Dirichletov princip - Fakulteta za matematiko in fiziko

Dirichletov princip in metoda dvojnega štetja 

Katja Kuster 

Fakulteta za matematiko in fiziko 

Oddelek za matematiko 

27. marec 2009 

Katja Kuster Dirichletov princip in metoda dvojnega štetja

Dirichletov princip 



Definicija 

Dirichletov princip ali načelo golobnjaka: 

Če n predmetov razporedimo v r škatel, pri čemer je n > r, potem 

vsaj ena od škatel vsebuje več kot 1 predmet. 







Trditev 

|N| = n > r = |R| 

Naj bo f : N −→ R preslikava. 

=⇒ ∃ a ∈ R : |f −1 (a)| ≥ ⌈ n 

r ⌉ 







Trditev 

|N| = n > r = |R| 

Naj bo f : N −→ R preslikava. 

Trditev 

=⇒ ∃ a ∈ R : |f −1 (a)| ≥ ⌈ n 

r ⌉ 

Iz množice N = {1, 2, 3, ..., 2n} vzamemo poljubnih n + 1 števil. 

Potem sta si 2 izmed izbranih števil tuji. 


Trditev 

A ⊆ {1, ..., 2n}, |A| = n + 1 

=⇒ ∃ x, y ∈ A : x|y 


Trditev 

A ⊆ {1, ..., 2n}, |A| = n + 1 

=⇒ ∃ x, y ∈ A : x|y 

Trditev 

V vsakem zaporedju a1, a2, . . . , amn+1 dolžine mn + 1 različnih 

realnih števil ∃ : 


Trditev 

A ⊆ {1, ..., 2n}, |A| = n + 1 

=⇒ ∃ x, y ∈ A : x|y 

Trditev 



naraščajoče podzaporedje dolžine m + 1: 

ai1 

< ai2 < · · · < aim+1 

(i1 

< i2 < · · · < im+1) 


Trditev 

A ⊆ {1, ..., 2n}, |A| = n + 1 

=⇒ ∃ x, y ∈ A : x|y 

Trditev 




ai1 

< ai2 < · · · < aim+1 

(i1 

ali padajoče podzaporedje dolžine n + 1: 

aj1 

> aj2 > · · · > ajn+1 

(j1 

< i2 < · · · < im+1) 

< j2 < · · · < jn+1) 


Trditev 

A ⊆ {1, ..., 2n}, |A| = n + 1 

=⇒ ∃ x, y ∈ A : x|y 

Trditev 




ai1 

< ai2 < · · · < aim+1 

(i1 

ali padajoče podzaporedje dolžine n + 1: 

aj1 

ali oboje. 

> aj2 > · · · > ajn+1 

(j1 

< i2 < · · · < im+1) 

< j2 < · · · < jn+1) 



Polni graf Kn je graf z n vozlišči, v katerem sta vsaki dve vozlišči 

sosednji. 




sosednji. 


Dimnezija polnega grafa Kn: 

dn = najmanjše tako število m, da obstaja množica permutacij 

{π1, π2, . . . , πm} ∈ Sn, 

tako da za ∀ i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n} obstaja s, tako da sta i in j v 

πs pred k. 




sosednji. 


Dimnezija polnega grafa Kn: 

dn = najmanjše tako število m, da obstaja množica permutacij 

{π1, π2, . . . , πm} ∈ Sn, 

tako da za ∀ i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n} obstaja s, tako da sta i in j v 

πs pred k. 

dn+1 ≥ dn 


Trditev 

dn ≥ log 2 log 2 n 


Trditev 

dn ≥ log 2 log 2 n 

Trditev 

Naj bodo a1, a2, . . . , an cela števila, ki niso nujno različna. Tedaj 

obstaja množica zaporednih števil ak+1, ak+2, . . . , al, katerih vsota 

je večkratnik števila n. 

l 

i=k+1 

ai 


Metoda dvojnega štetja 




Naj bosta A in B dve končni množici: 

A = {a1, a2, . . . , am} 

B = {b1, b2, . . . , bn} 





A = {a1, a2, . . . , am} 

B = {b1, b2, . . . , bn} 

Incidenčna matrika M ∈ Z m×n : 

Mij = 

 

1, ai R bj, 

0, sicer. 





A = {a1, a2, . . . , am} 

B = {b1, b2, . . . , bn} 

Incidenčna matrika M ∈ Z m×n : 

Trditev 

A ∈ Z m×n 

Mij = 

 

1, ai R bj, 

0, sicer. 

m n n m 

aij = aij 

i=1 j=1 j=1 i=1 



N-to harmonično število: 

Hn = 

n 

k=1 

1 

k 




Trditev 

Hn = 

n 

k=1 

1 

k 

 

d(v) = 2|E| 

v∈V 




Trditev 

Izrek 

Hn = 

n 

k=1 

1 

k 

 

d(v) = 2|E| 

v∈V 

Če graf G z n vozlišči ne vsebuje 4 − ciklov, potem: 

|E| ≤ ⌊ n 

4 (1 + √ 4n − 3)⌋ 


Trditev 

Obstaja natančno p2 rešitev (x,y,z) enačbe x 2 + y 2 + z2 = 0 in 

zato (z izjemo rešitve 0) natančno p2−1 p−1 = p + 1 vozlišč v grafu Gp 

stopnje p. 


Trditev 



stopnje p. 

Lema 

Spernerjeva lema 

Število malih "tribarvnih" trikotnikov v triangulaciji velikega 

trikotnika z vozlišči V1, V2 in V3 je vedno neničelno. 


Trditev 



stopnje p. 

Lema 

Spernerjeva lema 

Število malih "tribarvnih" trikotnikov v triangulaciji velikega 

trikotnika z vozlišči V1, V2 in V3 je vedno neničelno. 

Izrek 

Brouwerjev izrek o fiksni točki: 

Vsaka zvezna preslikava f : B n −→ B n na enotski krogli ima fiksno 

točko, t.j. ∃ x ∈ B n , tako da velja: f(x) = x.

Dirichletov princip - Fakulteta za matematiko in fiziko

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?