(TE, TM) przez warstwÄ dielektrycznÄ . Formalizm ... - Instytut Fizyki
(TE, TM) przez warstwÄ dielektrycznÄ . Formalizm ... - Instytut Fizyki
(TE, TM) przez warstwÄ dielektrycznÄ . Formalizm ... - Instytut Fizyki
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Metody wyznaczania struktury fotonicznej<br />
wielowarstwowych układów<br />
zawierających warstwy metamateriałowe<br />
Włodzimierz Salejda<br />
<strong>Instytut</strong> <strong>Fizyki</strong><br />
Politechnika Wrocławska<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”<br />
13-15 września 2010, Szczawnica<br />
Organizator Politechnika Częstochowska
Transmisja płaskiej fali spolaryzowanej<br />
<strong>przez</strong> jednorodną warstwę dielektryczną — zapis macierzowy<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Transmisja płaskiej fali spolaryzowanej<br />
<strong>przez</strong> jednorodną warstwę dielektryczną<br />
Rysunek: Schemat supersieci optycznej<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna<br />
Warstwa o grubości d, ustawiona w płaszczyźnie padania<br />
OZY, jedna powierzchni w początku układu współrzędnych<br />
Jednowarstwowy układ, A.<br />
Klauzer-Kruszyna, Propagacja<br />
światła spolaryzowanego<br />
w wybranych supersieciach<br />
aperiodycznych, praca doktorska,<br />
<strong>Instytut</strong> <strong>Fizyki</strong> PWr, Wrocław 2005;<br />
dostępnej w internecie na stronie<br />
http://www.if.pwr.wroc.pl<br />
/˜wsalejda/doktoraty/<br />
prd04 − 10 − 04l.pdf.<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong><br />
Fala pada w płaszczyźnie OXZ (patrz rys. 4)<br />
⃗E(⃗r, t) = ⃗ E(⃗r) exp(iωt − ⃗ k j ⃗r, ) (1)<br />
gdzie j = in, 1, out, j = in – ośrodek źródła fali, j = 1 –<br />
warstwa, j = out – otoczenie zewnętrzne,<br />
⃗ kj = [k x,j , 0, k z,j ] = n jω<br />
c [cos Θ j, 0, sin Θ j ] . (2)<br />
Prawo załamania<br />
k z,in = k z,1 = k z,out . (3)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong><br />
⃗E <strong>TE</strong> (⃗r) = [0, E j (x, z), 0] (4)<br />
[<br />
dla x < 0, ⃗E (+)<br />
in<br />
e−ikx,inx + E ⃗ ]<br />
(−)<br />
in<br />
eik x,inx<br />
e −ik z,inz<br />
[<br />
dla 0 < x < d, ⃗E (+)<br />
1<br />
e −ikx,1x + E ⃗ ]<br />
(−)<br />
1<br />
e ik x,1x<br />
exp(−ik z,1 z)<br />
[<br />
dla x > d, ⃗E (+)<br />
out e−ikx,out(x−d) + E ⃗ (−) (x−d)] out eik′ x,out e −ikz,outz ,<br />
⃗E (+)<br />
in<br />
– amp. f. padającej, ⃗ E (−)<br />
in<br />
⃗E (+)<br />
1<br />
— amp. f. w warstwie, ⃗ E (−)<br />
— amp. f. odbitej,<br />
1<br />
— amp. f. odbitej od 2.<br />
powierzchni, E ⃗ (+)<br />
out — amp. f. przechodzącej, E ⃗ (−)<br />
out — amp. f.<br />
padająca na drugą powierzchnię warstwy z out (patrz rys. 4).<br />
(5)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong><br />
Rysunek: Jednowarstwowy układ, A. Klauzer-Kruszyna, Propagacja światła<br />
spolaryzowanego w wybranych supersieciach aperiodycznych, praca doktorska,<br />
<strong>Instytut</strong> <strong>Fizyki</strong> PWr, Wrocław 2005; dostępnej w internecie na stronie<br />
http://www.if.pwr.wroc.pl /˜wsalejda/doktoraty/prd04 −10 −04l.pdf.<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong><br />
Pole magnetyczne tej fali wyznaczamy ze związku<br />
∣ ⃗H = ⃗ ∣∣∣∣∣<br />
k × E ⃗ = 1 ˆx ŷ ẑ<br />
k x 0 k z<br />
ωµ 0 µ r ωµ 0 µ r 0 E y 0 ∣ .<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong><br />
Jawne postacie współrzędnych wektora H. ⃗<br />
Dla x < 0<br />
[<br />
]<br />
⃗H (+)<br />
in<br />
= H (+)<br />
x,in<br />
, 0, H(+)<br />
z,in ,<br />
(6)<br />
⃗H (+)<br />
⃗H (−)<br />
in<br />
in<br />
= E (+)<br />
in<br />
e −ikx,inx [−k z,in , 0, k x,in , ] (7)<br />
ωµ 1<br />
z,in = k x,inE (−)<br />
in<br />
exp(ik x,in x), (8)<br />
ωµ 1<br />
H (−)<br />
= − E (−)<br />
in<br />
exp(ik x,in x) [k z,in , 0, k x,in ] , (9)<br />
ωµ 1<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong><br />
Jawne postacie współrzędnych wektora H. ⃗<br />
Dla 0 < x < d<br />
[<br />
]<br />
⃗H (+)<br />
1 = H (+)<br />
x,1 , 0, H(+) z,1 , (10)<br />
⃗H (+)<br />
1 = E (+)<br />
1<br />
exp(−ik x,1 x) [−k z,1 , 0, k x,1 ] , (11)<br />
ωµ 2<br />
[<br />
]<br />
⃗H (−)<br />
1 = H (−)<br />
x,1 , 0, H(−) z,1 , (12)<br />
⃗H (−)<br />
1 = − E (−)<br />
1<br />
exp(ik x,1 x) [k z,1 , 0, k x,1 ] , (13)<br />
ωµ 2<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong><br />
⃗H (+)<br />
Jawne postacie współrzędnych wektora H. ⃗<br />
Dla x > d<br />
[<br />
]<br />
⃗H (+)<br />
out = H (+)<br />
x,out , 0, H(+) z,out , (14)<br />
out = E (+)<br />
out<br />
exp (−ik x,out (x − d)) [−k z,out , 0, k x,out ] , (15)<br />
ωµ out<br />
[<br />
]<br />
⃗H (−)<br />
out = H (−)<br />
x,out , 0, H(−) z,out , (16)<br />
out = − E (−)<br />
[<br />
]<br />
1<br />
exp(ik ′<br />
ωµ<br />
x,out(x − d)) k z,out, ′ 0, k ′ x,out . (17)<br />
out<br />
⃗H (−)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong>, warunki ciągłości<br />
E (+)<br />
in<br />
H (+)<br />
z,in<br />
Dla x = 0<br />
(−)<br />
(+)<br />
(x = 0, z) + E<br />
in<br />
(x = 0, z) = E<br />
1<br />
(x = 0, z) + E (−)<br />
1<br />
(x = 0, z)<br />
(18)<br />
(x = 0, z)+H(−)<br />
z,in<br />
(x = 0, z) = H(+) z,1<br />
(x = 0, z)+H(−) z,1 (x = 0, z),<br />
(19)<br />
E (+)<br />
in<br />
+ E (−)<br />
in<br />
= E (+)<br />
1<br />
+ E (−)<br />
1<br />
k x,in E (+)<br />
1<br />
− k inE (−)<br />
1<br />
= k x,1E (+)<br />
1<br />
− k x,1E (−)<br />
1<br />
µ in µ in µ 1<br />
µ 1<br />
.<br />
(20)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong>, warunki ciągłości<br />
Dla x = d<br />
E (+)<br />
1<br />
exp(−ik x,1 d) + E (−)<br />
1<br />
exp(ik x,1 d) = E (+)<br />
out ,<br />
H (+)<br />
z,1<br />
(x = d) + H(−)<br />
z,1<br />
(x = d) = H(+) z,out (x = d),<br />
E (+)<br />
1<br />
e −ik x,1d<br />
+ E (−)<br />
1<br />
e ik x,1d<br />
= E (+)<br />
out ,<br />
k x,1 E (+)<br />
1 e −ik x,1d<br />
− k x,1E (−)<br />
1 e ik x,1d<br />
= k outE (+)<br />
out<br />
.<br />
µ 1 µ 1 µ out<br />
(21)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong>, zapis macierzowy<br />
Macierz<br />
⎛<br />
D l = ⎝ 1 1<br />
⎞<br />
⎛ µ ⎞ l<br />
k x,l<br />
− k x,l<br />
⎠ , D −1<br />
l<br />
= 1 1<br />
⎜ k<br />
⎝ x,l<br />
2<br />
µ l µ<br />
1 − µ ⎟<br />
l ⎠ , (22)<br />
l k x,l<br />
gdzie l = in, 1, out,<br />
macierz propagacji<br />
( exp(ikx,1 ) 0<br />
P 1 =<br />
0 exp(−ik x,1 )<br />
(<br />
P1 −1 exp(−ikx,1 ) 0<br />
=<br />
0 exp(+ik x,1 )<br />
)<br />
, (23)<br />
)<br />
. (24)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong>, zapis macierzowy<br />
Zapiszemy związki pomiędzy polem elektromagnetycznym na<br />
wejściu (tj. przed warstwą) i na wyjściu (tj. poza warstwą)<br />
( ) ( )<br />
E (+)<br />
D<br />
in<br />
E (+)<br />
in<br />
E (−) = D<br />
1 1<br />
in<br />
E (−) , (25)<br />
1<br />
( )<br />
)<br />
D 1 · P (−1)<br />
1<br />
E (+)<br />
1<br />
E (−)<br />
1<br />
= D out<br />
(<br />
E (+)<br />
out<br />
E (−)<br />
out<br />
, (26)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong>, zapis macierzowy<br />
(<br />
E (+)<br />
in<br />
E (−)<br />
in<br />
Zapiszemy te związki w inny sposób<br />
( )<br />
( )<br />
E (+)<br />
in<br />
E (−) = Din −1 · D E (+)<br />
1<br />
1<br />
in<br />
E (−)<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
E (+)<br />
1<br />
E (−)<br />
1<br />
= D −1<br />
in<br />
= P 1 · D −1<br />
1<br />
· D out<br />
(<br />
i w rezultacie<br />
· D 1 · P 1 · D −1<br />
1<br />
· D out<br />
(<br />
E (+)<br />
out<br />
E (−)<br />
out<br />
)<br />
E (+)<br />
out<br />
E (−)<br />
out<br />
)<br />
. (27)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong>, zapis macierzowy<br />
Iloczyny macierzy Din<br />
−1 · D 1 oraz D1 −1 · D out są typu<br />
j<br />
· D l = D jl – macierze przejścia z ośrodka j do l.<br />
⎛ µ ⎞ l ⎛<br />
D −1<br />
l<br />
D j = 1 1<br />
⎜ k<br />
⎝ x,l<br />
2 1 − µ ⎟<br />
l ⎠ ⎝ 1 1<br />
⎞<br />
k x,j<br />
− k x,j ⎠ =<br />
k x,l<br />
µ j µ j<br />
⎛<br />
⎞<br />
k x,l · µ j − k x,j · µ l<br />
1<br />
⎜<br />
k x,l · µ j + k x,j · µ l<br />
⎝<br />
D −1<br />
k x,l · µ j + k x,j · µ l<br />
2k x,l · µ j<br />
k x,l · µ j − k x,j · µ l<br />
k x,l · µ j + k x,j · µ l<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .(28)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong>, zapis macierzowy<br />
Zwięzły zapis<br />
D −1<br />
l<br />
D j = D l.j = 1<br />
t <strong>TE</strong><br />
lj<br />
( 1 r<br />
<strong>TE</strong><br />
lj<br />
r <strong>TE</strong><br />
lj<br />
1<br />
amplitudowe współczynnikiem Fresnela<br />
)<br />
, (29)<br />
t <strong>TE</strong><br />
lj = t s lj = 2k x,l · µ j<br />
k x,l · µ j + k x,j · µ l<br />
= 2<br />
1 + σ s lj<br />
(30)<br />
r <strong>TE</strong><br />
lj<br />
= r s<br />
lj = k x,l · µ j − k x,j · µ l<br />
k x,l · µ j + k x,j · µ l<br />
= 1 − σs lj<br />
1 + σ s lj<br />
(31)<br />
σ <strong>TE</strong><br />
lj<br />
= σ s lj = k x,j · µ l<br />
k x,l · µ j<br />
. (32)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TE</strong>, zapis macierzowy<br />
Zwięzły zapis c.d.<br />
Tak więc wyrażenie (27) możemy teraz zapisać prostym<br />
wzorem, stosując notację wektorową i wprowadzone macierze<br />
(<br />
E (+)<br />
in<br />
E (−)<br />
in<br />
)<br />
= D in 1 · P 1 · D 1 out<br />
(<br />
E (+)<br />
out<br />
E (−)<br />
out<br />
)<br />
. (33)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong><br />
Rysunek: Jednowarstwowy układ, A. Klauzer-Kruszyna, Propagacja światła<br />
spolaryzowanego w wybranych supersieciach aperiodycznych, praca doktorska,<br />
<strong>Instytut</strong> <strong>Fizyki</strong> PWr, Wrocław 2005; dostępnej w internecie na stronie<br />
http://www.if.pwr.wroc.pl /˜wsalejda/doktoraty/prd04 −10 −04l.pdf.<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong><br />
Zakładamy, że fala pada w płaszczyźnie OXZ i ma postać<br />
⃗H(⃗r, t) = ⃗ H <strong>TM</strong><br />
l (⃗r) exp(iωt − ⃗ k l ⃗r) (34)<br />
⃗H <strong>TM</strong><br />
l (⃗r) = [0, H l (x, z), 0] (35)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong><br />
⃗H <strong>TM</strong><br />
l (⃗r) = [0, H l (x, z), 0] (36)<br />
dla<br />
[<br />
x < 0,<br />
⃗H (+)<br />
in<br />
e−ikx,inx + H ⃗ ]<br />
(−)<br />
in<br />
eik x,inx)<br />
e −ik z,inz<br />
[<br />
dla 0 < x < d,<br />
⃗H (+)<br />
1<br />
e −ikx,1x + H ⃗ ]<br />
(−)<br />
1<br />
e ik x,1x<br />
e −ik z,1z<br />
dla<br />
[<br />
x > d,<br />
⃗H (+)<br />
out e−ikx,out(x−d) + H ⃗ (−) (x−d)] out eik′ x,out e −ikz,outz ,<br />
(37)<br />
⃗H (+)<br />
in<br />
— amp. f. padającej, ⃗ H (−)<br />
in<br />
— amp. f. odbitej, ⃗ H (+)<br />
1<br />
—<br />
amp. w warstwie, ⃗ H (−)<br />
1<br />
— amp. f. odbitej od 2. powierzchni,<br />
⃗H (+)<br />
out — amp. f., która przeszła <strong>przez</strong> warstwę, ⃗ H (−)<br />
out — amp.<br />
f., która pada na 2. pow. warstwy z ośrodka out.<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong><br />
Pole elektryczne tej fali<br />
⃗E = − ⃗ k × ⃗ H<br />
ωε 0 ε r<br />
= − 1<br />
ωε 0 ε r<br />
∣ ∣∣∣∣∣ ˆx ŷ ẑ<br />
k x 0 k z<br />
0 H y 0<br />
∣ .<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong><br />
Jawne postacie współrzędnych wektorów E. ⃗<br />
Dla x < 0<br />
[<br />
]<br />
⃗E (+)<br />
in<br />
= E (+) (+)<br />
x,in<br />
, 0, E<br />
z,in ,<br />
(38)<br />
⃗E (+)<br />
in<br />
⃗E (−)<br />
in<br />
= H(+) in<br />
exp(−ik x,in x) [k z,in , 0, −k x,in , ] (39)<br />
ωε in<br />
[<br />
]<br />
⃗E (−)<br />
in<br />
= E (−) (−)<br />
x,in<br />
, 0, E<br />
z,in , (40)<br />
= H(−) in<br />
exp(ik x,in x) [k z,in , 0, k x,in ] , (41)<br />
ωε in<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong><br />
Jawne postacie współrzędnych wektora E. ⃗<br />
Dla 0 < x < d<br />
[<br />
]<br />
⃗E (+)<br />
1 = E (+) (+)<br />
x,1 , 0, E z,1 , (42)<br />
⃗E (+)<br />
1 = H(+) 1<br />
exp(−ik x,1 x) [k z,1 , 0, −k x,1 ] , (43)<br />
ωε 1<br />
[<br />
]<br />
⃗E (−)<br />
1 = E (−) (−)<br />
x,1 , 0, E z,1 , (44)<br />
⃗E (−)<br />
1 = H(−) 1<br />
ωε 1<br />
exp(ik x,1 x) [k z,1 , 0, k x,1 ] , (45)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong><br />
Jawne postacie współrzędnych wektora E. ⃗<br />
Dla x > d<br />
[<br />
]<br />
⃗E (+)<br />
out = E (+) (+)<br />
x,out , 0, E z,out , (46)<br />
⃗E (+)<br />
out = H(+) out<br />
⃗E (−)<br />
exp (−ik x,out (x − d)) [k z,out , 0, −k x,out ] , (47)<br />
ωε out<br />
[<br />
]<br />
⃗E (−)<br />
out = E (−) (−)<br />
x,out , 0, E z,out , (48)<br />
out = E (−)<br />
[<br />
]<br />
1<br />
exp(ik ′<br />
ωε<br />
x,out(x − d)) k z,out, ′ 0, k ′ x,out . (49)<br />
out<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong>, warunki ciągłości<br />
Dla x = 0<br />
H (+)<br />
in<br />
+ H (−)<br />
in<br />
= H (+)<br />
1<br />
+ H (−)<br />
1<br />
(50)<br />
E (+)<br />
z,in + E (−)<br />
z,in = E (+)<br />
z,1 + E (−)<br />
z,1 , (51)<br />
H (+)<br />
in<br />
+ H (−)<br />
in<br />
= H (+)<br />
1<br />
+ H (−)<br />
1<br />
k x,in H (+)<br />
1<br />
− k x,inH (−)<br />
1<br />
= k x,1H (+)<br />
1<br />
− k x,1H (−)<br />
1<br />
.<br />
ε in ε in ε 1 ε 1<br />
(52)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong>, warunki ciągłości<br />
Dla x = d<br />
H (+)<br />
1<br />
exp(−ik x,1 d) + H (−)<br />
1<br />
exp(ik x,1 d) = H (+)<br />
out ,<br />
E (+)<br />
z,1 + E (−)<br />
z,1 = E (+)<br />
z,out ,<br />
które można przepisać w jawnej postaci<br />
H (+)<br />
1<br />
e −ik x,1d<br />
+ H (−)<br />
1<br />
e ik x,1d<br />
= H (+)<br />
out ,<br />
k x,1 H (+)<br />
1 e −ik x,1d<br />
− k x,1H (−)<br />
1 e ik x,1d<br />
= k x,outH (+)<br />
out<br />
.<br />
ε 1 ε 1 ε out<br />
(53)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong>, zapis macierzowy<br />
Macierze brzegowe<br />
⎛<br />
C l = ⎝ 1 1<br />
⎞<br />
⎛ ε l<br />
k x,l<br />
− k x,l<br />
⎠ , C −1<br />
l<br />
= 1 1<br />
⎜ k<br />
⎝ x,l<br />
2<br />
ε l ε<br />
1 − ε l<br />
l<br />
k x,l<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ . (54)<br />
gdzie l = in, 1, out,<br />
macierze propagacji fali w warstwie<br />
( )<br />
exp(ikx,1 ) 0<br />
P 1 =<br />
, (55)<br />
0 exp(−ik x,1 )<br />
(<br />
P1 −1 exp(−ikx,1 ) 0<br />
=<br />
0 exp(+ik x,1 )<br />
)<br />
. (56)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong>, zapis macierzowy<br />
Zapiszemy związki pomiędzy polem elektromagnetycznym na<br />
wejściu (tj. przed warstwą) i na wyjściu (tj. poza warstwą)<br />
( ) ( )<br />
H (+)<br />
C<br />
in<br />
H (+)<br />
in<br />
H (−) = C<br />
1 1<br />
in<br />
H (−) , (57)<br />
1<br />
( )<br />
)<br />
C 1 · P (−1)<br />
1<br />
H (+)<br />
1<br />
H (−)<br />
1<br />
= C out<br />
(<br />
H (+)<br />
out<br />
H (−)<br />
out<br />
, (58)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong>, zapis macierzowy<br />
Zapiszemy otrzymane równania w odmienny sposób<br />
( )<br />
( )<br />
H (+)<br />
in<br />
H (−) = Cin −1 H (+)<br />
1<br />
1<br />
in<br />
H (−)<br />
1<br />
,<br />
( )<br />
)<br />
(<br />
H (+)<br />
in<br />
H (−)<br />
in<br />
H (+)<br />
1<br />
H (−)<br />
)<br />
1<br />
= C −1<br />
in<br />
= P 1 · C −1<br />
1<br />
· C out<br />
(<br />
H (+)<br />
out<br />
H (−)<br />
out<br />
· C 1 · P 1 · C −1<br />
1<br />
· C out<br />
(<br />
H (+)<br />
out<br />
H (−)<br />
out<br />
,<br />
)<br />
. (59)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong>, zapis macierzowy<br />
Iloczyny macierzy Cin<br />
−1 · C 1 oraz C1 −1 · C out są typu<br />
C −1<br />
j<br />
· C l = C jl – macierze przejścia z ośrodka j do l.<br />
⎛ ε ⎞ l ⎛<br />
C −1<br />
l<br />
C j = 1 1<br />
⎜ k<br />
⎝ x,l<br />
2 1 − ε ⎟<br />
l ⎠ ⎝ 1 1<br />
⎞<br />
k x,j<br />
− k x,j ⎠ =<br />
ε j ε j<br />
k x,l<br />
ε l<br />
+ k x,j<br />
ε j<br />
2 k x,l<br />
ε l<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
k x,l<br />
k x,l<br />
ε l<br />
k x,l<br />
ε l<br />
1<br />
− k x,j<br />
ε j<br />
k x,l<br />
ε l<br />
k x,l<br />
ε l<br />
+ k x,j<br />
ε j<br />
1<br />
− k x,j<br />
ε j<br />
+ k x,j<br />
ε j<br />
⎞<br />
. (60)<br />
⎟<br />
⎠<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong>, zapis macierzowy<br />
C −1<br />
l<br />
C j = 1<br />
t <strong>TM</strong><br />
lj<br />
( 1 r<br />
<strong>TM</strong><br />
lj<br />
r <strong>TM</strong><br />
lj<br />
1<br />
t <strong>TM</strong><br />
lj = t p lj = 2k x,l · ε j<br />
k x,l · ε j + k x,j · ε l<br />
=<br />
r <strong>TM</strong><br />
lj<br />
k x,l<br />
ε l<br />
2k x,l<br />
ε l<br />
)<br />
, (61)<br />
+ k = 2<br />
x,j 1 + σ p lj<br />
ε j<br />
= r p<br />
lj = k x,l · ε j − k x,j · ε l<br />
= 1 − σp lj<br />
k x,l · ε j + k x,j · ε l 1 + σ p lj<br />
σ p lj = σ<strong>TM</strong> lj<br />
= k x,j · ε l<br />
k x,l · ε j<br />
=<br />
,<br />
k x,j<br />
ε j<br />
k x,l<br />
. (62)<br />
ε l<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Warstwa dielektryczna — polaryzacja <strong>TM</strong>, zapis macierzowy<br />
Zwięzły zapis c.d.<br />
Tak więc wzór (59) możemy sprowadzić do<br />
( )<br />
( )<br />
H (+)<br />
in<br />
H (+)<br />
H (−) = C in 1 · P 1 · C<br />
out<br />
1 out<br />
in<br />
H (−) . (63)<br />
out<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Zapis macierzowy — podsumowanie<br />
Wyprowadzono wzory dotyczące propagacji spolaryzowanej<br />
fali płaskiej <strong>przez</strong> warstwę dielektryka.<br />
Odnotujmy ponownie podobieństwa.<br />
Macierze przejścia<br />
D −1<br />
l<br />
D j = D l.j = 1<br />
t <strong>TE</strong><br />
lj<br />
C −1<br />
l<br />
C j = C lj<br />
1<br />
t <strong>TM</strong><br />
lj<br />
( 1 r<br />
<strong>TE</strong><br />
lj<br />
r <strong>TE</strong><br />
lj<br />
1<br />
( 1 r<br />
<strong>TM</strong><br />
lj<br />
r <strong>TM</strong><br />
lj<br />
1<br />
)<br />
, (64)<br />
)<br />
, (65)<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Zapis macierzowy — podsumowanie<br />
Amplitudowe współczynnikiem Fresnela<br />
t <strong>TE</strong><br />
lj =<br />
2k x,l · µ j<br />
k x,l · µ j + k x,j · µ l<br />
= 2<br />
1 + σ s lj<br />
t <strong>TM</strong><br />
lj = t p lj = 2k x,l · ε j<br />
k x,l · ε j + k x,j · ε l<br />
=<br />
k x,l<br />
ε l<br />
2k x,l<br />
ε l<br />
+ k = 2<br />
x,j 1 + σ p lj<br />
ε j<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Zapis macierzowy — podsumowanie<br />
Amplitudowe współczynnikiem Fresnela<br />
r <strong>TE</strong><br />
lj<br />
= k x,l · µ j − k x,j · µ l<br />
k x,l · µ j + k x,j · µ l<br />
= 1 − σs lj<br />
1 + σ s lj<br />
r <strong>TM</strong><br />
lj<br />
= r p<br />
lj = k x,l · ε j − k x,j · ε l<br />
= 1 − σp lj<br />
k x,l · ε j + k x,j · ε l 1 + σ p lj<br />
,<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Zapis macierzowy — podsumowanie<br />
σ <strong>TE</strong><br />
lj<br />
= σ s lj = k x,j · µ l<br />
k x,l · µ j<br />
.<br />
σ p lj = σ<strong>TM</strong> lj<br />
= k x,j · ε l<br />
k x,l · ε j<br />
=<br />
k x,j<br />
ε j<br />
.<br />
k x,l<br />
ε l<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
Zapis macierzowy — podsumowanie<br />
Wyprowadzone wzory są bardzo podobne.<br />
Zamiana µ 1 ↔ ε 1<br />
µ 2 ↔ ε 2<br />
pozwala z jednych otrzymać drugie.<br />
Włodzimierz Salejda<br />
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”