Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 1 

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi 

zwykłe 

Ciągi zwykłe 

Zadanie 1 

Znaleźć granicę ciągu: 

(1) 

Wskazówka 

Należy wykorzystać wzór: . 

Rozwiązanie 

Pomnożymy licznik i mianownik wzoru (1) przez wyrażenie: 

(2) 

Wykorzystując wzór: 

(3) 

gdzie przyjmiemy: 

możemy przepisać wyrażenie na w formie: 

(4) 

Aby z kolei uprościć mianownik pomnożymy teraz licznik i mianownik przez 

i ponownie wykorzystamy (3), przyjmując tym razem: 

Otrzymujemy w ten sposób: 

(5) 

i w konsekwencji 

(6) 

Zadanie 2 


(7) 

Wskazówka 

Należy wykorzystać wzór: , bądź dwukrotnie wzór: 

.


Rozwiązanie 

Pomnożymy wyrażenie na przez jedynkę zapisaną w formie ułamka: 

i wykorzystamy wzór: , przyjmując oraz 

. Otrzymujemy w ten sposób: 

Granica ciągu jest zatem równa: 

Zadanie 3 


(8) 

Wskazówka 

Należy wyłączyć z licznika i mianownika wiodące wyrazy. 

Rozwiązanie 

Wyłączymy z licznika i mianownika wiodące wyrazy, jakimi są odpowiednio oraz . Otrzymujemy: 

(9) 

Na mocy kryterium Cauchy'ego zachodzi: . Mamy bowiem 

(10) 

Podobnie: , gdyż 

(11) 

W konsekwencji otrzymujemy 

(12)


Zadanie 4 


(13) 

Należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach. 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

Będziemy korzystać z twierdzenia o trzech ciągach, więc musimy dobrać takie dwa ciągi i , które spełniają 

dla prawie wszystkich układ nierówności: 

(14) 

W tym celu zauważmy, że dla odpowiednio dużego i dla dowolnych dodatnich liczb i takich, że 

oraz pewnych zachodzi: 

(15) 

gdyż liczba jest ustalona, a . Dzięki tej obserwacji wiemy, że prawie wszystkich 

zachodzi nierówność: 

(16) 

Naturalnie prawdą jest także, iż 

(17) 

Można więc w następujący sposób wybrać ciągi i , potrzebne w (14): 

(18) 

W konsekwencji mamy: 

Zadanie 5 


(19) 

Należy skorzystać z kryterium d'Alemberta. 

Zgodnie z treścią kryterium d'Alemberta obliczamy: 

(20) 

Granicę tego wyrażenia łatwo jest znaleźć: 

(21) 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

Na mocy kryterium d'Alemberta wnosimy stąd, że .


Zadanie 6 


(22) 


Zgodnie z kryterium d'Alemberta obliczamy: 

(23) 

Pamiętając, że 

(24) 

znajdujemy: 

(25) 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

Na mocy kryterium d'Alemberta wnosimy stąd, że . 

Zadanie 7 


(26) 

Należy skorzystać z kryterium Cauchy'ego. 

Zgodnie z treścią kryterium Cauchy'ego obliczamy: 

(27) 

Ponieważ 

(28) 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

oraz (dla dużych ) mamy następujące oszacowanie dla : 

(29) 

więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że 

(30) 

Na mocy kryterium Cauchy'ego wnosimy stąd, że ciąg jest rozbieżny.


Zadanie 8 


(31) 

Należy skorzystać z kryterium Stolza. 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

Wzór na wyraz ogólny ciągu ma postać ilorazu. W takiej sytuacji często możliwe jest skorzystanie z kryterium 

Stolza. Oznaczmy: 

(32) 

gdzie: 

(33) 

Zgodnie z treścią kryterium Stolza policzymy: 

(34) 

Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez sumę: 

(35) 

Otrzymamy w ten sposób 

(36) 

W konsekwencji 

(37) 

i na mocy kryterium Stolza tyle samo wynosi granica samego ciągu . 

Zadanie 9 


(38) 

Należy skorzystać z kryterium Stolza. 

Wskazówka


Zgodnie z treścią kryterium Stolza oznaczmy: 

(39) 

gdzie: 

(40) 

i policzmy: 

(41) 

Rozwiązanie 

Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez 

(42) 

wykorzystując wzór (3). Otrzymamy w ten sposób 

(43) 

W efekcie 

(44) 

i na mocy zastosowanego kryterium tyle samo wynosi granica samego ciągu . 

Zadanie 10 


(45) 

Nalezy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci: 

(46) 

Wiemy, że granicą ciągu postaci: 

(47) 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

gdzie oraz w taki sposób, że , jest liczba . Wykorzystamy tę własność w 

poniższym rozwiązaniu. W naszym przykładzie: 

(48) 

oraz 

(49)


W konsekwencji mamy: 

(50) 

Zadanie 11 


(51) 

gdzie . 

Należy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci: 

(52) 

Najpierw przepiszemy wzór na w formie: 

(53) 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

a następnie skorzystamy z tego samego twierdzenia, co w poprzednim przykładzie, przyjmując: 

(54) 

Otrzymujemy: 

(55) 

W efekcie mamy: 

(56) 

Zadanie 12 


(57) 

Wskazówka 

Należy wyłączyć z licznika i mianownika wiodące wyrazy. 

Rozwiązanie 

Wyłączymy z licznika i mianownika wiodące wyrazy czyli . Otrzymujemy: 

(58) 

Korzystając z kryterium Cauchy'ego bądź d'Alemberta łatwo uzasadnić, że: 

Analogicznie: . W konsekwencji: 

(59)


Zadanie 13 


(60) 

Wskazówka 

Należy zauważyć, że ma postać , gdzie jest pewnym ciągiem, i zastosować do niego kryterium 

d'Alemberta. 

Wprowadźmy oznaczenie: 

(61) 

Rozwiązanie 

Gdybyśmy badali zbieżność tego ciągu przy wykorzystaniu kryterium Cauchy'ego, to musielibyśmy obliczyć: 

(62) 

Załóżmy, że granica ta istnieje i równa się . Przedmiotem tego zadania jest właśnie znalezienie liczby . Wiemy, 

że tę samą wartość otrzymalibyśmy, gdybyśmy do ciagu zastosowali, w miejsce kryterium Cauchy'ego, 

kryterium d'Alemberta (jeśli tylko kryterium to zadziała). Możemy zatem napisać: 

(63) 

Zadanie 14 


(64) 

Wskazówka 

Należy uprościć wyrażenie poprzez sprowadzenie do wspólnego mianownika i wykorzystanie wzorów skróconego 

mnożenia. 

Rozwiązanie 

Ze względu na to, że dla każdego dodatniego , granica (64) ma charakter . W takim przypadku 

trzeba spróbować uprościć wyrażenie sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika w nadziei, że 

nieskończonosci faktycznie "odejmą się". Tym wspólnym mianownkiem jest oczywiście: . 

Korzystając ze wzoru: , gdzie oraz , otrzymujemy: 

(65) 

i w konsekwencji 

(66)


Zadanie 15 


(67) 


Jeśli przepisać wyrażenie (67)) w formie: 

(68) 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

to stanie się jasne, z jakiego kryterium będzie najwygodniej skorzystać. Jest to naturalnie kryterium d'Alemberta, 

które daje nadzieję na skasowanie się dużej liczby czynników obecnych w (68). Obliczamy zatem: 

(69) 

co oznacza, że ciąg jest rozbieżny. 

Zadanie 16 


(70) 

Wskazówka 

Należy przepisać wyrażenie w formie umożliwiającej skrócenie identycznych czynników. 

Rozwiązanie 

Ponieważ , więc jeśli w każdym z nawiasów sprowadzić wyrażenie do wspólnego 

mianownika, to wzorowi na nadać można postać: 

(71) 

Zauważmy, że każda z liczb: występuje w mianowniku dwukrotnie, a zatem w kwadracie, i dzięki 

temu skróci się z analogicznym czynnikiem w liczniku. Natomiast liczby: nie powtarzają się i 

wystąpią w mianowniku w pierwszych potęgach. Uwzględniając tę obserwację otrzymujemy: 

(72) 

i w rezultacie 

(73)


Zadanie 17 

Tak dobrać parametr , aby ciąg postaci: 

(74) 

był zbieżny do granicy różnej od zera. Znaleźć tę granicę. 

Wskazówka 

Należy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci (por. zad. 10 i 11). 

Rozwiązanie 

Ponieważ wykładnik (równy ) dąży do nieskończoności, więc szanse na skończoną granicę mamy jedynie w 

przypadku gdy: 

(75) 

Ponieważ 

(76) 

więc musimy mieć: . Przy tym założeniu napiszemy: 

(77) 

Oznaczmy teraz: 

(78) 

i policzmy granicę iloczynu . 

(79) 

Pierwszy ułamek dąży do , gdyż . Jeśli chodzi o pozostałe wyrażenie to przekształcimy je następująco: 

(80) 

Otrzymujemy zatem 

(81) 

i jak wiemy 

(82)


Zadanie 18 


(83) 

Wskazówka 

Należy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci (por. zad. 10 i 11). 

Najpierw przepiszemy (83) w formie: 

(84) 

a następnie oznaczmy: 

(85) 

Policzmy teraz granicę iloczynu : 

(86) 

Rozwiązanie 

Metodą analogiczną do tej z zadania 13 można wykazać, że 

(87) 

co pociąga za sobą wynik: 

(88) 

oraz 

(89) 

Zadanie 19 


(90) 

Wskazówka 

Należy skorzystać z faktu, że dla . 

Rozwiązanie 

Na początku, opierając się na wykorzystywanym w poprzednich zadaniach wzorze: 

(91) 

gdzie , oraz , uzasadnimy, że dla zachodzi 

(92) 

Napiszemy mianowicie: 

(93) 

Oznaczając:


(94) 

oraz, przy wykorzystaniu (91) , (93) oraz dzięki różnowartościowości funkcji wykładniczej, otrzymujemy wynik: 

. 

Znalezienie granicy ciągu nie nastręcza teraz trudności. Wzór (90) przepiszemy w formie: 

(95) 

z której natychmiast wynika, iż 

(96) 

Zadanie 20 

Zbadać zbieżność ciągu: 

(97) 

Wskazówka 

Należy zbadać, czy jest możliwe wskazanie różnych podciągów zbieżnych do różnych granic. 

Rozwiązanie 

Ze względu na obecność we wzorze oscylującego czynnika wydaje się wskazane rozpatrzenie dwóch 

podciągów: o wskaźnikach parzystych czyli oraz o wskaźnikach nieparzystych czyli , gdzie 

Dla otrzymujemy: 

(98) 

. 

skąd wynika, że podciąg ten jest zbieżny i 

(99) 

Dla ciągu o wskaźnikach nieparzystych mamy: 

(100) 

i w rezultacie 

(101) 

Ponieważ udało się wskazać dwa podciągi zbieżne do różnych granic, wynika stąd, że ciąg jest rozbieżny.


Zadanie 21 


(102) 

Wskazówka 

Należy z argumentu funkcji sinus wydzielić człon wiodący przy . 

Rozwiązanie 

Gdy , to wiodący wyraz w argumencie funkcji sinus ma postać: . Poniżej postaramy się go wydzielić z 

tego argumentu. Napiszemy: 

(103) 

Wyrażenie przekształcimy w znany nam już sposób: 

(104) 

Wyrażenie to dąży do zera gdy , a wraz z nim także . Zatem: 

(105) 

Zadanie 22 


(106) 

Wskazówka 

Należy z argumentu funkcji cosinus wydzielić człon wiodący przy . 

Rozwiązanie 

Gdy , to wiodący wyraz w argumencie funkcji cosinus ma postać: . Poniżej wydzielimy go z tego 

argumentu pisząc: 

(107) 

Zgodnie ze wzorem (104) otrzymanym w poprzednim zadaniu, argument funkcji cosinus dąży do zera gdy . 

W konsekwencji: 

(108) 

Jeśli teraz wybierzemy dwa podciągi o wskaźnikach oraz , gdzie , to widzimy, 

że 

(109) 

a zatem ciąg jest rozbieżny.


Zadanie 23 


(110) 

Wskazówka 

Należy z argumentu funkcji sinus wydzielić człon wiodący przy . 

Rozwiązanie 

Dla dużych wartości argument zachowuje się jak . Napiszemy zatem 

(111) 

Rozpatrzmy najpierw podciąg : 

(112) 

Teraz rozważymy podciągi oraz : 

(113) 

(114) 

Wskazaliśmy trzy podciągi zbieżne do różnych granic, co oznacza, że ciąg jest rozbieżny.

Źródła i autorzy artykułu 15 

Źródła i autorzy artykułu 

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?oldid=8681 Autorzy: Torado 

Licencja 

Attribution-Share Alike 3.0 PL 

http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ pl

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?