MATEMATIKA 2

MATEMATIKA 2
2011./2012.

1
MATEMATIKA 2 1
MATEMATIKA 2 2
MATEMATIKA 2 3
MATEMATIKA 2 4

2
y
y
ρ
O
0 1
ϕ
T=(ϕ,ρ)
x
x
MATEMATIKA 2 5
MATEMATIKA 2 6
z
z T''
x
x
1
O
ϕ
ρ
T=(ϕ,ρ,z)
T'=(ϕ,ρ)
y
y
Π
z
z
z0 T''
0
z0=z0
ravnina
T0=(ϕ0,ρ0,z0)
ρ=ρ0
cilindar
y
x
ρ0
ϕ0
T0'
ϕ=ϕ0
poluravnina
MATEMATIKA 2 7
MATEMATIKA 2 8

3
x
x
z
z T''
k
O
i ϕ
1
θ
ρ
r
T=(ϕ,θ,r)
T'=(ϕ,ρ)
y
Π
y
MATEMATIKA 2 9
MATEMATIKA 2 10
z
T0
θ0
ϕ=ϕ0
poluravnina
θ=θ0
sto ac
x
ϕ0
y
r=r0
sfera
MATEMATIKA 2 11
MATEMATIKA 2 12

4
x
z
O
T1
r1
n0
r
T
y
MATEMATIKA 2 13
MATEMATIKA 2 14
x
z
y
MATEMATIKA 2 15
MATEMATIKA 2 16

5
z
z
x
(a)
y
x
(b)
y
x
z
(a)
y
x
(b)
z
y
MATEMATIKA 2 17
MATEMATIKA 2 18
z
z
z
z
x
y
x
y
x
y
x
y
MATEMATIKA 2 19
MATEMATIKA 2 20

6
x
z
z=2-x 2 -y 2
z= x 2 +y 2
y
MATEMATIKA 2 21
MATEMATIKA 2 22
MATEMATIKA 2 23
MATEMATIKA 2 24

7
MATEMATIKA 2 25
MATEMATIKA 2 26
y
2
0
2
x
MATEMATIKA 2 27
MATEMATIKA 2 28

8
z
z=z0
z0=f(x,y)
z= x 2 +y 2
z
x
z=f(x,y)
y
z=1
x
x 2 +y 2 =1, z=1
y
MATEMATIKA 2 29
MATEMATIKA 2 30
z
x
y
K(T0,ε)
K(T0,ε)
K(T0,ε)
MATEMATIKA 2 31
MATEMATIKA 2 32

9
y
0
otvoren skup
neotvoren skup
MATEMATIKA 2 33
x
MATEMATIKA 2 34
-2
0
2
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
-2
0
2
MATEMATIKA 2 35
MATEMATIKA 2 36

1
0 . 5
0
- 2
- 2
0
2
0
2
10
-4
4
0.4
0.2
-2
-2
z 0.0
0 0
-0.2
y2
-0.4
2x
-4
-4
0.4
4
-4
0.2
-2
2
z 0.0
0 0
-0.2
x-2 -0.4
2y
4
4
MATEMATIKA 2 37
MATEMATIKA 2 38
MATEMATIKA 2 39
MATEMATIKA 2 40

11
MATEMATIKA 2 41
MATEMATIKA 2 42
z
f1(x0)=f(x0,y0)
z=f(x0,y)=f2(y)
z=f(x,y)
z=f(x,y0)=f1(x)
x
D T=(x0,y0)
Dx 0
Dy 0
y
MATEMATIKA 2 43
MATEMATIKA 2 44

12
MATEMATIKA 2 45
MATEMATIKA 2 46
z
t x0
ty
0
Γ 2
(x 0,y 0)
Γ1
z=f(x,y)
x
α
y
β
MATEMATIKA 2 47
MATEMATIKA 2 48

13
MATEMATIKA 2 49
MATEMATIKA 2 50
MATEMATIKA 2 51
MATEMATIKA 2 52

14
MATEMATIKA 2 53
MATEMATIKA 2 54
x
z
α
tx 0
Γ2
(x0,y0)
ty 0
Γ1
z=f(x,y)
y
β
MATEMATIKA 2 55
MATEMATIKA 2 56

15
z
tx 0
Γ2
ty 0
Γ1
z=f(x,y)
x
α
(x 0,y 0)
y
β
MATEMATIKA 2 57
MATEMATIKA 2 58
MATEMATIKA 2 59
MATEMATIKA 2 60

16
MATEMATIKA 2 61
MATEMATIKA 2 62
MATEMATIKA 2 63
MATEMATIKA 2 64

17
z
x
x
(x,y)
y
df(x,y)
(x+dx,y+dy)
Δf(x,y)
y
MATEMATIKA 2 65
MATEMATIKA 2 66
MATEMATIKA 2 67
MATEMATIKA 2 68

18
MATEMATIKA 2 69
MATEMATIKA 2 70
MATEMATIKA 2 71
MATEMATIKA 2 72

19
u
x
z
vu
y
v
MATEMATIKA 2 73
MATEMATIKA 2 74
u
x
v u
y
w
v u
z
vu
u
t
v
x
y
z
r
s t r s t r
s
t
MATEMATIKA 2 75
MATEMATIKA 2 76

20
MATEMATIKA 2 77
MATEMATIKA 2 78
MATEMATIKA 2 79
MATEMATIKA 2 80

21
MATEMATIKA 2 81
MATEMATIKA 2 82
MATEMATIKA 2 83
MATEMATIKA 2 84

22
MATEMATIKA 2 85
MATEMATIKA 2 86
MATEMATIKA 2 87
MATEMATIKA 2 88

23
MATEMATIKA 2 89
MATEMATIKA 2 90
MATEMATIKA 2 91
MATEMATIKA 2 92

24
MATEMATIKA 2 93
MATEMATIKA 2 94
MATEMATIKA 2 95
MATEMATIKA 2 96

25
MATEMATIKA 2 97
MATEMATIKA 2 98
MATEMATIKA 2 99
MATEMATIKA 2 100

26
MATEMATIKA 2 101
b
x
a
z
c
z=f(x,y)
MATEMATIKA 2 102
d
y
x
b
xi
xi-1
a
z
Kij
c
(x*,y*) i j
z=f(x,y)
yj-1
yj
d
y
x
b
a
z
c
z=f(x,y)
d y
x
b
z
z=f(x,y)
d
y
MATEMATIKA 2 103
MATEMATIKA 2 104

27
MATEMATIKA 2 105
MATEMATIKA 2 106
MATEMATIKA 2 107
MATEMATIKA 2 108

28
z
z=f(x,y)
z
z=f(x,y)
d y
d y
x
b
x
b
Vi
(a)
Vj
(b)
MATEMATIKA 2 109
MATEMATIKA 2 110
b
x
z
(a)
z=f(x,y)
Vi
d y
b
x
z
Vj
(b)
z=f(x,y)
d y
MATEMATIKA 2 111
MATEMATIKA 2 112

29
x b
K
z
0
a
0
c
D
z=f(x,y)
-1
d y
MATEMATIKA 2 113
MATEMATIKA 2 114
y
a
y=ϕ 2 (x)
D
y=ϕ 1 (x)
(a)
x
b
y
d
c
x=ψ 1(y)
D
(b)
x=ψ 2(y)
x
MATEMATIKA 2 115
MATEMATIKA 2 116

30
y
2
y=2-x
D2
1
D1
y=x
1
x
MATEMATIKA 2 117
MATEMATIKA 2 118
v
Y
(u,v)
u
Φ
y
X
Φ (u,v)=(x=g(u,v),y=h(u,v))
MATEMATIKA 2 119
x
v
1
D
C
Y
0 A 1
B
u
1_
x= 4 y 2 -1
C'
y
2
_
X
x=1-
4_ 1 y 2
B'
-1 D' 0 A' 1
MATEMATIKA 2 120
x

31
v
u 0
+Δv
S
Δv
y
Δvr v'
b
R
v 0
(u 0,v 0)
Δu
y 0
a
Δuru'
u 0
u
u 0
+Δu
x 0
x
MATEMATIKA 2 121
MATEMATIKA 2 122
MATEMATIKA 2 123
MATEMATIKA 2 124

32
MATEMATIKA 2 125
v
vj
Y
uj
Sij
u
y
yj
X
MATEMATIKA 2 126
Rij
xj
x
MATEMATIKA 2 127
MATEMATIKA 2 128

33
y
X
dP
ρdϕ
ρ
dϕ
ρ1(ϕ)
ϕ
ρ2(ϕ)
ρ+dρ
dρ
x
MATEMATIKA 2 129
MATEMATIKA 2 130
y
y= x-x 2
ρ
1
X
ρ= cosϕ
x
Y
0 1 0
ρ=cosϕ
π
2
ϕ
MATEMATIKA 2 131
MATEMATIKA 2 132

34
MATEMATIKA 2 133
MATEMATIKA 2 134
B
y
1
-3
O
ρ
1
= 2sinϕ
ρ=1
A x
ϕ 5
ϕB
ϕA
polarna os
MATEMATIKA 2 135
MATEMATIKA 2 136

35
MATEMATIKA 2 137
MATEMATIKA 2 138
MATEMATIKA 2 139
MATEMATIKA 2 140

36
S1
S4
S3
S2
MATEMATIKA 2 141
MATEMATIKA 2 142
x
y
D
S
z
MATEMATIKA 2 143
MATEMATIKA 2 144

37
MATEMATIKA 2 145
MATEMATIKA 2 146
z
D
z=g2(x,y)
a< _ x

38
z
D
z=g2(x,y)
c< _ y

39
MATEMATIKA 2 153
MATEMATIKA 2 154
MATEMATIKA 2 155
MATEMATIKA 2 156

40
MATEMATIKA 2 157
MATEMATIKA 2 158
MATEMATIKA 2 159
MATEMATIKA 2 160

41
MATEMATIKA 2 161
MATEMATIKA 2 162
MATEMATIKA 2 163
MATEMATIKA 2 164

42
MATEMATIKA 2 165
MATEMATIKA 2 166
MATEMATIKA 2 167
MATEMATIKA 2 168

43
MATEMATIKA 2 169
MATEMATIKA 2 170
MATEMATIKA 2 171
MATEMATIKA 2 172

44
MATEMATIKA 2 173
MATEMATIKA 2 174
MATEMATIKA 2 175
MATEMATIKA 2 176

45
Definicija 3.11. Za krivulju
Γ ... −→ r (t) =x (t) −→ i + y (t) −→ j +z (t) −→ k, t∈ [a, b] ,
kažemo da je jednostavna glatka krivulja ili
Jordanov luk ako vrijedi:
1. −→ r :[a, b] −→ Γ je bijekcija, tj. surjekcija i injekcija
( t 1 ≠ t 2 ⇒ −→ r 1 (t) ≠ −→ r 2 (t) ).
2. Derivacija −→ r ′ (t) postoji i neprekidna je za svako
t ∈ [a, b] , tj. −→ r je klase C 1 (krivulja Γ je glatka) .
3. −→ r ′ (t) ≠ −→ 0 , za svako t ∈ [a, b] .
Točke A =(x (a) ,y(a) ,z(a)) i B =(x (b) ,y(b) ,z(b))
zovemo rubne točke krivulje Γ.
Ako je A = B tj.
−→ r (a) =
−→ r (b) , onda krivulju
zovemo zatvorenom krivuljom.
z
a
t
b
r(a)
x
r(t)
r(t)
r(b)
r '(t)
y
MATEMATIKA 2 177
MATEMATIKA 2 178
r(b)
r(t 1)
r(t 2)
Γ 1
Γ 2
Γ 3
Krivulja Γ je po dijelovima Jordanov luk (po dijelovima
jednostavna glatka krivulja) ako se sastoji
od Jordanovih lukova koji se nastavljaju jedan na
drugi i nema presjecanja. Dakle postoji skup točaka
A, T 1 ,T 2 , ...T n ,B na krivulji Γ takav da su lukovi:
ÂT 1 , ̂T 1 T 2 ,...,̂T n B Jordanovi lukovi.
Primjer. Provjerite da li je krivulja
−→ r (t) =(a cos t)
−→ i +(a sin t)
−→ j +(bt)
−→ k, t∈ [0, 2π]
Jordanov luk.
MATEMATIKA 2 180
MATEMATIKA 2 179

46
MATEMATIKA 2 181
MATEMATIKA 2 182
MATEMATIKA 2 183
MATEMATIKA 2 184

47
MATEMATIKA 2 185
MATEMATIKA 2 186
MATEMATIKA 2 187
MATEMATIKA 2 188

48
MATEMATIKA 2 189
MATEMATIKA 2 190
MATEMATIKA 2 191
MATEMATIKA 2 192

49
MATEMATIKA 2 193
MATEMATIKA 2 194
MATEMATIKA 2 195
MATEMATIKA 2 196

50
MATEMATIKA 2 197
MATEMATIKA 2 198
MATEMATIKA 2 199
MATEMATIKA 2 200

51
MATEMATIKA 2 201
MATEMATIKA 2 202
MATEMATIKA 2 203
MATEMATIKA 2 204

52
MATEMATIKA 2 205
MATEMATIKA 2 206
MATEMATIKA 2 207
MATEMATIKA 2 208

53
MATEMATIKA 2 209
MATEMATIKA 2 210
MATEMATIKA 2 211
MATEMATIKA 2 212

54
MATEMATIKA 2 213
MATEMATIKA 2 214
MATEMATIKA 2 215
MATEMATIKA 2 216

55
MATEMATIKA 2 217
MATEMATIKA 2 218
MATEMATIKA 2 219
MATEMATIKA 2 220

56
MATEMATIKA 2 221
MATEMATIKA 2 222
MATEMATIKA 2 223
MATEMATIKA 2 224

57
MATEMATIKA 2 225
MATEMATIKA 2 226
MATEMATIKA 2 227
MATEMATIKA 2 228

58
MATEMATIKA 2 229
MATEMATIKA 2 230
Ova posljednja oznaka ima smisla jer za diferencijal
d elementa luka krivulje vrijedi
d = k 0 ()k d
ds
r'(t) dt
Naime, ako su 0 bliske točke na luku krivulje
s radijvektorima ( 0 ) i ( 0 + ) redom, pri
čemu je dovoljno malen, onda duljinu dijela
krivulje (luka) izme ¯du 0 i možemo aproksimirati
sa ( 0 ) Dakle imamo
( 0 )=k ( 0 + ) ( 0 )k k 0 ( 0 )k
Napomena 1. Krivuljni integral prve vrste možemo
interpretirati kao masu krivulje po kojoj je gustoća
promjenjiva (nehomogene tanke žice). Ako skalarno
polje predstavlja linijsku gustoću žice, onda djelić
žice duljine ima masu
( ) .
MATEMATIKA 2 231
MATEMATIKA 2 232

59
MATEMATIKA 2 233
MATEMATIKA 2 234
MATEMATIKA 2 235
MATEMATIKA 2 236

60
MATEMATIKA 2 237
MATEMATIKA 2 238
Pritom u slučaju ravninske krivulje R 2
dobivamo 0 , pajetada
Z Z
d = ( ()) · p1+ 0 () 2 d
Primjer 2. Izračunajte R
d ako je ( ) = 3
i krivulja koja je presjek ploha
= 2 + 2 =1 ( 0)
z
1
y
x
= 2 + 2
=1
¾
½
=cos
= 2 + 2 =1= 1
=sin
= cos
= = sin
=1
[0]
MATEMATIKA 2 240
MATEMATIKA 2 239

61
Y
(0,1)
y =-x+1
O
y=-x 2 +1
(1,0)
X
MATEMATIKA 2 241
MATEMATIKA 2 242
r(b)
2
Ako je krivulja po dijelovima glatka, njezine sastavne
glatke krivulje 1 ··· dopuštaju po dvije
orijentacije.
r(t1)
• Reći ćemo da je orijentirana čim su 1 ···
sukladno orijentirane, tj. kraj od jest početak od
+1 , =1 ··· 1.
1
r(a)
Ako je zatvorena po dijelovima glatka krivulja
imamo negativnu i pozitivnu orijentaciju, tj.
orijentaciju sukladnu gibanju satne kazaljke i
orijentaciju suprotnu gibanju satne kazaljke.
• Orijentiranu krivulju označavat ćemo sa y .
• U posebnom slučaju zatvorene ravninske krivulje,
y
će označavati njezinu negativnu orijentaciju, a
x
pozitivnu.
MATEMATIKA 2 244
MATEMATIKA 2 243

62
MATEMATIKA 2 245
MATEMATIKA 2 246
MATEMATIKA 2 247
MATEMATIKA 2 248

63
MATEMATIKA 2 249
MATEMATIKA 2 250
Primjer 6. Izračunajmo cirkulaciju ravninskoga
vektorskog polja
( ) ={ }
) po središnjoj kružnici y polumjera (orijentiranoj
po volji);
) po rubu x pozitivno orijentiranog trokuta s vrhovima
=(2 0), =(1 1) i =(0 0).
y
c
O
=
c
(a)
x
y
1
O
3
(1,1)
1
(b)
2
1 x
(2,0)
) Ovdje je y zadana parametrizacijom = cos ,
= sin , [0 2], paje
=
Z 2
0
Iy
·
=
I
y
+ =
[ cos · ( sin )+ cos · sin · cos ] =
Z 2
2 (cos cos 2 )( sin ) = ···=0;
0
MATEMATIKA 2 252
MATEMATIKA 2 251

64
MATEMATIKA 2 253
MATEMATIKA 2 254
MATEMATIKA 2 255
MATEMATIKA 2 256

65
Primjer 7. Izračunajmo cirkulaciju
I
x
2( 2 + 2 ) +( + ) 2
po pozitivno orijentiranom rubu 4 x
x trokuta
4, =(1 1), =(2 2), =(1 3).
Y
3
2
1
O
2
B
3
1
A
C
1 2
Primijenit ćemo Greenovu formulu na
( ) =2( 2 + 2 ) i ( ) =( + ) 2
I
2( 2 + 2 ) +( + ) 2 =
x
X
ZZ μ
( ) ( )
=
)
ZZ
Z 2
μZ +4
= (2 2) =2
( ) = ···= 4 3
1
MATEMATIKA 2 258
MATEMATIKA 2 257
MATEMATIKA 2 259
MATEMATIKA 2 260

66
MATEMATIKA 2 261
MATEMATIKA 2 262
MATEMATIKA 2 263
MATEMATIKA 2 264

67
MATEMATIKA 2 265
MATEMATIKA 2 266
MATEMATIKA 2 267
MATEMATIKA 2 268

68
MATEMATIKA 2 269
MATEMATIKA 2 270
MATEMATIKA 2 271
MATEMATIKA 2 272

69
MATEMATIKA 2 273
MATEMATIKA 2 274
MATEMATIKA 2 275
MATEMATIKA 2 276

70
MATEMATIKA 2 277
MATEMATIKA 2 278
S 3
S 3
S 2
S 2 S 1
S 4
S 1
MATEMATIKA 2 279
MATEMATIKA 2 280

71
Z
1
X
1
Y
MATEMATIKA 2 281
MATEMATIKA 2 282
MATEMATIKA 2 283
MATEMATIKA 2 284

72
MATEMATIKA 2 285
MATEMATIKA 2 286
2.slika
Primjer neorijentabilne plohe je Möbiusova vrpca.
Promatrajmo pravokutnik pa mu zalijepimo
stranicu sa stranicom itotakodasmo
"preokrenuli" i identificirali s i s . Dobitćemo
plohu, tzv. Möbiusovu vrpcu.
Pokažimo da Möbiusova vrpca nije orijentabilna ploha!
• Odaberimobilokojunjezinutočku 0 i u njoj normalni
vektor 0 pa ”krenimo kroz njezine normalne
vektore u kontinuirani obilazak” po naznačenoj
(crtkanoj) jednostavno zatvorenoj krivulji.
• Vrativši se u polaznu točku 0 pojavit će se normalni
vektor 0 . Primijetimo da pritom nismo napuštali
”odabranu stranu” te plohe (tj. nismo prelazili preko
ruba),anakraju-početku smo se našli na ”drugoj
strani”. To, zapravo, znači da Möbiusova vrpca ima
samo jednu stranu.
(a)
(b)
MATEMATIKA 2 288
MATEMATIKA 2 287

73
MATEMATIKA 2 289
MATEMATIKA 2 290
MATEMATIKA 2 291
MATEMATIKA 2 292

74
X
a
Z
O
a
Y
+
- (n 0) 2
S 2 =S 2
+
S 1 = S 1
(n 0) 1
MATEMATIKA 2 293
MATEMATIKA 2 294
MATEMATIKA 2 295
MATEMATIKA 2 296

75
MATEMATIKA 2 297
MATEMATIKA 2 298
MATEMATIKA 2 299
MATEMATIKA 2 300

76
MATEMATIKA 2 301
MATEMATIKA 2 302
MATEMATIKA 2 303
MATEMATIKA 2 304

77
MATEMATIKA 2 305
MATEMATIKA 2 306
MATEMATIKA 2 307
MATEMATIKA 2 308

78
MATEMATIKA 2 309
MATEMATIKA 2 310
MATEMATIKA 2 311
MATEMATIKA 2 312

79
MATEMATIKA 2 313
MATEMATIKA 2 314
MATEMATIKA 2 315
MATEMATIKA 2 316

80
MATEMATIKA 2 317
MATEMATIKA 2 318
MATEMATIKA 2 319
MATEMATIKA 2 320

81
MATEMATIKA 2 321
MATEMATIKA 2 322
MATEMATIKA 2 323
MATEMATIKA 2 324

82
2
-4 -2 2 4
-2
MATEMATIKA 2 325
MATEMATIKA 2 326
MATEMATIKA 2 327
MATEMATIKA 2 328

83
y
y0
0 t
0
k>0 kK, k>0
t
MATEMATIKA 2 331
MATEMATIKA 2 332

84
MATEMATIKA 2 333
MATEMATIKA 2 334
MATEMATIKA 2 335
MATEMATIKA 2 336

85
MATEMATIKA 2 337
MATEMATIKA 2 338
MATEMATIKA 2 339
MATEMATIKA 2 340

86
MATEMATIKA 2 341
MATEMATIKA 2 342
MATEMATIKA 2 343
MATEMATIKA 2 344

87
MATEMATIKA 2 345
MATEMATIKA 2 346
MATEMATIKA 2 347
MATEMATIKA 2 348

88
y
10
f1
2
0
1
f0
f-5
x
f-5
f1
MATEMATIKA 2 349
MATEMATIKA 2 350
MATEMATIKA 2 351
MATEMATIKA 2 352

89
MATEMATIKA 2 353
MATEMATIKA 2 354
MATEMATIKA 2 355
MATEMATIKA 2 356

90
MATEMATIKA 2 357
MATEMATIKA 2 358
MATEMATIKA 2 359
MATEMATIKA 2 360

91
MATEMATIKA 2 361
MATEMATIKA 2 362
MATEMATIKA 2 363
MATEMATIKA 2 364

92
MATEMATIKA 2 365
MATEMATIKA 2 366
MATEMATIKA 2 367
MATEMATIKA 2 368

93
MATEMATIKA 2 369
MATEMATIKA 2 370
MATEMATIKA 2 371
MATEMATIKA 2 372

94
MATEMATIKA 2 373
MATEMATIKA 2 374
MATEMATIKA 2 375
MATEMATIKA 2 376

95
MATEMATIKA 2 377
MATEMATIKA 2 378
MATEMATIKA 2 379
MATEMATIKA 2 380

96
MATEMATIKA 2 381
MATEMATIKA 2 382
MATEMATIKA 2 383
MATEMATIKA 2 384

97
MATEMATIKA 2 385
MATEMATIKA 2 386
MATEMATIKA 2 387
MATEMATIKA 2 388

98
MATEMATIKA 2 389
MATEMATIKA 2 390
MATEMATIKA 2 391
MATEMATIKA 2 392

99
MATEMATIKA 2 393
MATEMATIKA 2 394
MATEMATIKA 2 395
MATEMATIKA 2 396

100
MATEMATIKA 2 397
MATEMATIKA 2 398
MATEMATIKA 2 399
MATEMATIKA 2 400

101
MATEMATIKA 2 401
MATEMATIKA 2 402
MATEMATIKA 2 403
MATEMATIKA 2 404

102
MATEMATIKA 2 405
MATEMATIKA 2 406
MATEMATIKA 2 407
MATEMATIKA 2 408

103
MATEMATIKA 2 409
MATEMATIKA 2 410
MATEMATIKA 2 411
MATEMATIKA 2 412

104
MATEMATIKA 2 413
MATEMATIKA 2 414
MATEMATIKA 2 415
MATEMATIKA 2 416

105
MATEMATIKA 2 417
MATEMATIKA 2 418
MATEMATIKA 2 419
MATEMATIKA 2 420

106
MATEMATIKA 2 421
MATEMATIKA 2 422
MATEMATIKA 2 423
MATEMATIKA 2 424

107
MATEMATIKA 2 425
MATEMATIKA 2 426
MATEMATIKA 2 427
MATEMATIKA 2 428

108
y
3
1
0
0.5
1
x
y
3
0
1
0.25
0.5
0.75
x
1
MATEMATIKA 2 429
MATEMATIKA 2 430
y
y2
T2
y1
y 0
T0
h
h
hG(x0,y0)
T1
hG(x1,y1)
0
x0 x1 x2
x
MATEMATIKA 2 431