Beata Staśkiewicz - Instytut Fizyki

określone dla ograniczonych i domkniętych podzbiorów płaszczyzny R 2 . Pokazać
moŜna, Ŝe istnieje dokładnie jeden z ograniczonych i domkniętych podzbiorów R 2
taki, Ŝe F(A) = A. Nazywamy go obiektem fraktalnym generowanym przez rodzinę
funkcji {F 1 , F 2 , ..., F n }.
Warto w tym miejscu wspomnieć, Ŝe istnienie i jednoznaczność takiego obiektu
wynika ze słynnego twierdzenia Banacha o punkcie stałym [46] (jednego
z największych matematyków polskich).
Obiekty takie jak np. paprotka Barnsleya powstaje z systemu czterech przekształceń
afinicznych płaszczyzny. Warto zwrócić uwagę na jedną ciekawą sprawę: otóŜ obiekt
o tak skomplikowanym kształcie jak - paprotka jest generowana przez układ zaledwie
czterech funkcji o bardzo prostych wzorach. Do zapisania tych funkcji wystarczą
zaledwie 24 liczby rzeczywiste. Obserwacja ta nasuwa pewien pomysł: fraktale mogą
słuŜyć do kompresji skomplikowanych obrazów. I rzeczywiście − pomysł ten jest
obecnie intensywnie badany [59]. Zostały juŜ opracowane skuteczne metody
kompresji obrazów oparte o techniki fraktalne. Wykorzystują one pewne twierdzenie
(tzw. twierdzenie o kolaŜu), które wykorzystuje się do przybliŜania dowolnego zbioru
za pomocą obiektu fraktalnego [60].
Na koniec jeszcze kilka przykładów występowania fraktali – czyli grafika fraktalna
w przyrodzie i wirtualnej rzeczywistości.
Rys. B.2 Fraktale w świecie rzeczywistym: a) chmura; b) obraz pochodzący
z teleskopu Hubble’a; c) dendryty manganowe na róŜance kalcytowej (występowanie:
Góra Rzepka, Chęciny, Góry Świętokrzyskie);d) piroluzyt w formie dendrytu (na
podstawie [57]).
a) b)
c) d)
61