Roman Taberski (1927–1999)

RomanTaberski(1927–1999) 201
niejzbieżnybezwzględnieijednostajnie.Podałtwierdzeniadotyczącerzędu
zbieżnościwedługnormprzestrzeniCiL p ,p1,różnychśrednichszeregów
Fouriera–Bessela.MiędzyinnymibadałśrednieFejéraorazśrednieRiesza
S r n [f](r∈N)iw[22]wykazał,żejeżelif∈C([0,1]),f(0)=f(1)=0,
rν+3/2,ν>−1/2,todlawszystkichn∈Nprawdziwajestnierówność
typuJacksonaS r n [f]−fcω 1
n ;f ;wspecjalnymprzypadkuν=−1/2,
r>2iprzypewnychdodatkowychzałożeniachofunkcjif,woszacowaniu
tymmodułciągłościtejfunkcjimożnazastąpićjejmodułemgładkości.Podobnetwierdzeniatypujacksonowskiegoudowodniłtakżedlaodpowiednich
średnichszeregówFouriera–Diniego([24]i[25]).Badającsumyczęściowe
szereguFouriera–Bessela,w[43]podałkryteriaDiniegoiJordanapunktowejzbieżnościtychszeregów.Problematykętęrozwinąłw[76]uzyskującogólniejszekryteriumYounga,któreprzedstawiłwnowszej,aproksymacyjnejwersji,pozwalającejnietylkownioskowaćozbieżnościszeregu,aletakże
szacowaćrządtejzbieżności.
Wlatach1969–1974RomanTaberskizajmowałsięzbieżnościąilimesowalnościątrygonometrycznychwielomianówinterpolacyjnychdla2π-okresowychfunkcjif
całkowalnychwsensieRiemannana[−π,π].Rozważał
wielomianytrygonometrycznestopnian,którewwęzłachinterpolacjixj=
2πj/(2n+1)przyjmująwartościf(xj),j=0,±1,±2,...Wpracy[30]wykazał,międzyinnymi,żejeżelif∈BVp,p1(fjestokresowaookresie2π
imaskończonąwariacjępotęgowąna[−π,π]),towspółczynnikiFouriera–
Lagrange’aa (n)
k (f),b(n)
k (f)(k=1,2,...,n)wielomianówinterpolacyjnych
funkcjifsąrzęduO(k −1/p′
)dlakażdegop ′ >plubrzęduO(k −1/p ln(n+1)).
W[33],[34],[36],[41]zbadałmetodylimesowalnościFejéra,Rieszaoraz
Cesàrorzęduα>−1,atakżeodpowiednieśrednieznimisprzężone.W[39]
uzyskałodpowiednikitwierdzeniaRiemanna–Lebesgue’a,atakżeudowodnił
kryteriatypuDiniego,YoungaidelaValléePoussinadotyczącezbieżności
wyżejwspomnianychwielomianówinterpolacyjnych.Dotegotematupowróciłwroku1987podającw[75]bardziejogólnekryteriazbieżnościprocesów
interpolacyjnychistosującwnichtzw.modułwariacjifunkcji.Uzyskałwten
sposóbtakżekryteriumzbieżnościjednostajnej,analogicznedoodpowiedniegokryteriumCzanturii[C]z1976roku,dotyczącegotrygonometrycznych
szeregówFouriera.
Opróczomówionychwyżejzagadnieńpunktowejinormowejzbieżności
isumowalnościRomanTaberskirozważałrównieżaproksymacjęwmocnym
sensie.Wkilkupublikacjachztegozakresunawiązałdobadańmatematykówwęgierskich,azwłaszczaL.LeindleraiV.Totika.MiędzyinnymibadałmocneśrednieHardy’ego,AbelaorazdelaValléePoussinaszeregówFourierafunkcjiokresowych([28],[45],[49],[79],[97]).Podałoszacowaniatypu
LeindleraiSteczkinatychmocnychdewiacjistosującwnichstałeEn(f)