prehodne matrike za geometrijsko optiko - Fakulteta za matematiko ...

PREHODNE MATRIKE ZA GEOMETRIJSKO OPTIKO
Aleˇs Mohorič
Fakulteta za matematiko in fiziko
22. maj 2008
S prehodnimi matrikami si pomagamo pri obravnavi optičnih sistemov z geometrijsko optiko, to pomeni v pribliˇzku:
• obosno dogajanje (obosni ˇzarki): sinα ≃ tan α ≃ α,
• ne deluje za napake leč: kromatična, sferna aberacija.
Metoda funkcionira tudi za debele leče.
ˇZarek opiˇsemo z odmikom od optične osi in naklonom
y
y ′
Optična naprava lahko spremeni smer in lego vpadnega ˇzarka
macijo opiˇsemo z matriko
y
y ′
y0
= A
y ′ 0
y0
y ′ 0
u v
; A =
w z
A lahko dobimo tako, da piˇsčemo transformacijo za bazna vektorja
y0
• VZ - vzporedni ˇzarek
0
0
• SZ - sredinski ˇzarek
y ′ 0
Prehod preko ravne meje Karakteristična ˇzarka sta prikazana na sliki 1
majhnih kotov y′
y ′ 0
SZ
y’
0
VZ
n
1
n
Slika 1:
2
v izstopni ˇzarek
y’
y
y ′
. Matematično transfor-
Vzporedni ˇzarek se pri prehodu ne spremeni: y = y0, naklon sredinskega ˇzarka pa po lomnem zakonu in v pribliˇzku
= n1
. Nastavek za A vzamemo sploˇsno, kot prej, in iz enačbe:
n2
y0 y0
= A
0 0
sledi uy0 = y0 ⇒ u = 1 ter wy0 = 0 ⇒ w = 0. Drug karakteristični ˇzarek da enačbo
0n1
1
=
0
v
z
iz katere sledi vy ′ 0 = 0 ⇒ v = 0 ter zy′ 0
= n1
n2 y′ 0
n2 y′ 0
⇒ z = n1
n2
0
y ′ 0
. Prehodna matrika za prehod preko ravne meje je torej
1
Aa =
0
0
1
n1
n2

VZ
SZ
y0
R
y
y’
0
0
n
1
n
n
n
1 y'0
2
2
Slika 2:
Prehod preko konveksne meje Karakteristična ˇzarka sta na sliki 2.
Tu za karakteristična ˇzarka veljata sledeči enačbi: za VZ
y0
− y0
y0
= A
R
0
in za SZ 0n1
1 − n1
n2
n2 y′ 0
0
= A
y ′ 0
Prehodna matrika za prehod preko konveksne meje je torej
1 0
Ab = n1 1 − 1
Prehod preko konkavne meje Karakteristična ˇzarka sta na sliki 3.
VZ
y0
R
SZ
n
1
n2
R
y
y’
0
0
n
2
n
n
Slika 3:
Tu za karakteristična ˇzarka veljata sledeči enačbi: za VZ
y0
in za SZ 0n1
y0
R
1 − n1
n2
n2 y′ 0
R
1 y'0
2
y
0 n1
1
R n2
R
n1
n2
n1
n
y0
= A
0
0
= A
y ′ 0
Prehodna matrika za prehod preko konkavne meje je torej
Ac =
1 0
1 − n1
1
n2 R
2
n1
n2
2
n1
n
y
0 n1
1
R n2
2

y’
SZ
0
n
d
y’ 0
y y
VZ
0 0
Slika 4:
Prehod skozi plast s fiksnimi optičnimi lastnostmi Karakteristična ˇzarka sta na sliki 4.
Tu za karakteristična ˇzarka veljata sledeči enačbi: za VZ
y0 y0
= A
0 0
in za SZ y ′ 0d
y ′ 0
0
= A
y ′ 0
Prehodna matrika za prehod preko konkavne meje je torej
1 d
Ad =
0 1
Ravno zrcalo Ravno zrcalo obrne smer koordinatnih osi, kar upoˇstevamo ”v glavi”. Prehodna matrika je preprosto
1 0
Ae =
0 1
Konkavno zrcalo Karakteristična ˇzarka sta na sliki 5.
VZ
R
y0
− 2
R y0
SZ
y0
R 2
Slika 5:
Tu za karakteristična ˇzarka veljata sledeči enačbi: za VZ
y0
= A
0
in za SZ 0
y ′ 0
Prehodna matrika za odboj na konkavnem zrcalu je torej
Af =
0
= A
y ′ 0
1 0
− 2
R 1
Konveksno zrcalo Karakteristična ˇzarka sta na sliki 6.
Tu za karakteristična ˇzarka veljata sledeči enačbi: za VZ
y0
= A
0
y0
2
R y0
3

2
VZ
R
SZ
in za SZ 0
y ′ 0
y 0
Slika 6:
R
0
= A
y ′ 0
Prehodna matrika za odboj na konveksnem zrcalu je torej
1 0
Ag =
Zbiralna leča Karakteristična ˇzarka sta na sliki 7.
SZ
VZ
y’
0
y’
2
R 1
0
Slika 7:
Tu za karakteristična ˇzarka veljata sledeči enačbi: za VZ
y0
− y0
y0
= A
f 0
in za SZ 0
y ′ 0
Prehodna matrika za lom na zbiralni leči je torej
Ah =
0
= A
y ′ 0
1 0
− 1
f 1
pri razprˇsilni leči pa le spremenimo predznak pred f.
Enačbo TANKE leče lahko na drug način dobimo tudi tako, da lečo obravnavamo kot dva prehoda preko konveksne
oziroma konkavne meje med sredstvi z različnim lomnim kvocientom in pri tem ustrezno upoˇstevamo indekse 1 in 2. Za
zbiralno lečo prikazano na sliki 8 sestavimo to kot najprej prehod preko konveksne meje in nato preko konkavne meje.
Prehodno matriko napiˇsemo enostavno kot produkt prehodnih matrik za posamezni dogodek, s tem, da matrike nizamo
po vrsti z desne:
A = AcAb =
1 − n2
n1
1
0
1
r2
n2
n1
1
0
n1 1 − 1
n2
r1
n1
n2
=
f
−
1 − n2
n1
y’
1
r2
1
0
n1 1 − 1 1
Ker vemo, da v levo spodaj v tej matriki leˇzi −1/f od tu brez teˇzav zapiˇsemo enačbo za goriˇsčno razdaljo leče iz snovi z
lomnim kvocientom n in krivinskima radijema r1 in r2.
S prehodnimi matrikami poiˇsčemo enačbo leče tako, kot nakazuje slika 9.
4
+ n2
n1
n1
r1

n
1
1
r
n
2
2
2
Slika 8:
Slika 9:
r f
Vzporedni ˇzarek VZ prepotuje razdaljo a, nato se lomi na leči ter se na razdalji slike b seka s temenskim ˇzarkom TZ,
ki izhaja iz iste točke in nelomljen preide skozi teme leče. Prehodna matrika za tak sistem je
b b a
1 b
1 a 1 − f a − f + b
A = Ad(b)AhAd(a) =
=
0 1
0 1
Če s to matriko delujemo na VZ, dobimo
na TZ pa
y0
A
0
1 0
− 1
f 1
=
y0
A
−y0/a
1
y0 − by0/f
−y0/f
=
−by0/a
−y0/a
V razdalji slike se morata odmika obeh ˇzarkov od optične osi ujemati: y0 − by0/f = −by0/a oz. 1/b + 1/a = 1/f, kar
je enačba leče.
5
,
.
− 1
f
1 − a
f