(TE, TM) przez warstwę dielektrycznÄ . Formalizm ... - Instytut Fizyki

Metody wyznaczania struktury fotonicznej
wielowarstwowych układów
zawierających warstwy metamateriałowe
Włodzimierz Salejda
Instytut Fizyki
Politechnika Wrocławska
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
13-15 września 2010, Szczawnica
Organizator Politechnika Częstochowska

Transmisja płaskiej fali spolaryzowanej
przez jednorodną warstwę dielektryczną — zapis macierzowy
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Transmisja płaskiej fali spolaryzowanej
przez jednorodną warstwę dielektryczną
Rysunek: Schemat supersieci optycznej
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna
Warstwa o grubości d, ustawiona w płaszczyźnie padania
OZY, jedna powierzchni w początku układu współrzędnych
Jednowarstwowy układ, A.
Klauzer-Kruszyna, Propagacja
światła spolaryzowanego
w wybranych supersieciach
aperiodycznych, praca doktorska,
Instytut Fizyki PWr, Wrocław 2005;
dostępnej w internecie na stronie
http://www.if.pwr.wroc.pl
/˜wsalejda/doktoraty/
prd04 − 10 − 04l.pdf.
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE
Fala pada w płaszczyźnie OXZ (patrz rys. 4)
⃗E(⃗r, t) = ⃗ E(⃗r) exp(iωt − ⃗ k j ⃗r, ) (1)
gdzie j = in, 1, out, j = in – ośrodek źródła fali, j = 1 –
warstwa, j = out – otoczenie zewnętrzne,
⃗ kj = [k x,j , 0, k z,j ] = n jω
c [cos Θ j, 0, sin Θ j ] . (2)
Prawo załamania
k z,in = k z,1 = k z,out . (3)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE
⃗E TE (⃗r) = [0, E j (x, z), 0] (4)
[
dla x < 0, ⃗E (+)
in
e−ikx,inx + E ⃗ ]
(−)
in
eik x,inx
e −ik z,inz
[
dla 0 < x < d, ⃗E (+)
1
e −ikx,1x + E ⃗ ]
(−)
1
e ik x,1x
exp(−ik z,1 z)
[
dla x > d, ⃗E (+)
out e−ikx,out(x−d) + E ⃗ (−) (x−d)] out eik′ x,out e −ikz,outz ,
⃗E (+)
in
– amp. f. padającej, ⃗ E (−)
in
⃗E (+)
1
— amp. f. w warstwie, ⃗ E (−)
— amp. f. odbitej,
1
— amp. f. odbitej od 2.
powierzchni, E ⃗ (+)
out — amp. f. przechodzącej, E ⃗ (−)
out — amp. f.
padająca na drugą powierzchnię warstwy z out (patrz rys. 4).
(5)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE
Rysunek: Jednowarstwowy układ, A. Klauzer-Kruszyna, Propagacja światła
spolaryzowanego w wybranych supersieciach aperiodycznych, praca doktorska,
Instytut Fizyki PWr, Wrocław 2005; dostępnej w internecie na stronie
http://www.if.pwr.wroc.pl /˜wsalejda/doktoraty/prd04 −10 −04l.pdf.
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE
Pole magnetyczne tej fali wyznaczamy ze związku
∣ ⃗H = ⃗ ∣∣∣∣∣
k × E ⃗ = 1 ˆx ŷ ẑ
k x 0 k z
ωµ 0 µ r ωµ 0 µ r 0 E y 0 ∣ .
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE
Jawne postacie współrzędnych wektora H. ⃗
Dla x < 0
[
]
⃗H (+)
in
= H (+)
x,in
, 0, H(+)
z,in ,
(6)
⃗H (+)
⃗H (−)
in
in
= E (+)
in
e −ikx,inx [−k z,in , 0, k x,in , ] (7)
ωµ 1
z,in = k x,inE (−)
in
exp(ik x,in x), (8)
ωµ 1
H (−)
= − E (−)
in
exp(ik x,in x) [k z,in , 0, k x,in ] , (9)
ωµ 1
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE
Jawne postacie współrzędnych wektora H. ⃗
Dla 0 < x < d
[
]
⃗H (+)
1 = H (+)
x,1 , 0, H(+) z,1 , (10)
⃗H (+)
1 = E (+)
1
exp(−ik x,1 x) [−k z,1 , 0, k x,1 ] , (11)
ωµ 2
[
]
⃗H (−)
1 = H (−)
x,1 , 0, H(−) z,1 , (12)
⃗H (−)
1 = − E (−)
1
exp(ik x,1 x) [k z,1 , 0, k x,1 ] , (13)
ωµ 2
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE
⃗H (+)
Jawne postacie współrzędnych wektora H. ⃗
Dla x > d
[
]
⃗H (+)
out = H (+)
x,out , 0, H(+) z,out , (14)
out = E (+)
out
exp (−ik x,out (x − d)) [−k z,out , 0, k x,out ] , (15)
ωµ out
[
]
⃗H (−)
out = H (−)
x,out , 0, H(−) z,out , (16)
out = − E (−)
[
]
1
exp(ik ′
ωµ
x,out(x − d)) k z,out, ′ 0, k ′ x,out . (17)
out
⃗H (−)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE, warunki ciągłości
E (+)
in
H (+)
z,in
Dla x = 0
(−)
(+)
(x = 0, z) + E
in
(x = 0, z) = E
1
(x = 0, z) + E (−)
1
(x = 0, z)
(18)
(x = 0, z)+H(−)
z,in
(x = 0, z) = H(+) z,1
(x = 0, z)+H(−) z,1 (x = 0, z),
(19)
E (+)
in
+ E (−)
in
= E (+)
1
+ E (−)
1
k x,in E (+)
1
− k inE (−)
1
= k x,1E (+)
1
− k x,1E (−)
1
µ in µ in µ 1
µ 1
.
(20)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE, warunki ciągłości
Dla x = d
E (+)
1
exp(−ik x,1 d) + E (−)
1
exp(ik x,1 d) = E (+)
out ,
H (+)
z,1
(x = d) + H(−)
z,1
(x = d) = H(+) z,out (x = d),
E (+)
1
e −ik x,1d
+ E (−)
1
e ik x,1d
= E (+)
out ,
k x,1 E (+)
1 e −ik x,1d
− k x,1E (−)
1 e ik x,1d
= k outE (+)
out
.
µ 1 µ 1 µ out
(21)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE, zapis macierzowy
Macierz
⎛
D l = ⎝ 1 1
⎞
⎛ µ ⎞ l
k x,l
− k x,l
⎠ , D −1
l
= 1 1
⎜ k
⎝ x,l
2
µ l µ
1 − µ ⎟
l ⎠ , (22)
l k x,l
gdzie l = in, 1, out,
macierz propagacji
( exp(ikx,1 ) 0
P 1 =
0 exp(−ik x,1 )
(
P1 −1 exp(−ikx,1 ) 0
=
0 exp(+ik x,1 )
)
, (23)
)
. (24)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE, zapis macierzowy
Zapiszemy związki pomiędzy polem elektromagnetycznym na
wejściu (tj. przed warstwą) i na wyjściu (tj. poza warstwą)
( ) ( )
E (+)
D
in
E (+)
in
E (−) = D
1 1
in
E (−) , (25)
1
( )
)
D 1 · P (−1)
1
E (+)
1
E (−)
1
= D out
(
E (+)
out
E (−)
out
, (26)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE, zapis macierzowy
(
E (+)
in
E (−)
in
Zapiszemy te związki w inny sposób
( )
( )
E (+)
in
E (−) = Din −1 · D E (+)
1
1
in
E (−)
1
)
(
)
E (+)
1
E (−)
1
= D −1
in
= P 1 · D −1
1
· D out
(
i w rezultacie
· D 1 · P 1 · D −1
1
· D out
(
E (+)
out
E (−)
out
)
E (+)
out
E (−)
out
)
. (27)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE, zapis macierzowy
Iloczyny macierzy Din
−1 · D 1 oraz D1 −1 · D out są typu
j
· D l = D jl – macierze przejścia z ośrodka j do l.
⎛ µ ⎞ l ⎛
D −1
l
D j = 1 1
⎜ k
⎝ x,l
2 1 − µ ⎟
l ⎠ ⎝ 1 1
⎞
k x,j
− k x,j ⎠ =
k x,l
µ j µ j
⎛
⎞
k x,l · µ j − k x,j · µ l
1
⎜
k x,l · µ j + k x,j · µ l
⎝
D −1
k x,l · µ j + k x,j · µ l
2k x,l · µ j
k x,l · µ j − k x,j · µ l
k x,l · µ j + k x,j · µ l
1
⎟
⎠ .(28)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE, zapis macierzowy
Zwięzły zapis
D −1
l
D j = D l.j = 1
t TE
lj
( 1 r
TE
lj
r TE
lj
1
amplitudowe współczynnikiem Fresnela
)
, (29)
t TE
lj = t s lj = 2k x,l · µ j
k x,l · µ j + k x,j · µ l
= 2
1 + σ s lj
(30)
r TE
lj
= r s
lj = k x,l · µ j − k x,j · µ l
k x,l · µ j + k x,j · µ l
= 1 − σs lj
1 + σ s lj
(31)
σ TE
lj
= σ s lj = k x,j · µ l
k x,l · µ j
. (32)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TE, zapis macierzowy
Zwięzły zapis c.d.
Tak więc wyrażenie (27) możemy teraz zapisać prostym
wzorem, stosując notację wektorową i wprowadzone macierze
(
E (+)
in
E (−)
in
)
= D in 1 · P 1 · D 1 out
(
E (+)
out
E (−)
out
)
. (33)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM
Rysunek: Jednowarstwowy układ, A. Klauzer-Kruszyna, Propagacja światła
spolaryzowanego w wybranych supersieciach aperiodycznych, praca doktorska,
Instytut Fizyki PWr, Wrocław 2005; dostępnej w internecie na stronie
http://www.if.pwr.wroc.pl /˜wsalejda/doktoraty/prd04 −10 −04l.pdf.
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM
Zakładamy, że fala pada w płaszczyźnie OXZ i ma postać
⃗H(⃗r, t) = ⃗ H TM
l (⃗r) exp(iωt − ⃗ k l ⃗r) (34)
⃗H TM
l (⃗r) = [0, H l (x, z), 0] (35)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM
⃗H TM
l (⃗r) = [0, H l (x, z), 0] (36)
dla
[
x < 0,
⃗H (+)
in
e−ikx,inx + H ⃗ ]
(−)
in
eik x,inx)
e −ik z,inz
[
dla 0 < x < d,
⃗H (+)
1
e −ikx,1x + H ⃗ ]
(−)
1
e ik x,1x
e −ik z,1z
dla
[
x > d,
⃗H (+)
out e−ikx,out(x−d) + H ⃗ (−) (x−d)] out eik′ x,out e −ikz,outz ,
(37)
⃗H (+)
in
— amp. f. padającej, ⃗ H (−)
in
— amp. f. odbitej, ⃗ H (+)
1
—
amp. w warstwie, ⃗ H (−)
1
— amp. f. odbitej od 2. powierzchni,
⃗H (+)
out — amp. f., która przeszła przez warstwę, ⃗ H (−)
out — amp.
f., która pada na 2. pow. warstwy z ośrodka out.
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM
Pole elektryczne tej fali
⃗E = − ⃗ k × ⃗ H
ωε 0 ε r
= − 1
ωε 0 ε r
∣ ∣∣∣∣∣ ˆx ŷ ẑ
k x 0 k z
0 H y 0
∣ .
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM
Jawne postacie współrzędnych wektorów E. ⃗
Dla x < 0
[
]
⃗E (+)
in
= E (+) (+)
x,in
, 0, E
z,in ,
(38)
⃗E (+)
in
⃗E (−)
in
= H(+) in
exp(−ik x,in x) [k z,in , 0, −k x,in , ] (39)
ωε in
[
]
⃗E (−)
in
= E (−) (−)
x,in
, 0, E
z,in , (40)
= H(−) in
exp(ik x,in x) [k z,in , 0, k x,in ] , (41)
ωε in
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM
Jawne postacie współrzędnych wektora E. ⃗
Dla 0 < x < d
[
]
⃗E (+)
1 = E (+) (+)
x,1 , 0, E z,1 , (42)
⃗E (+)
1 = H(+) 1
exp(−ik x,1 x) [k z,1 , 0, −k x,1 ] , (43)
ωε 1
[
]
⃗E (−)
1 = E (−) (−)
x,1 , 0, E z,1 , (44)
⃗E (−)
1 = H(−) 1
ωε 1
exp(ik x,1 x) [k z,1 , 0, k x,1 ] , (45)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM
Jawne postacie współrzędnych wektora E. ⃗
Dla x > d
[
]
⃗E (+)
out = E (+) (+)
x,out , 0, E z,out , (46)
⃗E (+)
out = H(+) out
⃗E (−)
exp (−ik x,out (x − d)) [k z,out , 0, −k x,out ] , (47)
ωε out
[
]
⃗E (−)
out = E (−) (−)
x,out , 0, E z,out , (48)
out = E (−)
[
]
1
exp(ik ′
ωε
x,out(x − d)) k z,out, ′ 0, k ′ x,out . (49)
out
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM, warunki ciągłości
Dla x = 0
H (+)
in
+ H (−)
in
= H (+)
1
+ H (−)
1
(50)
E (+)
z,in + E (−)
z,in = E (+)
z,1 + E (−)
z,1 , (51)
H (+)
in
+ H (−)
in
= H (+)
1
+ H (−)
1
k x,in H (+)
1
− k x,inH (−)
1
= k x,1H (+)
1
− k x,1H (−)
1
.
ε in ε in ε 1 ε 1
(52)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM, warunki ciągłości
Dla x = d
H (+)
1
exp(−ik x,1 d) + H (−)
1
exp(ik x,1 d) = H (+)
out ,
E (+)
z,1 + E (−)
z,1 = E (+)
z,out ,
które można przepisać w jawnej postaci
H (+)
1
e −ik x,1d
+ H (−)
1
e ik x,1d
= H (+)
out ,
k x,1 H (+)
1 e −ik x,1d
− k x,1H (−)
1 e ik x,1d
= k x,outH (+)
out
.
ε 1 ε 1 ε out
(53)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM, zapis macierzowy
Macierze brzegowe
⎛
C l = ⎝ 1 1
⎞
⎛ ε l
k x,l
− k x,l
⎠ , C −1
l
= 1 1
⎜ k
⎝ x,l
2
ε l ε
1 − ε l
l
k x,l
⎞
⎟
⎠ . (54)
gdzie l = in, 1, out,
macierze propagacji fali w warstwie
( )
exp(ikx,1 ) 0
P 1 =
, (55)
0 exp(−ik x,1 )
(
P1 −1 exp(−ikx,1 ) 0
=
0 exp(+ik x,1 )
)
. (56)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM, zapis macierzowy
Zapiszemy związki pomiędzy polem elektromagnetycznym na
wejściu (tj. przed warstwą) i na wyjściu (tj. poza warstwą)
( ) ( )
H (+)
C
in
H (+)
in
H (−) = C
1 1
in
H (−) , (57)
1
( )
)
C 1 · P (−1)
1
H (+)
1
H (−)
1
= C out
(
H (+)
out
H (−)
out
, (58)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM, zapis macierzowy
Zapiszemy otrzymane równania w odmienny sposób
( )
( )
H (+)
in
H (−) = Cin −1 H (+)
1
1
in
H (−)
1
,
( )
)
(
H (+)
in
H (−)
in
H (+)
1
H (−)
)
1
= C −1
in
= P 1 · C −1
1
· C out
(
H (+)
out
H (−)
out
· C 1 · P 1 · C −1
1
· C out
(
H (+)
out
H (−)
out
,
)
. (59)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM, zapis macierzowy
Iloczyny macierzy Cin
−1 · C 1 oraz C1 −1 · C out są typu
C −1
j
· C l = C jl – macierze przejścia z ośrodka j do l.
⎛ ε ⎞ l ⎛
C −1
l
C j = 1 1
⎜ k
⎝ x,l
2 1 − ε ⎟
l ⎠ ⎝ 1 1
⎞
k x,j
− k x,j ⎠ =
ε j ε j
k x,l
ε l
+ k x,j
ε j
2 k x,l
ε l
⎛
⎜
⎝
k x,l
k x,l
ε l
k x,l
ε l
1
− k x,j
ε j
k x,l
ε l
k x,l
ε l
+ k x,j
ε j
1
− k x,j
ε j
+ k x,j
ε j
⎞
. (60)
⎟
⎠
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM, zapis macierzowy
C −1
l
C j = 1
t TM
lj
( 1 r
TM
lj
r TM
lj
1
t TM
lj = t p lj = 2k x,l · ε j
k x,l · ε j + k x,j · ε l
=
r TM
lj
k x,l
ε l
2k x,l
ε l
)
, (61)
+ k = 2
x,j 1 + σ p lj
ε j
= r p
lj = k x,l · ε j − k x,j · ε l
= 1 − σp lj
k x,l · ε j + k x,j · ε l 1 + σ p lj
σ p lj = σTM lj
= k x,j · ε l
k x,l · ε j
=
,
k x,j
ε j
k x,l
. (62)
ε l
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Warstwa dielektryczna — polaryzacja TM, zapis macierzowy
Zwięzły zapis c.d.
Tak więc wzór (59) możemy sprowadzić do
( )
( )
H (+)
in
H (+)
H (−) = C in 1 · P 1 · C
out
1 out
in
H (−) . (63)
out
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Zapis macierzowy — podsumowanie
Wyprowadzono wzory dotyczące propagacji spolaryzowanej
fali płaskiej przez warstwę dielektryka.
Odnotujmy ponownie podobieństwa.
Macierze przejścia
D −1
l
D j = D l.j = 1
t TE
lj
C −1
l
C j = C lj
1
t TM
lj
( 1 r
TE
lj
r TE
lj
1
( 1 r
TM
lj
r TM
lj
1
)
, (64)
)
, (65)
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Zapis macierzowy — podsumowanie
Amplitudowe współczynnikiem Fresnela
t TE
lj =
2k x,l · µ j
k x,l · µ j + k x,j · µ l
= 2
1 + σ s lj
t TM
lj = t p lj = 2k x,l · ε j
k x,l · ε j + k x,j · ε l
=
k x,l
ε l
2k x,l
ε l
+ k = 2
x,j 1 + σ p lj
ε j
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Zapis macierzowy — podsumowanie
Amplitudowe współczynnikiem Fresnela
r TE
lj
= k x,l · µ j − k x,j · µ l
k x,l · µ j + k x,j · µ l
= 1 − σs lj
1 + σ s lj
r TM
lj
= r p
lj = k x,l · ε j − k x,j · ε l
= 1 − σp lj
k x,l · ε j + k x,j · ε l 1 + σ p lj
,
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Zapis macierzowy — podsumowanie
σ TE
lj
= σ s lj = k x,j · µ l
k x,l · µ j
.
σ p lj = σTM lj
= k x,j · ε l
k x,l · ε j
=
k x,j
ε j
.
k x,l
ε l
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”

Zapis macierzowy — podsumowanie
Wyprowadzone wzory są bardzo podobne.
Zamiana µ 1 ↔ ε 1
µ 2 ↔ ε 2
pozwala z jednych otrzymać drugie.
Włodzimierz Salejda
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”