Derivacije - Građevinski fakultet

Graðevinski fakultet 

Sveuèiliðta u Mostaru 

http://www.sve-mo.ba/gf/ 

Strojarski fakultet 


http://www.sve-mo.ba/sf/ 

Derivacije 

f '(x) 

Tablica osnovnih derivacija: 

f (x + Dx) 

- f (x) 

lim 

D x 0 Dx 

= 

® 

1. (c)' = 0, 2. (x)' = 1, 3. (x n )' = nx n-1 , 

4. (a x )' = a x ×ln a, 5. (e x )' = e x , 

1 

6. (ln x)' = , (x > 0) 

x 

loga 

e 

7. (loga x)' = , 

x 

8. (sin x)' = cos x, 9. (cos x)' = -sin x, 

10. 

(x > 0, a > 0, a ¹ 1) 

1 

tg x)' = , 11. 

cos x 

( 

2 

13. (arc cos x)' = 

1 

- , 

2 

1- 

x 

(|x| < 1) 

1 

ctg x)' = - , 12. (arc sin x)' = 

sin x 

( 

2 

(|x| < 1) 

1 

1- 

1 

1 

14. (arc tg x)' = , 15. (arc tg x)' = - . 

2 

2 

1+ 

x 

1+ 

x 

2 

x 

, 

Osnovna pravila deriviranja: 

1. (c×f)' = c×f ' 2. (f ± g) = f ' ± g' 

æ f ö f ' × g - f × g' 

3. (f×g)' = f '×g + f×g' 4) ç ÷ = 

2 

è g ø g 

/ 

Zadaci: 

Derivacije funkcija zadanih eksplicitno: 

1. y = x 4 - 3x 3 + 5x 2 + 6x - 7 [y' = 4x 3 - 9x 2 + 10x + 6] 

2. y = (x - a)×(x - b) [y' = 2x - a - b] 

3. y = e x ×(x 2 - 4x + 5) [y' = (x - 1)2×e x ] 

4. 

1+ 

ln x 

y = 

x 

é 

ê 

ë 

1 ù 

' = - ln x 

x ú 

û 

y 

2 

5. 

1 

y = (x + sin x cos x) 

[y' = cos 

2 

2 x] 

Matematika 1 – zadaci za vježbu | derivacije 1







6. 

y = 1+ 

3 

x 

é 

êy' 

= 

êë 

6 

x 

3 2 

1 

1+ 

3 

ù 

ú 

x úû 

7. y = (cos 3x) 5 [y' = -15cos 4 3x×sin 3x] 

8. y = (x×sin x) 3 [y' = 3(x×sin x) 2 (sin x + x×cos x)] 

9. 

x 

y = ln ctg 

2 

é 

ê 

y' = - 

ë 

1 

sin x 

ù 

ú 

û 

10. 3 

y = sin 2x 

é 2cos 2x 

êy' 

= 

3 2 

ë 3 sin 2x 

ù 

ú 

û 

11. 

x 

e 

y = (sin x - cos x) 

[y' = e x ×sin x] 

2 

12. y = 2x×sin x + (2 - x 2 )×cos x [y' = x 2 ×sin x] 

13. 

1 2 

1 

y = (x + 1) × arctg x - (x + 1) [y' = x×arctg x] 

2 

2 

14. y = x×(sin ln x - cos ln x) [y' = 2sin ln x] 

15. 

y = 

3 

x æ 1 ö 

çln x - ÷ 

3 è 3 ø 

[y' = x 2 ×ln x] 

16. 2 

y = x 1+ 

x 

17. 

y = 

1 

(x 

3 

2 

+ 2) 

x 

2 

-1 

é 

êy' 

= 

ë 

é 

êy' 

= 

ë 

1+ 

2x 

1+ 

x 

2 

2 

ù 

ú 

û 

3 

x ù 

ú 

2 

x -1û 

18. y= x×tg x + ln cos x 

é 

ê 

ë 

x 

' = 

cos 

y 

2 

ù 

x ú 

û 

19. 1 

2 

2 -x 

2 

x 

y = - (x + 1) × e 

[ x 3 - 

y' = e ] 

2 

20. y = ln( e ) 

x + 1+ 

e 2x 

é 

êy' 

= 

ë 

e 

x 

1+ 

e 

21. y = 2( sin x - x cos x) 

[ y ' = sin x] 

2x 

ù 

ú 

û 








22. 2 

2 

y = x(arcsin x) + 2 1- 

x × arcsin x - 2x 

[y' = (arc sin x) 2 ] 

23. 2 

y = ln( sin x + 1+ 

sin x) 

24. 1 

2 arcsin x 

( ) 

é 

êy' 

= 

ë 

cos x 

1+ 

sin 

y = x + 1- 

x × e 

[y' = e 

2 

arc sin x ] 

2 

x 

ù 

ú 

û 

25. 

26. 

y = ln 

1- 

sin x 

é 1 ù 

ê 

y' = - 

ú 

1+ 

sin x 

ë cos x û 

y = ln 

1+ 

tg x 

é 1 ù 

1- 

tg x 

ê 

y' = 

ë cos 2x ú û 

27. y = x×ln 2 x - 2x×(ln x – 1) [y' = ln 2 x] 

28. 

1 

2 

y = x × arc tg x - ln(1 + x ) 

[y' = arc tg x] 

2 

29. 

æ p 

y = ln tgç 

+ 

è 4 

x 

2 

ö 

÷ 

ø 

é 

ê 

y' = 

ë 

1 

cos x 

ù 

ú 

û 

30. 

31. 

32. 

3x æ 1 3 3 ö 

y = - ç sin x + sin x÷ × cos x [y' = sin 

8 è 4 8 

4 x] 

ø 

æ sin x - cos x 

y = lnç 

è sin x + cos x 

ö 

÷ 

ø 

é 

ê 

y' = - 

ë 

2 

cos2x 

x 1 

y = 1- 

x 

2 + arcsin x [ y' 

= 1- 

x ] 

2 

2 2 

ù 

ú 

û 

33. 2 

y = x × arcsin x + 1- 

x 

[y' = arc sin x] 

34. 

1+ 

x 

é 1 ù 

y = 2arc tg 

êy' 

= ú 

1- 

x 

2 

ë 1- 

x û 

35. y = arc tg( x - 1+ 

x ) 

2 

é 

êy' 

= 

ë 2 

1 

1+ 

2 

x 

ù 

ú 

û 

36. 

x + 1 

y = arc tg 

x -1 

é 

ê 

ë 

1 ù 

' = - 

x + 1ú 

û 

y 

2 








37. 

y = ln 

x 

tg 

2 

é 

ê 

y' = 

ë 

1 

2sin x 

ú û 

ù 

38. 

1+ 

x 

é ù 

y = ln 

ê ú 

1- 

x 

ë 

= 1 

y' 

1- 

x 

2 

û 

39. y = arc sin(3x -4x 3 ) 

40. x x 

é 

êy' 

= 

ë 

3 

1- 

x 

y = 

1- 

x 

[ y' = x (1 ln x) ] 

2 - 

41. y = (1 + x) x é 

x é x ùù 

êy' 

= (1 + x) 

ê 

ln(1 + x) + 

úú ë ë 1+ 

x û û 

2 

x 

ù 

ú 

û 

42. 

1 

x 

y = (ln x) 

1 

é 1 é 1 ù 

x 

ù 

êy' 

= (ln x) 

ê 

- ln(ln x) 

2 

úú ë x ëln x û û 

43. y = x x [y' = x x (lnx+1)] 

44 y = x sin x é sin xæ 

sin x öù 

êy' 

= x çcos x × ln x + ÷ ú 

ë è 

x ø û 

Derivacije funkcija zadanih implicitno: 

Funkciju zadanu u obliku F(x, y) = 0 deriviramo na slijedeãi naèin: 

a) deriviramo obe strane jednadžbe F(x, y) = 0 po varijabli x uzimajuãi da je y = y(x), 

d 

b) dobivenu jednakost F(x, y) rijeðimo po y'. 

dx 

45. x 3 + y 3 + 2xy - 1 = 0 

46. x + y + e xy - 1 = 0 u M(0, 1) 

é 

ê 

ë 

3x 

' = - 

3y 

2 

y 

3 

+ 2yù 

+ 2x 

ú 

û 

xy 

é 1+ 

ye 

ù 

êy' 

= - ; y'(0,1) = 2 

xy 

ú 

ë 1+ 

xe 

û 

47. 

x 

a 

2 

2 

2 

2 

y 

é b x ù 

+ -1 

= 0 

2 

b 

êy' 

= 

2 ú 

ë a y û 

48. 

2 

3 

2 2 

é 

3 3 

y ù 

+ y a 

ú 

û 

x = 

êy' 

= - 3 

ë x 





49. (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 - y 2 ) 

é 

ê 

ë 

x 

' = 

y 

3 




2 

- 3xy ù 

- 3x y 

ú 

û 

y 

3 2 

50. y = 1 + e xy xy 

é ù 

ê = ye 

y' ú 

ë 1- 

xe 

xy 

û 

51. x = y×e sin y - sin y 

é e ù 

êy' 

= ú 

ë 1+ 

ycos y û 

52. y 

2 2 

arc tg = ln x + y 

x 

é 

êy' 

= 

ë 

x 

x 

+ yù 

- y 

ú 

û 

53. y 3 - 2xy 2 + 1 = 0 

é 2y ù 

êy' 

= ú 

ë 3y - 4x û 

54. 

y = 

2 2 

x + y 

e 

é 

êy' 

ë 

2xy 

1- 

2y 

= 2 

ù 

ú 

û 

Derivacije funkcija zadanih 

parametarski: 

Ako je funkcija zadana parametarski jednadžbama x = j(t) i 

y' = 

dy 

dx 

= 

dy 

dx 

dt 

dt 

y'(t) 

= 

j'(t) 

y = y(t) tada je: 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

x = r cos tü 

ý 

y = rsin t þ 

x = a(t - sin t) ü 

ý 

y = a(1 - cos t) þ 

x = a cos 

y = bsin 

3 

3 

tü 

ý 

t þ 

x = a(2cos t - cos2t) ü 

ý 

y = a(2sin t - sin 2t) þ 

2 

x = cos t × sin t ü 

2 ý 

y = sin t(1 + cos t) þ 

[y' = -ctg t] 

é 

ê 

y' = 

ë 

t 

ctg 

2 

ù 

ú 

û 

é b ù 

ê 

y' = - tg t 

ë a ú 

û 

é 

ê 

y' = tg 

ë 

3t ù 

2 ú 

û 

[y' = ctg t] 








60. 

61. 

3at 

x = 

1+ 

t 

2 

3at 

y = 

1+ 

t 

3 

3 

ü 

ï 

ý 

ï 

þ 

t 

x = e sin tü 

t ý 

y = e cos tþ 

é 

êy' 

ë 

t(2 - t 

1- 

2t 

3 

= 

3 

) ù 

ú 

û 

é cos t - sin t ù 

ê 

y' = 

ë cos t + sin t ú 

û 

62. 

x = sin t 

y = cos t 

cos2t ü 

ý 

cos2t þ 

[y' = - tg 3t] 

Primjena derivacija: 

Tangenta krivulje y = f(x) u toèki M(x m, y m) ima jednadžbu y - y m = -y'(x m)×(x - x m). 

Normala krivulje y = f(x) u toèki M(x m, y m) ima jednadžbu y - y m = 

[y'(x m) je vrijednost derivacije funkcije y = f(x) za x = x m] 

1 

y'(x 

m 

) 

×(x - x m). 

63. U toèki x = 1 naãi jednadžbu tangente i normale krivulje: 

a) y = x 3 - 3x 2 + 2x + 1 

[y = -x + 2; y = x] 

1 

b) y = 

2 

x 

[y = -2x + 3; x - 2y + 1 = 0] 

c) y = ln x 

[y = -x + 1] 

64. Naãi jednadžbu tangente krivulje y = x 2 + 2 koja je paralelna s 

pravcem y = x -2. 

[4x - 4y + 7 = 0] 

65. Na krivulji y = x 2 - 2x + 1 naãi toèku u kojoj je normala paralelna s 

pravcem 

x + 2y - 3 = 0. 

[x = 2] 

66. Iz ishodiðta su povuèene tangente na krivulju y = ax 2 + bx + c. Naãi 

koordinate dodirnih toèaka. 

é c ù 

êx 

= ± ú 

ë a û 








67. Naãi jednadžbu tangente na krivulju: 

a) y 3 - 2x 2 y + a 3 = 0 u toèki M(a, a) 

[y = 4x - 3a] 

b) x - y = ln(1 + 2x + y) u toèki O(0, 0) 

é 1 ù 

ê 

y = - x 

ë 2 ú 

û 

c) y + e xy - 2 = 0 u toèki P(0, 1) 

[y = -x + 1] 

68. Naãi jednadžbu normale krivulje: 

a) y = x + ln(2x - y) u toèki M(1, 1) 

[2x + 3y - 5 = 0] 

b) y 2 = sin(x + y) u toèki O(0, 0) 

[y = x] 

c) y = 1 + x×e y u toèki N(-1, 0) 

[y = -2(x + 1)] 

69. Naãi jednadžbu tangente na krivulju: 

x = a cos tü 

p 

a) ý u toèki t = 

y = bsin t þ 

4 

éx 

y ù 

ê 

+ = 2 

ë a b ú 

û 

ü 

b) ý 

== - t 

x e 

u toèki t = 0 

y t cos tþ 

[y = -x + 1] 

2 

x = t ü 

c) 

3 ý u toèki t = 1 

y = t þ 

[3x - 2y - 1 = 0] 

70. Naãi jednadžbu normale krivulje: 

a) 

= - t 

x e ü 

ý 

y = ln(t + 1) 

þ 


[y = x - 1] 

b) 

t 

x = t × e ü 

ý 

y = t × ln tþ 


[y = -2e(x -e)] 

71. 

Naãi kut pod kojim se sijeku krivulje x 2 + y 2 = 8 i 

[j = arc tg 3] 

1 

2 

2 

y = x . 








72. U toèki P(1, 2) krivulje y = x 3 + 1 povuèene je tangenta i ona sijeèe 

krivulju u toèki Q. Naãi koordinate toèke Q. 

[Q(-2, -7)] 

73. Iz toèke A(-1, 0) povuèena je tangenta ne krivulju y 2 = x 3 +1 i ona 

dodiruje krivulju u toèki B. Naãi koordinate toèke B. 

ù 

êë 

é B - + - - + - - 

1( 

1 3, 6 3 9); B2( 

1 3, 6 3 9) 

úû 

74. U toèki M(-1, 0) krivulje y = x 4 + 7x 3 + 17x 2 + 16x + 5 povuèena je 

tangenta koja sijeèe danu krivulju u toèkama A i B. Izraèunati 

duljinu tetive AB . 

[ AB = 2] 

75. 

2 

3 

2 

3 

2 

3 

Tangenta krivulje x + y = a sijeèe koordinatne osi u toèkama A i 

B. Pokazati da je AB = const. 

[ AB = a] 

76. 

Pokazati da krivulja 

kutom i naãi taj kut. 

é pù 

ê 

a = 

ë 4 ú 

û 

4 2 

x - 5x + 4 

= sijeèe os Ox uvijek pod istim 

4x -10x 

y 

3 

77. Normale povuèene u toèkama x = 0 i x = a krivulje y = e x sijeku se u 

toèku C. Naãi granièni položaj toèke C kad a ® 0. 

[C(-2, 3)] 

78. 

Pokazati da je svaka normala krivulje 

x = a × cos tü 

kružnice ý. 

y = a × sin t þ 

x = a(cost + t × sin t) ü 

ý 

y = a(sin t - t × cos t) þ 

tangenta 

79. 

2 

a 

Tangenta krivulje y = sijeèe koordinatne osi i toèkama A i B. 

2x 

Pokazati da je povrðina trokuta OAB konstantna.

Derivacije - Građevinski fakultet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?