Roman Taberski (1927–1999)

More documents

Recommendations

Info

200 J. Musielak, P. Pych-Taberska osobliweCesàro(C,α)rzęduα>−1,delaValléePoussina,Weierstrassa, Abela–Poissona,Riemanna,Rieszaitp.Podałtwierdzeniadotyczącerzę- dówzbieżnościtychcałekwedługnormprzestrzeniC2πlubL p 2π ,atakże ichzbieżnościpunktowej.Wyprowadziłwzoryasymptotycznedlamiary aproksymacjitymicałkamiwklasachLipschitzazwykładnikiemα∈(0,1] lubZygmundazwykładnikiemα∈(0,2].Problematykatakabyławówczasszerokorozwijanaprzezmatematykówrosyjskich(szkołamoskiewska) iniemieckich(główniezAkwizgranu).NiektórepraceRomanaTaberskiego ztegookresusącytowanemiędzyinnymiwmonografiachP.L.Butzera iR.J.Nessela[BN]orazL.W.Żiżiaszwilego[Ż],wpublikacjachirozprawie habilitacyjnejE.Starka[S],atakżewksiążceD.S.Mitrinowicza[M].Ztej problematykiwykonanezostałypodkierunkiemR.Taberskiegorozprawy doktorskieL.RempulskiejiB.Rydzewskiej.Wwymienionychwyżejpracachomawianajesttakżeogólnateoriacałekosobliwychzparametrem.Na przykładw[13]udowodnionesątwierdzeniaozbieżnościcałekJ(x;ξ;f), gdy(x,ξ)→(x0,ξ0)popewnychpłaskichzbiorachpunktów(x,ξ),stanowiąceuogólnieniaklasycznychtwierdzeńRomanowskiegoiFaddiejewa. W[18]podanesątegotyputwierdzeniadlaodpowiednichcałekosobliwych funkcjidwóchzmiennych,całkowalnychwsensieTitchmarsha,aw[9]badanajestzbieżnośćniektórychcałekosobliwychdlafunkcjifnależącychdo przestrzeniOrlicza.ProblematykętęrozwinąłpóźniejS.Siudutwswojej rozprawiedoktorskiej. InnycyklpracRomanaTaberskiego([16],[17],[20],[22],[23],[26],[43], [44],[76])poświęconyjestrozwinięciomfunkcjiwszeregiwedługukładu funkcjiϕν(jnx),n=1,2,...,gdzieϕν(t)=t 1/2 Jν(t),JνjestfunkcjąBesselarzęduν>−1,zaś(jn)oznaczarosnącyciągdodatnichmiejsczerowychtejfunkcjiBessela.Częśćztychpracstanowiłajegorozprawęhabilitacyjną.Pokazałwnichnajpierw,żezteoriitrygonometrycznychszeregówFourieraprzenosząsięrezultatydotyczącezwiązkumiędzyrzędemmaleniawspółczynnikówrozwinięciaaklasąrozwijanejfunkcji.Międzyinnymi wykazał,żejeżelifunkcjafnależydoklasyLipschitza α naprzedziale [0,1],gdzie0 < α < 1,towspółczynnikidnrozwinięciatejfunkcjisą rzęduO(n −α ).Naodwrót,jeżelif(x)= ∞ n=1 dnϕν(jnx)dlax∈[0,1] oraz ∞ k=n |dk|=O(n −α ),tofunkcjafnależydo αna[0,1],gdy0< α
RomanTaberski(1927–1999) 201 niejzbieżnybezwzględnieijednostajnie.Podałtwierdzeniadotyczącerzędu zbieżnościwedługnormprzestrzeniCiL p ,p1,różnychśrednichszeregów Fouriera–Bessela.MiędzyinnymibadałśrednieFejéraorazśrednieRiesza S r n [f](r∈N)iw[22]wykazał,żejeżelif∈C([0,1]),f(0)=f(1)=0, rν+3/2,ν>−1/2,todlawszystkichn∈Nprawdziwajestnierówność typuJacksonaS r n [f]−fcω 1 n ;f ;wspecjalnymprzypadkuν=−1/2, r>2iprzypewnychdodatkowychzałożeniachofunkcjif,woszacowaniu tymmodułciągłościtejfunkcjimożnazastąpićjejmodułemgładkości.Podobnetwierdzeniatypujacksonowskiegoudowodniłtakżedlaodpowiednich średnichszeregówFouriera–Diniego([24]i[25]).Badającsumyczęściowe szereguFouriera–Bessela,w[43]podałkryteriaDiniegoiJordanapunktowejzbieżnościtychszeregów.Problematykętęrozwinąłw[76]uzyskującogólniejszekryteriumYounga,któreprzedstawiłwnowszej,aproksymacyjnejwersji,pozwalającejnietylkownioskowaćozbieżnościszeregu,aletakże szacowaćrządtejzbieżności. Wlatach1969–1974RomanTaberskizajmowałsięzbieżnościąilimesowalnościątrygonometrycznychwielomianówinterpolacyjnychdla2π-okresowychfunkcjif całkowalnychwsensieRiemannana[−π,π].Rozważał wielomianytrygonometrycznestopnian,którewwęzłachinterpolacjixj= 2πj/(2n+1)przyjmująwartościf(xj),j=0,±1,±2,...Wpracy[30]wykazał,międzyinnymi,żejeżelif∈BVp,p1(fjestokresowaookresie2π imaskończonąwariacjępotęgowąna[−π,π]),towspółczynnikiFouriera– Lagrange’aa (n) k (f),b(n) k (f)(k=1,2,...,n)wielomianówinterpolacyjnych funkcjifsąrzęduO(k −1/p′ )dlakażdegop ′ >plubrzęduO(k −1/p ln(n+1)). W[33],[34],[36],[41]zbadałmetodylimesowalnościFejéra,Rieszaoraz Cesàrorzęduα>−1,atakżeodpowiednieśrednieznimisprzężone.W[39] uzyskałodpowiednikitwierdzeniaRiemanna–Lebesgue’a,atakżeudowodnił kryteriatypuDiniego,YoungaidelaValléePoussinadotyczącezbieżności wyżejwspomnianychwielomianówinterpolacyjnych.Dotegotematupowróciłwroku1987podającw[75]bardziejogólnekryteriazbieżnościprocesów interpolacyjnychistosującwnichtzw.modułwariacjifunkcji.Uzyskałwten sposóbtakżekryteriumzbieżnościjednostajnej,analogicznedoodpowiedniegokryteriumCzanturii[C]z1976roku,dotyczącegotrygonometrycznych szeregówFouriera. Opróczomówionychwyżejzagadnieńpunktowejinormowejzbieżności isumowalnościRomanTaberskirozważałrównieżaproksymacjęwmocnym sensie.Wkilkupublikacjachztegozakresunawiązałdobadańmatematykówwęgierskich,azwłaszczaL.LeindleraiV.Totika.MiędzyinnymibadałmocneśrednieHardy’ego,AbelaorazdelaValléePoussinaszeregówFourierafunkcjiokresowych([28],[45],[49],[79],[97]).Podałoszacowaniatypu LeindleraiSteczkinatychmocnychdewiacjistosującwnichstałeEn(f)
Page 1 and 2: ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMAT
Page 3: RomanTaberski(1927-1999) 199 wyró
Page 7 and 8: RomanTaberski(1927-1999) 203 poświ
Page 9 and 10: RomanTaberski(1927-1999) 205 [22]So
Page 11 and 12: RomanTaberski(1927-1999) 207 [77]On

Roman Taberski (1927–1999)

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?