Michał Szurek Henryk Ż o ł ą d e k, The Monodromy Group ...
Michał Szurek Henryk Ż o ł ą d e k, The Monodromy Group ...
Michał Szurek Henryk Ż o ł ą d e k, The Monodromy Group ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
ozkwit<strong>ł</strong>a owa Szko<strong>ł</strong>a. Film nie analizuje<br />
tego. Nie to by<strong>ł</strong>o jego celem. Ale przyczyni<br />
się do tego, by „ocalić od zapomnienia” najważniejszy<br />
fragment historii naszej nauki.<br />
Film nosi tytu<strong>ł</strong> Przestrzenie Banacha.<br />
Dla naspowinien nazywać się inaczej,<br />
amianowiciePrzestrzenie, w których bywa<strong>ł</strong><br />
Recenzje 195<br />
Stefan Banach. <strong>Ż</strong>eby dostrzec tę olbrzymi<strong>ą</strong><br />
różnicę, trzeba oczywiście być matematykiem.<br />
Ale żeby się wzruszyć, nie trzeba rozumieć<br />
czym jest przestrzeń liniowa unormowana<br />
i zupe<strong>ł</strong>na.<br />
<strong>Micha<strong>ł</strong></strong> <strong>Szurek</strong><br />
<strong>Henryk</strong> <strong>Ż</strong> o <strong>ł</strong> <strong>ą</strong> d e k, <strong>The</strong> <strong>Monodromy</strong> <strong>Group</strong>, Birkhauser, Basel-Boston<br />
2006, str. Xi+580, ISBN 978-3-7643-7535-5.<br />
Zacznę od wyt<strong>ł</strong>umaczenia g<strong>ł</strong>ównego tematu<br />
tej ksi<strong>ą</strong>żki – monodromii. Monodromia<br />
jest wszechobecna w matematyce.<br />
Występuje w funkcjach zespolonych,<br />
w równaniach różniczkowych, w topologii,<br />
w geometrii algebraicznej i różniczkowej.<br />
Po raz pierwszy s<strong>ł</strong>owo monodromia występuje<br />
w Twierdzeniu Riemanna o monodromii:<br />
Gdy przed<strong>ł</strong>użamy element analityczny f<br />
(funkcję jednej zmiennej zespolonej analityczn<strong>ą</strong><br />
w otoczeniu punktu z0) wzd<strong>ł</strong>uż krzywej<br />
zamkniętej nieprzecinaj<strong>ą</strong>cej się i jeśli f<br />
jest lokalnie przed<strong>ł</strong>użalna analitycznie przez<br />
każdy punkt obszaru ograniczonego przez tę<br />
krzyw<strong>ą</strong>, to wracamy do tego samego elementu<br />
analitycznego, to znaczy f jest jednowartościowa.<br />
Dla funkcji wieloznacznej monodromia<br />
opisuje zachowanie się funkcji przy obchodzeniu<br />
punktu osobliwego, przez który<br />
funkcja nie przed<strong>ł</strong>uża się w sposób regularny.<br />
Niech F oznacza zbiór elementów analitycznych<br />
w otoczeniu z0, doktórychmożna<br />
dojść przed<strong>ł</strong>użaj<strong>ą</strong>c f analitycznie wzd<strong>ł</strong>uż<br />
różnych krzywych zamkniętych. Ustalaj<strong>ą</strong>c<br />
krzyw<strong>ą</strong> zamknięt<strong>ą</strong> i przed<strong>ł</strong>użaj<strong>ą</strong>c wzd<strong>ł</strong>uż<br />
niej dowolny element zbioru F, otrzymujemy<br />
znów element zbioru F. To określa<br />
element monodromii, permutację zbioru F.<br />
Zbiór permutacji odpowiadaj<strong>ą</strong>cych wszystkim<br />
zamkniętym krzywym tworzy grupę<br />
monodromii funkcji wieloznacznej f względem<br />
dzia<strong>ł</strong>ania superpozycji.<br />
Podobna sytuacja zachodzi zawsze, gdy<br />
przed<strong>ł</strong>użamy lokalne rozwi<strong>ą</strong>zanie równania<br />
różniczkowego lub uk<strong>ł</strong>adu równań wzd<strong>ł</strong>uż<br />
krzywej. Otrzyman<strong>ą</strong> funkcję wieloznaczn<strong>ą</strong><br />
możemy traktować jako nakrycie, czyli rozw<strong>ł</strong>óknienie<br />
z dyskretnym w<strong>ł</strong>óknem F. Ogólniej,<br />
możemy rozważać dowolne rozw<strong>ł</strong>óknienie,<br />
którego w<strong>ł</strong>ókno F jest przestrzeni<strong>ą</strong><br />
topologiczn<strong>ą</strong> i być może ma dodatkow<strong>ą</strong><br />
strukturę różniczkowaln<strong>ą</strong> lub algebraiczn<strong>ą</strong>.<br />
Obchodz<strong>ą</strong>c punkt bazy odpowiadaj<strong>ą</strong>cy<br />
osobliwemu w<strong>ł</strong>óknu naszego rozw<strong>ł</strong>óknienia,<br />
otrzymujemy element monodromii,<br />
który jest klas<strong>ą</strong> homeomorfizmu lub dyfeomorfizmu<br />
w<strong>ł</strong>ókna F, z dok<strong>ł</strong>adności<strong>ą</strong> do<br />
izotopii, a grupa monodromii jest podgrup<strong>ą</strong><br />
grupy klasautomorfizmów w<strong>ł</strong>ókna. Nazywamy<br />
j<strong>ą</strong> geometryczn<strong>ą</strong> grup<strong>ą</strong> monodromii.<br />
Homeomorfizm w<strong>ł</strong>ókna indukuje automorfizm<br />
algebraicznej struktury w<strong>ł</strong>ókna,<br />
przede wszystkiem grup homologii i pierścienia<br />
kohomologii. Automorfizmy indukowane<br />
przez elementy grupy monodromii<br />
tworz<strong>ą</strong> algebraiczn<strong>ą</strong> grupę monodromii.<br />
W ksi<strong>ą</strong>żce <strong>The</strong> <strong>Monodromy</strong> <strong>Group</strong> autor<br />
rozważa najróżniejsze sytuacje, w których<br />
występuje monodromia. Ksi<strong>ą</strong>żka jest<br />
bardzo ciekawa. Autor ma ogromn<strong>ą</strong> wiedzę<br />
w wielu dziedzinach matematyki i dzieli<br />
się t<strong>ą</strong> wiedz<strong>ą</strong> z czytelnikiem. W zasadzie<br />
ksi<strong>ą</strong>żka nie wymaga od czytelnika dużej<br />
wiedzy pocz<strong>ą</strong>tkowej. Z algebry, topologii<br />
i funkcji zespolonych wystarczy podstawowy<br />
materia<strong>ł</strong>, który zwykle zawarty jest<br />
w wyk<strong>ł</strong>adach z pierwszych dwóch lat studiów.<br />
Z analizy trzeba wiedzieć więcej:<br />
znać pojęcie rozmaitości różniczkowalnej,<br />
wi<strong>ą</strong>zki stycznej i form różniczkowych. Autor<br />
uczy wszystkiego, co trzeba dalej wiedzieć,<br />
ale wymaga to od czytelnika bardzo<br />
dużo pracy. Jest to ksi<strong>ą</strong>żka dla dobrych,<br />
pracowitych i samodzielnych studen-
196 Recenzje<br />
tów, wymaga też dużo pracy od doświadczonych<br />
matematyków, ale po w<strong>ł</strong>ożeniu tej<br />
pracy można się bardzo dużo z tej ksi<strong>ą</strong>żki<br />
nauczyć.<br />
Autor naświetla problemy z różnych<br />
punktów widzenia, pokazuje zwi<strong>ą</strong>zki między<br />
różnymi dziedzinami matematyki.<br />
Ksi<strong>ą</strong>żka jest dosyć jednorodna pod względem<br />
trudności. Nawet proste dowody s<strong>ą</strong><br />
tylko naszkicowane, za to większość trudnych<br />
twierdzeń jest podanych ze szkicem<br />
dowodu, co pozwala dobrze zrozumieć ich<br />
miejsce i znaczenie w matematyce, a szkic<br />
jest wystarczaj<strong>ą</strong>co szczegó<strong>ł</strong>owy, aby przy<br />
w<strong>ł</strong>ożeniu pracy uzupe<strong>ł</strong>nić dowód samodzielnie.<br />
Opiszę w wielkim skrócie zawartość<br />
ksi<strong>ą</strong>żki. Autor bardzo prędko wprowadza<br />
nas we wspó<strong>ł</strong>czesn<strong>ą</strong> matematykę, jej metody<br />
i narzędzia. Po zapoznaniu czytelnika<br />
z wymienionym wyżej Twierdzeniem Riemanna,<br />
autor uczy Teorii Morse’a dla funkcjinapowierzchniinawyżejwymiarowej<br />
rozmaitości, wprowadza intuicyjnie pojęcie<br />
charakterystyki Eulera i uczy podstawowej<br />
teorii punktów osobliwych pola wektorowego.<br />
Następnie autor rozwija teorię osobliwości<br />
funkcji holomorficznych wielu zmiennych<br />
wed<strong>ł</strong>ug Milnora i Arnolda. Wprowadza<br />
pojęcie mini-versalnej deformacji osobliwości<br />
i zwi<strong>ą</strong>zanej z nimi monodromii<br />
i grupy monodromii. Po drodze uczymy się<br />
niezbędnych elementów topologii algebraicznej,<br />
kohomologii de Rhama i kohomologii<br />
ze wspó<strong>ł</strong>czynnikami w snopie. Następnie<br />
poznajemy teorię Picarda-Lefschetza, która<br />
pozwala w jawny sposób policzyć monodromię.<br />
Kulminacyjnym punktem tej czę-<br />
ści jest trudny rozdzia<strong>ł</strong> siódmy, który dotyczy<br />
rozw<strong>ł</strong>óknień rozmaitości algebraicznych.<br />
Wtedy w<strong>ł</strong>ókno ma mieszan<strong>ą</strong> strukturę<br />
Hodge’a i monodromia indukuje automorfizmy<br />
tej struktury.<br />
W następnych rozdzia<strong>ł</strong>ach badane s<strong>ą</strong><br />
osobliwości równań i uk<strong>ł</strong>adów równań różniczkowych<br />
funkcji zmiennej zespolonej<br />
t. Badana jest monodromia rozwi<strong>ą</strong>zania<br />
przy obchodzeniu osobliwych wartości t<br />
w zależności od rodzaju równań i osobliwości.<br />
Równania liniowe prowadz<strong>ą</strong> do<br />
XXI problemu Hilberta. Dalej rozważane<br />
s<strong>ą</strong> równania nieliniowe, przede wszystkim<br />
na zespolonej p<strong>ł</strong>aszczyźnie rzutowej CP 2 ,<br />
które prowadz<strong>ą</strong> do holomorficznego rozw<strong>ł</strong>óknienia.<br />
Tym razem monodromia może<br />
być określona jednoznacznie, holomorficznie<br />
i okazuje się, że jest ona bardzo silnym<br />
niezmiennikiem pola wektorowego określaj<strong>ą</strong>cego<br />
rozw<strong>ł</strong>óknienie. Dalej ksi<strong>ą</strong>żka prowadzi<br />
nasg<strong>ł</strong>ębiej w geometrię algebraiczn<strong>ą</strong>,<br />
teorię grup i teorię Galois, kończ<strong>ą</strong>c na teorii<br />
funkcji hipergeometrycznych.<br />
Ksi<strong>ą</strong>żka zawiera bardzo obszerny indekspojęć<br />
i twierdzeń, które s<strong>ą</strong> dok<strong>ł</strong>adnie<br />
wyt<strong>ł</strong>umaczone i sformu<strong>ł</strong>owane i daj<strong>ą</strong> encyklopedyczn<strong>ą</strong><br />
wiedzę. Bibliografia jest również<br />
bardzo bogata.<br />
Osobiście bardzo polecam tę ksi<strong>ą</strong>żkę.<br />
Jest w niej bardzo wiele z tego co chcia<strong>ł</strong>em<br />
wiedzieć w dziedzinie matematyki i myślę,<br />
że wielu cztelników będzie mia<strong>ł</strong>o podobne<br />
uczucie. Szczególnie polecam j<strong>ą</strong> m<strong>ł</strong>odym<br />
matematykom, chętnym poszerzyć swoj<strong>ą</strong><br />
wiedzę o rzeczy nowe i ciekawe.<br />
Bronis<strong>ł</strong>aw Wajnryb<br />
Wies<strong>ł</strong>aw W ó j c i k, Nowożytne wizje nauki uniwersalnej a powstanie<br />
teorii kontinuów, Studia Copernicana XXXVIII, Instytut Historii Nauki<br />
PAN, Warszawa 2000, str. X+264, Pl ISSN 0081-6701, ISBN 83-86062-86-X.<br />
Wśród wielu rozdzia<strong>ł</strong>ów matematyki<br />
czystej, które powsta<strong>ł</strong>y w wyniku przeobrażeń<br />
w bogatym dla matematyki wieku XIX,<br />
teoria kontinuów i, ogólniej, spójności, wyróżnia<br />
się tym, że nie powsta<strong>ł</strong>a w wyniku<br />
jakiejś potrzeby, tak jak na przyk<strong>ł</strong>ad teo-<br />
ria funkcji rzeczywistych i teoria miary,<br />
lub, traktowana jako ca<strong>ł</strong>ość, topologia mnogościowa.<br />
Osobliwości geometryczne tworów<br />
mnogościowych nazywanych kontinuami,<br />
by<strong>ł</strong>y widziane pocz<strong>ą</strong>tkowo raczej jako<br />
przeszkoda w dowodach niż jako przed-
![Inhalt [pdf]](https://img.yumpu.com/17854810/1/184x260/inhalt-pdf.jpg?quality=85)
Change language