Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne 1 

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi 

rekurencyjne 

Ciągi rekurencyjne 

Zadanie 1 

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: 

(1) 

w dwóch przypadkach: 

1. dla i , 

2. oraz dla i . 

Wskazówka 

Należy poszukiwać rozwiązania w postaci , gdzie i są stałymi. 

Rozwiązanie 

Do równania rekurencyjnego (1) podstawmy w postaci , gdzie jest pewną, różną od zera, stałą do 

wyznaczenia. Otrzymamy w ten sposób równanie: 

(2) 

Po uproszczeniu przez , uzyskamy równanie kwadratowe na : 

(3) 

Równanie to ma dwa rozwiązania: i . 

Związek rekurencyjny (1) jest liniowy i jednorodny. Oznacza to, że jeśli pewien ciąg jest jego rozwiązaniem, to 

jest nim także , gdzie jest stałą. Z kolei jeśli znaleźlibyśmy dwa rozwiązania oraz , to 

rozwiązaniem będzie także ich suma: , a nawet kombinacja , z dowolnymi stałymi oraz 

. Takie dwa rozwiązania otrzymaliśmy już powyżej: oraz . Wynika stąd, że ogólne rozwiązanie równania 

(1) ma postać: 

(4) 

Aby znaleźć stałe i wykorzystamy warunki początkowe. 

1. Musi zachodzić: 

(5) 

(6) 

Rozwiązując ten układ równań ze względu na i otrzymujemy: , i wzór na wyraz ogólny 

ciągu ma w tym przypadku postać: 

Ze względu na drugi człon, ciąg ten jest rozbieżny przy . 

2. Teraz muszą być spełnione warunki:


(7) 

(8) 

(9) 

Po rozwiązaniu tego układu widzimy, że , . Wzór na wyraz ogólny ciągu ma teraz postać: 

Jasne jest, że w tym przypadku zachodzi: 

Zadanie 2 

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: 

(10) 

dla i . 

Wskazówka 

Należy poszukiwać rozwiązania w postaci , gdzie oraz są stałymi. 

Rozwiązanie 

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, podstawimy do równania rekurencyjnego (10) w postaci , gdzie jest 

pewną niezerową stałą. Otrzymamy w ten sposób równanie: 

(11) 

Po skróceniu obu stron przez , dochodzimy do równania kwadratowego na niewiadomą : 

(12) 

Jedynym (ale za to podwójnym) jego rozwiązaniem jest . 

Z poprzedniego zadania wiemy, że jeśli związek rekurencyjny jest liniowy i jednorodny (a tak jest w istocie w (10), 

to rozwiąznie ogólne jest kombinacją liniową rozwiązań szczególnych ( , , ,...): 

, z dowolnymi stałymi , , ,.... W naszym przypadku mamy dwa niezależne 

rozwiązania, gdyż rekurencja (10) jest rekurencją "o dwa". Jednym z tych rozwiązań jest, naturalnie, , a drugie 

ma postać , o czym łatwo jest się przekonać wstawiając je do (10). Widzimy zatem, że ogólne rozwiązanie 

równania (10) ma postać: 

(13) 

Stałe i wyznaczymy z warunków początkowych: 

(14) 

Układ ten spełniony jest przez liczby oraz i, w konsekwencji: 

(15) 

Oczywiste jest, że ciąg ten jest rozbieżny.


Zadanie 3 

Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: 

(16) 

gdzie . 

Należy wykazać ograniczoność i monotoniczność ciągu. 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

Ciąg w treści zadania zdefiowany jest nieliniową rekurencją, którą można opisać wzorem: 

(17) 

W tego typu problemach w ogólności nie potrafimy znaleźć jawnego wzoru na i musimy się ograniczyć do 

zbadania samej granicy. Wygodnie jest rozpocząć rozwiązywanie zadania od wykonania szkicu przebiegu funkcji 

podobnego do tego z rysunku 1. Przedstawiony jest na nim - przy użyciu czerwonych strzałek - sposób obliczania 

kolejnych wyrazów ciągu, przy czym punktem startowym jest . W treści zadania , ale rysunek wygląda 

bardzo podobnie dla wszystkich i został wykonany dla takiej jego wartości, dla której wygląda najbardziej 

przejrzyście. Punkt jest rozwiązaniem równania , a zatem jest punktem stałym odwzorowania . 

Rysunek ten sugeruje, że nasz ciąg po pierwsze jest 

ograniczony z góry przez liczbę , a po drugie - 

rosnący. Te dwie jego własności poniżej udowodnimy. 

1. Ograniczoność. 

(18) 

(19) 

Ograniczoność ciągu wykażemy, korzystając z metody indukcji matematycznej. 

1. Dla mamy . 

2. Teraz dowodzimy następującej implikacji: 

Znajdźmy znak wyrażenia : 

Rys 1. Rekurencja opisana wzorem (16) dla .


przy czym ostatnia nierównosć wynika z założenia indukcyjnego. Ciąg jest więc w istocie ograniczony: 

(20) 

2. Monotoniczność. 

(21) 

Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: 

Końcowa nierówność wynika z wykazanej wyżej własności (20) i oznacza, że nasz ciąg jest rosnący. 

Jak wiadomo w zbiorze liczb rzeczywistych ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę. Oznaczmy ją literą . 

Skoro granica ta istnieje to możemy po obu stronach równania (16) przejść z do nieskończoności, otrzymując 

równanie: 

(22) 

które ma dwa rozwiązania: lub . Tylko jedna z tych dwóch liczb może być granicą ciągu . 

Jednakże rosnący ciąg liczb dodatnich nie może być zbieżny do zera. Stąd: 

(23) 

Zadanie 4 


(24) 

gdzie . 

Należy wykazać ograniczoność i monotoniczność ciągu. 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

Ponownie mamy do czynienia z nieliniową rekurencją opisaną wzorem: 

(25) 

Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 2. Punktem startowym jest w tym zadaniu , ale rysunek - 

podobnie jak w poprzednim zadaniu - został wykonany dla innej wartości, dla której wygląda bardziej przejrzyście, a 

zasadnicze własności ciągu (którymi zajmiemy się poniżej) przy tym się nie zmieniają. Punkt jest 

rozwiązaniem równania , a zatem jest punktem stałym odwzorowania .


Z rysunku możemy się zorientować, że ciąg jest 

ograniczony z dołu przez liczbę oraz że jest 

malejący, co poniżej ściśle wykażemy. 


(26) 

(27) 

Rys 2. Rekurencja opisana wzorem (24) dla ). 

Tak jak poprzednio ograniczoność ciągu udowodnimy metodą indukcji matematycznej. 

1. Dla mamy . 

2. Teraz dowodzimy implikacji: 

Znajdziemy znak wyrażenia : 

Otrzymana nierówność wynika z założenia indukcyjnego. 

Ciąg jest więc faktycznie ograniczony z dołu: 

(28) 


(29) 

Obliczymy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: 

Wyrażenie to jest ujemne, co jest konsekwencją własności (28) i oznacza, że ciąg jest malejący. 

Ciąg monotoniczny i ograniczony ma na pewno granicę, którą oznaczymy literą . Skoro granica ta istnieje, to 

możemy po obu stronach równania (24) przejść z do nieskończoności, otrzymując: 

(30) 

Równanie to ma dwa rozwiązania: lub i tylko jedna z tych liczb może być granicą ciągu . Ciąg 

ograniczony z dołu przez liczbę nie może być jednak zbieżny do . Stąd wynika, że: 

(31)


Zadanie 5 


(32) 

gdzie . 

Wskazówka 

Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne. 

Rekurencja tym razem opisana jest wzorem: 

(33) 

Rozwiązanie 1 

Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 3. Jest ona w interesującym nas przedziale malejąca, a ciąg 

wydaje się oscylować wokół punktu , który jest rozwiązaniem równania i jednocześnie 

kandydatem na granicę ciągu . Rysunek ten mówi nam, że musimy zmienić nasz sposób postępowania w 

stosunku do poprzednich zadań, gdyż w tym przykładzie nie mamy do czynienia z ciągiem monotonicznym. Jednakże 

można mieć nadzieję, że monotoniczne (i ograniczone) okażą się jego podciągi: ten o indeksach parzystych, czyli 

oraz ten o indeksach nieparzystych, czyli , gdzie . 

Rys 3. Rekurencja opisana wzorem (32) dla . 

Musimy więc zacząć od przekształcenia rekurencji (32) w rekurencję "o dwa": 

(34) 

i rozpatrzenia kolejno podciągów "parzystego" i "nieparzystego". 

1. Ciąg o indeksach parzystych. 

(35) 

Mamy następującą rekurencję ("o jeden") w zmiennej :


(36) 

(37) 

Z rysunku możemy wnosić, że ciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu przez liczbę ( jest punktem 

stałym funkcji , ale także ). Wykażemy poniżej, że tak jest w istocie. 


Ograniczoność ciągu udowodnimy --- jak zwykle --- metodą indukcji matematycznej. 

1. Dla mamy . 

2. Teraz dowiedziemy prawdziwości implikacji: 


gdzie ostatnia nierówność wynika z założenia indukcyjnego. 

Ciąg jest więc rzeczywiście ograniczony z dołu: 

(38) 


(39) 

(40) 

Obliczymy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: 

co wynika z (38) i oznacza, że ciąg jest malejący. 

Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę, którą oznaczymy literą . Skoro granica ta istnieje to możemy po 

obu stronach równania (35) przejść z do nieskończoności, otrzymując: 

Równanie to ma dwa rozwiązania: oraz , ale granicą musi być ta druga liczba, gdyż jest ograniczony 

z dołu przez dwójkę. Mamy zatem: 

(41) 

2. Ciąg o indeksach nieparzystych. 

(42) 

(43) 

(44) 

Mamy teraz rekurencję w zmiennej : 

Na podstawie rysunku wydaje się, że ciąg ten powinien być rosnący i ograniczony z góry przez liczbę . 


Ograniczoność ciągu wykażemy ponownie metodą indukcji matematycznej. 

1. Dla mamy . 

2. Teraz dowiedziemy, że: 

Następnie rozpatrzymy wyrażenie : 

Jak widzimy, ciąg jest ograniczony z góry: 

(45) 


(46) 

Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu wyraża się wzorem analogicznym do (39) :


(47) 

i jest dodatnia, co jest konsekwencją (45). 

Mamy do czynienia z ciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę ( ). Przechodąc z do 

nieskończoności po obu stronach równania (42) otrzymujemy: 

Jest to równanie identyczne do (40) i oczywiście ma takie same rozwiązania. Mamy więc: 

(48) 

Ponieważ , więc oba podciągi zbieżne są do tej samej granicy. Jest to też granica samego ciągu , 

gdyż do podciągu "parzystego" i "nieparzystego" należą wszystkie wyrazy ciągu (wystarczyłoby nawet, gdyby 

należały tylko prawie wszystkie). 

Rozwiązanie 2 

Udowadniamy najpierw, że (prosty dowód indukcyjny). Jak już wiemy kandydatem na granicę 

jest 2. Zapiszmy różnicę następująco 

W liczniku odtworzyła nam się różnica dla wyrazu wcześniejszego! Mamy dla dowolnego 

trzech ciągach mamy 

Zadanie 6 

skąd otrzymujemy 

. Wyrażenie po prawej stronie nierówności zbiega do zera wobec tego z twierdzenia o 


(49) 

gdzie . 

Wskazówka 

Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne. 

Rekurencja dana jest wzorem: 

(50) 

Rozwiązanie 

Wykres funkcji przedstawiony jest na rysunku 4 i, jak widać, dla dodatnich wartości jest ona malejąca. W 

konsekwencji ciąg oscyluje wokół punktu , który jest rozwiązaniem równania i może 

ewentualnie stanowić jego granicę. Postąpimy więc podobnie jak poprzednio - rozłożymy ciąg na dwa podciągi: 

oraz , gdzie .


Rys. 4. Rekurencja opisana wzorem (49) dla . 

Przekształcimy teraz rekurencję (49) na rekurencję "o dwa": 

(51) 

i badać będziemy osobno podciągi "parzysty" i "nieparzysty". 

1. Ciąg o indeksach parzystych. 

(52) 

(53) 

(54) 

Mamy następującą rekurencję ("o jeden") w zmiennej : 

Z rysunku wynika, że ciąg ten powinien być rosnący i ograniczony z góry przez liczbę (punkt stały dla funkcji 

oraz ). Wykażemy te własności poniżej. 


Znów stosujemy indukcję matematyczną. 

1. Dla mamy: , gdyż . 

2. Teraz wykazujemy, że: 

Zbadamy znak wyrażenia : 

Ciąg jest więc ograniczony z góry: 

(55) 


(56) 

Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: 

co wynika z (55). Oznacza to, że badany podciąg jest rosnący.


(57) 

Podciąg "parzysty" jest monotoniczny i ograniczony, a zatem ma granicę ( ). Liczba ta spełnia równanie: 

które ma dwa rozwiązania: oraz , przy czym ta druga liczba jest szukaną granicą podciągu : 

(58) 

2. Ciąg o indeksach nieparzystych. 

(59) 

(60) 

(61) 

Mamy teraz następującą rekurencję w zmiennej : 

Na podstawie rysunku podejrzewamy, że podciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu przez liczbę . 


1. Dla mamy . 

2. Teraz musimy dowieść, że: 

Rozpatrzymy wyrażenie : 

Podciąg jest więc ograniczony z dołu: 

(62) 


(63) 

(64) 

(65) 

Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu wyraża się wzorem podobnym do (56): 

Mamy więc do czynienia z podciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę ( ) spełniającą 

równanie: 

Jest to równanie identyczne do (57) i oczywiście ma takie same rozwiązania. Otrzymujemy więc: 

Jak widzimy , więc oba podciągi mają tę samą granicę. Podobnie jak w poprzednim przykładzie 

wnosimy stąd, że jest ona też granicą samego ciągu . 

Zadanie 7 


(66) 

dla przypadków: 

1. . 

2. .


Należy zbadać, czy ciąg jest ograniczony i monotoniczny. 

Rekurencja w tym przypadku dana jest wzorem: 

(67) 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

Zbadamy, czy uda się wykazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony. 

1. . 

(68) 

(69) 

Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 5a, gdzie zaznaczone zostały także kolejne wyrazy ciągu. 

Szkic ten podpowiada nam, że ciąg jest rosnący i ograniczony z góry przez dwójkę (która jest jedynym 

punktem stałym odwzorowania ), co postaramy się poniżej udwowodnić. 

Rys 5a. Rekurencja opisana wzorem (66), gdy . 


Ograniczoność ciągu wykażemy korzystając, jak zwykle, z indukcji matematycznej. 

1. Dla mamy . 

2. Teraz dowodzimy następującej implikacji: 


co wynika z założenia indukcyjnego. 

Ciąg jest więc rzeczywiście ograniczony: 

(70) 


Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:


(71) 

(72) 

Ciąg jest więc rosnący. Zauważmy, że w przeciwieństwie do poprzednich przykładów, ostatnia nierówność 

jest prawdziwa niezależnie od tego, czy , czy , więc słuszna będzie ona także w podpunkcie b. 

Rys 5b. Rekurencja opisana wzorem (66) dla . 

Wynika stąd, że ciąg ma granicę i spełnia ona równanie: 

którego jedynym rozwiazaniem jest . Liczba ta musi więc być szukaną granicą ciągu: 

(73) 

2. . 

Sytuacja, z jaką mamy teraz do czynienia, przedstawiona jest na rysunku 5b. Kolejne wyrazy ciągu "uciekają" od 

punktu stałego, a kolejnego punktu stałego odwzorowanie nie ma. To że ciąg jest rzeczywiście rosnący, 

wykazaliśmy już zresztą w ścisły sposób w punkcie a. Wiedza ta wystarcza nam do wyciagnięcia wniosku, że 

ciąg jest rozbieżny. Granicą może być bowiem tylko punkt stały, a innego takiego punktu poza dwójką nie ma. 

Rosnący ciąg liczb , dla którego nie może być jednak zbieżny do .

Źródła i autorzy artykułu 13 

Źródła i autorzy artykułu 

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?oldid=11669 Autorzy: Asia, Maciejun, Torado 

Źródła, licencje i autorzy grafik 

Plik:ciarek1.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Ciarek1.jpg Licencja: nieznany Autorzy: - 




Plik:ciarek5a.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Ciarek5a.jpg Licencja: nieznany Autorzy: - 

Plik:ciarek5b.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Ciarek5b.jpg Licencja: nieznany Autorzy: - 

Licencja 

Attribution-Share Alike 3.0 PL 

http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ pl

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi rekurencyjne

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?