Beata Staśkiewicz - Instytut Fizyki

DODATEK B
B.1. FRAKTALE
Twórca teorii fraktali Benoit Mandelbrot w swojej podstawowej ksiąŜce Fractal
Geometry of Nature [50] podaje wiele przykładów nieprzyjaznych reakcji wybitnych
matematyków, których draŜniły konstrukcje fraktalne. Matematycy znali wiele
konstrukcji trudnych do opisania, jednak prostych do wyobraŜenia i wytworzenia.
Tymczasem brakowało spójnej teorii opisującej wszystkie fraktale. B. Mandelbrot,
twierdził, Ŝe fraktalem jest wszystko, gdyŜ wszystko jest wystrzępione, fragmentami
do siebie podobne. Trudno jest określić fraktale stwierdzeniem: "fraktalem jest
wszystko". Jest ono zupełnie nieprecyzyjne. Mandelbrot w swej pracy Fractal
Geometry of Nature podaje trzy główne własności fraktali:
1. nie są określone wzorem matematycznym, tylko zaleŜnością rekurencyjną,
2. maja cechę samo podobieństwa,
3. są obiektami, których wymiar nie jest liczbą całkowitą.
Warto równieŜ przytoczyć definicję fraktala, zawartą w pracy prof. Kudrewicza
Fraktale i chaos [52]:
"Fraktalem na płaszczyźnie nazywamy
dowolny niepusty i zwarty podzbiór płaszczyzny X ".
Słowo fraktal pochodzi od łacińskiego fractus- 'złamany' i oznacza figurę
geometryczną o złoŜonej strukturze, nie będącą krzywą, powierzchnią, ani bryłą
w znaczeniu geometrii klasycznej, mającą wymiar ułamkowy. Przy opisywaniu
konstrukcji fraktali daje się zauwaŜyć, Ŝe są one takie same w kaŜdym swoim kawałku
i w kaŜdej skali. Tę cechę nazywa się często samopodobieństwem. B.Mandelbrot
do pełniejszego opisu teoretycznego fraktali musiał odpowiednio zmodyfikować
topologiczne pojęcie wymiaru, poniewaŜ klasyczne pojęcie wymiaru nie było zbyt
dokładne. Kilka lat po wydaniu ksiąŜki Mandelbrota powstała prosta i ciekawa teoria
fraktali stworzona głównie przez K.Falconera i M. Barnsleya [53,54]. Matematykom
nie wystarczyła znajomość prostych reguł tworzenia poszczególnych fraktali
i opisywanie ich za pomocą wymiarów, chcieli oni znać własności tych konstrukcji.
Bardzo szybko okazało się, Ŝe w sposób prosty i pełny moŜna matematycznie opisać
własności wszystkich znanych fraktali. Był to początek bardzo ciekawej teorii
geometrycznej. Najistotniejsze w tej teorii było spostrzeŜenie, Ŝe fraktale otrzymuje
się za pomocą wielokrotnego stosowania przekształceń afinicznych 12 wyjściowego
12 Niech E1 ,E 2 będą przestrzeniami afinicznymi oraz S(E 1 ),S(E 2 ) ich przestrzeniami stycznymi.
Odwzorowanie f: E 1 → E 2 nazywamy afinicznym, gdy istnieje taki punkt P 0 naleŜący do E 1 ,
Ŝe przekształcenie fˆ: S(E 1 )→ S(E 2 ) określone wzorem fˆ (P 0 X) = f(P 0 ) f(X)jest
przekształceniem liniowym. Odzworowanie fˆ nazywamy częścią liniową odwzorowania
afinicznego f. Innymi słowy mówiąc: Przekształcenie afiniczne płaszczyzny lub przestrzeni
(pokrewieństwo, powinowactwo) to kaŜde róŜnowartościowe przekształcenie geometryczne,
które wszystkie proste zawarte w dziedzinie tego odwzorowania przekształca na proste.
Własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach afinicznych
nazywa się niezmiennikami afinicznymi; przykładami niezmienników afinicznych mogą być
równoległość prostych i skośne połoŜenie prostych. Przekształcenie afiniczne płaszczyzny
zachowuje: stosunek długości odcinków równoległych, a przekształcenie afiniczne przestrzeni
57