwrite(zmienna z danymi, czsto7G próbkowania, ‘nazwa pliku’)
Przyk!ad:
>> wavwrite(y,11025,’muzyka.wav’); % zapisanie zmiennej y z próbkowaniem 11025 Hz w
pliku muzyka.wav
Temat 10
Generowanie przebiegów czasowych
sawtooth
square
gauspuls
chirp
przebieg trójk>tny (periodyczny)
przebieg prostok>tny (periodyczny)
przebieg sinusoidalny modyfikowany Gaussem (nieperiodyczny)
Przebieg cosinusoidalny o zmiennym okresie
Temat 11
Fourierowska analiza próbek dwikowych – funkcja specgram
Funkcja specgram udostpniona jest w ramach Signal Processing Toolbox.
Zadaniem tej funkcji jest przeprowadzenie analizy czstotliwo7ciowej sygna!u zmiennego w
czasie. Wynikiem dzia!ania funkcji jest obraz, na którego osi poziomej mamy informacje o
czasie a na osi pionowej informacje o czstotliwo7ciach.
Przyk!ad:
>> specgram(y,512,2); % wy-wietla
7

PRZETWARZANIE OBRAZÓW
Przy przetwarzaniu obrazów wygodnie jest korzystaG z Image Processing Toolbox.
Temat 12
Wczytanie obrazka – funkcja imread
Przy wykorzystaniu funkcji imread mo$na wczytaG dowolny, rozpoznawalny przez Matlaba
(cur, gif, ico, tif, png, hdf), plik graficzny.
Przyk!ad:
>> obr = imread('pout.tif’);
UWAGA: Wczytany obrazek jest pamitany jako macierz typu uint8 lub uint16. Czasami w
celu wykonania ró$nych operacji zachodzi potrzeba zmiany typu macierzy na double:
>> obr = double(imread('pout.tif’));
Temat 13
Wy)wietlenie obrazka na ekran
>> imshow(obr) % wy-wietlenie obrazka
>> image(obr) % wy-wietla macierz danych jako obraz
Temat 14
Zapisywanie obrazka – funkcja imwrite
Podstawowe wywo!anie funkcji imwrite sk!ada si z 2 parametrów okre7laj>cych macierz z
danymi oraz nazw pliku. Rozszerzenie nazwy pliku determinuje w jakim formacie zapisany
jest obraz. W wywo!aniu funkcji mo$e si znaleG te$ wicej parametrów odpowiedzialnych
za takie parametry jak palety barw, ilo7G kolorów, przezroczysto7G, kompresje itp.
Przyk!ad:
>> imwrite(obr,'obraz.png’); % nagranie macierzy z danymi obr w pliku obrazowym typu png
Temat 15
Podstawowe operacje na obrazach
imabsdiff
imadd
imdivide
imlincomb
immultiply
imsubtract
ró$nica midzy dwoma obrazami
suma 2 obrazów, plus sta!a
7rednia arytmetyczna z 2 obrazów (piksel po pikselu)
kombinacja liniowa midzy seri> obrazów
iloczyn 2 obrazów
odejmowanie dwóch obrazów, minus sta!a
UWAGA: W przypadku plików typu uint8 lub uint16, dane po ka$dej cz>stkowej operacji s>
ucinane do okre7lonego zakresu. Mo$e to powodowaG niezamierzone dzia!ania.
8

Temat 16
Metody poprawiania obrazów
Przyk!ad:
imadjust
fspecial
imfill
histeq
poprawienie kontrastu obrazka
ró$nego rodzaju filtry poprawiaj>ce obraz
wype!nianie dziur w obrazie
poprawienie kontrastu obrazu na podstawie histogramu
>> filtr = fspecial('unsharp'); % generacja filtry wyostrzaj/cego kontury
>> fobr = imfilter(obr,filtr); % zastosowanie zdefiniowanego filtru do obrazu Obr
Temat 17
Przetwarzanie obrazów
Przyk!ad:
imcontour
edge
imfilter
deconv*
imregionalmax
imnoise
znajdowanie konturów obiektów w obrazie
znajdowanie krawdzi w obrazie
splot obrazu z filtrem
szereg funkcji przeprowadzaj>cych dekonvolucj
szukanie lokalnych maksimów w obrazie
dodanie szumu do obrazu
>> filtr = ones(3)/9; % generacja filtru u-redniaj/cego 3x3
>> fobr = imfilter(obr,filtr); % zastosowanie filtru do obrazu
Temat 18
Morfologia matematyczna w przetwarzaniu obrazów
Przyk!ad:
imclose
imopen
imdilate
imerode
strel
imbothat
imtophat
bwmorph
operacja zamknicia morfologicznego
operacja otwarcia morfologicznego
operacja delacji morfologicznej
operacja erozji morfologicznej
tworzenie elementu strukturyzuj>cego
operacja morfologiczna dolny-kapelusz
operacja morfologiczna górny-kapelusz
Operacje morfologiczne na obrazie czarno-bia!ym
>> obr = imread('circles.png'); % wczytanie obrazka czarno-bia>ego
>> elemstr = strel('disk',5); % definicja elementu strukturyzuj/cego , okr/g o promieniu 5
>> erodeobr = imerode(obr,elemstr); % erozja obrazu elementem strukturyzuj/cym
>> obr = bwmorph(BW,'remove')
Temat 19
Inne przydatne funkcje do pracy z obrazami
imhist
improfile
impixel
bwarea
imrotate
imresize
im2bw
histogram obrazu
przekrój przez wiersz lub kolumn obrazu
kolor lub warto7G piksela
liczenie powierzchni obiektu (obraz czarno-bia!y)
obrót obrazu o dowolny k>t
zmiana rozmiaru obrazka
Zamiana obrazka szaroodcieniowego na obraz binarny
9

Temat 20
Filmy w Matlabie
Przyk!ad:
aviread
movie
avifile
getframe
addframe
wczytanie pliku filmowego typu avi
odtworzenie zmiennej typu avi
stworzenie nowego obiektu typu avi
pobranie wntrza okna graficznego jako klatki filmu
dodanie ramki/obrazka do zmiennej typu avi
>> x=1:10; % o- X
>> for j=1:10,
plot(x,j*x,’r’), % w p4tli rysuje kolejne obrazki
axis([0 100 0 10]); % ograniczenie zmienno-ci wy-wietlania osi wykresu
F(j)=getframe; % pobieranie kolejnych klatek
end
>> movie(F,10) % 10 krotne wy-wietlenie animacji
Temat 21
Korelacyjne metody rozpoznawania obrazów
Korelacja jest miar> podobie:stwa midzy 2 obiektami. Mo$na j> wykorzystaG do
rozpoznawania obrazów.
Przyk!ad:
function [w]=rozp1
% scena do filtru
a=double(imread('A.bmp')); % obrazki o rozmiarze 64x64
b=double(imread('B.bmp'));
c=double(imread('C.bmp'));
d=double(imread('D.bmp'));
filtr=zeros(256); % filtr b4dzie wi4kszy 256x256
filtr(128-64-32:128-64+31,128-64-32:128-64+31)=a; % poszczególne litery w 4 :wiartkach
filtr(128+64-32:128+64+31,128-64-32:128-64+31)=b;
filtr(128-64-32:128-64+31,128+64-32:128+64+31)=c;
filtr(128+64-32:128+64+31,128+64-32:128+64+31)=d;
figure, subplot(2,2,1), imshow(filtr) % rysuje co zapami4tane na filtrze
% liczenie filtru
f=fft2(filtr);
filtr=conj(f)./abs(f);
% scena wejsciowa
we=zeros(256);
we(128-32:128+31,128-32:128+31)=a; % litera w -rodku obrazu 256x256
subplot(2,2,2), imshow(we) % rysuje scen4 wej-ciow/
% rozpoznanie – korelacja mi4dzy obrazem wej-ciowym a scen/ na filtrze
p1=fft2(we);
p2=p1.*filtr;
p3=fftshift(ifft2(p2));
wy=abs(p3).^2; % nat4Lenie w p>aszczy9nie wyj-ciowej
subplot(2,2,3), imshow(wy/max(max(wy))) % p>aszczyzna korelacji 2D
subplot(2,2,4), mesh(wy) % p>aszczyzna korelacji 3D
10

CALKOWANIE NUMERYCZNE
Temat 22
Ca!kowanie numeryczne
Problem polega na znalezieniu ca!ki oznaczonej funkcji f(x) na przedziale . Jest to
!atwe, gdy znana jest funkcja pierwotna F(x) taka, $e F(x)’=f(x) nie zawsze jest to jednak
mo$liwe. Metody ca!kowania numerycznego (kwadratury) polegaj> na przybli$eniu funkcji
podca!kowej f na danym przedziale lub jego podprzedzia!ach przy pomocy innej
funkcji, dla której warto7G ca!ki jest okre7lona analitycznie. Matlab stosuje kwadratury
Newtona-Cotesa - quad (interpolacja wielomianem drugiego stopnia) i Simpsona - quadl
(interpolacja wielomianowa – dobierany stopie: wielomianu).
Q=quad(f,a,b,tol,trace);
Q=quadl(f,a,b,tol,trace);
f – !a:cuch zawieraj>cy nazw funkcji, funkcja musi byG umieszczona w odpowiednim
skrypcie, musi zwracaG wektor warto7ci a jej argumentem jest wektor elementów.
a,b – przedzia! ca!kowania,
tol – wymagana tolerancja wzgldna, domy7lnie 10^(-3)
trace – parametr opcjonalny, pozwala na rysowanie wykresu z wz!ami kwadratury.
Przyk!ad 1
function [y] = funkcja_calkowana(x)
%% funkcja
y=sin(x.*x);
%% Koniec
%%Wywo>anie funkcji ca>kowania
>> q1 = quad(‘funkcja_calkowana’,0,pi,1e-5,1);
>> ql = quadl(‘funkcja_calkowana’,0,pi,1e-5,1);
Temat 23
Uchwyt do funkcji – @
Istnieje kilka sposobów wywo!ywania funkcji ca!kowania. Jedn> z nich, wykorzystywan>
tak$e w innych przypadkach, jest metoda oparta na uchwycie funkcji. Uchwyt @ mo$na
wykorzystaG do definiowania w!asnych funkcji.
Przyk!ad:
>> srednia = @(x,y) (x+y)/2; % definicja funkcji
>> srednia(5,3) % wywo>anie z linii poleceP Malaba
Wykorzystanie uchwytu @ do ca!kowania funkcji przedstawiono poni$ej.
Przyk!ad:
>> fs = @(x) sin(x);
>> ql = quad1(fs,0,pi,1e-5,1);
11

Temat 24
Inne funkcje zwi-zane z ca!kowaniem numerycznym funkcji
dblquad
trapz
triplequad
obliczanie ca!ek podwójnych
ca!kowanie metod> trapezów
obliczanie ca!ek potrójnych
12

NUMERYCZNE RÓNNICZKOWANIE FUNKCJI
Temat 25
Numeryczne róOniczkowanie funkcji
Przybli$on> warto7G pochodnej mo$na obliczyG przez obliczenie ró$nic pomidzy
warto7ciami tych samych wspó!rzdnych s>siaduj>cych punktów funkcji zadanej
numerycznie. Korzysta si tu z definicji pochodnej funkcji:
d f ( x) f ( x2 ) f ( x1
)
=
dx x2 x1
Do wykonania tej operacji wykorzystuje si funkcj diff(), która oblicza ró$nice pomidzy
s>siaduj>cymi elementami wektora.
Przyk!ad
>> dxdy = diff(y)./diff(x) % y jest wektorem z warto-ciami funkcji w punktach x
Temat 26
Inne funkcje zwi-zane z numerycznym obliczaniem pochodnej.
gradient
del2
Numeryczne obliczenie gradientu funkcji
Laplasian funkcji
13

RÓWNANIA RÓNNICZKOWE
Równania ró$niczkowe, które mamy mo$liwo7G rozwi>zywania w Matlabie mo$na podzieliG
na trzy grupy:
- równania ró$niczkowe zwyczajne gdzie szukamy rozwi>zania równania
ró$niczkowego dla zadanego warunku pocz>tkowego.
- równania ró$niczkowe zwyczajne gdzie szukamy rozwi>zania równania
ró$niczkowego dla zadanych warunków granicznych
- równania ró$niczkowe cz>stkowe
Temat 27
Równania róOniczkowe zwyczajne pierwszego rzCdu
W rozwi>zaniach wielu problemów fizycznych, ekonomicznych wymagana jest znajomo7G
funkcji y=y(t) przy znajomo7ci funkcji y'=f(t, y) oraz warunków pocz>tkowych y(a)=y0,
gdzie a oraz y0 s> liczbami rzeczywistymi a f funkcj> w postaci jawnej. W takim przypadku
mamy do czynienia z równaniem ró$niczkowym zwyczajnym pierwszego rzdu (ordinary
differential equations - ODEs).
Funkcja
ode23
ode45
ode113
ode15s
ode23s
Opis metody
Rozwi>zuje zagadnienie pocz>tkowe dla równa: ró$niczkowych zwyczajnych
metod> Runge-Kutta rzdu 2 i 3
Rozwi>zuje zagadnienie pocz>tkowe dla równa: ró$niczkowych zwyczajnych
metod> Runge-Kutta rzdu 4 i 5
Rozwi>zuje zagadnienie pocz>tkowe dla równa: ró$niczkowych zwyczajnych
metod> Adams-Bashforth-Moulton
Metoda oparta na formule numerycznego ró$niczkowania
Metoda oparta na zmodyfikowanej formule Rosenbrocka 2 rzdu
Podstawowa formu!a rozwiazywania ODE w Matlabie jest nastepujaca:
[t, y] = ode23(fun, tspan, y0,options]
gdzie:
fun – zmienna !a:cuchow> bd>ca nazw funkcji zawieraj>c> rozwi>zywane równanie
ró$niczkowe
tspan – warto7ciami czasu, dla którego poszukiwane jest rozwi>zanie, y0 jest wektorem, w
którym przechowywane s> warto7ci rozwi>zania uk!adu w chwili pocz>tkowej.
Je7li zmienna tspan zawiera wicej ni$ dwa elementy, to metoda zwraca obliczone warto7ci y
dla tych elementów. Parametry wyj7ciowe t i y zawieraj> wektory warto7ci do oblicze: t i
obliczone dla nich warto7ci y.
Warto7ci options s> ustawiane za pomoc> funkcji odeset i pozwalaj> ingerowaG w parametry
rozwi>zywania równania
Analogicznie rozwi>zuje si równania ró$niczkowe dla metody ode45.
14

Przyk!ad:
Szukamy rozwi>za: numerycznych y = y(t) dla warto)ci t = 0, .25, .5, .75, 1 dla równania
ró$niczkowego y' = -2ty 2 , przy warunku pocz>tkowym y(0) = 1. Zastosowane zostan> dwie
metody ode23 i ode45.
Powy$szy problem ma rozwi>zanie analityczne y(t) = 1/(1 + t2) co pozwoli porównaG
otrzymane wyniki numeryczne z wynikami analitycznymi.
>> %% definicja rozwi/zywanego równania róLniczkowego y' = -2ty^2
function dy = eq1(t,y)
dy = -2*t.*y(1).^2;
%% rozwi/zanie równania róLniczkowego zwyczajnego
>> format long
>> tspan = [0 .25 .5 .75 1]; y0 = 1; % warto-ci dla których liczymy i warunki pocz/tkowe
>> [t1 y1] = ode23('eq1', tspan, y0); % metoda ode23
>> [t2 y2] = ode45('eq1', tspan, y0); % metoda ode45
>> [t1 y1 y2] % porównanie wyników osi/gni4tych obiema metodami
Przyk!ad:
W poni$szym przyk!adzie szukamy rozwi>za: numerycznych uk!adu równa: ró$niczkowych
pierwszego stopnia:
y 1( t) = y1( t) 4y2( t)
y2 () t = y1() t + y2()
t
przy warunkach pocz>tkowych:
y1( 0) = 1, y2( 0)
= 0.
Zastosowana zostanie metoda ode23.
Powy$szy problem ma rozwi>zanie analityczne
1
y1
= exp ( ) exp ( 3 )
2
t + t
1
y2
= exp( 3t) + exp( t)
4
co pozwoli porównaG otrzymane wyniki numeryczne z wynikami analitycznymi.
%% definicja rozwi/zywanego uk>adu równaP róLniczkowych za pomoc/ funkcji inline
>> dy = inline('[1 –4;-1 1]*y', 't', 'y')
>> tspan = [0 1]; % przedzia> dla którego szukamy rozwi/zaP
>>y0 = [1 0]; % warunki pocz/tkowe
>>[t,y] = ode23(dy, tspan, y0); % metoda ode23
>>plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'--'), legend('y1','y2'), xlabel('t'), ...
ylabel('y(t)'), title('Numerical solutions y_1(t) and y_2(t)') % zobrazowanie wyników
15

Przyk!ad:
W poni$szym przyk!adzie szukamy rozwi>zania numerycznego uk!adu równa:
rózniczkowych dla równania Eulera dla bry!y sztywnej bez si! zewnetrzych:
y 1
= y2y3
y2 = y1y3
y
= 0,51y y
3 1 2
function dydt = f(t,y) %% zapisujemy równia Eulera
dydt = [y(2)*y(3); -y(1)*y(3); -0.51*y(1)*y(2)];
>> tspan = [0 12]; % przedzia>, dla którego szukamy rozwi/zaP
>> y0 = [0; 1; 1]; warunki pocz/tkowe
>> ode45(@f,tspan,y0); % metoda ode45
Temat 28
Równania róOniczkowe zwyczajne wyOszego rzCdu
Matlab pozwala równie$ na rozwi>zywanie równa: ró$niczkowych wy$szego rzdu. W tym
przypadku trzeba jednak zapisaG równanie w postaci uk!adu równa: ró$niczkowego
pierwszego rzdu.
y = f ( t,
y)
Dowolne równanie ró$niczkowe wy$szego rzdu
( n) ( n 1)
y = f t, y, y,...,
y
( )
mo$na zapisaG jako uk!ad równa: pierwszego rzdu stosuj>c podstawienie
( n 1)
y1 = y, y2
= y,...,
yn
= y
Wtedy dostaniemy uk!ad n równani ró$niczkowych pierwszego rzdu:
y 1
= y2
y 2
= y3
y n
= f ( t, y1, y2,...,
yn)
16

Przyk!ad:
W poni$szym przyk!adzie szukamy rozwi>zania numerycznego równania ró$niczkowego
drugiego stopnia van der Pola
2
yµ
1 y y
+ y = 0
( )
1 1 1 1
Przyjmuj>c podstawienie
y 1
= y2
otrzymujemy uk!ad równa: pierwszego stopnia w postaci:
y 1
= y2
2
y2 µ ( 1 y1 ) y2 y1
function dydt = f(t,y,mu) % funkcja w której zapisali-my równanie róLniczkowe
dydt = [y(2); mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1) ];
>> Mu=100; % przyjmujemy parametr T
>> tspan = [0; max(20,3*MU)]; % przedzia>, dla którego szukamy rozwi/zaP
>> y0 = [2; 0]; %warunki pocz/tkowe
>> [t,y] = ode15s(@f,tspan,y0); % metoda ode15s
>> plot(t,y(:,1)); % zobrazowanie wyników
>> title(['Solution of van der Pol Equation, \mu = ' num2str(MU)]);
>> xlabel('time t');
>> ylabel('solution y_1');
>> axis([tspan(1) tspan(end) -2.5 2.5]);
17

OBSLUGA BLADÓW
Temat 29
Komunikat b!Cdu – funkcja error
Funkcja error wypisuje komunikat b!du: error(‘to jest b!>d’)
W celu wyprowadzenia na ekran komunikatu o b!dzie w postaci okienka nale$y u$yG funkcji
errordlg(´errorstrin´,´dlgname´).
Przyk!ad:
>> error(‘Cos jest nie tak’);
>> errordlg(‘Cos jest nie tak’,’Komunikat o b>4dzie’);
Temat 30
Komunikat ostrzeOenia – funkcja warning
Wypisuje komunikat ostrze$enia.
Przyk!ad:
>> warning(‘to jest ostrzeLenie’);
Temat 31
Zmienne standardowe: nargin, nargout
Liczba parametrów w definicji funkcji mo$e si ró$niG od liczby parametrów, jak> podaje
u$ytkownik. Zmienna standardowa nargin okre7la dla danego wywo!ania funkcji z iloma
parametrami funkcja ta zosta!a wywo!ana. Odpowiednio, zmienna nargout okre7la ile
parametrów wyj7ciowych zostanie pobranych przez u$ytkownika.
Przyk!ad:
function [y1, y2, y3, y4]=funkcja_x(x1, x2, x3, x4)
%% [y1, y2, y3, y4]=funkcja_x(x1, x2, x3, x4)
% y1 ...y4 parametry wyj-ciowe funkcji
% x1....x4 parametry wej-ciowe funkcji
if (nargin1)
y2 = ....
y3= ......
y4= ......
% koniec funkcji
18

Zmienne nargin, nargout mog> byG wykorzystywane do sprawdzania poprawno7ci liczby
wprowadzonych lub wyprowadzanych zmiennych z funkcji.
Przyk!ad:
function funk(x,y)
if nargin ~= 2
error('Wrong number of input arguments')
end
UWAGA: Do wprowadzania i wyprowadzania dowolnej liczby dowolnych elementów do i z
funkcji wykorzystuje si odpowiednio funkcj varargin oraz funkcj varargout.
Temat 32
Reagowanie na nieprawid!owy argument funkcji
Do sprawdzenia czy dana zmienna ma oczekiwan> przez nas postaG wykorzystujemy
operatory typu is*.
Przyk!ad:
ischar
isempty
isequal
isglobal
isinteger
islogical
isnan
isnumeric
isprime
isreal
isscalar
issorted
issparse
isvector
if ~isreal(arg2),
error(‘Zmienna musi by: liczb/ rzeczywist/’)
end
Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> typu char
Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> pust>
Sprawdza czy dane 2 macierze s> sobie równe
Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> globaln>
Sprawdza czy wszystkie elementy ziennej s> typu integer
Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> logiczn>
Znajduje elementy niesko:czone (NaN)
Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> numeryczn>
Znajduje elementy bd>ce liczbami pierwszymi
Sprawdza czy wszystkie elementy zmiennej s> typu real
Sprawdza czy dana wej7ciowa jest skalarem
Sprawdza czy dana wej7ciowa jest posortowana
Sprawdza czy dana wej7ciowa jest macierz> rzadk>
Sprawdza czy dana wej7ciowa jest wektorem
>> a = 1:20; % zmienna wej-ciowa
>> p = isprime(a); % wektor z 1 tam gdzie dana liczba jest pierwsza
19

GRAFIKA UCHWYTÓW
Temat 33
Uchwyt
Ka$dy element graficzny wy7wietlony w oknie wykresu ma swój uchwyt. Wykorzystuj>c
uchwyty mo$emy mieG dostp do wszystkich elementów okna graficznego.
W celu uzyskania g!ównych uchwytów stosujemy funkcj findobj.
Przyk!ad:
>> plot(1:10,’o-’) % otworzenie okna graficznego i wyrysowanie linii prostej
>> h = findobj; % szukam g>ównych uchwytów
% warto-ci zwrócone przez Matlaba
h = 0
1.0000
73.0011
1.0050
Aby uzyskaG te dane w bardziej zrozumia!ej formie stosujemy nastpuj>c> sk!adni:
>> get(h,’type’)
ans = ’root’
‘figure’
‘axes’
‘line’
W tej chwili wywo!anie np. h(4) daje nam uchwyt do obiektu Line.
Temat 34
Parametry obiektów graficznych
W celu wy7wietlenia listy dostpnych parametrów danego elementu wykresu korzystamy z
funkcji set.
>> set(h(4))
Aby uzyskaG opcje danego sk!adnika pojedynczego elementu graficznego korzystamy z
nastpuj>cej sk!adni:
>> set(h(4),’Marker’) % s>ówko Marker okre-la interesuj/cy nas sk>adnik
Lista parametrów dostpna jest w opisie danego elementu graficznego.
20

Temat 35
Ustawianie parametrów graficznych – funkcja set
Maj>c uchwyt do danego elementu graficznego mo$emy zmieniG jego parametry.
W tym celu korzystamy z funkcji set(uchwyt, parametr,’warto,-)
Przyk!ad:
>> set(h(4), ‘Marker’, ‘s’, ‘MarkerSize’, 16) % kwadratowy marker (‘s’) o wielko-ci 16
Temat 36
Pobieranie bieO-cych parametrów obiektów graficznych – funkcja get
Maj>c uchwyt do danego elementu graficznego mo$emy sprawdziG jego parametry.
W tym celu korzystamy z funkcji get(uchwyt,parametr).
>> get(h(4),’Marker’);
Temat 37
Inne funkcje zwi-zane z grafik- uchwytów
reset
delete
drawnow
findobj
copyobj
Przywraca domy7lne parametry obiektu
Usuwa obiekt
Wykonuje zaleg!e operacje graficzne
Szuka obiektu o zadanych parametrach
Tworzy kopi obiektu
Temat 38
BieO-ce okno graficzne
W przypadku aktywnego okna graficznego Matlab udostpnia 3 predefiniowane uchwyty:
gca
gcf
gco
Uchwyt do osi wspó!rzdnych
Uchwyt do okna graficznego
Uchwyt do bie$>cego obiektu
Temat 39
Inne funkcje zwi-zane z obs!ug- okien graficznych
figure
clf
shg
close
refresh
cla
Utworzenie nowego okna graficznego
Czyszczenie okna graficznego
Pokazuje ostatnie okno graficzne
Zamyka bie$>ce okno graficzne
Od7wie$a zawarto7G bie$>cego okna graficznego
Czy7ci zawarto7G uk!adu wspó!rzdnych
21

GRAFICZNY INTERFEJS UNYTKOWNIKA
Temat 40
Tworzenie graficznego interfejsu uOytkownika – funkcja guide
Pisz>c aplikacje na w!asny u$ytek czsto zapominamy o przyjaznym interfejsie. Jednak ze
wzgldu na funkcjonalno7G, !atwo7G obs!ugi i w przypadku, gdy z naszego programu maj>
korzystaG tak$e inni u$ytkownicy dobrze jest dodaG do aplikacji graficzny interfejs
u$ytkownika.
Aby rozpocz>G tworzenia takiego interfejsu nale$y wywo!aG funkcj guide.
Po otworzeniu si okna dialogowego nale$y wybraG rodzaj tworzonego przez nas okna oraz
katalog w którym ma byG ono zapisane.
UWAGA: Matlab automatycznie wygeneruje 2 pliki. W jednym *.fig trzymana jest
informacja o wygl>dzie interfejsu a w drugim *.m szablon funkcji, któr> bdzie wykonywa!
interfejs.
Temat 41
Okno edytora graficznego interfejsu uOytkownika.
Do g!ównych elementów okna edytora graficznego nale$>: menu, pasek narzdzi, elementy
interfejsu oraz obszar roboczy.
Do najwa$niejszych elementów paska narzdzi nale$>:
ikona M-file editor – dostp do kodu tworzonego interfejsu
run – uruchamianie tworzonego interfejsu
Temat 42
Praca nad interfejsem uOytkownika.
Prace nad interfejsem u$ytkownika mo$na podzieliG na kilka etapów. Do najwa$niejszych
nale$>: projektowanie, ustawianie elementów, w!a7ciwo7ci elementów, programowanie,
testowanie.
Temat 43
DostCpne elementy interfejsu uOytkownika.
Matlab oferuje kilka elementów graficznych, które mog> si znaleG w oknie tworzonego
interfejsu u$ytkownika. Nale$> do nich:
push button
slider
radio button
checkbox
edit text
static text
popup menu
list box
toggle button
axes
panel
button group
activeX control
przycisk dzia!aj>cy po naci7niciu go myszk>
suwak
wybór 1 opcji z kilku
pole wyboru. Mo$liwy wybór kilku opcji jednocze7nie
pole edycji
tekst bez mo$liwo7ci jego edycji
menu podrczne aktywowane po naci7niciu prawym przyciskiem myszki
rozwijana lista wyboru
przycisk, który mo$na wcisn>G na sta!e
uk!ad wspó!rzdnych
obszar do ustawiania pogrupowanych innych elementów
obszar do ustawiania grupy przycisków tego samego typu
kontrolka activeX
22

Temat 44
Ustawianie elementów i ich w!a)ciwo)ci.
W celu umieszczenia danego elementu interfejsu u$ytkownika na obszarze pola roboczego
nale$y wskazaG ten element a nastpnie nacisn>G (lub przeci>gn>G) w obrbie pola roboczego.
Elementy mo$na przesuwaG i wyrównywaG z innymi. Dostp do parametrów elementu
mo$liwy jest po dwukrotnym klikniciu lub w menu podrcznym danego elementu.
Temat 45
W!a)ciwo)X obiektu Tag
Jednym z najwa$niejszych w!asno7ci ka$dego elementu interfejsu u$ytkownika jest pole Tag.
Warto7G tekstowa wpisana w to pole daje dostp do danego elementu oraz pozwala na
reagowanie na wszelkie akcje zwi>zane z tym elementem (funkcja callback).
Temat 46
ZapamiCtanie interfejsu uOytkownika
Po etapie projektowania interfejsu u$ytkownika wygodnie jest zapamitaG rezultaty naszej
pracy. Matlab automatycznie wygeneruje 2 pliki. W jednym *.fig trzymana jest informacja o
wygl>dzie interfejsu a w drugim *.m szablon funkcji, któr> bdzie wykonywa! interfejs.
Temat 47
Reagowanie na akcje uOytkownika – funkcja callback
Wygenerowane w czasie zapisywania pliki zawieraj> obs!ug wszystkich zdarze: zwi>zanych
z wywo!ywaniem naszego interfejsu i wykonywaniem go w 7rodowisku Matlaba. Pozostaje
teraz zdefiniowaG wszystkie funkcje zwi>zane z interakcj> u$ytkownika z projektowanym
interfejsem i programem.
W tym celu z cz7ci> elementów wystpuj>c> w oknie interfejsu np. przyciskiem nale$y
skojarzyG jak>7 funkcj, która bdzie wykonywana po jego naci7niciu. W tym celu nale$y
dla danego elementu zdefiniowaG funkcj callback.
Mo$na to wykonaG albo w oknie Property Inspektor danego elementu lub po naci7niciu
danego elementu prawym przyciskiem myszki.
Po stworzeniu funkcji callback w kodzie programu pojawi si odpowiadaj>cy jej nag!ówek
funkcji. Rol> projektanta interfejsu jest wpisanie w dalszej cz7ci programu instrukcji jakie
maj> zostaG wykonane.
Przyk!ad:
Za!ó$my, $e w interfejsie u$ytkownika mamy zdefiniowane dwa elementy: PushButton (Tag
= Przycisk) oraz StaticText (Tag = Tekst). Zadaniem elementu tekstowego jest wy7wietlanie
informacji o liczbie naci7niG przycisku.
function Przycisk_Callback(hObject, eventdata, handles)
% hObject handle to Przycisk (see GCBO)
% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)
persistent ile % definicja zmiennej w której trzymamy liczb4 naci-ni4: przycisku
if isempty(ile) % je-li nie ma Ladnej warto-ci to przypisuj4 warto-: 0
ile=0;
end
ile = ile + 1; % reakcja na naci-ni4cie. Zwi4kszam licznik o 1
str=['Liczba nacisniec: ', Int2Str(ile)]; % tekst do wy-wietlenia
set(handles.tekst,'String',str); % przypisanie w>a-ciwo-ci do pola String obiektowi tekst
23

Temat 48
Zmienne w programie
Dobr> praktyk> jest definiowanie tych zmiennych, które maj> ulegaG modyfikacji w trakcie
dzia!ania programu w ramach uchwytów. Funkcje callback maj> pe!ny dostp do wszystkich
elementów programu zdefiniowanych w uchwycie.
Przyk!ad:
% Choose default command line output for untitled1
handles.output = hObject;
% DODANE
handles = guihandles(hObject); % pobranie uchwytu do ca>ego okna interfejsu
handles.ile = 0; % dodanie nowego elementu do uchwytu i nadanie mu warto-ci
% KONIEC DODANEGO
% Update handles structure
guidata(hObject, handles); % zapami4tanie uchwytu
%
function Przycisk_Callback(hObject, eventdata, handles)
% hObject handle to Przycisk (see GCBO)
% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)
handles.ile = handles.ile + 1; % zwi4kszenie licznika o jeden
guidata(hObject, handles); % zapami4tanie nowej warto-ci uchwytu
str=['Liczba nacisniec: ', Int2Str(handles.ile)]; % tekst do wy-wietlenia
set(handles.tekst,'String',str); % przypisanie w>a-ciwo-ci do pola String obiektowi tekst
Temat 49
Wykonanie programu ze zdefiniowanym interfejsem uOytkownika
W celu wykonania programu z interfejsem u$ytkownika nale$y w oknie komend wpisaG
nazw funkcji z interfejsem.
Temat 50
Interfejs graficzny – EditBox
Przyk!ad:
function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles)
str = get(handles.edit1, ‘String’); % pobranie tekstu z elementu Edit1
set(handles.edit1, ‘String’, str); % ustawienie tekstu w obiekcie Edit1
24

Temat 51
Interfejs graficzny – ToggleButton
Przyk!ad:
function togglebutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
stan = get(handles.togglebutton1,’Value’); % pobranie stanu przycisku togglebutton1
if stan==0,
… % klawicz wy>/czony
else
… % klawisz w>/czony
end;
Temat 52
Interfejs graficzny – RadioButton
W Matlabie pola RadioButton nie s> ze sob> powi>zane. Oznacza to, $e obs!ug tych
elementów polegaj>c> na w!>czaniu lub wy!>czaniu odpowiednich pól RadioButton musi
przeprowadziG u$ytkownik.
Przyk!ad:
function radiobutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
set(handles.radiobutton1,’Value’,1); % W>/czenie zaznaczenia pola RadioButton1
set(handles.radiobutton2,’Value’,0); % Wy>/czenie zaznaczenia pola RadioButton2
Temat 53
Interfejs graficzny – ListBox
Wszystkie opcje dostpne do wyboru w obiekcie ListBox s> dostpne we w!a7ciwo7ci
‘String’.
Przyk!ad:
function listbox1_Callback(hObject, eventdata, handles)
opcja = get(handles.listbox1, ‘Value’); % pobranie numeru wybranej linii
str = [‘Opcja’, num2str(opcja)]; % zmienna tekstowa z informacj/ o wybranej opcji
tresc = get(handles.listbox1, 'String'); % pobranie wszystkich linii tekstu z listbox1
set(handles.text1, 'String', str(opcja)); % wy-wietlenie w obiekcie text1 (StaticText) tekstu z
% wybranej linii obiektu listbox1
UWAGA: Z podobn> obs!ug> mamy do czynienia w przypadku Pop-up Menu.
Temat 54
Interfejs graficzny – Slide
Po!o$enie suwaka okre7lone jest liczb> z przedzia!u od 0.0 do 1.0.
Przyk!ad:
function slider1_Callback(hObject, eventdata, handles)
polozenie = get(handles.slider1, ‘Value’); % pobranie informacji o po>oLeniu suwaka
25

Temat 55
Interfejs graficzny – Axes
Za!ó$my, $e w oknie interfejsu graficznego mamy 2 elementu. Przycisk (PushButton) i
Wykres (Axes). Naci7nicie przycisku powoduje wy7wietlenie na wykresie okrgu.
Przyk!ad:
function przycisk_Callback(hObject, eventdata, handles)
t=0:0.01:2*pi; x=cos(t); y=sin(t); % dane do wykresu
axes(handles.wykres) % pobranie uchwytu do wykresu
plot(x,y,’r’) % wyrysowanie ko>a
Temat 56
Okna do wprowadzania danych – funkcja inputdlg
Prost> metod> zrobienia prostego interfejsu do wprowadzania danych jest skorzystanie z
funkcji inputdlg.
Przyk!ad:
pyt{1} = ’Zmienna X:’; % Tekst przy polu do wprowadzenia zmiennej 1
pyt{2} = ’Zmienna Y:’; % Tekst przy polu do wprowadzenia zmiennej 2
tytul = ‘Moje Okno’; % nazwa okna
odp = {‘5’,’7’}; % opcjonalne warto-ci domy-lne
wynik = inputdlg(pyt, tytul, 1, odp); % wywo>anie okna dialogowego
26

ZLONONE STRUKTURY DANYCH
Temat 57
Struktury
Struktury w Matlabie s!u$> do przechowywania danych ró$nych typów i ró$nych wielko7ci w
obrbie jednej macierzy. Jest to zbiór takich samych rekordów.
Przyk!ad definiowania struktury danych typu student:
>> student(1).nazwisko = ‘Abacki’;
>> student(1).wiek = ‘20’;
>> student(1).dane = rand(3);
>> student(2).nazwisko = ‘Babacki’;
>> student(2).wiek = ‘22’;
>> student(2).dane = randn(3);
Temat 58
Definiowania struktury przy wykorzystaniu funkcji struct
Do definiowania danych zorganizowanych w struktur wykorzystujemy funkcj struct.
Przyk!ad:
>> student = struct(‘nazwisko’,{‘Abacki’,’Babcki’},…
‘wiek’,{20,22},…
‘dane’,{rand(3),randn(3)});
Takie definiowanie struktury daje mo$liwo7G wcze7niejszej alokacji pamici co wp!ywa na
szybko7G wykonywania operacji:
>> student = repmat(struct('nazwisko',{''},'wiek',{''},'dane',{''}),10,1);
% alokacja pami4ci dla 10 studentów
UWAGA: Funkcja repmat s!u$y do powielania elementów.
Temat 59
Wy)wietlanie danych ze struktury
Ze wzgldu na fakt, $e w pojedynczej strukturze mog> byG zapisane elementy o ró$nym
stopniu zag!bienia, do wy7wietlania poszczególnych danych wykorzystuje si ró$n>
sk!adni.
Przyk!ad:
>> student % Nazwa struktury. Wy-wietlenie nazw pól
>> student(1) % Wy-wietlenie danych dla danego rekordu
>> student(2).wiek % Wy-wietlenie konkretnej danej
>> celldisp(student) % Wy-wietlenie ca>o-ci danych dla struktury student
27

Temat 60
Macierz komórek – cell array
G!ówna ró$nica midzy struktur> a macierz> komórek jest fakt, $e w macierzy komórek
odwo!ujemy si do poszczególnych elementów za pomoc> adresu a nie za pomoc> nazwy
elementu.
Macierz komórek mo$na rozumieG jako macierz, gdzie ka$dy element macierzy mo$e byG
inn> macierz>, zmienn> lub struktur>.
Przyk!ad:
>> A = {1:5, pi; rand(3), ‘tekst’}
A =
[1x5 double] [3.1416]
[3x3 double] 'tekst'
Temat 61
Definiowania macierzy komórek przy wykorzystaniu funkcji cell.
Przyk!ad:
>> a = cell(2,2); % definicja macierzy komórek o rozmiarze 2x2 z pustymi komórkami
Takie definiowanie macierzy komórek daje mo$liwo7G wcze7niejszej alokacji pamici, co
wp!ywa na szybko7G wykonywania operacji.
Temat 62
Wy)wietlanie danych z macierzy komórek.
Wy7wietlanie danych z macierzy komórek jest podobne jak przy wy7wietlaniu elementów
zwyk!ej macierzy z t> ró$nic>, $e teraz korzystamy z nawiasów { }.
Przyk!ad:
>> a{1,1} % Wy-wietlenie pojedynczego elementu
>> a{2,:} % Wy-wietlenie kolumny elementów
>> celldisp(a) % Wy-wietlenie ca>o-ci danych
>> cellplot(a) % Graficzne przedstawienie danych
Temat 63
Konwersja typów miCdzy struktur- a macierz- komórek
Przyk!ad:
struct2cell
cell2struct
zamiana struktur na macierz komórek
zamiana macierz> komórek na struktur
>> a = {1:5, pi; 1:10, 4*3}; % Zdefiniowanie macierzy komórek
>> pola = {‘wektor’,’liczba’}; % zdefiniowanie nazwy pól
>> cell2struct(a,pola,2); % Zamiana macierzy komórek na struktur4
28

PROGRAMOWANIE ZORIENTOWANE OBIEKTOWO
Temat 64
Definiowanie klas - konstruktor
Konstruktor danej klasy musi byG umieszczony w funkcji o nazwie nazwa_klasy.m. Musi si
on znajdowaG w osobnym folderze o nazwie @nazwa_klasy. W folderze tym musz> te$
znajdowaG si wszystkie metody (funkcje i operatory) dzia!aj>ce na elementach danej klasy.
Dostp do klasy maj> tylko te funkcje.
Zadaniem konstruktora jest: sprawdzenie czy przy wywo!aniu konstruktora dane s> warto7ci
pól obiektu i je7li nie to stworzenie obiektu pustego, sprawdzenie czy dane s> obiektem danej
klasy, lub wstawienie domy7lnych parametrów do pól tworzonego obiektu.
Przyk!ad:
function c=czlowiek(dane)
% konstruktor cz>owiek.m dla klasy obiektów ‘czlowiek’
% zapisane w katalogu @czlowiek
if nargin==0 % brak parametrów wywo>ania
c.imie = [ ];
c.plec = [ ];
c.wiek = [ ];
c = class(c,’czlowiek’); % utworzenie pustego obiektu ‘cz>owiek’
elseif isa(dane,’czlowiek’) % funkcja isa sprawdza czy dana naleLy do klasy czlowiek
c = dane; % dane wej-ciowe s/ obiektem typu ‘czlowiek’
else
c.imie = dane(1);
c.plec = dane(2);
c.wiek = dane(3);
c = class(c,’czlowiek’); % tworzony obiekt ‘czlowiek’ z polami wype>nionymi danymi ‘dane’
end
Temat 65
Tworzenie obiektu
>> Jacek = cz>owiek({‘Jacek’,’m’,26});
Temat 66
Hermetyzowanie danych
Dostp do danych w polach obiektu i mo$liwo7ci operowania nimi maj> tylko wy!>cznie
metody danej klasy.
Do wy7wietlenia nazwy pól obiektu wykorzystuje si funkcj fieldnames.
Przyk!ad:
>> fieldnames(Jacek) % wy-wietli nazwy pól obiektu Jacek
>> Jacek.plec % BefD, brak dost4pu do danych
29

Temat 67
Metody obs!ugi obiektów
Zadaniem metody emeryt jest sprawdzenie czy dany cz!owiek jest w wieku emerytalnym.
Metoda musi byG zapisana w tym samym katalogu, co konstruktor czyli @czlowiek.
function emeryt(czlowiek)
p = czlowiek.plec;
w = czlowiek.wiek;
if p==’m’
if w>=65
display(‘EMERYT’)
else
display(‘NIE EMERYT’)
else
if w>=60
display(‘EMERYT’)
else
display(‘NIE EMERYT’)
end
>> Anna = cz>owiek({‘Anna’,’k’,54}); % utworzenie obiektu
>> emeryt(Anna) % wywo>ania funkcji emeryt
Temat 68
Przeci-Oanie funkcji i operatorów
Warunkiem przeci>$enia operatora lub funkcji jest dostp do folderów klas, dla których je
definiujemy. Ka$dy operator obs!ugiwany jest przez odpowiedni> funkcj. Np. dodawanie +
wykonywane jest przez funkcj plus. Przeci>$enie operatora polega na zdefiniowaniu jak
dany operator ma dzia!aG dla obiektów, które zdefiniowali7my.
Przyk!ad:
function w=gt(a,b)
% przeci/Lenie operatora gt(a,b) odpowiednik a>b
% porównuje wiek 2 obiektów klasy ‘czlowiek’
p = a.wiek - b.wiek;
if p >= 0
w = 1;
else
w = 0;
end;
30

Temat 69
Dziedziczenie klas obiektów
W programowaniu obiektowym mo$na tworzyG hierarchi klas. Na podstawie jednych klas
tworzyG nowe klasy o np. bardziej zaw$onym charakterze.
Przyk!ad:
function s=student(dane)
% klasa ‘student’ jest potomkiem klasy ‘czlowiek’
if nargin==0 % brak parametrów wywo>ania
c=cz>owiek;
o.ocena = [ ];
s = class(o,’student’,c); % utworzenie pustego obiektu ‘student’
elseif isa(dane,’student’) % sprawdzenie czy zmienna dana naleLy do klasy ‘student’
s = dane; % dane wej-ciowe s/ obiektem typu ‘student’
else
c = czlowiek({dane(1), dane(2), dane(3)});
o.ocena = dane(4);
s = class(o,’student’,c); % tworzony obiekt ‘student’ z polami wype>nionymi danymi ‘dane’
end
31

OBLICZENIA SYMBOLICZNE W MATLABIE
Temat 70
Definiowanie danych symbolicznych – funkcja sym.
Do definiowania zmiennych lub sta!ych symbolicznych s!u$> funkcje sym i syms.
Przyk!ady:
>> x = sym(‘x’); % definicja zmiennej x
>> a = sym(‘5’); % definicja sta>ej a=5
>> rho = sym('(1+sqrt(5))/2'); % definicja zmiennej symbolicznej okre-laj/cej z>oty -rodek
>> syms y z % definicja dwu zmiennych y, z
Uwaga: Wszystkie zmienne, wykorzystywane w obliczeniach symbolicznych musz> byG
wcze7niej zdefiniowane.
Temat 71
Symboliczne rozwi-zywanie równa% i uk!adów równa% – funkcja solve
Symboliczne rozwi>zywanie równa: mo$liwe jest dziki wykorzystaniu funkcji solve(). Dla
przyk!adu rozwi>zania równania kwadratowego szukamy w nastpuj>cy sposób:
>> x = sym(‘x’); % zdefiniowanie zmiennej symbolicznej
>> y = solve(‘a*x^2+b*x+c=0’); % x jest domy-ln/ zmienn/
Funkcj solve mo$na równie$ wywo!ywaG w inny sposób:
>> y = solve(‘a*x^2+b*x+c’,x); % równowaLne poprzedniemu wywo>aniu, podana zmienna x
>> y = solve(‘a*x^2+b*x+c’); % domy-lnie przyj4te, Le lewa strona równania równa si4 0
Podobnie postpujemy przy uk!adach równa: gdzie kolejne równania wpisujemy rozdzielone
przecinkami.
Przyk!ad:
>> syms x y % zdefiniowanie 2 zmiennych symbolicznych
>> [x,y] = solve(‘x^2+y^2=1’,’x+2*y=2’); % rozwi/zanie. Wynik w postaci 2 wektorów
>> s = solve(‘x^2+y^2=1’,’x+2*y=2’); % rozwi/zanie. Wynik w postaci struktury z 2 wektorami
Temat 72
Upraszczanie wyraOe% symbolicznych – funkcja simplify()
Czsto wynik operacji symbolicznych jest trudny do interpretacji. Uproszczenie wyniku
uzyskujemy dziki zastosowaniu funkcji simplify.
Przyk!ad:
>> simplify(exp(x)*exp(y)) % =exp(x+y)
32

Temat 73
Zmiana postaci wyraOenia symbolicznego
W zale$no7ci od zastosowa: wiele wyra$e: matematycznych mo$na przedstawiG w ró$nych
formach. Matlab oferuje kilka funkcji, których zadaniem jest takie przedstawienie wyniku,
aby spe!nia!o nasze kryteria:
collect
expand
horner
factor
postaG wielomianowa, grupowanie zmiennych
rozwija mno$enia i sumowania
postaG zag!bionych iloczynów
wielomiany w postaci iloczynowej
Temat 74
Inne moOliwe przedstawienia wyniku – funkcja simple()
W przypadku, gdy nie mo$emy si zdecydowaG, które przedstawienie jest najodpowiedniejsze
do naszych celów wygodnym mo$e byG wykorzystanie funkcji simple(), która dane wyra$enie
matematyczne wypisuje we wszystkich mo$liwych formach.
Temat 75
Warto)ci liczbowe w obliczeniach symbolicznych – funkcja subs()
Gdy znamy warto7ci liczbowe poszczególnych zmiennych wynik liczbowy oblicze:
symbolicznych uzyskujemy dziki funkcji subs.
Przyk!ad:
>> syms a b c x % definicja 4 zmiennych symbolicznych
>> y = solve(a*x^2+b*x+c); % rozwi/zanie równania wzgl4dem zmiennej x
>> a=3; b=2; c=1; % Przypisanie warto-ci liczbowych
>> w = subs(y) % Warto-: liczbowa y
Uwaga: Je7li wynik oblicze: jest ju$ liczb> ale przedstawion> w ma!o zrozumia!ej formie w
celu uzyskania jej warto7ci liczbowej wystarczy napisaG: double(x).
Funkcja subs() wykorzystywana jest te$ do zamiany jednego wyra$enia na inne.
Przyk!ad:
>> syms a b x % definicja 3 zmiennych symbolicznych
>> subs(a+b,{a,b},{sin(x),exp(x)}) % = sin(x)+exp(x)
Temat 76
Zmiana wygl-du wy)wietlanych wyników – funkcja pretty()
Wyniki uzyskiwane w Matlabie, nawet po uproszczeniach dziki ró$nym funkcjom czsto s>
trudne w odbiorze. Aby wy7wietliG bardziej skomplikowane wyra$enia w formie zbli$onej do
tej jak zapisuje to cz!owiek Matlab oferuje funkcj pretty.
Przyk!ad:
>> a = sym('sin(x)/(2*cos(y))'); % definicja wyraLenia symbolicznego
>> pretty(a) % wy-wietlenie w przyjaznej formie
UWAGA: Funkcja ta ma swoje zastosowanie zarówno do wyra$e: jak i do macierzy.
33

Temat 77
RóOniczkowanie symboliczne – funkcja diff
Do ró$niczkowania symbolicznego wykorzystujemy funkcj diff(funkcja, rz>d), przy, czym
rz>d pochodnej domy7lnie równa si 1.
Przyk!ad:
>> syms x n % definicja 2 zmiennych symbolicznych
>> diff(x^n) % róLniczkowanie symboliczne
Temat 78
Pochodne cz-stkowe.
W przypadku funkcji wielu zmiennych mo$liwe jest liczenie pochodnych cz>stkowych. W
tym celu tak$e korzystamy z funkcji diff() z wywo!aniem: diff(funkcja, zmienna)
Przyk!ad:
>> syms s t % definicja 2 zmiennych symbolicznych
>> f = sin(s*t); % definicja funkcji 2 zmiennych
>> diff(f,t) % pochodna funkcji po zmiennej t
Temat 79
Ca!kowanie symboliczne – funkcja int()
W Matlabie mo$na ca!kowaG zarówno ca!ki oznaczone jak i nieoznaczone. W przypadku
ca!ki nieoznaczonej stosujemy wywo!anie funkcji w postaci: int(funkcja)
W przypadku ca!ki oznaczonej wywo!anie ma nastpuj>c> postaG: int(funkcja, dolne
ograniczenie, górne ograniczenie).
Przyk!ad:
>> int(‘x’); % ca>ko nieoznaczona
>> int(‘sqrt(tan(x))’,0,1); % ca>ka oznaczona
34

Temat 80
Symboliczne rozwi-zywanie równa% róOniczkowych – funkcja dsolve()
Równania ró$niczkowe dowolnego rzdu rozwi>zujemy przy wykorzystaniu funkcji dsolve,
której u$ycie jest podobne do u$ycia funkcji solve. Szczególne znaczenie w symbolicznym
rozwi>zywaniu równa: ró$niczkowych ma zmienna D (du$e D), która okre7la ró$niczk
pierwszego stopnia, i podobnie D2 to ró$niczka stopnia drugiego, itd.
Przyk!ad:
>> dsolve('Dy = a*x'); % róLniczka pierwszego stopnia
W przypadku uk!adu równa:, kolejne równania oddzielamy przecinkami. Podobnie warunki
brzegowe, podajemy po wszystkich równaniach, tak$e oddzielone przecinkami:
dsolve(równanie 1, równanie 2, …, warunek 1, warunek 2, …)
Przyk!ad:
>> dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1', 'Dy(pi/a) = 0'); % róLniczka stopnia drugiego z warunkami
brzegowymi
Temat 81
Inne funkcje Matlaba wykorzystywane do oblicze% symbolicznych
limit
taylor
jacobian
symsum
granica
szeregiTtaylora
macierz Jacobiego
sumowanie szeregów
Temat 82
Symboliczne odpowiedniki funkcji Matlaba
Cz7G funkcji Matlaba wykorzystywana w obliczeniach numerycznych ma swe odpowiedniki
symboliczne. Do najwa$niejszych nale$>:
diag
inv
det
eig
expm
macierz diagonalna
macierz odwrotna
wyznacznik macierzy
warto7ci w!asne
potgowanie macierzy
Temat 83
Obliczenia o zmiennej precyzji – funkcja vpa
W przypadku gdy interesuje nas warto7G liczbowa z dok!adno7ci> wiksz> ni$ oferuje
zmienna double mo$emy podaG ile cyfr znacz>cych danej zmiennej ma byG wy7wietlanych:
vpa(zmienna, ilo7G cyfr);
Przyk!ad:
>> vpa(pi,50) % wypisuje 50 cyfr znacz/cych liczby pi
35

WSPÓLPRACA MATLABA Z INNYMI
YRODOWISKAMI PROGRAMISTYCZNYMI
Temat 84
Kompilator
Zadaniem kompilatora Matlaba jest zamiana funkcji zapisanej w pliku typu M-file na wersj
wykonywaln>, bibliotek MEX plik lub kod programu w C czy C++.
Kompilator generuje kilka rodzajów plików:
- kod w jzyku C do budowania plików typu MEX
- kod w jzyku C lub C++
- wykonywaln> aplikacj>
- biblioteki dynamiczne i statyczne
Dziki wykorzystaniu kompilatora uzyskujemy przyspieszenie pracy aplikacji, ukrycie kodu
przed innymi u$ytkownikami oraz mo$liwo7G budowy niezale$nych aplikacji.
Temat 85
Wywo!anie kompilatora – funkcja mcc
Sk!adnia wywo!ania funkcji:
mcc [-opcja] funkcja [funkcja2 …] [mex1 … mexN] [mlib1 … mlibN]
Gdzie:
W nawiasach kwadratowych umieszczone parametry opcjonalne,
opcja – litery oznaczaj>ce ró$ne opcje kompilatora
funkcja – nazwa funkcji poddawana kompilacji,
max – nazwa pliku typu MEX
mlib – nazwa biblioteki
Najwa$niejsze opcje:
-c Generuje kod C
-p Generuje kod C++ oraz dzia!aj>c> aplikacj
-x Generuje plik typu MEX
-t Generuje kod w C lub w C++
-T W zale$no7ci od opcji generuje ró$ne pliki:
codegen
compile:mex
compile:exe
compile:lib
link:mex
link:exe
link:lib
Przyk!ad:
>> mcc –x funkcja % generuje plik typu MEX na podstawie pliku funkcja.m
>> mcc –m funkcja % generuje wykonywaln/ aplikacj4 na podstawie pliku funkcja.m
>> mcc –p funkcja % generuje kod w C++ i wykonywaln/ aplikacj4
>> mcc –t –L C % generuje kod w C na podstawie pliku funkcja.m
>> mcc –t –L Cpp % generuje kod w C++ na podstawie pliku funkcja.m
>> mcc –m funkcja1 funkcja2 % generuje wykonywalne aplikacje na podstawie plików
funkcja1.m oraz funkcja2.m
>> mcc –T compile:exe funkcja % generuje wykonywaln/ aplikacj4
>> mcc –t W lib:a –T link:lib a0 a1 % generuje bibliotek4 dynamiczn/ „a” na podstawie plików
a0.m oraz a1.m
36

Temat 86
Ograniczenia uOycia funkcji kompilatora
Kompilator pracuje tylko na funkcjach zapisanych w plikach typu M. Nie kompiluje
skryptów.
Kompilacji nie podlegaj> funkcje wykorzystuj>ce obiekty.
Kompilacji nie podlegaj> funkcje korzystaj>ce z polece: input, eval je7li te dzia!aj> na
zmiennych z workspace oraz operuj>ce na zmiennych globalnych.
Uwaga: Kompilacji nie podlegaj> funkcje matlabowe, które nie maj> swojego pliku typu M.
Temat 87
Wspó!prace Matlaba z Excelem
Do wczytania danych z programu Microsoft Excel wygodnie jest wykorzystaG okno importu
danych dostpne z menu Matlaba.
Do zapisania zmiennych z Matlaba w formie !atwej do otworzenia w Excelu nale$y
skorzystaG z funkcji xlswrite.
Przyk!ad:
>> x=rand(5); % generacja przyk>adowej macierzy
>> xlswrite(‘dane’,x) % zapisuje w pliku Excelowym dane.xls zmienn/ x
37