4.4.4 Trigonometrie v praxi α π α π α π - Realisticky cz

4.4.4 Trigonometrie v praxi
Předpoklady: 4403
Nejdřív něco jednoduchého na začátek.
Př. 1: Dvě přímé důlní chodby ústící do stejného místa A svírají úhel α = 37° 46' mají být
spojeny chodbou BC, spojující bodu B v první chodbě s bodem C v druhé chodbě.
Jak dlouhá bude spojovací chodba, je-li AB = 137,8m a AC = 105,3m ?
Body A, B a C tvoří trojúhelník, nakreslíme obrázek.
C
A
B
Musíme pouze dopočítat třetí stranu trojúhelníka ⇒ kosinová věta.
2 2 2
a = b + c − 2ab cosα
2 2 2 2
= + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° =
a b c 2ab cosα 105,3 137,8 2 105,3 137,8 cos37 46' m 84,5m
Spojovací chodba bude dlouhá 84,5 m.
Př. 2: Na panenku působí v jedné rovině dvě síly navzájem se přetahujících sester. Urči
výslednou sílu působící na panenku, pokud: 1 150 N F = ; F 2 = 120 N ; α = 137°
(úhel, který spolu svírají síly obou holčiček).
Síly skládáme (poznatek z fyziky) pomocí rovnoběžníku sil nebo řazením sil za sebe.
F1 F 2
F
F1 B
Když doplníme obrázek na rovnoběžník, vzniknou dva trojúhelníky se stranami F1; F2; F . Pro
výpočet využijeme modrý trojúhelník. Známe dvě strany a úhel mezi nimi, chceme protější
stranu ⇒ kosinová věta.
2 2 2
F = F + F − 2F F cos π − α
1 2 1 2
( )
( ) ( )
F = F + F − 2F F cos π − α = 150 + 120 − 2⋅150 ⋅120cos π − 137° N =
102,8 N
2 2 2 2
1 2 1 2
1
F 2

Úhel β určíme ze stejného trojúhelníku pomocí sinové věty pomocí spočítané velikosti
výsledné síly F.
F2 F
F2
120
=
⇒ sin β = sin ( π − α ) = sin ( 180° − 137° ) = 0,8 ⇒ β = 52° 45' .
sin β sin π −α
F
102,8
( )
Na panenku působí výsledná síla 102,8 N, která se směrem síly F 1 svírá úhel 52° 45' .
Př. 3: Sbírka – Trigonometrie v praxi – Př1
Př. 4: Urči šířku řeky, jestliže na jednom přímém břehu byla vytýčena vzdálenost
AB = 300m a z obou těchto bodů byl zaměřen bod C na druhém břehu tím, že byly
změřeny úhly ∡ CAB = α = 65°
a ∡ CBA = β = 37°
. Nakresli náčrtek situace.
C
A 30m
B
C
C 0
A 30m
B
Trojúhelník ABC
AC AB
Platí: = ⇒ musíme dopočítat úhel γ .
sin β sin γ
( ) ( )
α + β + γ = 180° ⇒ γ = 180° − α + β = 180° − 65° + 37° = 78°
AC AB
sin β
= ⇒ AC = AB
sin β sin γ sinγ
Teď můžeme příklad dopočítat.
Trojúhelník ACC 0
CC
α CC AC α
AC
0
sin = ⇒ 0 = sin
sin β
Dosadíme za AB: CC0 = AC sinα = AB sinα
sinγ
sin β sin 37°
Dosadíme: CC0 = AB sinα = 300 sin 65° m = 167,3m
sin γ
sin 78°
2
Chceme v trojúhelníku určit výšku. Doplníme
obrázek tak, aby vznikl trojúhelník, ze kterého
by bylo možné výšku určit.
Výšku by bylo možné určit z pravoúhlého
trojúhelníka ACC 0 , neznáme v něm však ani
jednu stranu. Strana AC jde však určit
pomocí sinové věty z trojúhelníku ABC.

Šířka řeky je 167,3 m.
Předchozí příklad je pro praktické trigonometrické úlohy typický. Hledanou vzdálenost
můžeme určit ze vhodného trojúhelníku, ve kterém však nejdříve musíme určit libovolnou
stranu (nebo strany dvě, když známe pouze jeden úhel). Ve složitějších příkladech pak
nepočítáme ze zadání hned konečný trojúhelník, ale musíme nejdříve spočítat trojúhelník, ze
kterého teprve počítáme trojúhelník konečný. Někdy je postupných trojúhelníků více.
Při hledání cesty od zadání k výsledku můžeme postupovat dvěma způsoby (nejvýhodnější je
většinou oba postupy kombinovat):
• od začátku: najdeme trojúhelník, který je určen ze zadání, a z něj postupně počítáme
další vzdálenosti a úhly,
• od konce: najdeme trojúhelník, ze kterého můžeme spočítat výsledek, a postupně
koukáme, jak jej se k němu dostat ze zadání.
V trigonometrických příkladech se často používají tři pojmy:
výškový úhel – úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět ve výšce s vodorovnou
rovinou,
směr pozorování
výškový úhel
vodorovná rovina
hloubkový úhel – úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět v hloubce
s vodorovnou rovinou,
vodorovná rovina
hloubkový úhel
směr pozorování
zorný úhel – úhel, který spolu svírají směry, kterými pozorujeme dvě nejodlehlejší místa
předmětu (nebo také úhel pod kterým vidíme předmět).
Dodatek: Právě velikost zorného úhlu rozhoduje o tom, jestli dokážeme navzájem rozlišit
dva body na předmětu, proto při pozorování podrobností přibližujeme předměty
k oku, abychom zorný úhel zvětšili.
3

Př. 5: Pilot letadla letícího vodorovně rychlostí 250 m/s vidí řídící věž letiště
v hloubkovém úhlu α 1 = 20°.
Po dvou sekundách letu přímo k věži se úhel zvětšil na
α = 45°
. Urči výšku letu letadla.
h
V 0
2
2
A2
s
V
Výšku můžeme spočítat z trojúhelníku A2VV 0 , v něm však neznáme žádnou stranu. Musíme
tedy v trojúhelníku A1 A2V určit společnou stranu 2 A V ⇒ musíme v trojúhelníku A1 A2V dopočítat úhly.
V A2
s
A 0
1
h
a
2
V
Výpočet strany a = A2V z trojúhelníku A1 A2V (modrý trojúhelník):
Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu ⇒ sinová věta.
α + 180° − α + ω = 180° ⇒ ε = α − α = 45° − 20° = 25°.
Určíme úhel ω : ( )
s a sinα
sinω sinα sinω
1
= ⇒ a = s .
1
1 2 2 1
Výpočet strany h = V0V z trojúhelníku A2VV 0 (zelený trojúhelník):
h
Trojúhelník je pravoúhlý, platí: sinα 2 = ⇒ h = a ⋅ sinα
2 .
a
sinα1
Dosadíme za a: h = a ⋅ sinα 2 = s sinα
2 .
sinω
sinα1 sin 20°
Vypočteme hodnotu: h = s sinα 2 = 500 sin 45° m = 286m .
sinω sin 25°
Letadlo letí ve výšce 286 m.
Něco těžšího na závěr.
Př. 6: Urči vzdálenost dvou nepřístupných bodů C, D, jestliže znáš vzdálenost dvou
přístupných bodů A, B AB = 15km a následující úhly: ∢ CAB = α = 42° 15' ,
∢ BAD = γ = 87° 30' , ∢ DBA = β = 43° 55' a ∢ ABC = δ = 106° 40' .
Nakreslíme si obrázek.
4
1
1
A 1

D
C
A
B
Vzdálenost bodů C, D můžeme určit ze dvou trojúhelníků: ACD nebo BCD. U obou známe
pouze jeden úhel, musíme tedy spočítat obě další strany.
Na volbě nezáleží, zvolíme například trojúhelník BCD ⇒ musíme určit strany BC a BD.
Určení strany BC: použijeme trojúhelník ABC.
C
A
B
Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu ⇒ sinová věta
α + δ + ω = 180° ⇒ ω = 180° − α + δ = 180° − 42° 15'+ 106° 40' = 31° 5' .
Určíme úhel ω : ( ) ( )
AB BC
sinα sin 42° 15'
= ⇒ BC = AB = 15 km = 19,53km
sinω sinα sinω sin 31° 5'
Určení strany BD: použijeme trojúhelník ABD.
D
A
B
Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu ⇒ sinová věta.
γ + β + ε = 180° ⇒ ε = 180° − γ + β = 180° − 87° 30'+ 43° 55' = 48° 35' .
Určíme úhel ε : ( ) ( )
AB BD
sin γ sin 87° 30'
= ⇒ BD = AB = 15 km = 19,98km
sin ε sin γ sin ε sin 48° 35'
Určení strany CD v trojúhelníku BCD
C
D
B
5

Známe dvě strany a úhel mezi nimi, chceme třetí stranu ⇒ kosinová věta.
2 2 2
( )
CD = BD + BC − 2 BD BC cos δ − β
2 2
( )
CD = BD + BC − 2 BD BC cos δ − β
( )
CD = + − ⋅ ⋅ ° − ° =
2 2
19,98 19,53 2 19,98 19,53cos 106 40' 43 55' km 20,57 km
Vzdálenost bodů CD je 20,6 km.
Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je jedním z těch, které zcela ztrácí smysl, když
se řeší na tabuli. Jeho hlavním úskalím je orientace a tu nejde nacvičit jinak než
samostatným výpočtem.
Př. 7: Vypočti předchozí příklad tím, že určíš trojúhelník ACD.
D
C
A
B
Zvolíme trojúhelník ACD ⇒ musíme určit strany AC a AD.
Určení strany AC: použijeme trojúhelník ABC.
C
A
B
Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu ⇒ sinová věta
α + δ + ω = 180° ⇒ ω = 180° − α + δ = 180° − 42° 15'+ 106° 40' = 31° 5' .
Určíme úhel ω : ( ) ( )
AB AC
sinδ sin106° 40'
= ⇒ AC = AB = 15 km = 27,83km
sinω sinδ sinω sin 31° 5'
Určení strany AD: použijeme trojúhelník ABD.
D
A
B
Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu ⇒ sinová věta.
6

Určíme úhel ε : γ β ε ε ( γ β ) ( )
+ + = 180° ⇒ = 180° − + = 180° − 87° 30'+ 43° 55' = 48° 35' .
AB AD
sin β sin 43° 55'
= ⇒ AD = AB = 15 km = 13,87 km
sin ε sin β sin ε sin 48° 35'
Určení strany CD v trojúhelníku ACD
C
D
A
Známe dvě strany a úhel mezi nimi, chceme třetí stranu ⇒ kosinová věta.
2 2 2
( )
CD = AD + AC − 2 AD AC cos γ − α
2 2
( )
CD = AD + AC − 2 AD AC cos γ − α
( )
CD = + − ⋅ ⋅ ° − ° =
2 2
13,87 27,83 2 13,87 27,83cos 87 30' 42 15' km 20,58km
Vzdálenost bodů CD je 20,6 km.
Dodatek: Rozdíl jedné setiny při výpočtu vzdálenosti CD je způsoben zaokrouhlováním
při postupných výpočtech předchozích vzdáleností.
Př. 8: Petáková:
strana 50/cvičení 87 b)
strana 50/cvičení 88
Shrnutí:
7