Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne 2
(7)
(8)
(9)
Po rozwiązaniu tego układu widzimy, że , . Wzór na wyraz ogólny ciągu ma teraz postać:
Jasne jest, że w tym przypadku zachodzi:
Zadanie 2
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
(10)
dla i .
Wskazówka
Należy poszukiwać rozwiązania w postaci , gdzie oraz są stałymi.
Rozwiązanie
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, podstawimy do równania rekurencyjnego (10) w postaci , gdzie jest
pewną niezerową stałą. Otrzymamy w ten sposób równanie:
(11)
Po skróceniu obu stron przez , dochodzimy do równania kwadratowego na niewiadomą :
(12)
Jedynym (ale za to podwójnym) jego rozwiązaniem jest .
Z poprzedniego zadania wiemy, że jeśli związek rekurencyjny jest liniowy i jednorodny (a tak jest w istocie w (10),
to rozwiąznie ogólne jest kombinacją liniową rozwiązań szczególnych ( , , ,...):
, z dowolnymi stałymi , , ,.... W naszym przypadku mamy dwa niezależne
rozwiązania, gdyż rekurencja (10) jest rekurencją "o dwa". Jednym z tych rozwiązań jest, naturalnie, , a drugie
ma postać , o czym łatwo jest się przekonać wstawiając je do (10). Widzimy zatem, że ogólne rozwiązanie
równania (10) ma postać:
(13)
Stałe i wyznaczymy z warunków początkowych:
(14)
Układ ten spełniony jest przez liczby oraz i, w konsekwencji:
(15)
Oczywiste jest, że ciąg ten jest rozbieżny.