Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne 10
(57)
Podciąg "parzysty" jest monotoniczny i ograniczony, a zatem ma granicę ( ). Liczba ta spełnia równanie:
które ma dwa rozwiązania: oraz , przy czym ta druga liczba jest szukaną granicą podciągu :
(58)
2. Ciąg o indeksach nieparzystych.
(59)
(60)
(61)
Mamy teraz następującą rekurencję w zmiennej :
Na podstawie rysunku podejrzewamy, że podciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu przez liczbę .
1. Ograniczoność.
1. Dla mamy .
2. Teraz musimy dowieść, że:
Rozpatrzymy wyrażenie :
Podciąg jest więc ograniczony z dołu:
(62)
2. Monotoniczność.
(63)
(64)
(65)
Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu wyraża się wzorem podobnym do (56):
Mamy więc do czynienia z podciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę ( ) spełniającą
równanie:
Jest to równanie identyczne do (57) i oczywiście ma takie same rozwiązania. Otrzymujemy więc:
Jak widzimy , więc oba podciągi mają tę samą granicę. Podobnie jak w poprzednim przykładzie
wnosimy stąd, że jest ona też granicą samego ciągu .
Zadanie 7
Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
(66)
dla przypadków:
1. .
2. .