Beata Staśkiewicz - Instytut Fizyki

B.2. Wymiar fraktalny– co to właściwie jest?
Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem
pudełkowym [47]) ma wiele definicji. KaŜda z nich opiera się jednak na własności
samopodobieństwa. Jest to coś w rodzaju klasycznego podobieństwa figur.
Aby zrozumieć pojęcie wymiaru fraktalnego rozpatrzmy w tym celu dwie figury
płaskie (osadzone w przestrzeni R 2 ), podobne do siebie w skali k, o polach P 1 i P 2 .
MoŜemy zapisać, Ŝe:
P 1 /P 2 = k 2
(B.21)
Uczyńmy to samo dla brył (osadzonych w przestrzeni R 3 ), równieŜ podobnych w skali
k, o objętościach V 1 i V 2 . Czyli
V 1 /V 2 = k 3
(B.22)
Określamy liczbę
d = log k (P 1 /P 2 ) = log k k 2 = 2
(B.23)
Liczbę d moŜemy wyznaczyć znając pola powierzchni figur podobnych. Nazwijmy ją
wymiarem podobieństwa dwóch figur płaskich, podobnych o polach powierzchni P 1
i P 2 . Łatwo wykazać, Ŝe dla dowolnych takich figur, wymiar podobieństwa d będzie
zawsze równy dwa. NaleŜy zwrócić uwagę teraz na fakt, Ŝe figury te są osadzone
w przestrzeni 2D. Podobne czynności przeprowadźmy dla brył podobnych
(osadzonych w przestrzeni R 3 ).
d = log k (V 1 /V 2 ) = log k k 3 = 3
(B.24)
Analogicznie liczbę d moŜemy wyznaczyć znając objętości brył podobnych.
Nazwijmy ją wymiarem podobieństwa dwóch brył podobnych o objętościach V 1 i V 2 .
Łatwo wykazać, Ŝe dla dowolnych takich brył, wymiar podobieństwa d będzie równy
3. Znów naleŜy zwrócić uwagę na fakt, iŜ bryły te są osadzone w przestrzeni 3D.
Pojęcia zdefiniowane powyŜej moŜemy w prosty sposób rozszerzyć na przestrzeń n–
wymiarową. Daje nam to nowe, specyficzne określenie wymiaru, które jest zgodne
z intuicją...
Wymiar samopodobieństwa definiujemy jako logarytm przy podstawie równej skali
podobieństwa z liczby określającej "ile razy większa jest figura wyjściowa od figury
podobnej".
59