Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne 8
(47)
i jest dodatnia, co jest konsekwencją (45).
Mamy do czynienia z ciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę ( ). Przechodąc z do
nieskończoności po obu stronach równania (42) otrzymujemy:
Jest to równanie identyczne do (40) i oczywiście ma takie same rozwiązania. Mamy więc:
(48)
Ponieważ , więc oba podciągi zbieżne są do tej samej granicy. Jest to też granica samego ciągu ,
gdyż do podciągu "parzystego" i "nieparzystego" należą wszystkie wyrazy ciągu (wystarczyłoby nawet, gdyby
należały tylko prawie wszystkie).
Rozwiązanie 2
Udowadniamy najpierw, że (prosty dowód indukcyjny). Jak już wiemy kandydatem na granicę
jest 2. Zapiszmy różnicę następująco
W liczniku odtworzyła nam się różnica dla wyrazu wcześniejszego! Mamy dla dowolnego
trzech ciągach mamy
Zadanie 6
skąd otrzymujemy
. Wyrażenie po prawej stronie nierówności zbiega do zera wobec tego z twierdzenia o
Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
(49)
gdzie .
Wskazówka
Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne.
Rekurencja dana jest wzorem:
(50)
Rozwiązanie
Wykres funkcji przedstawiony jest na rysunku 4 i, jak widać, dla dodatnich wartości jest ona malejąca. W
konsekwencji ciąg oscyluje wokół punktu , który jest rozwiązaniem równania i może
ewentualnie stanowić jego granicę. Postąpimy więc podobnie jak poprzednio - rozłożymy ciąg na dwa podciągi:
oraz , gdzie .