STATIKA KRUTIH TIJELA - Građevinski fakultet

7.3.2012 

GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U MOSTARU 

FACULTY OF CIVIL ENGINEERING UNIVERSITY OF MOSTAR 

Sveučilišni preddiplomski studij građevinarstva - I. godina studija 

II. (ljetni) semestar - akademska 2011./2012. godina 

STATIKA KRUTIH TIJELA 

Asistent: mr.sc. Goran Šunjić 

Predmet: MEHANIKA I 



T E O R I J S K I 

D I O 

STATIKA KRUTIH TIJELA 


1

7.3.2012 



OPĆI POJMOVI 

TEORIJSKI DIO 




1. PREDMET I PODJELA STATIKE 

S T A T I K A 

Znanost o ravnoteži sila koje djeluju na mehanički sustav. 

Razlikujemo: 

- statičku ravnotežu, kad se tijelo na koje djeluju sile nalazi u 

stanju mirovanja. 

- dinamičku ravnotežu, kad se tijelo pod djelovanjem sila 

giba jednoliko i pravocrtno (v = konst). 

ELEMENTARNA (GEOMETRIJSKA) STATIKA 

U njoj j se razmatraju metode svođenja đ ili redukcije zadanog 

sustava sila na jednostavniji oblik. 

Pri rješavanju različitih zadataka služimo se: 

- analitičkim ili 

- geometrijskim metodama. 

OPĆI POJMOVI 


2

7.3.2012 



ANALITIČKA STATIKA 

Zasniva se na principu virtualnih radova koji se ubraja u 

fundamentalne principe mehanike i koji daje opći kriterij 

ravnoteže mehaničkih sustava. 

Prema agregatnom stanju tijela razlikujemo: 

- statiku čvrstih tijela (geostatika ili samo statika), 

- statiku tekućina (hidrostatika) i 

- statiku plinovitih tijela (aerostatika). 

STATIKA ČVRSTIH TIJELA dijeli se na: 

- statiku krutih tijela (stereostatika), 

- statiku elastičnih tijela (elastostatika ili znanost o čvrstoći). 

U novije vrijeme razvija se i 

statika plastičnih tijela (plastostatika). 

OPĆI POJMOVI 




2. AKSIOMI STATIKE 

I. AKSIOM 

Dvije 

sile 

→ 

P 

1 

i 

→ 

P , 

2 

koje 

djeluju 

u 

jednoj 

tocki, 

mogu 

se 

nadomjestiti 

rezultan ta. 

jednom 

silom 

→ 

R 

= 

→ 

P 

1 

+ 

→ 

P , 

2 

koja 

je 

njihova 

Ona je jednaka dijagonali paralelograma, kojeg su stranice 

zadane sile. 

Ovaj aksiom je poznat pod nazivom pravilo paralelograma sile 

koji ujedno izražava princip nezavisnosti djelovanja sila. 

Obratno, svaka se sila može u svom hvatištu rastaviti u dvije 

komponente od kojih jednu možemo izabrati po volji, kako u 

pogledu pravca, tako i u pogledu apsolutne vrijednosti. 

OPĆI POJMOVI 


3

7.3.2012 



II. AKSIOM 

Dvije se sile međusobno poništavaju, ako imaju istu liniju 

djelovanja, jednaku apsolutnu vrijednost, a suprotan smjer, pri 

čemu položaj njihovih hvatišta ne igra nikakvu ulogu. 

Ovaj aksiom vrijedi za sile koje djeluju na kruto tijelo. 

Na temelju ovog aksioma hvatište sile, koja djeluje na kruto tijelo, 

može se slobodno pomicati po liniji njezinog djelovanja bez 

ikakvog utjecaja na stanje gibanja, odnosno mirovanja tijela. 

Takva sila je vektor vezan za liniju. 

III. AKSIOM 

Veze koje ograničavaju slobodu gibanja tijela mogu se zamijeniti 

nekim novim silama, koje treba dodati zadanim silama. 

Te se sile nazivaju reakcijama veza. 

OPĆI POJMOVI 




U slučaju tijela koje se oslanja u jednoj ili više točaka na glatku 

ravninu, reakcije veza djeluju na tijelo u dodirnim točkama u 

pravcima normala na ravninu. 

Osim ravnoteže sila, statika proučava i uvjete ekvivalentnosti sila, 

to jest uvjete pod kojima će dvije različite grupe sila izazvati istu 

promjenu stanja gibanja promatranog tijela. 

U tom slučaju kažemo da su te dvije grupe sila statički ekvivalentne: 

→ 

→ 

→ 

( P, P , K P ) ≡ (Q , Q , K Q ) 

1 2 

n 

1 2 

n 

→ 

→ 

→ 

OPĆI POJMOVI 


4

7.3.2012 



3. PRINCIP SOLIDIFIKACIJE 

Prirodna čvrsta tijela nisu apsolutno čvrsta (kruta) i radi toga se ona 

pod djelovanjem vanjskih sila deformiraju. 

Kad se tako deformirano tijelo nalazi u stanju mirovanja, za vanjske 

sile, koje na njega djeluju, vrijede isti uvjeti ravnoteže kao i za sile 

koje djeluju na kruto tijelo. 

Ako se prirodno čvrsto tijelo nalazi u položaju ravnoteže, ostat će 

ono u ravnoteži i u slučaju kad bi cijelo tijelo ili bilo koji njegov dio 

postao krut. 

To je takozvani princip ukrućivanja ili solidifikacije. 

OPĆI POJMOVI 




4. SILA KAO VEKTOR 

OPĆI POJMOVI 


5

7.3.2012 



OPĆI POJMOVI 




OPĆI POJMOVI 


6

7.3.2012 



OPĆI POJMOVI 




5. STRUKTURNI ELEMENTI STATIČKIH KONSTRUKCIJA 

Statičke konstrukcije s kojima se susrećemo u tehničkoj praksi 

služe uglavnom za prenošenje sila. 

Za tu svrhu dolazi u obzir UŽE, LANAC, ŠTAP itd. 

Bitno obilježje tih elemenata: 

Dimenzije njihovog poprečnog presjeka male su u usporedbi s 

njihovom duljinom. 

Pomoću niti, užeta ili lanca mogu se prenositi samo VLAČNE sile! 

Za prenošenje tlačnih sila služe štapovi, koji osim vlačnih i tlačnih 

sila mogu prenositi i fleksijska opterećenja. 

OPĆI POJMOVI 


7

7.3.2012 



OPĆI POJMOVI 




6. VEZE I NJIHOVE REAKCIJE 

V E Z E 

Mehanički ili fizički uređaji koji ograničavaju slobodu gibanja 

materijalne točke ili sustava materijalnih točaka. 

Razlikujemo: - geometrijske veze 

ograničavaju samo mogućnost promjene 

položaja sustava u prostoru. 

- kinematičke veze 

postavljaju ograničenje i na kinematičke 

elemente (npr. brzinu) promatranog sustava. 

Postojana veza 

Ako se točka ili tijelo ne može od veze odvojiti. 

(Npr. prsten na konopcu) 

OPĆI POJMOVI 


8

7.3.2012 



Nepostojana veza 

Ako postoji mogućnost da se točka ili tijelo pri nekom pomaku 

odvoji od nametnute veze. 

(Npr. uteg na stolu može se pomicanjem premještati po stolu; pri 

tom se veza ne prekida, ali možemo ga i podići, a time je veza 

prekinuta) 

Skleronomne ili stacionarne veze 

Veze koje ne zavise od vremena. 

(Npr. nepomična površina ili krivulja po kojoj se prisilno giba 

materijalna točka) 

Reonomne ili nestacionarne veze 

Veze koje zavise od vremena. 

OPĆI POJMOVI 




Unutarnje i vanjske veze sustava 

Unutarnje veze sustava ne sprječavaju slobodan pomak sustava 

kao cjeline, nego postavljaju ograničenja samo u pogledu 

međusobnog položaja sastavnih dijelova sustava. 

U protivnom slučaju veze nazivamo vanjskim. 

Prema tome ako ulogu veza vrše tijela koja pripadaju promatranom 

sustavu, onda su to unutarnje veze, i obratno. Materijalni sustav 

koji ima samo unutarnje veze naziva se slobodnim. 

REAKCIJE VEZA 

Djelovanje veza na materijalni sustav očituje se u tome što one 

sprječavaju, odnosno mijenjaju gibanje koje bi priložene vanjske 

sile izazvale kad bi sustav bio slobodan. 

Radi toga možemo smatrat da veze proizvode isto djelovanje kao 

i sile, i zato se u mehanici djelovanje veza zamjenjuje silama, koje 

nazivamo reakcijama veza. 

OPĆI POJMOVI 


9

7.3.2012 



KAD MOŽEMO ODREDITI PRAVAC REAKCIJE?: 

1.) Ako je veza ostvarena pomoću niti ili užeta, lanca itd. reakcije su 

veza upravljene u pravcu uzdužne osi zategnute niti, užeta itd. 

OPĆI POJMOVI 




2.) Ako materijalna točka ili tijelo može kliziti po nepomičnoj 

površini tijela ili materijalnoj liniji bez trenja, reakcija veze je 

upravljena okomito (normalna reakcija) na površinu ili liniju, 

ili točnije okomito na tangencijalnu ravninu kroz dodirnu točku. 

OPĆI POJMOVI 


10

7.3.2012 



3.) Veze s trenjem, osim normalne reakcije prouzrokuju još i 

tangencijalnu reakciju, koja nastaje zbog trenja. 

Ukupna ili totalna reakcija veze s trenjem nagnuta je od 

normalne reakcije za kut ϕ. 

OPĆI POJMOVI 




4.) Zglobna veza 

Kad je čep II nepomičan (slika a), štap I može se samo 

okretati oko osi čepa II okomitoj na ravninu slike. 

Pravac ac reakcije nepoznat. 

Ta reakcija može imati bilo koji pravac okomit na os čepa, što 

zavisi od položaja tijela i drugih sila koje na njega djeluju. 

Tipičan primjer takve veze je nepomičan oslonac grede (slika b). 

OPĆI POJMOVI 


11

7.3.2012 



Veza u obliku sfernog zgloba (slika c) osigurava nepomičnost 

točke A tijela I i dopušta samo rotacije tijela oko bilo koje osi 

Kroz nepomičnu točku A. 

Reakcije određene trima komponentama: A x, A y i A z. 

Savitljivo uže bez težine (slika d) može prenositi samo vlačne 

sile u pravcu svoje uzdužne osi. 

Svaki element užeta podvrgnut je djelovanju jednakih vlačnih sila. 

OPĆI POJMOVI 




Reakcija veze uvijek je upravljena suprotno pravci i smjeru 

u kome veza sprječava gibanje tijela! 

AKSIOM O VEZAMA 

Svako vezano (neslobodno) tijelo može se promatrati kao 

slobodno, ako uklonimo veze i njihov utjecaj na tijelo zamijenimo 

djelovanjem reakcija veza. 

OPĆI POJMOVI 


12

7.3.2012 



VRSTE VEZA I REAKCIJE U RAVNINI 

OPĆI POJMOVI 




7. STATIČKI SUSTAVI SILA 

RAVNINSKI SUSTAVI SILA 

a) Komplanarni sustav sila (opći slučaj) 

Sve sile djeluju u jednoj ravnini, nisu međusobno paralelne i 

njihovi se pravci djelovanja ne sijeku u jednoj točki ravnine. 

OPĆI POJMOVI 


13

7.3.2012 



b) Komplanarno-konkurentni sustav sila 

Pravci djelovanja sviju sila sijeku se u jednoj točki. 

c) Komplanarno-paralelni sustav sila 

Sve su sile međusobno paralelne. 

OPĆI POJMOVI 




d) Kolinearni sustav sila 

Sve sile imaju zajednički pravac djelovanja, ali mogu imati 

suprotan smjer. 

OPĆI POJMOVI 


14

7.3.2012 



PROSTORNI SUSTAVI SILA 

e) Prostorni sustav sila (opći slučaj) 

Sve sile ne djeluju u istoj ravnini, nisu međusobno paralelne i 

ne prolaze kroz jednu točku prostora. 

OPĆI POJMOVI 




f) Prostorni konkurentni sustav sila 

Sve sile prolaze kroz istu točku. 

g) Prostorni paralelni sustav sila 

Sve sile su međusobno paralelne. 

OPĆI POJMOVI 


15

7.3.2012 



A. SUSTAVI SILA U RAVNINI 

TEORIJSKI DIO 




SILE DJELUJU NA JEDNU TOČKU 

A. SUSTAVI SILA U RAVNINI Predmet: MEHANIKA I 

16

7.3.2012 



1. SASTAVLJANJE SILA METODOM PLANA SILA 

☺ KOLINEARNI sustav sila 

Pr omatrajmo 

→ 

P, P , KP , 

1 

na 

→ 

2 

→ 

n 

jednu 

istog 

tocku. 

najjednostavniji 

pravca 

i 

istog 

slucaj 

ili 

kad 

razlicitog 

dvije 

ili 

smjera, 

više 

sila 

djeluju 

- U slučaju istosmjernog kolinearnog sustava sila rezultanta ima 

smjer zadanih sila, a njezina je veličina jednaka sumi veličina 

zadanih sila. 

- Istosmjerne sile ne mogu biti u ravnoteži! 





Ako zadane sile imaju različit smjer, npr. sila P 1 i P 2 , uz 

pretpostavku da je P 1 > P 2 , veću silu P 1 rastavljamo u dvije 

komponente Q 1 i Q 2 , od kojih je jedna Q 1 jednaka zadanoj 

sili P 2 . 

2 

Kad uklonimo sile Q 1 i P 2 , jer one stoje međusobno u ravnoteži, 

nalazimo da je rezultanta po veličini jednaka razlici zadanih sila 

i da ima smjer veće sile, to jest: P 1 -P 2 =Q 2 



17

7.3.2012 



Veličina rezultante kolinearnog sustava sila koji se sastoji od više 

sila različitog smjera jednaka je apsolutnoj vrijednosti algebarske 

sume brojeva, što izražavaju veličine zadanih sila, a njezin smjer 

određen je predznakom te sume. 

Ako je: 

veličina rezultante je: 

P 1 + P 2 > P 3 + P 4 

R = P 1 + P 2 -P 3 -P 4 

a njezin smjer se poklapa sa smjerom sila P 1 i P 2 . 





Ravnoteža kolinearnog sustava sila različitog smjera moguća 

je ako je algebarska suma njihovih veličina jednaka nuli: 

n 

∑= 

i 1 

P 

= 

i 

0 



18

7.3.2012 



☺ KONKURENTNI sustav sila 

→ 

R 

→ 

→ 

= P + Q 





2 2 2 

o 

R = P + Q − 2 PQ ⋅ cos(180 − γ) 

odnosno: 

2 2 

R = P + Q + 2 PQ ⋅cos 

γ 

Pomoću sinusnog poučka dobivamo: 

P Q R 

= = 

sinβ 

sinα 

sin(180 

odnosno: 

P Q R 

= = 

sinβ 

sinα 

sin γ 

o 

− γ) 



19

7.3.2012 



☺ P r a v i l o: 

Rezultanta dviju sila različitog pravca jednaka je po pravcu 

i veličini trećoj stranici trokuta, kojeg su dvije stranice 

zadane. 

Njezin je smjer suprotan smjeru obilaženja zadanih sila 

(pravilo trokuta sila). 

U promatranom slučaju sile ne mogu bit u ravnoteži. 

Na osnovu pravila paralelograma, odnosno pravila trokuta sila, 

→ 

možemo zadanu silu R rastaviti u dvije komponente, kojih pravci 

djelovanja zatvaraju kut različit od 0 o ili 180 o . Pri tom mogu biti 

zadani ovi podaci: 

1) pravci djelovanja obiju komponenata, 

2) veličine obiju komponenata, 

3) veličina, pravac i smjer jedne komponente, 

4) veličina jedne i pravac druge komponente. 





Promatrajmo slučaj kada na materijalnu točku A djeluju više od dvije sile, 

kojih pravci djelovanja leže u istoj ravnini. 

Primijenimo postupno pravilo paralelograma. 

Rezultanta je završna stranica poligona sila. Pravac djelovanja 

rezultante prolazi kroz točku u kojoj se sijeku pravci djelovanja 

zadanih sila, a smjer rezultante u planu sila suprotan je smjeru 

obilaženja zadanih sila. (PRAVILO POLIGONA SILA) 



20

7.3.2012 



Rezultanta konkurentnih sila u općem slučaju jednaka je po 

po pravcu i veličini njihovoj geometrijskoj sumi: 

→ → 

→ 

→ 

n 

= 

P 

+ 

P 

+ K 

+ 

P = ∑ P 

→ 

1 2 

n 

i ∑= i 1 

R 

Poligon sila bez parcijalnih rezultanti: 





Zadane sile možemo bilo kojim redoslijedom nizati u poligonu 

sila, a da se pri tom ne mijenja veličina, pravac i smjer rezultante. 

VRIJEDI ZAKON KOMUTACIJE. 



21

7.3.2012 



☺ P r i m j e r: 

Neka poznata težina tereta Q i veličine sila P 1 , P 2 i P 3 . 

Treba naći veličinu sile P4 tako da se teret Q podiže u 

vertikalnom pravcu. 

Da bi se teret dizao u pravcu vertikale, rezultanta svih sila 

(uključivo i težina Q) mora biti upravljena vertikalno uvis. 





2. RASTAVLJANJE SILE U DVIJE KOMPONENTE 

→ 

☺ Zadanu silu P možemo rastaviti na beskonačno mnogo parova 

komponenata, jer na istoj osnovici Aa možemo konstruirat 

beskonačno č mnogo trokuta, t odnosno beskonačno č mnogo 

paralelograma, kojima je zajednička osnovica dijagonala, zadana 

→ 

sila P . 



22

7.3.2012 



1) Zadani su pravci p 1 i p 2 komponenata, na koje treba rastaviti 

→ 

zadanu silu P, koja leži u istoj ravnini i djeluje u točki A (slika a). 





→ 

2) Silu P treba rastaviti u dvije komponente koje leže s njom u istoj 

ravnini i imaju zadane numeričke vrijednosti. 



23

7.3.2012 



3. RAVNOTEŽA KOMPLANARNO-KONKURENTNOG 

SUSTAVA SILA 

☺ Za ravnotežu materijalne točke nužni su i dovoljni uvjeti: 

1) rezultanta sila mora biti jednaka nuli, 

2) točka mora biti u nekom trenutku nepomična. 

☺ Za ravnotežu sila, koje djeluju na materijalnu točku u ravnini, 

nužno je i dovoljno da poligon sila bude zatvoren i da sve sile 

imaju isti smisao obilaženja. 

Taj geometrijski uvjet može se izraziti u vektorskom obliku: 

→ 

→ 

P1 + P2 

+ K + Pn 

= ∑Pi 

= 

→ 

n 

i= 

1 

→ 

0 





☺ Slučaj triju sila 

Za ravnotežu triju neparalelnih sila, što leže u istoj ravnini, nužno je i 

dovoljno da se pravci djelovanja tih sila sijeku u jednoj točki i da 

daju zatvoren trokut sila s istim smislom obilaženja. 



24

7.3.2012 




Reakcije jednostavne (proste) grede opterećene kosom silom. 

Temeljem pravila o slobodnom pomicanju hvatišta sile duž 

njezine linije djelovanja, te tri sile možemo smatrati silama sa 

zajedničkim hvatištem i prema tome konstruirati zatvoreni trokut 

sila, koji nam daje veličine i smjer reakcija R A i R B . 






Kosi štap vezan za nepomičnu točku s jedne strane a s druge 

strane se naslanja na oštri brid. 



25

7.3.2012 



4. METODA PROJEKCIJA. 

ANALITIČKI UVJETI RAVNOTEŽE 

Sastavljanje sila raznog pravca pomoću metode projekcija zasniva 

se na pravilu da je projekcija rezultante jednaka algebarskoj sumi 

projekcija zadanih sila. 

R 

X 

y 

= X 

1 

1 

+ X 

R = Y + Y 

2 

2 

+ K+ 

X 

+ K+ 

Y 

R = + 

cosα = 

cosβ = 

2 2 

R x 

R 

y 

Rx 

R + R 

2 

x 

R 

2 

x 

y 

n 

= 

n ∑= i 1 

n 

= 

n ∑= i 1 

2 

y 

R + R 

2 

y 

Y 

X 

i 

i 





Za rastavljanje sile u dvije komponente kojih su pravci djelovanja 

zadani, možemo primijeniti relacije za izračunavanje projekcija 

R x i R y : 

R + 

R = Y + Y 

= X X 

X 1 2 

y 1 2 

R ⋅cosα = P 

R ⋅ sinα = P 

⋅ cosα 

+ P ⋅cos 

1 1 2 

⋅ sinα 

+ P ⋅ sin 

1 1 2 

α 

2 

α 

2 

R X 

R y 

= R ⋅ cosα 

= R ⋅ sinα 



26

7.3.2012 



R 

R 

= n X = 0 

X i ∑= i 1 

= n Y = 0 

y i ∑= i 1 

JEDNADŽBE RAVNOTEŽE 

Izražavaju analitički uvjet ravnoteže ravnog sustava sila koje se 

sijeku u jednoj j točki, to jest algebarske sume komponenata sviju sila 

u pravcima dviju koordinatnih osi MORAJU BITI JEDNAKE NULI. 

Ekvivalentne su grafičkom uvjetu ravnoteže, to jest da POLIGON 

SILA MORA BITI ZATVOREN. 





5. STATIČKI ODREĐENI I 

STATIČKI NEODREĐENI ZADACI 

Ako broj nepoznanica nije već od broja uvjeta ravnoteže, koje sadrže 

reakcije veza, zadatak je statički tički određen, đ a odgovarajući sustav 

materijalnih točaka odnosno tijela zove se statički određen sustav. 

U protivnom slučaju govorimo o statički neodređenim zadacima ili 

sustavima. 



27

7.3.2012 




Kugla težine Q privezana je užetom za nepomičnu točku B, a u 

točki A oslanja se na kosu ravninu. 

Treba naći reakciju u točki A i silu u užetu, ako su poznati 

kutovi α i β. 





N - sila kojom kosina djeluje na 

kuglu. 

S - sila u užetu. 

Sve tri sile: Q, N i S sijeku se u 

središtu kugle O. 

Kroz središte O izaberimo 

horizontalni i vertikalni pravac za 

koordinatne osi x i y. 

Sila N zatvara s osi x kut α, a s 

osi y kut 90 o - α. 

Sila N nagnuta je prema osi y za kut β, a prema osi x za kut 

[180 o -(90 o - β)] = 90 o + β. 

Težina kugle upravljena je u pravcu osi y. 



28

7.3.2012 



Projiciramo li sile na osi x i y, dobivamo jednadžbe ravnoteže: 

1 ) ΣX 

= N⋅ 

cosα − S ⋅ sinβ 

= 0 

2 ) 

Σ 

Y 

= 

N⋅ 

sin 

α + 

S ⋅ 

cos 

β − 

Q 

= 

0 

Kad jednadžbu 1) pomnožimo sa cosβ, a 2) sa sinβ, pa obje zbrojimo: 

N⋅(cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ) 

= Q ⋅ sinβ 

odakle dobivamo veličinu normalne reakcije: 

Q ⋅ sinβ 

N = 

cos( α − 

β) ) 

Uvrstimo li tu vrijednost normalne reakcije N u jednadžbu 1) dobivamo: 

N⋅ 

cosα 

Q ⋅ cosα 

S = = 

sinβ 

cos( α − β) 



29

STATIKA KRUTIH TIJELA - Građevinski fakultet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?