Beata Staśkiewicz - Instytut Fizyki

DODATEK A
A.1 SEKWENCJA THUE-MORSE’A 11
Is there a binary sequence that contains no overlap,
i.e., a sequence which contains no substrings
of the form awawa, where a is any binary letter
and w any word?
Na powyŜsze pytanie udzielił twierdzącej odpowiedzi Axcel Thue i stał się
tym samym współtwórcą sekwencji najlepiej znanej teraz jako SEKWENCJI THUE-
MORSE’A. WiąŜe się ona z wieloma róŜnymi gałęziami, odnaleźć ja moŜna
w geometrii róŜniczkowej, fizyce, a nawet w teorii liczb. Za pomocą tej reguły moŜna
tworzyć grafikę (przykład poniŜej), a takŜe komponować muzykę (przykładowe pliki
muzyczne znajdują się na dołączonej do niniejszej pracy płycie CD). NiŜej
zamieszczono róŜne sposoby konstrukcji rozwaŜanego ciągu.
Formalna definicja sekwencji T-M rozpięta na alfabecie binarnym {0, 1} ma
następującą postać:
( t j ) j>=0 = 1, 0, 0 , 1, 0 , 1, 1, 0 , 0 , … (1)
gdzie t 0 = 1 , t 2j = t j , t 2j+1 = 0 dla wszystkich j>= 0 .
Obecnie stosuje się kilka równorzędnych definicji ciągu T-M. Nietrudno tym
samym zauwaŜyć, iŜ kolejne wyrazy moŜna tworzyć przy uŜyciu takiego oto
podstawienia:
1→ 1, 0 0 → 0 , 1
W ten sposób otrzymujemy ciąg w postaci
1 → 1 , 0 → 1, 0, 0 , 1 → 1, 0 , 0 , 1, 0 , 1, 1, 0 → …
Innym sposobem przedstawienia ciągu T-M jest rozpoczynanie od elementu 0
i postępowanie wg takiej oto reguły: bierzemy powstały ciąg i dodajemy jego
uzupełnienie (tzn. 0 zastępujemy przez 1, a 1 przez 0). W wyniku tak
przeprowadzonej operacji otrzymamy:
0
01
0110
01101001
0110100110010110
….
11 Nad sekwencją tą jako pierwszy pracował P. Prouhet w 1859 roku, który zastosował ją
w teorii liczb. JednakŜe wyraźnie zaakcentował jej istnienie norweski matematyk, Axcel Thue
w 1906 roku, jako przykład aperiodycznego okresowego ciągu znaków. Pierwszą naukową
publikację Thue, obejmująca dany temat, zignorowano. Większą uwagę poświęcono dopiero
publikacji Marstona Morse’a w 1921, który uŜył owej sekwencji w geometrii róŜniczkowej
oraz dowiódł, iŜ trajektorie układów dynamicznych, które na przestrzeni fazowej mają ujemną
krzywiznę, mogą być scharakteryzowane jako dyskretne ciągi zer i jedynek. Fakt ten stanowił
oszałamiające odkrycie ówczesnych czasów [47].
Sekwencja ta była (i nadal jest) stosowana wielokrotnie i to nie zawsze przez profesjonalnych
matematyków. Przykład stanowi niejaki Max Euwe (mistrz szachownicy i nauczyciel
matematyki), który w 1929 roku zastosował daną formułę do gry w szachy [47].
54