数学并非你想象的那么战无不胜

Mathematicians' Essay
数 学 家 随 笔
数 学 并 非 你 想 象 的 那 么 战 无 不 胜
曹 广 福
人 们 习 惯 于 “ 王 婆 卖 瓜 ”,
数 学 工 作 者 自 然 也 难 免 俗 , 倘 若
其 他 专 业 的 人 士 夸 奖 自 己 从 事 的
领 域 , 无 疑 更 是 一 件 无 尚 荣 光 的
事 。 任 何 一 门 学 科 都 有 值 得 欣 赏
的 地 方 , 很 难 想 象 , 一 门 科 学 如
果 不 能 在 某 个 方 面 改 变 世 界 或 者
推 动 人 类 文 明 的 发 展 , 它 还 能 称
之 为 科 学 。 数 学 之 所 以 得 到 很 多
人 的 推 崇 , 一 个 很 重 要 的 原 因 是
它 与 自 然 科 学 、 社 会 科 学 的 几 乎
每 一 个 领 域 都 休 戚 相 关 。 毋 庸 置
疑 , 没 有 数 学 就 不 可 能 有 今 天 的
人 类 文 明 。 不 过 凡 事 不 可 以 绝 对
化 , 任 何 人 的 话 都 不 是 绝 对 的 真
理 , 伟 人 的 话 也 是 如 此 。
人 们 往 往 强 调 了 数 学 在 科 学 研 究 中 的 作 用 , 却 忽 略
了 数 学 软 弱 无 力 甚 至 逻 辑 错 乱 的 一 面 。 事 实 上 , 虽 然 数 学
的 发 展 日 新 月 异 , 学 科 分 支 五 花 八 门 , 但 真 正 可 以 解 决 问
题 的 数 学 为 数 不 多 。 很 多 人 高 谈 阔 论 数 学 之 有 用 , 其 实 他
们 仍 然 沉 浸 在 数 百 年 前 的 数 学 中 , 对 近 现 代 数 学 所 知 有
限 。 法 国 布 尔 巴 基 学 派 的 领 袖 人 物 丢 东 尼 曾 经 大 肆 抨 击 近
代 数 学 研 究 的 某 些 倾 向 :“ 许 多 数 学 家 在 数 学 王 国 的 一 角
占 据 了 一 席 之 地 , 并 且 不 愿 意 离 开 。 他 们 不 仅 差 不 多 完 全
忽 略 了 与 他 们 的 专 业 领 域 无 关 的 东 西 , 而 且 不 能 理 解 他 们
的 同 事 在 远 离 他 们 的 另 一 个 角 落 使 用 的 语 言 和 术 语 。 即 使
是 受 过 最 广 博 的 训 练 的 人 在 浩 瀚 的 数 学 王 国 的 某 些 领 域 中
也 感 到 迷 茫 , 像 庞 加 莱 和 希 尔 伯 特 这 样 的 人 , 几 乎 在 每 个
领 域 都 留 下 他 们 天 才 的 印 迹 , 甚 至 在 最 伟 大 的 成 功 者 中 也
是 少 而 又 少 的 极 其 伟 大 的 例 外 。”
“ 数 学 是 什 么 ” 是 一 个 纯 粹 的 哲 学 问 题 , 对 他 的 解 答
众 说 纷 纭 , 迄 今 并 没 有 什 么 标 准 答 案 , 也 许 永 远 也 不 可 能
有 标 准 答 案 , 我 倒 是 倾 向 于 柯 朗 的 一 段 名 言 :“‘ 数 学 是 什
么 ?’ 这 个 问 题 , 不 能 通 过 哲 学 概 括 、 语 意 学 定 义 或 者 新
闻 工 作 者 所 特 有 的 迂 回 说 法 来
做 出 令 人 满 意 的 回 答 。”
有 一 种 有 趣 的 现 象 , 尽 力
鼓 吹 数 学 万 能 的 人 往 往 是 那 些
对 数 学 了 解 不 多 的 人 , 或 许 真
的 像 人 们 说 的 那 样 :“ 学 得 越
多 , 越 知 道 自 己 无 知 。” 我 知
道 的 数 学 不 算 多 , 也 知 道 数 学
对 很 多 学 科 有 用 , 不 过 我 最 关
心 的 是 它 到 底 有 什 么 用 ? 它 在
自 然 科 学 研 究 中 到 底 充 当 了 什
么 角 色 ? 人 们 对 数 学 的 认 识 伴
随 着 数 学 的 发 展 在 不 断 变 化 。
曾 几 何 时 , 人 们 判 断 数 学 好 坏
的 重 要 标 准 是 :“ 它 有 什 么 用 ?” 即 使 是 一 个 响 当 当 的 大
定 理 , 我 们 也 需 要 问 一 问 这 个 问 题 。 可 按 照 这 个 标 准 , 很
多 数 学 大 有 被 扫 进 垃 圾 堆 之 虞 。 更 重 要 的 是 , 今 天 看 起 来
没 用 的 数 学 也 许 明 天 就 能 挽 救 世 界 。 在 数 论 、 代 数 几 何 应
用 于 密 码 领 域 之 前 , 谁 能 知 道 它 对 现 实 社 会 可 以 产 生 什 么
样 的 影 响 ? 于 是 人 们 开 始 改 变 好 数 学 与 坏 数 学 的 评 价 标
准 :“ 有 用 的 或 者 能 给 人 带 来 美 感 的 数 学 就 是 好 的 数 学 。”
标 准 的 改 变 既 挽 救 了 一 些 学 科 , 也 让 很 多 人 保 住 了 “ 饭
碗 ”。 不 过 “ 数 学 能 干 什 么 ” 依 然 是 大 家 最 关 心 的 问 题 。
即 使 你 从 事 的 数 学 研 究 与 自 然 科 学 没 有 直 接 的 联 系 , 至 少
你 要 找 出 它 与 数 学 其 它 分 支 的 内 在 关 系 , 否 则 难 免 授 人 以
“ 闭 门 造 车 ” 之 口 实 。
要 列 举 数 学 的 丰 功 伟 绩 实 在 太 容 易 了 , 任 何 人 都 可
以 如 数 家 珍 般 列 出 一 长 串 , 远 的 不 说 , 仅 最 近 几 届 诺 贝 尔
经 济 学 奖 的 工 作 就 足 以 说 明 数 学 之 伟 大 , 更 不 用 说 物 理
学 、 化 学 等 理 学 分 支 与 数 学 的 深 刻 关 系 了 。 但 我 们 在 为 数
学 高 唱 赞 歌 之 时 更 应 该 清 楚 另 一 个 问 题 :“ 数 学 , 它 不 仅
是 很 不 完 善 的 , 有 些 还 是 相 互 矛 盾 的 。” 数 学 也 不 像 人 们
想 象 的 那 样 无 所 不 能 , 我 相 信 差 不 多 在 每 个 领 域 都 可 以 找
数 学 文 化 / 第 4 卷 第 2 期 103

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能 像 人 们 期 望 的 那 样 无 所 不 能 。 毕 竟 世 界 未 必 真 的 是 上 帝
按 数 学 方 法 创 造 出 来 的 。 数 学 的 尴 尬 之 处 在 于 :1、 它 自
身 并 不 完 善 , 有 些 甚 至 相 互 矛 盾 ;2、 它 永 远 是 物 理 世 界
的 近 似 而 非 精 确 描 述 ;3、 很 多 物 理 世 界 中 的 现 象 很 难 甚
至 不 能 用 数 学 来 描 述 。
要 了 解 数 学 的 本 质 不 是 一 件 简 单 的 事 , 至 少 目 前 很
难 有 一 个 恰 如 其 分 的 答 案 , 如 果 我 们 无 条 件 地 把 数 学 知 识
奉 为 解 决 一 切 问 题 的 法 宝 , 甘 当 数 学 知 识 的 奴 隶 , 恰 恰 可
能 囿 于 传 统 的 数 学 思 维 , 最 终 失 去 了 原 本 拥 有 的 创 造 力 。
如 此 说 来 , 数 学 不 重 要 了 ? 我 们 不 需 要 学 好 数 学 了 ?
非 也 , 数 学 当 然 重 要 , 因 为 它 是 解 决 问 题 的 钥 匙 , 根 本 问
题 在 于 :“ 什 么 叫 学 好 数 学 ?” 如 果 我 们 拘 泥 于 已 有 的 数
学 知 识 , 也 许 永 远 一 事 无 成 。 从 这 个 意 义 上 说 , 所 谓 学 好
数 学 不 在 于 你 掌 握 了 多 少 数 学 知 识 , 而 在 于 你 是 否 掌 握 了
数 学 的 思 维 方 法 。 事 实 上 , 很 多 问 题 的 解 决 虽 然 运 用 了 数 学 ,
但 绝 不 是 简 单 的 数 学 知 识 的 应 用 , 而 是 在 已 有 数 学 知 识 基 础
之 上 的 再 创 造 。
人 有 优 缺 点 , 知 识 也 有 正 反 两 方 面 , 只 有 以 批 判 的 眼
光 对 其 有 了 全 面 的 认 识 才 能 真 正 理 解 并 很 好 地 运 用 它 , 否 则
很 容 易 成 为 知 识 的 奴 隶 。
出 数 学 无 能 为 力 的 问 题 来 。 有 人 可 能 会 质 疑 这 一 观 点 :“ 现
在 解 决 不 了 不 等 于 将 来 解 决 不 了 , 也 许 数 学 还 没 发 展 到 那
个 程 度 。” 不 排 除 这 种 可 能 , 然 而 我 们 不 要 忽 视 一 个 至 关
重 要 的 问 题 , 自 然 界 有 很 多 东 西 本 身 是 不 确 定 的 , 而 我 们
的 数 学 大 多 是 研 究 确 定 性 问 题 的 。 举 个 例 子 , 很 多 研 究 中
都 需 要 解 决 一 个 重 要 问 题 :“ 风 险 ”, 如 何 度 量 风 险 ? 这 是
个 大 难 题 , 没 有 任 何 有 效 的 数 学 工 具 可 以 解 决 这 个 问 题 。
克 莱 因 写 过 一 本 书 《 数 学 : 确 定 性 的 丧 失 》, 这 本 书
颠 覆 了 数 学 乃 绝 对 真 理 、 是 物 质 世 界 不 可 动 摇 的 知 识 体 系
的 神 话 , 值 得 一 读 。 从 这 本 书 中 我 们 可 以 看 到 , 数 学 的 发
展 常 常 是 不 符 合 逻 辑 的 , 然 而 正 是 这 种 不 合 逻 辑 才 使 得 数
学 得 以 顺 利 发 展 。 以 微 积 分 为 例 , 如 果 牛 顿 研 究 天 体 物 理
时 早 就 知 道 连 续 函 数 未 必 可 导 , 微 积 分 也 许 就 不 会 产 生 。
读 完 这 本 书 可 以 让 我 们 认 识 到 :“ 数 学 的 确 是 有 用 的 , 而
且 它 在 自 然 科 学 研 究 中 的 有 效 性 会 随 着 研 究 不 断 扩 大 , 但
数 学 也 只 是 相 对 真 理 , 甚 至 它 的 基 础 还 是 不 确 定 的 。”
数 学 在 社 会 科 学 、 自 然 科 学 中 的 作 用 已 被 无 数 的 事
实 证 明 , 但 我 们 同 时 应 该 了 解 , 数 学 是 很 不 完 美 的 , 它 的
发 展 过 程 并 不 像 教 科 书 中 描 述 的 那 样 逻 辑 井 然 , 它 也 不 可
作 者 简 介 : 曹 广 福 , 吉 林 大 学 数 学 博 士 , 广 州 大 学 数
学 院 教 授 、 院 长 ,2003 年 获 首 届 全 国 高 校 教 学 名 师 。
数 学 文 化 / 第 4 卷 第 2 期 104