vzorec ustne predstavitve (pdf) - Fakulteta za matematiko in fiziko
vzorec ustne predstavitve (pdf) - Fakulteta za matematiko in fiziko
vzorec ustne predstavitve (pdf) - Fakulteta za matematiko in fiziko
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija<br />
Marko Petkovšek<br />
<strong>Fakulteta</strong> <strong>za</strong> <strong>matematiko</strong> <strong>in</strong> <strong>fiziko</strong><br />
Oddelek <strong>za</strong> <strong>matematiko</strong><br />
20. februar 2009<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Eulerjeva funkcija<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Eulerjeva funkcija<br />
Def<strong>in</strong>icija<br />
Za vse n ∈ N s ϕ(n) označimo število celih števil iz množice<br />
{0, 1, . . . , n − 1}, ki so tuja številu n. Preslikavo ϕ : N → N<br />
imenujemo Eulerjeva funkcija.<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Eulerjeva funkcija<br />
Def<strong>in</strong>icija<br />
Za vse n ∈ N s ϕ(n) označimo število celih števil iz množice<br />
{0, 1, . . . , n − 1}, ki so tuja številu n. Preslikavo ϕ : N → N<br />
imenujemo Eulerjeva funkcija.<br />
Zgledi<br />
n {0, 1, . . . , n − 1} ϕ(n)<br />
1 {0} 1<br />
2 {0, 1} 1<br />
3 {0, 1, 2} 2<br />
4 {0, 1, 2, 3} 2<br />
5 {0, 1, 2, 3, 4} 4<br />
6 {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Vprašanje: ϕ(10 10 ) = ϕ(10000000000) = ?<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Vprašanje: ϕ(10 10 ) = ϕ(10000000000) = ?<br />
Trditev<br />
Naj bo p praštevilo. Potem je ϕ(p) = p − 1.<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Vprašanje: ϕ(10 10 ) = ϕ(10000000000) = ?<br />
Trditev<br />
Naj bo p praštevilo. Potem je ϕ(p) = p − 1.<br />
Trditev<br />
Naj bo p praštevilo <strong>in</strong> k ∈ N. Potem je ϕ(p k ) = p k − p k−1 .<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Vprašanje: ϕ(10 10 ) = ϕ(10000000000) = ?<br />
Trditev<br />
Naj bo p praštevilo. Potem je ϕ(p) = p − 1.<br />
Trditev<br />
Naj bo p praštevilo <strong>in</strong> k ∈ N. Potem je ϕ(p k ) = p k − p k−1 .<br />
Izrek<br />
Če sta a <strong>in</strong> b tuji naravni števili, je ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Odgovor:<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Odgovor: ϕ(10 10 ) = ϕ(2 10 )ϕ(5 10 ) = 4 × 10 9<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Odgovor: ϕ(10 10 ) = ϕ(2 10 )ϕ(5 10 ) = 4 × 10 9<br />
Posledica<br />
ϕ(n) = n × <br />
p | n<br />
<br />
1 − 1<br />
<br />
p<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Odgovor: ϕ(10 10 ) = ϕ(2 10 )ϕ(5 10 ) = 4 × 10 9<br />
Posledica<br />
Izrek<br />
ϕ(n) = n × <br />
p | n<br />
<br />
ϕ(d) =<br />
d | n<br />
<br />
1 − 1<br />
<br />
p<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Odgovor: ϕ(10 10 ) = ϕ(2 10 )ϕ(5 10 ) = 4 × 10 9<br />
Posledica<br />
Izrek<br />
ϕ(n) = n × <br />
p | n<br />
<br />
ϕ(d) = n<br />
d | n<br />
<br />
1 − 1<br />
<br />
p<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Möbiusova funkcija<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Möbiusova funkcija<br />
Def<strong>in</strong>icija<br />
Preslikavo µ : N → N, ki <strong>za</strong> vse n ∈ N <strong>za</strong>došča enačbi<br />
<br />
µ(d) =<br />
<br />
1,<br />
0,<br />
n = 1,<br />
n > 1,<br />
d | n<br />
imenujemo Möbiusova funkcija.<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Möbiusova funkcija<br />
Def<strong>in</strong>icija<br />
Preslikavo µ : N → N, ki <strong>za</strong> vse n ∈ N <strong>za</strong>došča enačbi<br />
<br />
µ(d) =<br />
<br />
1,<br />
0,<br />
n = 1,<br />
n > 1,<br />
d | n<br />
imenujemo Möbiusova funkcija.<br />
n 1 2 3 4 5 6 7<br />
µ(n) 1 −1 −1 0 −1 1 −1<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Izrek<br />
(Möbiusova <strong>in</strong>verzija) Za aritmetični funkciji f , g : N → C velja:<br />
g(n) = <br />
f (d) ⇐⇒ f (n) = <br />
n<br />
<br />
µ g(d)<br />
d<br />
d | n<br />
d | n<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Izrek<br />
(Möbiusova <strong>in</strong>verzija) Za aritmetični funkciji f , g : N → C velja:<br />
g(n) = <br />
f (d) ⇐⇒ f (n) = <br />
n<br />
<br />
µ g(d)<br />
d<br />
Zgledi<br />
d | n<br />
d | n<br />
d | n<br />
<br />
ϕ(d) = n =⇒ ϕ(n) = <br />
n<br />
<br />
µ d<br />
d<br />
d | n<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Izrek<br />
(Möbiusova <strong>in</strong>verzija) Za aritmetični funkciji f , g : N → C velja:<br />
g(n) = <br />
f (d) ⇐⇒ f (n) = <br />
n<br />
<br />
µ g(d)<br />
d<br />
Zgledi<br />
d | n<br />
d | n<br />
<br />
ϕ(d) = n =⇒ ϕ(n) =<br />
d | n<br />
<br />
n<br />
<br />
µ d<br />
d<br />
d | n<br />
τ(n) = <br />
1 =⇒ <br />
n<br />
<br />
µ τ(d) = 1<br />
d<br />
d | n<br />
d | n<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Izrek<br />
(Möbiusova <strong>in</strong>verzija) Za aritmetični funkciji f , g : N → C velja:<br />
g(n) = <br />
f (d) ⇐⇒ f (n) = <br />
n<br />
<br />
µ g(d)<br />
d<br />
Zgledi<br />
d | n<br />
d | n<br />
<br />
ϕ(d) = n =⇒ ϕ(n) =<br />
d | n<br />
<br />
n<br />
<br />
µ d<br />
d<br />
d | n<br />
τ(n) = <br />
1 =⇒<br />
d | n<br />
<br />
n<br />
<br />
µ τ(d) = 1<br />
d<br />
d | n<br />
σ(n) = <br />
d =⇒ <br />
n<br />
<br />
µ σ(d) = n<br />
d<br />
d | n<br />
d | n<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Trditev<br />
Naj bo p praštevilo <strong>in</strong> k ∈ N. Potem je<br />
µ(p k <br />
−1, k = 1,<br />
) =<br />
0, sicer.<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Trditev<br />
Naj bo p praštevilo <strong>in</strong> k ∈ N. Potem je<br />
µ(p k <br />
−1, k = 1,<br />
) =<br />
0, sicer.<br />
Izrek<br />
Če sta a <strong>in</strong> b tuji naravni števili, je µ(ab) = µ(a)µ(b).<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Trditev<br />
Naj bo p praštevilo <strong>in</strong> k ∈ N. Potem je<br />
µ(p k <br />
−1, k = 1,<br />
) =<br />
0, sicer.<br />
Izrek<br />
Če sta a <strong>in</strong> b tuji naravni števili, je µ(ab) = µ(a)µ(b).<br />
Posledica<br />
Naj bo n ∈ N <strong>in</strong> r število različnih prafaktorjev števila n. Potem je<br />
<br />
0, n deljiv s kvadratom praštevila,<br />
µ(n) =<br />
(−1) r , sicer.<br />
Marko Petkovšek Eulerjeva <strong>in</strong> Möbiusova funkcija
Change language