2008/2009

MEHANIKA - sinopsis predavanj za ˇstudente geologije v ˇsolskem letu 2008/2009
17. 2. 09 OSNOVE MEHANIKE
Kinematika točke
Osnovne kinematične količine: poloˇzaj P , vektor hitrosti v = ˙ r = ˙ P , brzina v = | v |, vektor pospeˇska
a = ˙ v = ¨ r = ¨ P .
Kartezični zapis
24. 2. 09
r = xi + yj + z k,
v = ˙xi + ˙yj + ˙z k,
a = ¨xi + ¨yj + ¨z k,
v = ˙x 2 + ˙y 2 + ˙z 2
Gibanje po krivulji
Vektor et = dr
ds je enotski vektor v smeri tangente na tir.
Vektor hitrosti je tangentni vektor na tir gibanja in velja v = ˙set.
Posledica Brzina je absolutna vrednost odvoda poti po času; v = | ˙s |.
Ukrivljenost, det
ds = κen
Dekompozicija vektorja pospeˇska na tangencialni in normalni pospeˇsek
a = ¨set + κ ˙s 2 en.
Primeri:
a) Gibanje presečiˇsča premice z elipso.
b) Kroˇzenje, enakomerno, neenakomerno..
Newtonova enačba
ma = F
Pojem inercialnega in neinercialnega koordinatnega sistema(KS).
Pregled osnovnih sil:
a) sila teˇze Fg = mg;
b) gravitacijska sila;
c) električna sila;
d) sila vzmeti, Hookov zakon F = −k(x − l), k proˇznostni modul, l neutralna dolˇzina vzmeti;
e) sila trenja, Coulombov zakon trenja Ft = kN. Sila lepenja. Primer: zdrs klade na klancu.
f) sila upora, linearen zakon upora Fu = −µv, kvadratni zakon Fu = −k| v |v.
g) sistemske sile v relativnem koordinatnem sistemu, centrifugalna sila −mω ×(ω ×r), Coriolisova sila
Fc = −2mω × vrel.
Primer: harmonično gibanje.
Gibalna enačba m¨x = −kx, začetni pogoj x(t = 0) = A > 0, ˙x(t = 0) = 0.
Resitev x = A cos(ωt − δ), ω = k/m.
Perioda gibanja, frekvenca, amplituda.
Duˇseno nihanje, enačba duˇsenega nihanja : m¨x = −kx − b ˙x, k > 0, b > 0.
Veliko duˇsenje : : β = m
2k > ω, določitev trajektorije z začetnim pogojem x(0) = x0, ˙x(0) = 0.
Malo duˇsenje : β < ω, graf tira x(0) = x0, ˙x(0) = 0. Vpliv duˇsenja na frekvenco in amplitudo nihanja.
Vsiljeno nihanje m¨x = −kx − b ˙x + f cos αt, k > 0.
Reˇsevanje enačbe vsiljenega nihanja, homogena in partikularna reˇsitev.
1

3. 3. 09 Resonanca, analiza amplitude vsiljenega nihanja v odvisnosti od razmerja lastne in vsiljene frekvence.
Resonančni pogoj, resonančna frekvenca.
Energija in delo
Pojem dela in moči.
Izrek o delu. Delo je enako razliki kinetične energije.
Pojem potencialne in konzervativne sile.
Primeri konzervativne sile:
a) sila teˇze, V = −mgz
b) sila vzmeti, V = 1
2 k(x − l)2 .
c) gravitacijska sila.
Energijski izrek Če se točka giblje pod vplivom konzervativne sile, je vsota kinetične in potencialne
energije konstanta gibanja.
Primeri nekonzervativne sile:
a) sila upora,
b) sila trenja.
Enostavni primeri uporabe energijske enačbe, prosti pad, harmonično gibanje.
Kvalitativna obravnava gibanja premočrtnega gibanja pod vplivom konzervativne sile:
Energijska enačba 1
2 m ˙x2 + V (x) = E.
a) graf potencialne funkcije;
b) omejeno gibanje, neomejeno gibanje;
c) ravnoveni poloˇzaji, stabilni, nestabilni.
10. 3. 09 Primer : matematično nihalo. Redukcija gibanja na premočrtno gibanje m ¨ φ = − mg
l sin φ, kvalitativna
obravnava gibanja, aproksimacija s harmoničnim gibanjem.
Sistem N-materialnih točk
Pisava Pi, mi, ri, vi, ai.
Masno srediˇsče.
Primer: masno srediˇsče sistema dveh točk.
Zapis masnega srediˇsča sistema kot masno srediˇsče dveh masnih srediˇsč njunih podsistemov.
Primer: masno srediˇsče sistema treh točk, teˇziˇsče trikotnika.
Razdelitev sil; zunanje, notranje; pisava Fji sila j-te točke na i-to točko.
Tretji Newtonov zakon, zakon akcije in reakcije Fji = − Fij.
Enačba gibanja masnega srediˇsča.
Vrtilna količina točke li(O) =
OPi × mivi, vrtilna količina sistema točk L = L(O) = N
i=1 li(O).
Izrek o vrtilni količini: d L
dt = N + Nn, N = N i=j ri × Fji.
Navor zunanjih, navor notranjih sil sil.
Centralnost notranjih sil; če so notranje sile centralne, je navor notranjih sil enak nič.
Izrek o vrtilni količini: d L
dt (O) = N(O).
i=1 ri × Fi, Nn =
TOGO TELO
Togo gibanje ohranja razdalje med točkami in orientacijo.
Osnovni načini togega gibanja:
a) translacija;
b) rotacija.
Gibanje togega telesa je natanko določeno z gibanjem treh nokolinearnih točk.
Vsako togo gibanje moremo zapisati kot vsoto translacije in rotacije.
ˇStevilo prostostnih stopenj gibanja togega telesa.
Enačbe gibanja togega telesa.
Dinamika togega telesa je natanko določena z rezultanto sil in navorov.
Sistem sil F = {(P1, F1), . . . , (Pn, Fn)}, rezultanta sil sistema sil F (F) = n
i=1 Fi, moment sistema sil
N(F, O) = n
i=1
OPi × Fi.
Definicija Sistema sil F1 in F2 sta ekvipolentna, če F (F1) = F (F2) in N(F1, O) = N(F2, O).
Trditev Definicija ekvipolentnosti sistema sil je neodvisna od izbire pola O.
2

Dinamika togega telesa pod vplivom sistema sil F je natanko določena z F (F) in N(F1, O).
17. 3. 09 Operacije nad razredom ekvipolentnih sistemov sil, princip o polznosti sile, princip o uravnoteˇzenemu
paru sil, princip o aditivnosti sil s skupnim prijemaliˇsčem.
Redukcija ravninskega sistema {(P1, F1), (P2, F2)} dveh sil na skupno prijemaliˇsče:
a) F1 F2;
b) F1 F2 in F1 · F2 > 0;
c) F1 F2, F1 ·
F2 < 0 in
F1 =
F2 ;
Dvojica sil.
Poljubni sistem dveh sil {(P1, F1), (P2, F2)}, ki ni dvojica moremo reducirati na sistem z eno samo silo
{(P0, F1 + F2)}, kje je P0 skupno prijemaliˇsče.
Dvojica sil kot prosti vektor {(P1, F ), (P2, − F )} ≡ {(P1 + a, F ), (P2 + a, − F )} za poljubni a.
Redukcija prostorskega sistema sil na redukcijsko točko; prestavitveni moment, glavna rezultanta, glavni
moment.
Dinama, centralna os.
Sistem sil teˇze masnih točk moremo reducirati na rezultanto sile teˇze, ki prijemlje v masnem srediˇsču.
Statika
Togo telo je v statičnem ravnovesju, če miruje in je rezultatnta vseh sil in navorov enaka nič.
Nezadostnost pogoja F = 0 oziroma N = 0.
Primer: enostavno podprt togi nosilec, odvisnost sil podpore od točke obremenitve.
Statično določene, statično nedoločene naloge.
Konzola
a) točkovno obremenjena;
24. 3. 09 b) linijsko obremenjena; določitev ekvipolentne točkovne obremenitve.
Klasifikacija obremenitev, točkovna, linijska, ploskovna, volumenska. Gostota sile: ločna, ploskovna,
volumenska.
Statično ravnoteˇzje sistemov sestavljenih iz togih podsistemov.
Sistem togih teles, spoji med telesi, sile in navori v spojih.
Klasifikacija spoja: popolni stik, tečaj, kriˇzni zglob, krogelni zglob, linijsko pomični stik, ploskovno
pomični stik.
Primer: A lestev na hrapavi podlagi. Določi kritični kot odprtja lestve.
Primeri iz tehniˇske prakse:
a) radialen leˇzaj;
b) kotalno trenje;
31. 3. 09 Osni leˇzaj.
MEHANIKA DEFORMABILNIH TELES
Deformacija
Opis deformacije, referenčni, prostorski poloˇzaj.
Mera deformacije, Cauchyjeva mera
| p1p2 | 2 − | P1P2 | 2
.
Vektor pomika r = R + u.
Gradient pomika Grad u.
Matrični račun
a) a ·
A b
b) A = 1
2
= ATa · b.
T A − A
A + A T + 1
2
c) a · (Aa) = 1
2 a · A + A T a.
| P1P2 | 2
3

7. 4. 09
14. 4. 09
Infinitezimalni deformacijski tenzor
Geometrična linearizacija
ɛ = 1
⎡
⎣
2
ɛ = 1 T
Gradu + (Gradu)
2
,
2 ∂u1
∂X
∂u2 ∂u1
∂X + ∂Y
∂u3 ∂u1
∂X + ∂Z
∂u1
∂Y
∂u3
∂Y
+ ∂u2
∂X
2 ∂u2
∂Y
∂u2
+ ∂Z
∂u1 ∂u3
∂Z + ∂X
∂u2 ∂u3
∂Z + ∂Y
2 ∂u3
∂Z
| ∆r | 2
− ∆
R 2
∆
R 2 = 2 ∆ R
∆
· ɛ
R
∆ R
∆
R
Osnovne deformacije in izračun pripadajočih deformacijskih tenzorjev :
a) enoosna deformacija;
b) večosna;
c) strig; primerjava sprememb dolˇzin stranice kvadrata iz slike in s pomočjo izračuna z deformacijskim
tenzorjem.
Napetost
Klasifikacija sil, volumenske, povrˇsinske; gostota volumenskih, povrˇsinskih sil.
Principi mehanike kontinuuma: princip o ohranitvi mase, princip o gibalni količini, princip o vrtilni
količini.
Ravnovesne enečbe:
0 = ρ
b
f dv + t da,
∂b
0 = (p − o) × ρ
f dv + (p − o) × t da + N.
Cauchyjeva hipoteza t = t(p, t; n).
Napetostni tenzor Obstaja tenzor t tako, da je t = t n.
Normalna, striˇzna napetost.
Diagonalizacija simetričnega tenzorja.
Smer največje, najmanjˇse striˇzne napetosti.
Mohrove kroˇznice.
21. 4. 09 Literatura
•
b
Določitev tenzorja napetosti iz posameznih vrednosti vektorjev napetosti v izbranih smereh.
Primer: podane tri smeri in trije vektorji napetosti.
a) Določitev dopustno obremenitev tako, da je normalna obremenitev pod dopustno vrednostjo.
b) Določitev dopustno obremenitev tako, da je striˇzna obremenitev pod dopustno vrednostjo.
Primer: vrtanje
a) Pri dani dimenziji svedra in striˇzni trdnostni zemljine določi potrebni navor za enakomerno vrtanje.
b) Pri dani striˇzni napetosti med plaˇsčem svedra in zemljino določi potrebno silo za dvig svedra.
d) Pri dani osni trdnosti svedra določi maksimalno globino vrtanja za dvig svedra.
4
∂b
⎤
⎦

5. 5. 09 Literatura
•
Sprememba komponent vektorjev in tenzorjev pri spremembi baze, pisava : sumacijska konvencija
e ′ i = αikek =⇒ t ′ i = αijtj, t ′ ij = αikαjltkl
.
Lastni vrednosti in vektorji napetostnega tenzorja so neodvisni od izbire baze.
Caucyjeva ravnovesna enačba 0 = div t + ρ f.
Dopustni ravnovesni napetostni tenzor.
Primeri:
a) enoosno napetostno stanje;
b) strig;
c) ravninsko napetostno stanje, Airyjeva funkcija.
d) hidrostatika, t = −p1;
Konstitutivne relacije.
Deformacijsko napetostni diagram za enoosni preizkus.
12. 5. 09 Literatura
•
Tabela Youngovih modulov za nekatere materiale.
Posploˇsen Hookov zakon.
Simetrije elastičnega tenzorja
a) monoklinična;
b) ortotropična;
c) kubučna;
d) tranzverzalna simetrija;
e) izotropija;
Izotropična linearna elastičnost
Lamejeva koeficienta λ, µ.
19. 5. 09 Literatura
•
Podajnostni tenzor.
Izotropija,
t =
t = 2µe + λSl (e)I,
1 + ν ν
e − Sl (t)I,
E E
Youngov modul E in striˇzni modul G, Poissonov količnik ν.
Zveza med λ, µ in E, G in ν.
Enakomerna kompresija, sprememba volumna, omejitev ν ≤ 1
2 .
Navierova enačba
Primer: razteg obeˇsene palice zaradi lastne teˇze.
(λ + µ)grad div u + µ∆ u = 0
5

26. 5. 09 Literatura
•
Valovanje v elastični snovi.
Valovna enačba, ravni val.
Hitrost longitudinalnega(dilatacijskega) valovanja cD =
cT =
µ
ρ .
2µ+λ
ρ
Tabela tipičnih vrednosti hitrosti longitudinalnega in transverzalnega valovanja.
Odboj striˇznega valovanja v polprostoru.
Kritični kot odboja striˇznega valovanja v polprostoru, Rayleighovo valovanje.
Poruˇsitveni kriteriji.
Coulomb-Mohrov kriterij | ts | = −tn tan ρ + c.
Enačba
| t1 − t3 |
2
= c cos ρ − t1 + t3
2
6
in striˇznega(ekvivolumnega) valovanja
sin ρ.