Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Ciągi</strong> <strong>rekurencyjne</strong> 6<br />
Zadanie 5<br />
Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:<br />
(32)<br />
gdzie .<br />
Wskazówka<br />
Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne.<br />
Rekurencja tym razem opisana jest wzorem:<br />
(33)<br />
Rozwiązanie 1<br />
Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 3. Jest ona w interesującym nas przedziale malejąca, a ciąg<br />
wydaje się oscylować wokół punktu , który jest rozwiązaniem równania i jednocześnie<br />
kandydatem na granicę ciągu . Rysunek ten mówi nam, że musimy zmienić nasz sposób postępowania w<br />
stosunku do poprzednich zadań, gdyż w tym przykładzie nie mamy do czynienia z ciągiem monotonicznym. Jednakże<br />
można mieć nadzieję, że monotoniczne (i ograniczone) okażą się jego podciągi: ten o indeksach parzystych, czyli<br />
oraz ten o indeksach nieparzystych, czyli , gdzie .<br />
Rys 3. Rekurencja opisana wzorem (32) dla .<br />
Musimy więc zacząć od przekształcenia rekurencji (32) w rekurencję "o dwa":<br />
(34)<br />
i rozpatrzenia kolejno podciągów "parzystego" i "nieparzystego".<br />
1. Ciąg o indeksach parzystych.<br />
(35)<br />
Mamy następującą rekurencję ("o jeden") w zmiennej :
Change language