07/08

MEHANIKA - sinopsis predavanj za ˇstudente matematike v letu 2007/2008 

MEHANIKA TOČKE, SISTEMA TOČK in TOGEGA TELESA 

5. 10. 07 OSNOVE NEWTONOVE MEHANIKE 

Literatura 

• Aganovič, Veselič, Uvod v analitičku mehaniku, Matematički odjel Prirodoslovnog-matematičkog fakulteta, 

Zagreb, 1990 1-3. 

• Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995, 

1-11. 

Definicija Mnoˇzica A je afini prostor nad vektorskim prostorom V, če obstaja operacija A × V → A, 

(A,a) ↦→ A + a, tako da velja: 

a) (A + a) + b = A + (a + b) b) za poljubni točki A, B ∈ A obstaja natanko določen a ∈ V, tako da velja B = A + a. 

Definicija Nad A × A → V je definirana operacija B − A = a ⇐⇒ B = A + a. 

Trditev Velja 

a) A − A = 0, 

b) (A − B) + (B − A) = 0, 

c) (A − B) + (B − C) + (C − A) = 0, 

d) (A + a) − B = (A − B) + a. 

Definicija Galilejeva struktura G je trojica (A, t, ρ), kjer je 

a) A ˇstiri dimenzionalni afini prostor nad vektorskim prostorom V, 

b) t ∈ L(V, R), 

c) ρ evklidska razdalja na Ker t. 

Elementom prostora A pravimo dogodki. Če velja t(A − B) = 0 pravimo, da sta dogodka A in B 

istočasna. Nad afinim prostorom istočasnih dogodkov je s c) definirana evklidska razdalja. 

Definicija Galilejevi strukturi G = (A, t, ρ) in ˜ G = ( Ã, ˜t, ˜ρ) sta ekvivalentni, če obstaja bijekcija 

g : A → Ã tako, da je g afina preslikava, ki ohranja časovnost dogodkov in razdaljo med istočasnimi 

dogodki. Preslikavi g pravimo Galilejeva transformacija. 

Zapis afine preslikave. 

Naravna Galilejeva struktura na R × E. 

Trditev Galilejeva trasnformacija (t, P ) ↦→ (t ′ , P ′ ) med dvema naravnima Galilejevima strukturama na 

R × E je oblike: 

t ′ = t + t ′ 0 

P ′ = ct + Q(P − P0) + P ′ 0. 

8. 10. 07 Literatura 


Zagreb, 1990 6-10. 


1-11. 

Grupa Galilejevih transformacij. 

Definicija Naj bo ϕ = (τ, π) : A → R × E taka bijekcija, da je τ afina preslikava. Potem pravimo, da 

je ϕ Galilejev koordinatni sistem na A. 

Trditev Galilejev koordinatni sistem inducira na A naravno Galilejevo strukturo. 

Definicija Koordinatna sistema ϕ in ˜ϕ pripadata istemu Galilejevemu razredu, če je ϕ ◦ ˜ϕ −1 Galilejeva 

transformacija. 

Trditev V Galilejevem razredu sta istočasnost dogodkov in razdalja med istočasnimi dogodki invariantno 

definirana. 

1

Vektor hitrosti, pospeˇska; transformacija vektorja hitrosti in pospeˇska pri Galilejevi transformaciji. 

Trajektorija, tir; sistem točk. 

Princip determiniranosti Trajektorija P(t) sistema N materialnih točk je v danem koordinatnem 

sistemu natanko določena z začetnim poloˇzajem P0 ∈ E N in začetno hitrostjo ˙ P0 ∈ R 3N . To pomeni, 

da obstaja funkcija interakcije f, tako da velja ¨ P = f(t, P, ˙ P). 

Princip relativnosti Obstaja tak Galilejev razred koordinatnih sistemov, da je funkcija interakcije 

invariantna za Galilejeve transformacije. Koordinatnim sistemom iz tega razreda pravimo inercialni 

koordinatni sistemi. 

Homogenost časa, prostora, prostora hitrosti, izotropičnost prostora. 

9. 10. 06 Literatura 


Zagreb, 1990 6-10. 

• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, it Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University 

Press, 1998, 6-9. 

Posebni primer N = 1; prvi Newtonov zakon: v razredu inercialnih koordinatnih sistemov se izolirana 

materialna točka giblje premočrtno s konstantno hitrostjo. 

Zaprti sistem, okolica, nezaprti sistem. 

Princip sorazmernosti Naj bo P sistem materialnih točk Pi. Za poljuben par točk Pi, Pj iz P, ki tvori 

zaprt sistem obstaja, ne glede na vrsto interakcije, pozitivna konstanta k21 tako, da velja ¨ Pi = −kji ¨ Pj. 

Za ˇstevila kij velja kijkjkkki = 1. 

Lema Naj za ˇstevila kij velja 

a) kij > 0 

b) kji = 1/kij 

c) kijkjkkki = 1. 

Potem obstajajo ˇstevila, mi > 0, tako da velja kij = mi/mj. 

Pojem inercijske mase, pojem sile. 

Tretji Newtonov zakon. 

Gravitacijski zakon, gravitacijska masa. 

Newtonov eksperiment, enakost inercijske in gravitacijske mase. 

Delo, kinetična energija. 

Izrek Delo, ki ga opravi sila na materialno točo pri gibanju vzdolˇz tira, je enako razliki kinetične 

energije. 

Potencialna sila, konzervativna sila. 

15. 10. 07 PREMOČRTNO GIBANJE 

Literatura 


15-22. 

• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, it Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University 

Press, 1998, 18-22. 

• Landau, L.D., in Lifshitz, E. M., Mechanics , Addison-Wesley, Reading, Mass., 1960, 25-27. 

Izrek(Izrek o energiji) Naj bo F konzervativna sila. Potem je vsota kinetične in potencialne energije 

konstanta gibanja. 

Momenti, gibalna količina p = p(P ) = m dP 

dt , vrtilna količina l = l(O, P ) = (P − O) × p. 

PREMOČRTNO GIBANJE 

Izrek Gibanje je premočrtno ⇐⇒ obstaja O, tako da je l(O, P ) = 0. 

Piˇsimo F = fi in naj bo f = f(x) zvezna funkcija. Potem je T + U = E je integral gibanja in gibanje 

je integrabilno. Velja 

x 

dx 

t = t0 + sgn ˙x . 

x0 2 

m (E − U(x)) 

2

Kvalitativna analiza gibanja, točka obrata, periodično gibanje, neomejeno gibanje. 

Omejeno premočrtno gibanje je periodično. 

Perioda periodičnega gibanja. 

Ravnovesna lega, stabilna, nestabilna ravnovesna lega. 

Primer: harmonični oscilator U(x) = 1 

2kx2 , nihajni čas T = 2π m 

k je neodvisen od energije. 



15-22. 


Lema Naj bo x0 izoliran lokalni minimum potenciala. Potem v okolici U0 = U(x0) velja 

x2(U) − x1(U) = 

1 

π √ 2m 

U 

U0 

T (E) dE 

√ U − E . 

Posledica Naj bo U(x) soda funkcija in monotona na veji sodosti ter x0 = 0 in U(0) = 0. Potem 

1 

x(U) = 

2π √ 2m 

U 

0 

T (E) dE 

√ U − E . 

Trditev Edino izokronično gibanje s simetričnim in monotonim potencialom na veji simetrije je harmonično 

gibanje. 

Fazna ravnina, fazni portret. 

Lema Za omejeno premočrtno gibanje velja dS 

dE = T . Tu je S ploˇsčina pripadajočega lika v fazni, T pa 

perioda gibanja. 

Primer: harmonični oscilator. 

GIBANJE PO KRIVULJI 

Ločna dolˇzina, ukrivljenost. 

Tangencialni pospeˇsek, normalni pospeˇsek; a = ¨set + κ ˙s 2en. 22. 10. 07 Literatura 

• Greiner,W., Classical Mechanics: Point Particles and Relativity, Springer, 2004, 229-240. 

• Courant, R. in John F., Introduction to Calculus and Analysis, Wiley, New York, 1965, 410-412. 

Idealno gibanje po krivulji 

Sila vezi, delo sile vezi, idealna vez; redukcija na premočrtno gibanje. 

Primer: matematično nihalo. 

Ocena nihajnega časa matematičnega nihala: 

 

2π 

l 1 

≤ T ≤ 

g cos θ0 

 

2π 

2 

l 

g . 

Cikloidno nihalo y = 1 

2ks2 

a 

, izračun nihajnega časa T = 4π g . 

Trditev Edino simetrično izokronično nihalo je cikloidno nihalo. 

GIBANJE V POLJU CENTRALNE SILE 

Definicija Sila F je centralna, če obstaja točka O (center sile) tako, da velja F = F (| P − O |)(P − 

O)/| P − O |. 

Izrek Konzervativna sila je centralna ⇐⇒ obstaja točka O tako, da je l(O, P ) je konstanten. 

3


• Goldstein, H., Classical Mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 76-82, 85-90. 

• Greiner,W., Classical Mechanics: Point Particles and Relativity, Springer, 2004, 246-257. 

Izrek Gibanje v polju centralnih sil je ravninsko. Tir leˇzi v ravnini, ki gre skozi O in ima normalo v 

smeri l(O, P ). 

Polarni koordinatni sistem, zapis 

vektorja hitrosti in pospeˇska v polarnem koordinatnem sistemu. 

 

Ploˇsčinska hitrost, zveza l = 

 

l = mC0, kjer je C0 dvojna ploˇsčinska hitrost. 

Izrek Gibanje v polju centralne sile ima dve konstanti gibanja, energijo in ploˇsčinsko hitrost. 

Zgodovinski oris, Keplerjevi zakoni. 

Trditev Če je ploˇsčinska hitrost konstantna, je obodni pospeˇsek enak nič. 

Binetova formula 

ar = −C 2 0u 2 

 

2 d u 

+ u . 

dθ2 Trdtev Če je tir elipsa, je radialni pospeˇsek obratno sorazmeren kvadratu oddaljenosti do centra sil. 

Trditev Kvocient C2 0/p je konstanten za vse planete v osončju, 

Redukcija na premočrtno gibanje koordinate r, efektivni potencial. 

Določitev trajektorije s kvadraturami. 

Določitev tira θ = θ(r). 



34-42. 

• Goldstein, H., Classical Mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 90-102. 

• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University 

Press, 1998, 77-92. 

• Arnold, V.I., V.V. Kozlov in A.I. Neishtadt, Mathematical aspects of Classical and Celestial Mechanics, 

Springer, Beriln, 1997, 53-55. 

Kvalitativna analiza gibanja v polju centralne sile, apsidni radij, pericenter, apocenter, apsidni kot ∆θ. 

. Formula 

Primer: gibanje v polju gravitacijske sile V (r) = − γ 

r 

r = 

p 

, 

1 + ɛ cos(θ − θ0 + π/2) 

l2 

p = , 

mγ 

ɛ = 

 

1 + 2El2 

, 

mγ2 kjer je θ0 polarni kot do lokalnega minimuma efektivnega potenciala. 

Trditev Tir je simetričen glede na apsidni radij. 

Trditev Tir se dotika apsidnih kroˇznic. 

Pogoj zaprtosti tira W = ∆θ/π ∈ Q. 

Če tir ni zaprt, je omejeni tir gosta mnoˇzica v kolobarju med dvema apsidnima radijema; 

Vpraˇsanje, kdaj je vsak omejen tir zaprt. 

Izrek Bertrandov izrek (brez dokaza). Če so vsi tiri v okolici vrtilne količine in energije stabilnega 

kroˇznega tira r = r0 zaprti in je potencial analitičen v okolici r0, je v tej okolici potencial gravitacijski 

ali pa Hookov. 

Ekscentrična anomalija u, zveza med polarnim kotom in ekscentrično anomalijo. 

= ζ. 

Keplerjeva enačba u − ɛ sin u = 2π t 

T 

4



Zagreb, 1990 35-36. 

Trditev Za vsak ζ in ɛ ∈ [0, 1) obstaja enolična reˇsitev u(ɛ, ζ) Keplerjeve enačbe. 

Trditev u(ɛ, ζ) − ζ je liha periodična funkcija spremenljivke ζ s periodo 2π. 

Razvoj u(ɛ, ζ) v potenčno vrsto, aproksimacija nultega, prvega in drugega reda. 

GIBANJE V RELATIVNEM KOORDINATNEM SISTEMU 

Definicija Soredje ϕ(t, P ) se giblje glede na soredje ϕ ′ (t ′ , P ′ ), če obstaja trojica (P0, P ′ 0, Q), P0 ∈ E, 

P ′ 0 : R → E, Q : R → SO(3), tako da velja t ′ = t in P ′ = P ′ 0(t) + Q(t)(P − P0). 

Translacijsko gibanje, rotacijsko gibanje. 

Trditev Rotacijski del gibanja je neodvisen od centra gibanja. 

Trditev Q T ˙ Q je poˇsevno simetrični tenzor. 

Trditev Naj bo W poˇsevno simetrični tenzor iz R 3 v R 3 . Potem obstaja vektor ω tako, da je Wa = ω×a 

za vsak a. Vektorju ω pravimo osni vektor tenzorja W . 

Trditev Wij = −eijkωk. 

Definicija Osnemu vektorju ω tenzorja Q T ˙ Q pravimo rotacijski vektor. Vektor kotne hitrosti rotacije 

Q je ω ′ = Qω. 


• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 164-166. 

Trditev Vektor kotne hitrosti rotacije za kot ϕ = ϕ(t) okrog stalne osi e je ω = ˙ϕe. 

Trditev Naj bodo a, b,c tri med seboj linearno neodvisni vektorji in A ∈ Lin(R 3 ). Potem 

Trditev Naj bo A ∈ Lin(R 3 ) neizrojena. Potem 

det A = (Aa, Ab, Ac) 

(a, . 

b,c) 

(Aa) × (A b) = (det A) A −T (a × b) = A ∗ (a × b). 

Izrek Naj bo Q ∈ SO(3). Potem Q(a × b) = (Qa) × (Qb). Trditev Če je ω rotacijski vektor rotacije 

Q, je −ω je vektor kotne hitrosti rotacije QT . 

Trditev Naj bo R(e, ϕ) rotacija okoli smeri e za kot ϕ; |e| = 1. Potem 

in 

R(e, ϕ)r = cos ϕ r + e(e · r)(1 − cos ϕ) + (e × r) sin ϕ 

R(e, ϕ) = I + sin ϕW(e) + (1 − cos ϕ)W 2 (e). 

Trditev Naj bo Q = R(e, ϕ). Potem cos ϕ = (Sl Q − 1)/2. 



Zagreb, 1990, . 


Predstavitev rotacije s kvaternioni. 

Trditev R(e, ϕ)r = qrq ∗ , kjer je q = j(R(e, ϕ)) = cos ϕ ϕ 

2 + e sin 2 . 

Prostor enotskih kvaternionov H1 = {q : q ∈ H, q = 1}. 

Ekvivalenčna relacija na H1: q1 ∼ q2 ⇐⇒ q1rq ∗ 1 = q2rq ∗ 2 za vsak r ∈ R 3 . 

Izrek Predpis j : SO(3) → H1/ ∼ je izomorfizem grup. 

Izrek Naj bo Q rotacija okrog osi e = e(t) za kot ϕ = ϕ(t). Potem je 

ω = ˙ϕe + sin ϕ ˙ e − (1 − cos ϕ)e × ˙ e 

5

pripadajoči osni vektor, vektor kotne hitrosti pa je 

ω ′ = ˙ϕe + sin ϕ ˙ e + (1 − cos ϕ)e × ˙ e. 

Vektor kotne hitrosti sestavljene rotacije. 

Izrek Vektor kotne hitrosti sestavljene rotacije Q = Q2Q1 je ω ′ = ω ′ 2 + Q2ω ′ 1, kjer sta ω ′ 1 in ω ′ 1 vektorja 

kotne hitrosti rotacije Q1 in Q2. Rotacijski vektor pa je ω = Q T 1 ω2 + ω1. 

Absolutni, relativni koordinatni sistem; pisava ζ = P − P0, ζ ′ = Q ζ, P ′ = P ′ 0 + Q ζ = P ′ 0 + ζ ′ . 

Relativna hitrost vrel = ˙ ζ, v ′ 

rel = Qvrel = ( ˙ ζ) ′ , povezava med absolutno in relativno hitrostjo 

v ′ = v ′ 0 + Q(ω × ζ + vrel) = v ′ 0 + ω ′ × ζ ′ + v ′ 

rel. 


• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003, 3-10. 

Trditev (Qu) . = Q ˙ u + ω ′ × u ′ . 

Relativni pospeˇsek arel = ¨ ζ = ζ¨ iei, a ′ rel = ¨ ζie ′ i , povezava med absolutnim in relativnim pospeˇskom 

a ′ = a ′ 0 + Q(ω × (ω × ζ) + ˙ ω × ζ + 2ω × vrel + arel) = a ′ 0 + ω ′ × (ω ′ × ζ ′ ) + ˙ 

ω ′ × ζ ′ + 2ω ′ × v ′ 

rel + a ′ rel. 

Sistemski, Coriolisov, centrifugalni pospeˇsek. 

Newtonova enačba v absolutnem koordinatnem sistemu ma ′ = F ′ , v relativnem koordinatnem sistemu 

marel = F − ma0 − mω × (ω × ζ) − m ˙ ω × ζ − 2mω × vrel, 

kjer je F = Q T F ′ in a0 = Q T a ′ 0. 

Translacijska sila, centrifugalna sila, inercijska sila rotacije, Coriolisova sila. 

Primer: gibanje materialne točke v votli vrteči se cevi. Določi izstopno hitrost. 

Primer: v relativnem koordinatnem sistemu se točka giblje po elipsi s konstantno ploˇsčinsko hitrostjo. 

Določi rotacijo RKS okrog centra sile tako, da se bo v AKS točka gibala v polju centralne sile. 


• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003, 

23-29. 

Foucaltovo nihalo, izračun precesije ravnine nihanja. 



66-73. 


SISTEM MATERIALNIH TOČK Masno srediˇsče P∗ = O + 1 N m i=1 mi(Pi − O). 

Trditev Masno srediˇsče je neodvisno od izbire koordinatnega izhodiˇsča O. 

Notranje sile, zunanje sile. 

Enačba gibanja masnega srediˇsča m ¨ P∗ = F . 

Vrtilna količina L = L(O) = N i=1 l(O, Pi). 

Odvisnost vrtilne količine od pola : L(P0) = L(O) + (O − P0) × m ˙ P∗. 

Navor zunanjih sil N = N(O) = N i=1 (Pi − O) × Fi. 

Centralnost notranjih sil: 

Fji = Fji(Pi, Pj) = Fji(| Pi − Pj |) Pi − Pj 

| Pi − Pj | . 

6

Izrek o vrtilni količini: Ce so notranje sile centralne, je odvod vrtilne količine okoli fiksnega pola 

enak navoru zunanjih sil okoli tega pola. 

Pisava: Pi = P0 + ζi 

Vrtilna količina gibanja okoli P0: L = L(P0) = 

i ζi × mi ˙ ζi. 

Trditev d 

dt L(P0) = N(P0) − m ˙ 

P0 × ˙ 

P∗. 

Trditev d 

dt L = N(P0) − (P∗ − P0) × m ¨ P0. 

Posebna primera : P0 = P∗, ¨ P0 = 0 ⇒ d 

dt L = N(P0). 



44-50. 


73-79. 

Potencial notrajnih sil 

Uji(Pi, Pj) = − 

| Pi−Pj | 

r0 

Fji(r) dr, U = 

Energijski princip d 

dt (T + U) = N i=1 Fi · Pi. ˙ 

Odvisnost kinetične energije od izbire centra gibanja. 

Koenigov izrek T = Trel + 1 

2m 

 

˙ 

 

 

P∗ 2 

. 

Zaprti sistem, 10 osnovnih konstant klasične mehanike. 

Primer: problem dveh teles. 

Dekompozicija na gibanje masnega srediˇsča in gibanje masne točke z reducirano maso v polju centralne 

sile s polom v masnem srediˇsču. 


• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 

Problem treh teles. 

Reduciran problem treh teles; kolinearna reˇsitev. 

Korotirajoča reˇsitev problema treh teles. Izračun kotne hitrosti ω2 = 3κm0 

a3 . 

Stabilnost korotirajoče reˇsitve. 

Velja: 

i) Če je vektor vrtilne količine gibanja treh točk okoli masnega srediˇsča ničelen, je gibanje ravninsko. 

ii) Če je vektor vrtilne količine gibanja okoli masnega srediˇsča neničelen, hkratni trk vseh teles ni 

moˇzen. 

Virial W = W (O) = 

i mi(Pi − O) · Pi. ˙ 

Enačba gibanja viriala 

dW 

dt 

= 2T + 

i=1 

i



Press, 1998, 24-26. 

Primer: omejeno gibanje problema N teles. 

Problem N teles; naj bo E > 0, potem vsaj eno telo ubeˇzi v neskončnost. 

Sistem s spremenljivo maso Enačba gibanja 

d dm 

(mv) − 

dt dt u = F . 

Primer: izstrelitev rakete. 

KINEMATIKA TOGEGA TELESA 

Definicija Gibanje t → P (t) točk sistema {P} je togo, če za poljubni točki P1, P2 ∈ {P} velja 

| P1(t) − P2(t) | = konst. 

Pojem togega telesa; opis gibanja togega telesa, rotacija + translacija. 

Izrek Naj bo gibanje sistema P togo. Potem za vsak koordinatni sistem ϕ in za poljubno točko P0 ∈ E 

obstajata funkciji P ′ 0(t) in Q(t) ∈ SO(3), tako da velja: 

a) P ′ 0(t = 0) = P0, Q(t = 0) = I, 

b) P (t) = P ′ 0(t) + Q(t)(P (t = 0) − P0). 


• 

Posledica Definirajmo soredja ϕ(t, P ) in ϕ ′ (t, P ′ ), kjer je P = P (t = 0) in P ′ = P (t). Potem se soredje 

ϕ giblje glede na ϕ ′ , v soredju ϕ pa sistem P miruje. Soredju ϕ pravimo telesno soredje, soredju ϕ ′ pa 

prostorsko soredje. 

Pisava P ′ = P (t), P = P (t = 0). 

Pojem kontinuuma, masa, gostota; dm = ϱdP 

Opis gibanja kontinuuma B na osnovi referenčnega poloˇzaja, pisava B ′ = B(t), B = B(t = 0). 

Zakon o ohranitvi mase. 

Masno srediˇsče kontinuuma: 

a) koordinatni sistem ϕ ′ : P ′ ∗ = O ′ + 1 

m 

b) koordinatni sistem ϕ : P∗ = O + 1 

m B0 

Trditev Velja P ′ ∗ − O ′ = Q(P∗ − O). 

′ 

dP ∗ 

Izrek Za masno srediˇsče telesa B velja dt = P ˙ ′ ∗ in 

Vrtilna količina relativnega gibanja L, L ′ = Q L. 

Vztrajnostni tenzor L ′ = J ′ ω ′ . 

 

B ′(P ′ − O ′ ) dm za poljubno točko O ′ 

; 

(P − O) dm za poljubno točko O. 

dP ˙′ 

∗ 

dt = ¨ P ′ ∗. 



165-180. 

Prostorski vztrajnostni tenzor J ′ , telesni vztrajnostni tenzor J. 

Trditev Velja J ′ = QJQ T in L ′ = J ′ ω ′ . 

Komponentni zapis vztrajnostnega tenzorja. 

Primer: vztrajnostni tenzor kroˇznega valja. 

Vztrajnostni moment Je = e · Je okoli osi e, deviacijski momenti D. 

Trditev Tenzor J je pozitiven. Če telo ni tanka palica, je pozitivno definiten. 

Diagonalizacija vztrajnostnega tenzorja, glavne osi, glavni momenti. 

Trditev Normala na ravnino zrcalne simetrije je glavna smer vztrajnostnega tenzorja. 

Trditev Če ima telo dve ravnini zrcalne simetrije, je presek ravnin simetrij glavna smer vztrajnostnega 

tenzorja. 

Izrek (Steiner) J(P0) = J(P∗) + m| P0 − P∗ | 2 I − m(P0 − P∗) ⊗ (P0 − P∗). 

8



190-215. 

Trditev Prehod na novo bazo; e ⋆ 

i = αi jej =⇒ J ⋆ 

ij = αi kαj kJkl. Računanje vztrajnostnega tenzorja, Routhova metoda. 

Primer: elipsoid, J1 = m 

5 (b2 + c2 ), J2 = m 

5 (a2 + c2 ), J3 = m 

5 (a2 + b2 ). 

Kinetična energija togega telesa T = 1 

2m| v∗ | 2 + 1 

2 

Trditev Moč notranjih sil togega telesa je enaka nič. 

Izrek o energiji za togo telo 

ω · J(P∗)ω. 

DINAMIKA TOGEGA TELESA 



220-226. 

Enačba gibanja masnega srediˇsča ma∗ = F . 

Eulerjeve dinamične enačbe J ˙ ω + ω × Jω = N. 

Komponentni zapis Eulerjevih dinamičnih enačb. 

a) v lastnem koordinatnem sistemu vstrajnostnega tenzorja; 

b) v koordinatnem sistemu s koordinatno osjo v smeri stalne osi rotacije. 

N1 = J13 ¨ϕ − J23 ˙ϕ 2 

N2 = J23 ¨ϕ + J13 ˙ϕ 2 

N3 = J33 ¨ϕ 

Trditev Če je gostota f volumenske sile F konstantna, torej F = 

B f dm = fm(B), je navor N(P0) 

volumenske sile enak navoru rezultante F s prijemaliˇsčem v masnem srediˇsču: 

 

N(P0) = (P − P0) × f dm = (P − P∗) × F . 

B 

Definicija Telo B1 se kotali po telesu B2, če sta hitrosti telesa v dotikaliˇsču enaki. 

Primer: kotaljenje valja po strmini, sila kotaljenja. 



Primer : vrtenje telesa okrog stalne osi, določitev sil v leˇzajih. 

Energijski princip: dT 

dt = v ′ ∗ · F ′ + ω ′ · N ′ (P ′ ∗) = v∗ · F + ω · N(P∗). 

Prosta vrtavka 

Binetov elipsoid, presek Binetovega elipsoida s sfero; gibanje vektorja vrtilne količine po Binietovem 

elipsoidu. 

Posebni primer: enakomerna rotacija; stabilnost enakomerne rotacije. 



249-252. 

Osnosimetrična prosta vrtavka: analitična obravnava; precesija vektorja kotne hitrosti okoli osi simetrije. 

Eulerjevi koti 

ϕ - precesija, θ - nutacija, ψ - kot lastne rotacije. 

Eulerjeva rotacija R = R( k,i, k, ψ, θ, ϕ) := R( k2, ψ)R(i1, θ)R( k, ϕ); i1 = R( k, ϕ)i, k2 = R(i1, θ) k. 

Lema R(R(e, ϕ) f, θ)R(e, ϕ) = R(e, ϕ)R( f, θ). 

9

Definicija Za dane osi fk in kote ϕk, k = 1, 2, . . . , n piˇsemo f (0) 

k = fk in f (l) 

k = l + 1, . . . , n. Definiramo kompozitum rotacij okrog zarotiranih osi 

Izrek 

Primer: Eulerjeva rotacija 

R( fn, . . . , f1, ϕn, . . . , ϕ1) = R( f (n−1) 

n , ϕn) ◦ . . . ◦ R( f (1) 

2 , ϕ2)R( f1, ϕ1). 

R( fn, . . . , f1, ϕn, . . . , ϕ1) = R( f1, ϕ1) ◦ . . . ◦ R( fn−1, ϕn−1)R( fn, ϕn). 

R( k,i, k, ψ, θ, ϕ) = R( k2, ψ)R(i1, θ)R( k, ϕ) = R( k, ϕ)R(i, θ)R( k, ψ). 

k = R( f (l−1) 

l , ϕl) f (l−1) 

k 

Izrek Vsako rotacijo, z izjemo rotacije okrog osi k, moremo enolično zapisati kot Eulerjevo rotacijo 

R( k,i, k; ψ, θ, ϕ), ϕ ∈ [0, 2π), θ ∈ (0, π), ψ ∈ [0, 2π). 



Press, 1998, 526-533. 

Izrek Vektor kotne hitrosti rotacije R( fn, . . . , f1, ϕn, . . . , ϕ1) je ω ′ = 

k ˙ϕk f (k−1) 

k . Z besedami, vektor 

kotne hitrosti sestavljene rotacije je vsota kotnih hitrosti okoli trenutnih osi rotacij. 

Primer: vektor kotne hitrosti Eulerjeve rotacije v prostorskih baznih vektorjih (i,j, k) je 

ω ′ = ( ˙ ψ sin θ sin ϕ + ˙ θ cos ϕ)i + ( ˙ θ sin ϕ − ˙ ψ sin θ cos ϕ)j + ( ˙ ψ cos θ + ˙ϕ) k. 

Izrek R( k,i, k; ψ, θ, ϕ) T = R( k,i, k; −ϕ, −θ, −ψ). 

Trditev Osni vektor Eulerjeve rotacije zapisan v prostorski bazi (i,j, k) je 

ω = ( ˙ϕ sin θ sin ψ + ˙ θ cos ψ)i + ( ˙ϕ sin θ cos ψ − ˙ θ sin ψ)j + ( ˙ϕ cos θ + ˙ ψ) k. 

Posledica Vektor kotne hitrosti Eulerjeve rotacije zapisan v telesni bazni (i ′ ,j ′ , k ′ ) je 

ω ′ = ( ˙ϕ sin θ sin ψ + ˙ θ cos ψ)i ′ + ( ˙ϕ sin θ cos ψ − ˙ θ sin ψ)j ′ + ( ˙ϕ cos θ + ˙ ψ) k ′ . 

Simetrična(Lagrangeeva) vrtavka Integrali gibanja : komponenta vrtilne količine okoli navpičnice, 

komponenta vrtilne količine v telesnem koordinatnem sistemu okoli osi simetrije in vsota kinetične in 

potencialne energije. 


• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 213-225 

Analitični zapis konstant gibanja 

J3 

 

˙ϕ cos θ + ˙ 

ψ = J1a, 

˙ϕ J1 sin 2 θ + J3 cos 2 θ + J3 ˙ ψ cos θ = J1b, 

1 

2 J1 

 

˙θ 2 2 2 

+ ˙ϕ sin θ + 1 

2 J3(ω3) 2 + mgl cos θ = E. 

Redukcija gibanja na premočrtno gibanje kota nutacije. 

˙u 2 = (1 − u 2 )(α − βu) − (b − au) 2 , α = 2E′ 

Kvalitativni opis gibanja v odvisnosti od konstant gibanja. 

Klasična naloga vrtavke; ˙ϕ(t = 0) = 0, ˙ θ(t = 0) = 0, u2 = c = b 

a 

Hitra vrtavka, razpon nutacije u2 − u1 = β 

a 2 sin 2 θ2. 

Frekvenca nutacije, povprečna kotna hitrost precesije. 

10 

J1 

, β = 2mgl 

. 

, α = βu2. 

J1 

za

LAGRANGEEVA MEHANIKA 

14.1.08 Literatura 


Press, 1998, 48-62. 


Generalizirane koordinate, konfiguracijski prostor; pisava q = (q 1 , q 2 , . . . , q N ) ∈ R N . 

Vezi: geometrijske vezi, vezi prvega reda, vezi p-tega reda. 

Omejitev na geometrijske vezi in kvazilinearne vezi prvega reda : 

a(q, t) · ˙q + a0(q, t) = 0. 

Izrek (Frobenius) Vez akq k + a0 = 0 je integrabilna natanko tedaj, ko obstaja neničelni mnoˇzitelj 

λ = λ(q, t), tako da je 

∂ak ∂al 

= 

∂ql ∂qk , k, l ∈ {0, 1, . . . , N}, q0 = t. 

Vpraˇsanje integrabilnosti vezi prvega reda. 

Primer: 

a) kotaljeneje diska po premici; 

b) kotaljeneje diska po ravnini. 

Klasifikacija vezi: holonomna, neholonomna vez, reonomna, skleronomna, katastatične, akatastatične. 

ˇStevilo prostostnih stopenj je enako razseˇznosti konfiguracijkega prostora minus ˇstevilo vezi. 



Press, 1998, 48-62. 

Katastatične vezi. 

Sistem vezi 

∂f i 

∂qk ˙qk i ∂f 

= − 

∂t , 

ajk ˙q k = −aj, 

i = 1, 2, . . . , m ′′ , j = 1, 2, . . . , m ′ . 

Definicija Reˇsitvi ˙q sistema vezi pravimo moˇzna hitrost. Reˇsitvi prirejenega homogenega sistema pa 

virtualna hitrost. 

Dejanski pomik, moˇzni pomiki(infinitezimalni), virtualni pomik. 

Trditev Če je sistem holonomen in skleronomen ali pa katastatičen, se pojma moˇzne(ga) in virtualne(ga) 

hitrosti(pomika) sovpadata. 

Princip virtualnega dela 

Klasifikacija sil: sile vezi, notranje sile, aktivne sile, pasivne sile. 

Definicija Vez je idealna, če je virtualno delo vezi enako nič. 

Trditev Naj bo sila j-te točke na i-to točko Fji centralna in naj velja med točkami vez |Pi −Pj| = aij(t). 

Potem je virtualno delo sil Fji enako nič. 

Primer: 

a) Vez gibanja materialne točke po gladki ploskvi je idealna. 

b) Vez kotaljenja je idealna vez. 

c) Notranje sile togega telesa so pasivne sile. 

Definicija Sistem je idealen, če je virtualno delo sil vezi enako nič. Silam, katerih virtualno delo je 

anko nič pravimo pasivne sile. 

Princip virtualnega dela: idealen sistem je v ravnovesju, če je virtualno delo aktivnih sil enako nič. 

δA = 

N 

Fi · δPi = 0. 

i=1 

11



Primer: na eni strani vrtljivo vpeta na drugi strani pa gladko podprta viseča palica. Določi ravnovesni 

poloˇzaj: 

a) s pomočjo vektorske mehanike; 

b) s principom virtualnega dela. 

Virtualna rotacija. 

Primer: viseča palica, določi silo podpore. 

Generalizirana sila Qj = N 

i (∂Pi/∂q j ) T Fi; virtualno delo δA = Qjδq j . 

Ravnovesni pogoji: 

a) neodvisne koordinate q j : Qj = 0 za vsak j ∈ {1, . . . , n}; 

b) odvisne koordinate: Qj − m 

k λk akj = 0, pomen Lagrangeevih mnoˇziteljev. 

Potencialen sistem Fi(t, Pi) = −(∂Vi/∂Pi) T , V = N 

i Vi, Qj = −∂V/∂q j . 

Primer: viseča palica, obravnava s potencialom: 

a) določitev ravnovesnega poloˇzaja s pomočjo potencialne energije; 

b) vpraˇsanje stabilnosti ravnovesnega poloˇzaja. 



Press, 1998, 62-66. 

D’Alembertov princip δA = N 

i (−mi ¨ Pi + Fi) · δPi = 0. 

Lagrangeove enačbe 

Potencialen sistem V = V (q, t), neodvisne koordinate: Lagrangeeva funkcija L = T − V ; Lagrangeeve 

enačbe: 

d ∂L ∂L 

− = 0. 

dt ∂ ˙q ∂q 

Lagrangeeve enačbe : potencialen sistem V = V (q, t), odvisne koordinate: 

Primer: Zdrs naslonjene palice na gladki steni; 

a) izračun z Euler-Newtonovo mehaniko; 

b) izračun z neodvisnimi koordinatami; 

c) izračun z odvisnimi koordinatami. 

T d ∂L ∂L 

− = λA. 

dt ∂ ˙q ∂q 



Press, 1998, 68-72,118-125. 


88-91. 

Izrek (kovariantnost Lagrangeovih enačb) Naj bo Q = Q(q, t) ←→ q = q(Q, t) difeomorfizem med generaliziranimi 

koordinatami q in Q in naj bo L(q, ˙q, t) dana Lagrangeova funkcija. Piˇsimo ˆ L(Q, ˙ Q, t) = 

L(q(Q, t), (∂q/∂Q) ˙ Q + ∂q/∂t, t). Potem 

d ∂ 

dt 

ˆ L 

∂ ˙ Q − ∂ ˆ L 

∂Q = 

 

d ∂L ∂L ∂q 

− 

dt ∂ ˙q ∂q ∂Q . 

Generalizirani momenti pi, ciklične koordinate. 

Izrek Kanonično konjugiran moment ciklične koordinate je integral gibanja. 

Jacobijeva energijska funkcija E = p · ˙q − L(q, ˙q, t). 

Trditev Vzdolˇz reˇsitve Lagrangeove enačbe velja d ∂L 

dtE = − ∂t . 

12

Avtonomni sistem. 

Posledica Jacobijeva energijska funkcija je konstanta gibanja avtonomnega sistema. 

Struktura kinetične energije sistema N materialnih točk. 

T = 1 

2 

N 

i=1 

mi 

 

 

˙ 

 

ri 

2 

= 1 

2 ˙qT ˙q + T1 ˙q + T0 = 1 

2 Tij ˙q i ˙q j + Ti ˙q i + T0. 

Če je sistem skleronomen, je T = 1 

2 Tij ˙q i ˙q j . 

Trditev Naj bo sistem N materialnih točk skleronomen. Potem E = T + V . 

Posledica Naj bo sistem avtonomen in skleronomen. Potem je T + V konstanta gibanja. 

Primer: simetrična vrtavka; pϕ, pψ in T + V so konstante gibanja. 

Izrek (Noether) Naj bo Lagrangeova funkcija invariantna za enoparametrično druˇzino transformacij 

hs : q ↦→ hs(q), s ∈ J ⊂ R, 0 ∈ J, hs=0 = 1 in naj bo hs diferenciabilna pri s = 0. Potem je 

I = ∂L 

∂ ˙q 

 

dhs 

ds s=0 

konstanta gibanja. 

Primer: Naj bo qi ciklična koordinata. Potem je pi konstanta gibanja. 

Primer: Naj bo L = 1 

2 i mi ˙ ri · ˙ ri − V (r1, . . . , rN ) invariantna za rotacijo okoli P0 okrog vektorja e. 

Potem je komponenta vrtilne količine s polom v P0 v smeri e konstanta gibanja. 



98-110. 



Press, 1998, 68-72,178-183. 

MAJHNA NIHANJA OKOLI RAVNOVESNE LEGE 

Predpostavke : avtonomni sistem L = L(q, ˙q), T = 1 

2 Tij ˙q i ˙q j . 

Ravnovesna lega, stabilna ravnovesna lega; razvoj Lagrangeeve funkcije v Taylorjevo vrsto 

L = 1 

2 ˙qT T ˙q − 1 

2 qT Vq. 

Posploˇsen problem lastnih vrednosti (V − λT)a = 0. Osnovne lastnosti posploˇsenega problema lastnih 

vrednosti. 

Hkratna diagonalizacija matrik T in V. 

Normalne koordinate, osnovne frekvence. 

Določitev reˇsitve iz začetnih pogojev. 

Primer: Dvojno matematično nihalo; določitev stabilne ravnovesne lege. 



Primer: Dvojno matematično nihalo; določitev lastnih frekvenc, lastnih vektorjev, normaliziranih koordinat; 

osnovna načina nihanja. 

Posploˇsen potencial, V = V (q, ˙q, t). 

Primer: Lorentzova elektromagnetna sila F = q( E + 1 

c ˙ 

Potencial Lorentzove sile U = q(φ − 1 

c A · v). 

Izrek Osni vektor poˇsevno simetričnega dela ∂ A 

∂P 

13 

P × B). 

je 1 

2 rot A.




Trditev Lagrangeeve enačbe so invariantne za transformacijo L ↦→ L + dF , kjer je F = F (q, t). 

dt 

Umeritvena transformacja, ekvivalentna Lagrangeova funkcija. 

Opis gibanje v relativnem koordinatnem sistemu P ′ = P ′ 0 + Q(P − P0), P ′ 0 fiksna točka, Q = Q(t). 

Potencial v RKS je: 

Trditev 

Vrel(P ) = V (P ′ 0 + Q(P − P0)) − 1 

2 m| ω × (P − P0) | 2 − m(ω × (P − P0)) · ˙ 

P . 

∂ 

∂P (ω × (P − P0)) = W (ω), 

T ∂ 

(ω × (P − P0)) = W (−ω). 

∂P 

Izračun d 

dt∂Vrel/∂P˙ − ∂Vrel/∂P . 

Trditev Če je B konstantno vektorsko polje, je ustrezni vektorski potencial A = 1 

2 B × r. 

Izrek (Larmor) Dinamični efekt konstantnega magnetnega polja B ′ je do prvega reda natančnosti 

ekvivalenten precesiji sistema s kotno hitrostjo ω = −q B/(2mc). 

Variacijski princip 

Akcijski funkcional I(q) = t2 

t1 

L(q, ˙q, t) dt. 


• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 43-54, 339-356. 


Hamiltonov variacijski princip. Stacionarna točka akcijskega funkcionala nad afinim prostorom trajektorij 

s predpisanimi vrednostmi na krajiˇsčih je natanko reˇsitev Lagrangeovih enačb s predpisanimi 

vrednostmi na krajiˇsčih. 

HAMILTONOVA MEHANIKA 

Legendrova transformacija, Legendrova transformacija je involutivna; LL = I. 

Primer: f(x) = 1 

αxα , Lf(z) = 1 

β zβ ; 1 1 

α + β = 1. 

Definicija Hamiltonova funkcija je Legendrova transformacija Lagrangeove funkcije po spremenljivki 

˙q. Pisava x = (q, p), prostoru koordinat x pravimo fazni prostor. 

Trditev Velja 

T ∂H 

= ˙q 

∂pk 

k 

 

∂H 

∂qk T = − ∂L 

∂qk Izrek Trajektorija q(t) je reˇsitev Lagrangeovih enačb ⇐⇒ x(t) = (q(t),p(t)) je reˇsitev kanonskega 

sistema 

T ∂H 

˙q = 

∂p 

T ∂H 

˙p = − . 

∂q 

Primer: V = V (q), T = 1 

2p · T−1p + V (q). 

Primer: gibanje materialne točke v polju centralnih sil, zapis in reˇsevanje kanonskih enačb. 

Poissonov oklepaj 

Za f = f(t, q, p), g = g(t, q, p) definiramo 

2 Tij ˙q i ˙q j . Potem ˙q = T −1 p in H = 1 

[f, g] = 

T ∂f 

· 

∂q 

T ∂g 

− 

∂p 

T ∂f 

· 

∂p 

T ∂g 

. 

∂q 

Odvod vzdolˇz reˇsitve kanonskega sistema. 

Trditev Odvod funkcije f(t, q, p) vzdolˇz reˇsitve kanonskega sistema je df ∂f 

dt = ∂t + [f, H]. 

14

Posledica Če je sistem avtonomen, je H konstanta gibanja. 

Lastnosti Poissonovega oklepaja: 

i) Poˇsevna simetričnost : [f, g] = −[g, f]. 

ii) Lineranost : [f1 + f2, g] = [f1, g] + [f2, g] in [λf, g] = λ[f, g]. 

iii) Leibnitzovo pravilo : [f1f2, g] = [f1, g]f2 + f1[f2, g]. 

∂g 

∂t ∂t , g] + [f, ∂t ]. 

v) Jacobijeva identiteta: [f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0. 

C1 (R 2n , +, [•, •]) je Liejeva algebra. 

iv) ∂[f,g] ∂f 

= [ 



Izrek (Poisson) Naj bosta f = f(t, q, p) in g = g(t, q, p) konstanti gibanja. Potem je [f, g] konstanta 

gibanja. 

Primer: Poissonov oklepaj komponent vrtilne količine, [li, lj] = eijklk. 

Simplektična matrika J. 

Trditev Velja J −1 = −J = J T in det J = 1. 

Trditev Definirajmo [x, x]ij = [xi, xj]. Potem [x, x] = J. 

Pisava: ∂f 

∂x je vrstica, f,x = 

∂f 

∂x 

T 

je stolpec. 

Trditev [f, g] = f,x · Jg,x. 

Trditev Kanonski sistem moremo zapisati v obliki ˙x = JH,x in ˙x = [x, H]. 

Definicija Difeomorfizem x = (q, p) ↦→ ξ = (Q, P), iz R 2n v R 2n je kanonska preslikava ⇐⇒ preslikava 

ohranja Poissonov oklepaj: 

Izrek Preslikava ξ = ξ(x) je kanonska ⇐⇒ 

[ ˆ f, ˆg]ξ = [f, g]x, kjer je ˆ f(ξ) = f(x(ξ)). 

∂ξ 

∂x J 

T ∂ξ 

= 

∂x 

T ∂ξ 

J 

∂x 

∂ξ 

= J. 

∂x 

Pogoju izreka pravimo simplektični pogoj. 

∂ξ 

Trditev Če je n = 1, je preslikava kanonska ⇐⇒ det ∂x = 1. 

Izrek Preslikava ξ = ξ(x) je kanonska ⇐⇒ ohranja strukturo kanonskih enačb. 



Primer: harmonični oscilator H = 1 

 

2 2 2 2 p + m ω q , vpeljava novih koordinat p = f(P ) cos Q in 

f(P ) 

2m 

q = mω sin Q tako, da je Q ciklična koordinata. Določi f(P ) tako, da je transformacija kanonska. 

Izrek (Liouville) Kanonska transformacija ohranja volumen faznega prostora. 

Izrek (Modificiran Hamiltonov princip): Stacionarna točka funkcionala 

I(x) = I(q, p) = 

t2 

t1 

pi ˙q i − H(t, q, p) dt 

nad afinim prostorom s predpisanimi vrednostmi koordinat q na krajiˇsčih intervala je natanko kanonski 

sistem. 

Rodovne funkcije kanonskih transformacij. 

Posploˇsimo Q = Q(q, p, t), P = P(q, p, t), ξ = (Q, P). 

Trditev Preslikava ξ = ξ(x, t) ohranja strukturo kanonskih enačb, če velja 

pi ˙q i − H(t, q, p) = Pi ˙ Q i − K(t, Q, P) + dF 

dt . 

15

Funkciji F = F (q, p, Q, P, t) pravimo rodovna funkcija kanonske transformacije. 

Osnovni primeri rodovnih funkcij: 

1) 

2) 

F = F1(q, Q, t) : pi = ∂F1 

∂q i , Pi = − ∂F1 

∂Q i , K = ˆ H + ∂F1 

∂t . 

F = F2(q, P, t) − PiQ i : pi = ∂F2 

∂qi , Qi = ∂F2 

, K = 

∂Pi 

ˆ H + ∂F2 

∂t . 

3) F = F3(Q, p, t) + piq i , 

4) F = F4(p, P, t) + piq i − PiQ i 

Primeri: 

a) F = F1 = n 

i=1 qi Q i . 

b) F2 = f i (t, q)Pi + g(t, q); posebni primer F2 = g i Pi, potem q = Q in p = P. 

Hamilton Jacobijeva teorija 

Hamilton-Jacobijeva enačba 

∂S 

∂t 

∂S 

+ H(t, q, ) = 0. 

∂q 

Popolni intetegral S = S(t, q 1 , . . . , q n , α1, . . . , αn), določitev αi = Pi in β i = Q i iz začetnih pogojev 

q0 = q(t = t0) in p0 = p(t = t0), določitev reˇsitve q(t) = q(t, q0, p0). 




Primer: harmonični oscilator, reˇsevanje enačbe 

∂S ∂S 1 

+ 

∂t 2m ∂q 

2 + m 2 ω 2 q 2 

s separacijo spremenljivk S = S(t, q, α) = W (q, α) − αt. 

Primer: Krogelne koordinate; gibanje materialne točke pod vplivom potenciala V = a(r) + r −2 b(θ). 

Definicija Sistem s faznim prostorom dimenzije 2n je integrabilen, če obstaja n neodvisnih integralov 

gibanja Fi, ki so med seboj paroma v involuciji; [Fi, Fj] = 0. 

Integrabilni sistem. 

Primeri: 

a) premočrtno gibanje; 

b) gibanje v polju centralnih sil; 

c) simetrična vrtavka. 

MEHANIKA KONTINUUMA 

17.3.08 KINEMATIKA Literatura 

• Aganovi, I., Uvod u rubne zadae mehanike kontinuuma, Zagreb, 2003. 

• Gurtin, M. E., An introduction to continuum mechanics, Academic Press, 1981 

Definicija Materialno telo B je regularno odprta mnoˇzica z druˇzino preslikav X = {χ : χ : B → E 3 } 

tako da velja 

a) χ : B → χ(B) je bijekcija, 

b) za poljubna χ1, χ2 ∈ A, je kompozitum χ2χ −1 

1 : χ1(B) → χ2(B) difeomorfizem. 

Preslikavam χ ∈ X pravimo konfiguracije. Pisava; elemente iz B označujemo s P. 

16 

 

= 0

Definicija Gibanje materialnega telesa je gladka druˇzina konfiguracij 

{χt : χt : B → χt(B), t ∈ R} . 

Referenčna konfiguracija χR; posebni primer χR := χt=t0 . 

Pisava P poloˇzaj točke P v referenčni konfiguracji, p poloˇzaj točke v prostorski konfiguraciji. 

Preslikava p = χR(P, t), poenostavljena pisava p = χ(P, t) oziroma p = p(P, t). 

Referenčne koordinate X = (X K ), prostorske koordinate x = (x k ), preslikava x = χR(X, t). 

Gradient deformacije F = ∂p 

∂ P . 

Desni Cauchy Greenov tenzor C = F T F . 

Lagrange-Greenov tenzor deformacije E = 1 

2 (C − I). 

Mere deformacije: 

a) ɛ = ds−dS 

dS ; 

b) Cauchyjeva mera ds2−dS 2 

dS2 = dP 

| d dP · 2E 

P | | d P | . 

Trditev Piˇsimo A = d 

 

P / d 

 

P . Potem 

ɛ = 

V kartezičnih koordinatah v smeri osi Ei je ɛi = 

Mera striˇzne deformacije, v kartezičnih koordinatah 

 

1 + 2 A · E A − 1 ≈ A · E A. 

 

1 + 2E ii − 1 ≈ Eii. 

2E12 

sin γ12 = √ √ . 

1 + 2E11 1 + 2E22 


• Gurtin, M. E., An introduction to continuum mechanics, Academic Press, 1981, 14-15, 43-44. 

Definicija Transformacija χ : E 3 → E 3 je homogena, če je F := Grad χ konstanten tenzor. 

Trditev Naj bo χ homogena transformacija. Potem za vsako točko P0 ∈ E 3 obstaja enolični razcep 

χ = d1 ◦ g = g ◦ d2, kjer je g homogena transformacija z negibno točko P0, d1 in d2 pa sta translaciji. 

Izrek (Polarna dekompozicija) Naj bo F neizrojen. Potem obstajata enolični dekompoziciji F = RU = 

V R, tako da sta U in V pozitivno definitna, R pa ortogonalen. Prvemu zapisu pravimo desna, drugemu 

pa leva polarna dekompozicija. 

Primer: Polarna dekompozicija enostavnega striga ∆b 2 

b = √ . 

3 


• Gurtin, M. E., An introduction to continuum mechanics, Academic Press, 1981, 44-50. 

Primeri homogenih deformacij: 

a) rotacija okoli P0: χ(P ) = P0 + R(P − P0), R ∈ SO(3); 

b) razteg iz P0: χ(P ) = P0 + U(P − P0), U ∈ Sym 2(R 3 ); posebni primer: enoosni razteg U = 

I + (λ − 1)e ⊗ e, λ > 0; 

c) enostavni strig: F = I + b e ⊗ f, e ⊥ f. 

Definicija Deformacija je enostavni strig, če ima pripadajoči deformacijski tenzor ničelno sled. 

Trditev Naj bo χ homogena transformacija z negibno točko P0. Potem obstaja enolični razcep χ = 

s1 ◦ r = r ◦ s2, kjer je r rotacija okoli P0, s1 in s2 pa sta raztega iz P0. 

Naj bo C : α ∈ I ↦→ C(α) ∈ E 3 krivulja. Kompozitum χ ◦ C je potem slika transformirane krivulje. 

Pisava | C | je dolˇzina krivulje. 

Trditev 

 

 

| χ ◦ C | = 

U(C(α))dC 

 

 

 

dα dα. 

I 

17

Definicija Transformacija χ : D ⊂ E 3 → E 3 je toga, če 

| χ(P ) − χ(Q) | = | P − Q | 

za vsak par P , Q iz D. 

Izrek (karakterizacija togih transformacij) Naj bo χ : D ∈ E 3 → E 3 razreda C 1 , D povezana mnoˇzica 

in det(Grad χ) > 0. Potem so naslednje trditve ekvivalentne: 

a) χ je toga transformacija iz D v χ(D); 

b) χ(P ) = χ(P0) + R(P − P0) za poljubna P , P0 iz D in R ∈ SO(3); 

c) U(P ) = I za vsak P ∈ D. 

d) za vsako krivuljo C(α) v D je | C | = | χ ◦ C |. 

Izrek Deformacija je toga ⇐⇒ E = 0. 

Pomik, U(P, t) = χ(P, t) − P , pisava H = Grad U. 

Infinitezimalni deformacijski tenzor ɛ = 1 

2 (H + HT ). 


• Gurtin, M. E., An introduction to continuum mechanics, Academic Press, 1981, 54-58. 

• Chadwick, P.,Continuum mechanics : concise theory and problems, George Allen & Unwin, 1976, 16-19. 

Definicija Vektorsko polje U(P ) definirano na D ⊂ E 3 je vektorsko polje infinitezimalnih togih pomikov, 

če obstaja poˇsevni simetrični tenzor W , tako da velja 

U(P ) = U(Q) + W (P − Q) 

za poljubna P in Q iz D. 

Izrek (karakterizacija infinitezimalnih togih pomikov) Naj bo U(P ) gladko vektorsko polje na D. 

Naslednje trditve so ekvivalentne: 

a) U je polje infinitezimalnih togih pomikov; 

b) U ima projekcijsko lastnost; za poljubna P in Q iz D velja 

c) Grad U je poˇsevno simetričen; 

d) ɛ( U) = 0 za vsak P ∈ D. 

Trditev 

1 

Sl A = 

(a, b,c) ( U(P ) − U(Q)) · (P − Q) = 0. 

kjer so a, b in c poljubni linearno neodvisni vektorji. 

Geometrična linearizacija, F = I + H in H = δ


• 

Trditev Naj bo t simetričen. Potem Sl rot t = 0. 

Če velja rot t = 0, potem 

Izrek Naj bo Ω ⊂ R 3 enostavno povezano območje in t razreda Cr na Ω. 

obstaja vektorsko polje u razreda Cr+1 na Ω tako, da t = grad u. Nadalje, če Sl t = 0, potem t = rot w, 

kjer je w poˇsevno simetričen. 

Izrek Simetrični tenzor ɛ definiran na enostavno povezanem območju je infinitezimalen deformacijski 

tenzor ⇐⇒ Rot Rot ɛ = 0. 

Komponentni zapis kompatibilnostnega pogoja ɛipqɛjrsepr;qs = 0, 6 neodvisnih enačb. 

Primer : ravninska deformacija. Dan je simetrični tenzor 

ɛ11 = a + b(x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , ɛ12 = A + Bxy(x 2 + y 2 − c 2 ), ɛ22 = α + β(x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 

a) Določi zvezo med konstantami tako, da bo izpolnjen kompatibilnostni pogoj. 

b) Izračunaj pripadajoče pomike. 

Trditev 

a) dv = (det F )∗dV = J∗dV ; 

b) da = ((det F )F −T )∗d A. 


• 

Vzvrat in prenost, pisava f ∗ (P, t) = f(p(P, t), t) in F∗(p, t) = F (P (p, t), t). 

Trditev (f ∗ )∗(p, t) = f(p, t) in (F∗) ∗ (P, t) = F (P, t). 

Definicija Materialni odvod prostorske funkcije f = f(p, t) je 

Materialni odvod referenčne funkcije F (P, t) je DF 

Dt 

Izrek Df 

Dt 

= grad f v + ∂f 

∂t . 

Hitrostno polje: V (P, t) = ∂p 

∂t 

(P, t). 

Df 

Dt = 

 

d ∗ 

f . 

dt ∗ 

= ∂F 

∂t . 

Polje pospeˇskov: A(P, t) = ∂2 p 

∂t 2 (P, t). 

Prenos na prostorski poloˇzaj: v(p, t) = V∗(p, t), a(p, t) = A∗(p, t). 

Izrek a = Dv 

Dt . 

Trditev (grad u)v = (v · ∇)u. 

Trditev v · ∇v = grad 1 

2 | v |2 + rot v × v. 

Materialni, referenčni(Lagrangeov), prostorski(Eulerjev) opis gibanja. 

Primer: x = X + 3Y t 2 , y = Y 

1+2t , z = Z + 5Xt. Izračunaj V , A, v, a in Dv 

Dt . 

Pisava: p(t) = F(p0, τ, t) je integral sitema navadnih diferencialnih enačb dp 

dt 

= v(p, t) z začetnim 

pogojem p(t = τ) = p0. 

Tirnica materialne točke P0, ki ima v času t = τ prostorski poloˇzaj p0 je krivulja p(t) = F(p0, τ, t), t ∈ 

I ⊂ R. 

Slednica (emisijska črta) v času t0 skozi prostorski poloˇzaj p0 je krivulja π(τ) = F(p0, τ, t0), τ ∈ I. 

Tokovnica v času t0 skozi prostorski poloˇzaj p0 je krivulja, ki gre skozi p0 in se dotika hitrostnega polja 

v(p, t0). 

Trditev Če je hitrostno polje stacionarno, se tirnice, tokovnice in slednice sovpadajo. 

Primer: Dano je hitrostno polje : v 1 = 6t(1 + 2t)y, v 2 = −2 

1+2t y, v3 = 5(x − 3t 2 (1 + 2t)y). 

a) Določi tirnico, ki gre v času t = 0 skozi x0, y0, z0. 

19

Literatura 

• 

8.4.08 b) Določi slednico, ki gre skozi točko x0 = 0, y0 = 1 in z0 = 0 v času t0 = 1. 

c) Določi tokovnico, ki gre skozi točko x0 = 0, y0 = 1 in z0 = 0 v času t = 1(t = 0). 

Definicija L = Grad V = ˙ F , l = grad v. 

Trditev L = l ∗ F . 

Definicija a : b = Sl (a T ◦ b). 

Trditev 

a) a : b = a ij bij; 

b) a : b je skalarni produkt nad Lin2; 

c) a : b = a T : b T ; 

d) ab : c = b : a T c; 

Odvajanje skalarne tenzorske funkcije. 

Izrek 

∂ 

∂a det a = det a a−T . 

Izrek DJ 

= Jdiv v. 

Izrek 

Dt 

a) D 

b) 

Dt dp = l dp; 

D 

Dt da = (div v I − lT )da; 

c) D 

Dt dv = div v dv. 

Transportni izreki 

Pisava: B, A, C materialni volumen, ploskev, krivulja telesa B0, B, A, C ustrezni referenčni poloˇzaji in 

b(t) = χ(B, t), a(t) = χ(A, t), c(t) = χ(C, t) pripadajoči prostorski poloˇzaji. 

Izrek Naj bo F (P, t) skalarna ali tenzorska funkcija definirana na referenčnem poloˇzaju B razreda C1 z omejenimi parcialnimi odvodi in f(p, t) njen pripadajoči prostorski zapis. Potem 

a) 

b) 

c) 


• 

 

D 

Df 

f dv = + fdiv v dv. 

Dt b(t) 

b(t) Dt 

 

D 

Df 

f da = 

Dt a(t) 

a(t) Dt + f(div vI − lT 

) da. 

 

D 

Df 

f ds = 

Dt c(t) 

c(t) Dt + ft 

 

· dt ds. 

Definicija (div t) · a = div (tTa). Trditev div u ⊗ v = (div v)u + grad uvecv. 

Izrek (Gauss) 

div t dv = 

b 

Posledica Naj bo f skalarna ali vektorska funkcija. Potem 

∂b 

t n da. 

 

 

D 

∂f 

f dv = dv + f v · da. 

Dt b(t) 

b(t) ∂t ∂b(t) 

20

Posledica Naj bo f skalarna ali vektorska funkcija z nezveznostjo na materialni ploskvi a(t) ⊂ b(t). 

Potem 

 

D 

Dt 

 

f dv = 

 

∂f 

dv + 

∂t 

 

f v · da + [|f|] v · da. 

b(t) 

b(t) 

∂b(t) 

FIZIKALNI PRINCIPI MEHANIKE KONTINUUMA 

Pojem mase, masa je absolutno zvezna mera glede na volumen; gostota. 

Zakon o ohranitvi mase 

0 = ∂m(V) 

∂t 

Lokalni zapis v prostorskem poloˇzaju: 

a(t) 

 

D 

D 

= m(b(t)) = ρ dv = 0 za vsak V ⊂ B. 

Dt Dt b(t) 

Dρ 

+ ρdiv v + 0, 

Dt 

∂ρ 

+ ∇ · (ρv) = 0. 

∂t 

Definicija Gibanje kontinuuma je nestisljivo, če D 

Dt ρ = 0. 

Posledica Gibanje je nestisljivo ⇐⇒ hitrostno polje je solenoidalno. 

Zapis zakona o ohranitvi mase v Lagrangeevem opisu ρJ = konst. 

Posledica 

 

 

D 

ρf dv = ρ 

Dt 

Df 

Dt dv. 

b(t) 

Klasifikacija sil; volumenske, povrˇsinske, točkovne sile. 

Cauchyjeva hipoteza, pisava t(p, t; n). 

Princip o gibalni količini: 

Princip o vrtilni količini: 

 

 

D 

(p − o) × ρv dv = 

Dt 

b(t) 

b(t) 

 

 

D 

ρv dv = ρ 

Dt b(t) 

b(t) 

 

f dv + t da. 

∂b(t) 

b(t) 

(p − o) × ρ 

f dv + (p − o) × t da + 

∂b(t) 

N. 

Tu je N navor notranjih sil. Sredstvo je nepolarno, če velja N = 0. 


• 

Izrek (Cauchyjeva recipročna relacija) t(p, t; −n) = −t(p, t; n). 

Homogenizacija; definiramo t(p, t; u) = |u|t(p, t; u 

|u| ). 

Izrek t(p, t; u) je homogena funkcija argumenta u. 

Izrek t(p, t; u) je aditivna funkcija argumenta u. 

Izrek Obstaja tenzor t, tenzor napetosti, tako da je t(p, t; n) = t(p, t)n. 

Lokalna oblika izreka o gibalni količini; Cauchyjeva momentna enačba 

ρ Dv 

Dt = ρ f + div t oziroma 

∂ρv 

∂t + ∇ · (v ⊗ ρv) = ρ f + div t. 

Trditev t : w = 0 za vsak w ∈ Psym 2 =⇒ t ∈ Sym 2. 

Trditev div (tu) = div t T · u + t T : grad u. 

Lema Naj bo sredstvo nepolarno. Potem za vsako vektorsko polje w infinitezimalnih togih pomikov 

velja 

ρ 

b(t) 

Dv 

· w dv = 

Dt 

 

b(t) 

ρ 

f · w dv + t · w da. 

∂b(t) 

Izrek Če je sredstvo nepolarno, je tenzor napetosti simetričen. 

V nadaljevanju se bomo omejili na nepolarna sredstva. 

21


• 

Piolin-Kirchhoffov napetostni tenzor T 1PK = (det F )F −1 t. 

Cauchyjeva momentna enačba v referenčnem poloˇzaju. 

Lastnosti tenzorja napetosti; normalna, striˇzna napetost. 

Morhove kroˇznice; smer maksimalne, minimalne normalne napetosti, maksimalne striˇzne napetosti. 

Dopustni napetostni tenzor ravnovesja. 

Primeri: 

a) Enoosni napetostni tenzor t = p k ⊗ k. 

b) Sferični napetostni tenzor t = −p I; hidrostatika. 


• 

Hidrostatika v relativnem koordinatnem sistemu. Primer: oblika proste povrˇsine v enakomerno 

vrteči se posodi. 

c) Strig: t = p (i ⊗ j + j ⊗i). 

d) Ravninska napetost, Airyjeva funkcija. 

Termodinamika 

Definicije 

a) kinetična energija: K = 1 

 

2 ρv · v dv; 

b(t) 

b) notranja energija: U = 

ρu dv; 

b(t) 

c) moč volumenskih in povrˇsinskih sil: W = 

b(t) ρ f · v dv + 

∂b(t) t · v da; 

d) sprememba toplotne energije na enoto časa: Q = 

 

ρh dv − q · da. 

Tu je u specifična notranja energija, h specifična gostota toplotnih vrelcev na enoto časa, q pa je toplotni 

tok na enoto časa. 

Prvi zakon termodinamike 

D 

(T + U) = W + Q. 

Dt 

Tenzor deformacijskih hitrosti d = 1 

2 (l + lT ), spin (vrtinčni) tenzor w = 1 

2 (l − lT ). 

Lokalna oblika 

Drugi zakon termodinamike 

ρ Du 

Dt 

b(t) 

= d : t − div q + ρh. 

∂b(t) 

 

 

 

D 

ρh 

1 

ρη dv ≥ dv − q · n da. 

Dt b(t) 

b(t) T ∂b(t) T 

Tu je η specifična entropija, T pa absolutna temperatura. 

Lokalna oblika: 

ρ Dη 

Dt 

 

1 ρh 

+ div q − ≥ 0 oziroma ρ T 

T T Dη 

 

Du 

− 

Dt Dt 

Primer: elastostatika; v = 0, u = u(η, eij). Potem T = ∂u 

∂η 

+ d : t − 1 

q · grad T ≥ 0. 

T 

in q · grad T ≤ 0. 

Gibbsova formulacija: termodinamične spremenljivke 1/ρ-specifični volumen, η, u, p-tlak, T ; Enačba 

stanja u = u(η, 1/ρ), p = − ∂u 

∂(1/ρ) 

in T = ∂u 

∂η . 

22


• 

Koordinatna neodvisnost - materialna objektivnost 

Koordinatna neodvisnost skalarjev, vektorjev in tenzorjev. 

Primer: vektor hitrosti ni koordinatno neodvisen, gradient vektorskega polja prav tako ne. 

Trditev Tenzor napetosti in tenzor deformacijskih hitrosti sta koordinatno neodvisna. 

Definicija Kontinuum je elastičen, če t = f(F ). 

Princip invariance funkcijske oblike konstitutivne enačbe; t = f(F ) −→ t ′ = f(F ′ ). 

Izrek Za vsak Q ∈ O(3) je 

f(QF ) = Qf(F )Q T . 

Definicija (izotropične funkcije) 

a) Funkcija ψ : Sym 2 ↦→ R je izotropična skalarna funkcija, če za vsak A ∈ Sym 2 velja ψ(Q T AQ) = 

ψ(A) za vsak Q ∈ SO(3). 

b) Funkcija f : Sym 2 ↦→ Sym 2 je izotropična tenzorska funkcija, če za vsak A ∈ Sym 2 velja f(Q T AQ) = 

Q T f(A)Q za vsak Q ∈ SO(3). 

Glavne invariante tenzorja A: I(A) = Sl A, II(A), III(A) = det A. 

II(A) = 1 

 

2 2 

(Sl A) − Sl A . 

2 

Trditev Glavne invariante tenzorja so skalarne izotropične funkcije. 

Izrek ψ : Sym2 ↦→ R je izotropična skalarna funkcija ⇐⇒ ψ(A) = ψ(I(A), II(A), III(A)). 

Izrek f : Sym2 ↦→ Sym2 je izotropična tenzorska funkcija ⇐⇒ f(A) = τ0(A)I + τ1(A)A + τ2(A)A 2 kjer so τi(A) izotropične skalarne funkcije. 

, 

MEHANIKA FLUIDOV 


• 

(Stokes) Razlika med napetostjo v dani točki in smeri ter hidrostatičnim tlakom je odvisna zgolj od 

neposrednega relativnega deformacijskega gibanja. 

Definicija Kontinuum je je Stokesov fluid, če velja t = f(d), kjer je f zvezna izotropična funkcija 

tenzorja d in f(0) = −pI. 

Posledica Če je fluid Stokesov, potem t = αI + βd + γd2 , kjer so α, β in γ izotropične skalarne funkcije 

tenzorja d. 

Viskoznostni tenzor V , t = −pI + V . 

Trditev V : d ≥ 0. 

Newtonov fluid (Cauchy-Poissonov zakon): V je afina funkcija tenzorja d: 

t = (−p + λdiv v)I + 2µd. 

Trditev Velja µ ≥ 0 in 3λ + 2µ ≥ 0. 

Trditev V evklidski metriki je div (grad v) T = grad div v. 

Definicija ∆ v = div (grad v) 

Navier - Stokesova enačba: 

ϱ Dv 

Dt = ϱ f − grad p + (λ + µ)grad div v + µ∆ v. 

Začetni, robni pogoji. 


• 

Dimenzija [µ] = kg 

ms , kinematična viskoznost ν, tabela tipičnih vrednostih µ, ν. 

Brezdimenzijski zapis, Froudovo, Reynoldsovo ˇstevilo. 

Eulerjeva enačba, Stokesova enačba. 

Enostavni primeri laminarnega toka 

a) Tok med paralelnima ploˇsčama; pretok, sila vleka. 

b) Poiseuilleov tok: tok skozi cilinder, kroˇzni cilinder; pretok, viskozimeter. 

23


• 

Trditev div (u × v) = rot u · v − rot v · u. 

Trditev Velja ∆ v = grad div (v) − rot rot v. 

c) Taylor Couettov tok : tok med vrtečima se valjema. 

Navor vrtenja notranjega oboda, Taylorjevi vrtinci. 

d) Nestacionarno gibanje; I. Stokesova naloga-impulzivni začetek gibanja ploˇsče; difuzijska enačba. 


• 

Trditev Reˇsitev difuzijske enačbe je kvečejmu ena sama. 

Trditev Reˇsitev difuzijske enačbe je v(t, y) = g( y √ t ). 

Trditev Konstrukcija reˇsitev v = UErcf(y/(2 √ νt)). 

Grafa hitrostnega polja v/y, v/t. 

Graf vrtinčnega polja ω = 1 

2rot v, ω/y, ω/t; hitrost difuzije vrtinca. 

Turbulenca Filtri, ˇzeljene lastnosti filtrov: 

a) linearnost: < αu + βv >= α +β < v >; 

b) komutativnost s časovnim in prostorskim odvajanjem: < Dv >= D < v >; 

c) >=< v >; 

d) produktna lastnost :>=< v >. 

Primeri filtrov: povprečenje, časovno, prostorsko, statistični filter. 


• 

Filtriranje Navier-Stokesovih enačb. 

Reynoldsov turbulentni napetostni tenzor. 

IDEALEN FLUID; t = −pI. 

Adiabatični fluid Dη 

= 0, prvi zakon termodinamike, dekompozicija toplotnega in mehanskega dela. 

Dt 

Izentropični fluid η ≡ η0; u = u( 1 

p 

ρ ), entalpija w = u + ρ ; nestisljivi homogeni fluid. 

Eulerjeva enačba, robni pogoji toka idealnega fluida. 

Izrek (I. Bernoullijev izrek) Naj velja: 

i) fliud je idealen, 

ii) fliud je izentropičen ali nestisljiv in homogen, 

iii) volumenske sile so potencialne in 

iv) tok je stacionaren. 

Potem je H = 1 

2 |v|2 + w + V konstanta vzdolˇz tokovnic. 

Izrek (II. Bernoullijev izrek) Naj velja i - iii in 

iv) tok je brezvrtinčen; v = grad ϕ. 

Potem je H = 1 

2 |v|2 + w + V + ∂ϕ 

∂t = C(t). 

Izrek (Kelvinov izrek o cirkulaciji) Naj bo fluid izentropičen ali homogen in nestisljiv in naj bodo 

volumenska sila potencialna. Potem je cirkulacija okoli sklenjene materialne krivulje konstantna. 

DΓ 

Dt 

 

D 

= v · dp = 0. 

Dt C(t) 

Posledica Če je tok idelanega izentropičnega fluida brezvrtinčen v trenutku t = t0, je brezvrtinčen za 

vsak t. 

Potencialni tok 

Ravninski potencialni tok, Cauchy Riemannove enačbe, identifikacija v = v = v1 + iv2, kompleksni 

potencial dF 

dz = v1 − iv2 = ¯v, določitev tlaka. 

24

07/08

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?