Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne 4
przy czym ostatnia nierównosć wynika z założenia indukcyjnego. Ciąg jest więc w istocie ograniczony:
(20)
2. Monotoniczność.
(21)
Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
Końcowa nierówność wynika z wykazanej wyżej własności (20) i oznacza, że nasz ciąg jest rosnący.
Jak wiadomo w zbiorze liczb rzeczywistych ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę. Oznaczmy ją literą .
Skoro granica ta istnieje to możemy po obu stronach równania (16) przejść z do nieskończoności, otrzymując
równanie:
(22)
które ma dwa rozwiązania: lub . Tylko jedna z tych dwóch liczb może być granicą ciągu .
Jednakże rosnący ciąg liczb dodatnich nie może być zbieżny do zera. Stąd:
(23)
Zadanie 4
Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
(24)
gdzie .
Należy wykazać ograniczoność i monotoniczność ciągu.
Wskazówka
Rozwiązanie
Ponownie mamy do czynienia z nieliniową rekurencją opisaną wzorem:
(25)
Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 2. Punktem startowym jest w tym zadaniu , ale rysunek -
podobnie jak w poprzednim zadaniu - został wykonany dla innej wartości, dla której wygląda bardziej przejrzyście, a
zasadnicze własności ciągu (którymi zajmiemy się poniżej) przy tym się nie zmieniają. Punkt jest
rozwiązaniem równania , a zatem jest punktem stałym odwzorowania .