Wykład 4

Fizyka materii skondensowanej i struktur
półprzewodnikowych
Wykład 4
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 1

Plan wykładu 4
Elementy mechaniki kwantowej w ciele stałym:
– klasyczny model Drudego
– przybliżenie Borna-Oppenheimera
– wieloelektronowe równanie Schrödingera
– przybliżenie jednoelektronowe Hartree
– potencjał periodyczny (kryształ), twierdzenie Blocha, funkcja
Blocha
– strefy Brillouina
– warunki periodyczności Borna-Karmana
Struktura pasmowa stanów elektronowych:
– model pustej sieci
– model elektronów prawie swobodnych
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 2

H
=
=
∑
i
i
∑
gdzie :
Przybliżenie Borna-Oppenheimera
Pełny nierelatywistyczny hamiltonian układu jąder i elektronów:
2
pi
+
2m
2
pi
+
2m
∑
2
PN
2M
N N
N
2
PN
2M
N
1
+
4πε
0
r = ( r , r , r ,....),
∑
1
2
1
+
4πε
3
0
∑
2
e
r − r
i< j i j
∑
2
e
ri
− r
R = ( R
i< j j
1
1
−
4πε
+ V ( r,
R)
+ G(
R)
, R
• współrzędne obu podukładów – elektronowego i jądrowego (jonowego)
są nietrywialnie przemieszane, sugerując, że separacja zmiennych
elektronowych i jądrowych jest niemożliwa
• możliwe rozwiązanie: przybliżenie adiabatyczne Borna-Oppenheimera
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 3
2
, R
3
0
∑
i, N i N
,....)
Z N e
r − R
2
1
+
4πε
0
∑
Z
R
N
Z K e
− R
2
N < K N K
=

Przybliżenie Borna-Oppenheimera
1. Jony (sieć) drgają powoli w porównaniu z częstościami charakterystycznymi
dla elektronów; można wobec tego przyjąć, że dla każdego chwilowego
położenia jonów elektrony znajdują się w stanach kwantowych
odpowiadających potencjałowi aktualnej konfiguracji jonów.
2. „Zamrażamy” więc jony w ich chwilowych położeniach i rozwiązujemy
elektronowe równanie Schrödingera:
2
2
k ⎛ pi
1 e ⎞
k
k
k
H elψ
el ( r;
R)
= ⎜
V ( r,
R)
⎟
ψ el ( r;
R)
= Eel
( R)
⋅ψ
el ( r;
R)
⎜∑
+ ∑ +
i 2m
4πε
0 i j ri
r ⎟
<
⎝
− j ⎠
( r;
R)
otrzymujemy wieloelektronowe funkcje falowe el zależne od
położeń wszystkich elektronów, sparametryzowane chwilowymi
położeniami wszystkich jąder (jonów) R . Wskaźnik k reprezentuje zbiór
liczb kwantowych wieloelektronowego stanu kwantowego. Energie
także zależą od parametrów .
E k
el
R
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 4
ψ
k
(R)

Przybliżenie Borna-Oppenheimera
3. Rozwiązania dla pełnego hamiltonianu układu elektronów i jąder (jonów)
poszukujemy teraz w postaci (ewentualnie w postaci kombinacji liniowej
k
takich rozwiązań odpowiadających różnym możliwym funkcjom ψ ( r;
R)
):
k
Ψ(
r,
R)
= Φ(
R)
⋅ψ
( r;
R)
4. Pamiętając, że operatory pędu dla jonów będą działały także na
otrzymujemy:
2
⎛ PN
HΨ(
r,
R)
=
⎜
⎜∑
⎝ N 2M
N
k ⎞
+ Eel
( R)
+ G(
R)
⎟
⎟Ψ(
r,
R)
=
⎠
2
k ⎧ PN
= ψ el ( r;
R)
⎨∑
⎩ N 2M
N
k ⎫
+ Eel
( R)
+ G(
R)
⎬Φ(
R)
+
⎭
2
−∑
2M
k
2∇
Φ(
R)
⋅∇
ψ el ( r;
R)
+ Φ(
R)
∆
RN
RN
RN
N N
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 5
el
ψ
el
k
el
( r;
R)
{ ( r;
R)
}
k
ψ
el

Przybliżenie Borna-Oppenheimera
5. Jeśli można zaniedbać drugą linijkę powyższego wzoru (różniczkowania
wieloelektronowej funkcji falowej po współrzędnych jonów) – patrz J.M.
Ziman, „Wstęp do teorii ciała stałego”, to otrzymujemy równanie na funkcję
(R) w formie równania Schrödingera:
Φ
⎛
⎜
⎝
⎞
( R)
+ G(
R)
⎟
⎟Φ(
R)
⎠
2
PN k
k
+ Eel
= E
N 2M
N
∑
Φ(
R)
tzn. (R) ma sens funkcji falowej opisującej ruch jąder (jonów) w
potencjale wzajemnego ich oddziaływania oraz adiabatycznego
wkładu elektronów w energię ruchu jąder/jonów (energię sieci)
Φ
G(R)
(R)
6. Człony zaniedbane dają sprzężenie pomiędzy podukładami elektronów i
jąder (jonów) – sprzężenie elektron-fonon
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 6
E k
el

Ruch jonów (drgania sieci), przybliżenie harmoniczne
• Równowagowy układ położeń jąder/jonów (równowagowa wartość stałej
sieci) odpowiada minimum efektywnego potencjału:
U
k
eff
k
( R)
=
E ( R)
+ G(
R)
el
w którym poruszają się jądra (jony)
• Rozwijając Ueff wokół położenia równowagi (człon liniowy zniknie)
U eff ( R)
= U eff
( R
R0
( δR)
otrzymujemy energię potencjalną sieci jako funkcję zawierającą człony co
najmniej kwadratowe we względnych przesunięciach jonów R. Ograniczenie się do członów kwadratowych daje nam obraz drgań sieci jako
zbioru sprzężonych oscylatorów harmonicznych; dołożenie wyższych
członów rozwinięcia daje efekty anharmoniczne (np. rozszerzalność
termiczną, oddziaływanie fonon-fonon)
δ
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 7
0
)
+ U
'

H
el
Wieloelektronowe równanie Schrödingera
2
2
k ⎛ pi
1 e ⎞
k
k
ψ el ( r;
R)
= ⎜
V ( r,
R)
⎟
ψ el ( r;
R)
= Eel
( R)
⋅ψ
⎜∑
+ ∑ +
i 2m
4πε
0 i j ri
r ⎟
<
⎝
− j ⎠
Jak je rozwiązać?
( r;
R)
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 8
k
el

Ψ(
r ,
1
Wieloelektronowe równanie Schrödingera
• Jedna z metod: LCAO-MO z przybliżeniem Hartree-Focka –
metoda samouzgodniona (rozwiązania iteracyjne), n-elektronowa
funkcja falowa w postaci pojedynczego wyznacznika Slatera,
automatycznie zapewniającego antysymetryczność funkcji falowej
ze względu na przestawienie dwóch dowolnych elektronów:
sp
sp
sp
ϕ1
( r1
, s1)
ϕ1
( r2
, s2
) ... ϕ1
( rn
,
sp
sp
sp
1 ϕ 2 ( r1
, s1)
ϕ 2 ( r2
, s2
) ... ϕ 2 ( rn
,
r2
, r3
,... rn
, s1,
s2
, s3
,... sn
) =
n!
... ... ... ...
sp
sp
sp
( r , s ) ( r , s ) ... ( r ,
ϕ
• każdy z jednoelektronowych spinorbitali i i musi być
inny – dwa spinorbitale mogą np. mieć tę samą część orbitalną, ale
wtedy muszą się różnić spinem: ⎡1⎤
ϕi
( ri
) ⋅ ⎢ ⎥
⎣0⎦
i
⎡0⎤
ϕi
( ri
) ⋅ ⎢ ⎥
⎣1⎦
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 9
n
1
1
ϕ
ϕ
n
sp
2
2
( r , si
)
ϕ
n
n
s
s
s
n
n
n
)
)
)

Wieloelektronowe równanie Schrödingera
• W metodzie „oddziaływania konfiguracji” poszukuje się rozwiązania
zagadnienia wieloelektronowego w postaci kombinacji liniowej
różnych możliwych wyznaczników Slatera (jeszcze trudniejsza
rachunkowo)
• Dla dużej liczby elektronów metody te są niewykonalne!
• Sposób na efektywne zmniejszenie układów – np. metoda super-cell:
relatywnie nieduży układ periodycznie powtarzany, co imituje układ
duży i np. pozbywamy się w ten sposób wpływu „brzegów” (zerwane
wiązania etc.) – rachunki defektów w kryształach, struktur pasmowych
kryształów mieszanych etc.
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 10

Metoda super-cell
Rachunki energii tworzenia defektów w Al 2O 3
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 11

Teoria funkcjonału gęstości – DFT
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 12

Przybliżenie jednoelektronowe
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 13

Przybliżenie Hartree (przybliżenie jednoelektronowe)
• Poszukujemy rozwiązania w postaci:
• Zakładamy, że na każdy elektron działa średni potencjał pochodzący
od jonów i pozostałych elektronów:
2 ⎛ pi ⎞
Vi
( ri
) ( r1
, r2
, r3
,...
i 2m
⎟
⎜
⎜∑
+ ∑ Ψ
⎝
i ⎠
rn
) = Etot
⋅ Ψ(
r1
, r2
, r3
,...
rn
)
• Stąd mamy:
2 ⎛ pi ⎜
⎝ 2m
⎞
Vi
( ri
) ⎟
ϕ i ( ri
) = Ei
⋅ϕ
i ( ri
)
⎠
∑ E i = E
i
• Jeśli każdy z potencjałów jest w przybliżeniu taki sam
• to …
Ψ(
r1
, r2
, r3
,... rn
) = ϕ1 ( r1
) ⋅ϕ
2 ( r2
) ⋅ϕ
3 ( r3
) ⋅.....
⋅ϕ
n ( rn
)
( r1
) ≈
V2
( r2
)
+ tot
....
) = V ( r )
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 14
( r
V1 ≈ ≈ Vn
n

Jednoelektronowe równanie Schrödingera
2 ⎛ p ⎞
⎜
+ V ( r ) ⎟ ϕ n ( r ) = En
⋅ϕ
n ( r )
⎜ 2m
⎟
⎝ ⎠
Jednoelektronowe
równanie Schrödingera
gdzie n – zbiór liczb
kwantowych numerujących jednocząstkowe stany
kwantowe ϕ n (r ) o energiach En • stany jednocząstkowe mogą być obsadzane przez kolejne elektrony
zgodnie z zasadą Pauliego
• trzeba pamiętać, że jeśli np. zmienimy istotnie liczbę elektronów w
danym paśmie, to możemy spodziewać się modyfikacji potencjału V (r )
i zmiany widma jednocząstkowego! (patrz np. renormalizacja przerwy
energetycznej)
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 15

Potencjał periodyczny (kryształ),
twierdzenie Blocha
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 16

Potencjał periodyczny (kryształ), twierdzenie Blocha
• dla funkcji periodycznych z okresem sieci:
gdzie:
n a + n a
+ n a n , n
R s
jest dowolnym wektorem sieci Bravais,
dobrą bazą rozwinięcia na szereg Fouriera są funkcje postaci:
gdzie:
1 1
– wektor sieci odwrotnej
rzeczywiście:
G(
r + R ) = exp iGr
⋅exp
iGR
= exp iGr
⋅exp
2πi
⋅(
n m
( r + R ) = f ( r )
f s
∈ Z
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 17
, n
= 1 1 2 2 3 3 1 2 3
( r )
exp( iGr
)
G
*
m a
*
+ m a
*
+ m a m , m , m ∈ Z
g = G
= 2 2 3 3 1 2 3
[ ] ( ) ( ) ( ) [ + n m + n m ) ] = exp(
iGr
)
exp i s
s
1 1 2 2 3 3

• rozwinięcie potencjału:
• rozwinięcie funkcji falowej:
• równanie Schrödingera:
∑
k
2
k
2m
Potencjał periodyczny (kryształ), twierdzenie Blocha
2
V ( r ) = V exp( iGr
)
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 18
∑
G
ϕ(
r ) = C exp( ikr
)
∑
C exp( ikr
) + C
'V
exp
k ∑ k G
∑
'
k , G
k
G
k
[ ] '
i ( k + G)
r = E ⋅ C exp( ikr
)
k
k

Potencjał periodyczny (kryształ), twierdzenie Blocha
'
• po przemianowaniu wskaźników sumowania k + G → k otrzymujemy:
2 2
⎡⎛
k ⎞
⎤
∑exp( ikr
) ⋅ ⎢ ⎜ − E + ⎥ = 0
⎣ 2 ⎟
⎟C
k ∑V C
G k −G
k ⎝ m
⎠ G ⎦
• skoro powyższe równanie ma być spełnione dla dowolnego , to:
2 2 ⎛ k ⎞
⎜ − E + = 0
2 ⎟
⎟C
∑V C
k k G k −G
⎝ m
⎠ G
∀
k
• A więc dla każdego z osobna będą istniały rozwiązania
ϕ(
r ) = C ∑ exp( ikr
)
k
k
zawierające współczynniki
rozwinięcia różniące się od o dowolny wektor sieci odwrotnej.
Oznacza to, że wektor k jest dobrą liczba kwantową, numerującą
zarówno stany, jak ich energie.
k C
k
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 19
r

• rozwiązanie numerowane „liczba kwantową” :
odpowiadające energii własnej
• każde jest równie dobre do numerowania stanów; wygodnie
jest wybrać wektor najkrótszy (należący do pierwszej strefy Brillouina)
• inaczej:
Potencjał periodyczny (kryształ), twierdzenie Blocha
ϕ ( r ) = ∑C exp[ i(
k − G)
⋅ r ]
k k −G
G
E
= E(k
)
k
k −
G
⎡
⎤
ϕ ( r ) = C
k ⎢∑
exp
k −G ⎥
exp
k
⎣ G
⎦
( − iG
⋅ r ) ⋅ exp(
ik
⋅ r ) = u r ( ik
r )
( ) ⋅
⋅
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 20
k

ϕ
= u ( r ) ⋅exp
Funkcja Blocha
( ik
r )
( r )
⋅
n,
k n,
k
funkcja
Blocha
1. wektor falowy należy do pierwszej strefy Brillouina i jest dobrą
liczba kwantową; n numeruje różne rozwiązania odpowiadające temu
samemu (indeks pasm)
k
( )
u r , k
Własności funkcji Blocha
k
2. funkcja (amplituda blochowska) jest funkcją periodyczną z
n
okresem sieci:
u
( r ) = un,
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 21
( r
+
n,
k
k
R
s
)

ϕ ( ) = ϕ
n,
k G
n,
r k
3.
:
ϕ
+
n,
k + G
( r ) =
=
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
∑
G''
G'
∑
C
Funkcja Blocha
( r )
C
k + G−G
'
k −G''
( k ) =
E ( k + G)
En n
exp
exp
( − iG'⋅r
) ⋅exp[
i(
k + G)
⋅ r ]
( − iG''⋅r
) ⋅exp(
ik
⋅ r ) = ϕ ( r )
4. – wynika z punktu poprzedniego
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 22
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
n,
k
=

Funkcja Blocha
5. Z niezmienniczości hamiltonianu względem inwersji czasu (bez pola
magnetycznego):
( k ) = E ( −k
)
↓
En n
↑
6. Jeśli operacja inwersji (przestrzennej) należy do grupy punktowej
kryształu, to niezależnie od spinu:
( k ) =
E ( −k
)
En n
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 23

Funkcja Blocha
Przypadek trywialny – stały potencjał (a więc także periodyczny!)
⎛
⎜
⎜−
⎝
2
∆
2m
+ V
0
⎞
⎟ ϕ ( r ) = E(
k ) ⋅
k
⎠
ϕ
k
( r )
rozwiązaniem są fale płaskie – też funkcje Blocha z = const:
(
r u r ik
r ) A (
ϕ
ik
r )
( ) = ( ) ⋅ exp ⋅ = ⋅ exp ⋅
k
k
2 2
k
E ( k ) = + V0
2m
z widmem energii:
W tym przypadku k jest wartością własną operatora pędu
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 24
u k
(r )

Pęd krystaliczny (kwazipęd)
Czy zawsze funkcja Blocha opisuje elektron o dobrze określonym pędzie?
pˆ
=
[ u ( ) ] [ ( ) ]
( r ) ⋅ exp ik
⋅ r = −i∇
u ( r ) ⋅ exp ik
⋅ r =
n,
k
n,
k
[
ku
r i u r ] (
ik
r )
p[
u r (
ik
r ) ]
( ) − ∇ ( ) ⋅ exp ⋅ ≠ ( ) ⋅ exp ⋅
• funkcja Blocha w ogólności nie opisuje elektronu o dobrze określonym
pędzie – nie jest w ogólności wartością własną operatora pędu
k
( )
u r , k
• wyjątkiem jest przypadek, kiedy jest funkcją stałą (a więc
n
funkcją okresową, dla której każdy okres jest dobry)
k
n,
k
n,
k
• nazywa się kwazipędem lub pędem krystalicznym
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 25
n,
k

Pęd krystaliczny (kwazipęd)
• przy oddziaływaniu z innymi kwazicząstkami (elektrony, fonony, magnony
etc.) uwięzionymi w krysztale i prawdziwymi cząstkami przenikającymi
przez kryształ (np. fotony, neutrony) prawo zachowania pędu należy
zastąpić prawem zachowania kwazipędu:
∑
' '
ki pi
= ki
+ pi
+ G
+ ∑ ∑ ∑
• prawo zachowania energii nie ulega w krysztale zmianie:
∑ Ei
=
∑
E
'
i
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 26

Strefy Brillouina
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 27

1.
2.
Strefy Brillouina
Przypomnienie – 2 ważne własności funkcji Blocha:
ϕ
) = ϕ ( r )
( r n,
k + G
n,
k
( k ) = E ( k + G)
En n
wystarczy więc, jeśli chodzi o zależność od wektora falowego k ,
ograniczyć się np. do obszaru najmniejszych co do długości wektorów
, leżących wewnątrz komórki prymitywnej sieci odwrotnej. Taka
komórka jest wystarczającym obszarem zmienności wektora falowego.
k
Komórka prymitywna w sieci odwrotnej skonstruowana w taki sam
sposób, jak komórka Wignera-Seitza w sieci Bravais nazywa się
pierwszą strefą Brillouina
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 28

Strefy Brillouina
Pierwsza i druga strefa Brillouina w dwuwymiarowej, kwadratowej
sieci odwrotnej
http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/brillouin_zones/zone_construction.php
Płaszczyzny (tutaj – linie) dzielące na pół
odpowiednie wektory sieci odwrotnej
wyznaczają obszary należące do
kolejnych stref Brillouina. Każda strefa
ma taką samą objętość (tutaj –
powierzchnię).
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 29

Strefy Brillouina
Wektor k g z granicy I strefy Brillouina:
– z definicji strefy Brillouina
k G G
g ⋅
=
G 2
i dalej:
2 2
2k g ⋅G
= G ⇒ k g − G = k g
k g − G = k '
k g
Wektor: leży po przeciwnej stronie I strefy Brillouina i jest
równoważny wektorowi (w sensie własności funkcji Blocha). Dla wektorów
tych spełniony jest warunek Lauego:
k g
− k '=
∆k
= G
Stany z granicy I strefy Brillouina odpowiadają elektronowym falom stojącym
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 30
2

Strefy Brillouina
Pierwsza strefa Brillouina dla struktury fcc - czternastościan
Odległości:
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 31
d ΓL
=
3π
a
d ΓX
2π
=
a

Struktura bcc
H. Ibach, H. Lüth, Solid-State Physics
Strefy Brillouina
Struktura heksagonalna
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 32

Warunki periodyczności Borna-Karmana
• kryształy są skończonych rozmiarów – można wprowadzić warunki
brzegowe znikania funkcji falowej na brzegach kryształu
• prowadzi to jednak do tego, że wszystkie fale (elektronowe,
sieciowe etc.) będą stojące, co w wielu wypadkach utrudnia opis
• ponieważ w kryształach makroskopowych drogi swobodne
elektronów są dużo mniejsze niż rozmiary kryształów,
najwygodniejszym rozwiązaniem jest przyjęcie tzw. warunków
periodyczności Borna-Karmana:
Ψ( r + N ja
j ) = Ψ(
r ); j =
a j
N a =
L
gdzie są wektorami sieci Bravais, a j dużymi liczbami
całkowitymi, takimi że jest rozmiaru całego
j j j
kryształu
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 33
1,
2,
3
N

Warunki periodyczności Borna-Karmana
• w przypadku funkcji Blocha mamy:
ϕ ( r + N ja
j ) = u ( r + N
k
k
ja
j ) ⋅ exp
u r (
ik
r ) (
=
iN )
( ) ⋅ exp ⋅ ⋅ exp
k
jk
⋅ a j
• żądanie, aby (
exp iN ) jk
⋅ a j = 1
prowadzi do:
{ ik
⋅ ( r + N a ) }
• dozwolone wektory falowe stanowią dyskretną sieć punktów
równomiernie rozłożoną w przestrzeni wektora falowego; komórkę
elementarną sieci odwrotnej (strefę Brillouina) wypełnia
N1 ⋅ N 2 ⋅ N 3
takich punktów. Tyle też będzie stanów w każdym paśmie.
N
, N , N mogą być różne, ale najczęściej przyjmujemy takie same
1
2
3
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 34
n1
* n2
* n3
*
k = a1
+ a2
+ a3
n1,
n2
, n3
∈ Z
N1
N 2 N 3
k
j
j
=

Struktura pasmowa stanów elektronowych
Model pustej sieci
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 35

Model pustej sieci
E(
k ) = E(
k + G)
2
E(
k ) = E(
k + G)
= k + G
2m
Zależność , dla potencjału periodycznego, ale
dążącego do zera daje:
• w przypadku jednowymiarowym:
H. Ibach, H. Lüth, Solid-State Physics
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 36
2

Model pustej sieci
P. Y. Yu, M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 37

Model pustej sieci
• w przypadku trójwymiarowym (struktura sc):
Ch. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego.
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 38

Model pustej sieci
W obrazie zredukowanym do I strefy Brillouina występuje wiele
różnych zależności E(k ) i konieczne jest ich numerowanie (numer
pasma):
E n
(k )
Funkcje Blocha (bez uwzględnienia spinu) są więc numerowane
wektorem falowym oraz indeksem pasma n:
ϕ
k
= u ( r ) ⋅ exp
( ik
r )
( r )
⋅
n,
k
n,
k
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 39

Nazewnictwo pasm, grupa wektora falowego
Struktura diamentu
pusta sieć rachunki metodą pseudopotencjału
P. Y. Yu, M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 40

Nazewnictwo pasm, grupa wektora falowego
• Wektor k jest dobrą „liczbą” kwantową; dla każdego równoważnego
funkcja Blocha jest taka sama
• Co robią operacje symetrii z wektorem falowym ( a więc i z
funkcjami falowymi)? Czy transformują go w równoważny mu
czy też nie?
• Zbiór tych operacji symetrii pełnej grupy punktowej kryształu, które
transformują dany wektor falowy w równoważny mu
stanowi grupę wektora falowego (i jest podgrupą pełnej grupy
punktowej kryształu)
• W zależności od tego, czy jest jakimś symetrycznym punktem 1BZ
(np. Γ, X, L), czy leży na jakimś symetrycznym kierunku (np. Λ, ∆)
czy też nie – grupa wektora falowego jest inna
• Dla (punkt Γ strefy Brillouina) każda operacja grupy
punktowej kryształu przeprowadza go w wektor mu równoważny, a
więc grupa wektora falowego z punktu Γ równa się pełnej grupie
punktowej kryształu
k '=
k + G
k
k '=
k + G
k k '=
k + G
k
k
k
k = 0
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 41

Nazewnictwo pasm, grupa wektora falowego
• Stany klasyfikujemy (nazywamy) nieprzywiedlnymi reprezentacjami
odpowiednich grup wektora falowego. Przyjęło się w tym wypadku
używać w nazwach reprezentacji nazw punktów (kierunków) w strefie
Brillouina
• Przykład: struktura blendy cynkowej, grupa punktowa Td. Reprezentacje
nieprzywiedlne: A1 (1-wym.), A2 (1-wym.), E (2-wym.), T1 (3-wym.), T2 (3-wym.). Grupa wektora falowego z punktu Γ – też Td. Teraz jednak
nazewnictwo inne:
„BSW” Bouckaert, Smoluchowski,
Wigner
P. Y. Yu, M. Cardona, Fundamentals
of Semiconductors
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 42

Nazewnictwo pasm, grupa wektora falowego
– Wektor falowy z punktu L lub
na kierunku Λ: operacje, które
przeprowadzają taki wektor w
równoważny mu tworzą grupę
C 3v. Trzy nieprzywiedlne
reprezentacje: A 1 (1-wym.), A 2
(1-wym.), E (2-wym.)
⇒ L 1, L 2, L 3 (Λ 1, Λ 2, Λ 3 )
– Podobnie z punktem X (grupa
D 2d) czy z kierunkiem ∆
(grupa C 2v). Reprezentacje:
X 1, X 2, X 3, X 4 (wszystkie 1wym.),
X 5 (2-wym.) oraz ∆ 1,
∆ 2, ∆ 3, ∆ 4 (wszystkie 1-wym.).
P. Y. Yu, M. Cardona, Fundamentals
of Semiconductors
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 43

Nazewnictwo pasm, grupa wektora falowego
Uwzględnienie spinu
• Mechanika kwantowa uczy, że obrót funkcji spinowej
wokół wybranej osi (tutaj – z) o kąt φ daje wynik:
α
R
• Dla kąta φ = 2π otrzymujemy:
(!!!)
• a więc obrót funkcji spinowej o kąt 2π nie jest operacją tożsamościową.
Dodanie takiej operacji do grupy podwaja liczbę elementów grupy
⇒ grupy podwójne
α = c1
↑ + c2
⎛ iS zφ
⎞ ⎛ iφ
⎞ ⎛ iφ
⎞
U ( R)
α = exp⎜−
⎟ α = exp⎜−
⎟ c1
↑ + exp⎜
⎟ c
⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
= 2
α −c
↑ − c ↓ = − α
= R
1 2
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 44
↓
↓

Nazewnictwo pasm, grupa wektora falowego
P. Y. Yu, M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 45

Nazewnictwo pasm, grupa wektora falowego
GaAs
2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 46