Mechaniki Kwantowej

Ewa Słomińska 

Ryszard Paweł Kostecki 

Mechanika Kwantowa 

Notatki z wykładów dr hab. Ernesta Aleksego Bartnika 

4 pa´zdziernika 2002 — 17 stycznia 2003 

wersja notatek: 0.77 

data ostatniej rewizji: 5 wrze´snia 2004 

najnowsza wersja dost˛epna jest na stronie: http://www.rysieq.prv.pl 

komentarze do notatek prosimy przesyłać pod adres: rpkost@fuw.edu.pl

Słowo wyja´snienia 

Niniejszy tekst jest kompletnym zbiorem notatek z wykładów Mechaniki Kwantowej I prowadzonych przez 

E.A. Bartnika w semestrze zimowym roku akademickiego 2002/2003 na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. 

Inicjatyw˛e przepisywania na bie˙z ˛aco do TEX-a i publikowania w sieci kolejnych wykładów powzi˛eła 

na pocz ˛atku semestru E. Słomińska, do której niemal˙ze natychmiast doł ˛aczył R.P. Kostecki. W tym dwuosobowym 

zespole przepisywali´smy kolejne wykłady na zmian˛e z robieniem korekty. Było to przedsi˛ewzi˛ecie – 

choć społecznie bardzo po˙zyteczne – do´sć ryzykowne. Przepisywanie nie zawsze w pełni zrozumianego materiału, 

a tym bardziej robienie korekty merytorycznej, musiało nieco ucierpieć na tym, ˙ze osoby tworz ˛ace te notatki z notowanymi 

poj˛eciami i materiałem stykały si˛e po raz pierwszy! Niepomijalna jest te˙z kwestia obci ˛a˙zenia czasowego 

równoległymi kolokwiami, opisami z pracowni, etc. W sumie sprowadzało si˛e to do niemal˙ze notorycznego TEXowania 

tych notatek do drugiej czy trzeciej godziny w nocy, poł ˛aczone z równoczesnym sprawdzaniem wła´sciwych 

wzorów w Schiffie 1 i w Feynmanie 2 ... Dlatego te˙z niniejsze wyja´snienia, zupełnie zb˛edne w ka˙zdym 

porz ˛adnym skrypcie, s ˛a w tym miejscu zupełnie koniecznie dla usprawiedliwienia (zapewne?) wielu (?) niedoci 

˛agni˛eć i niedoskonało´sci na nast˛epnych stronach tych wspaniałych sk ˛adin ˛ad notatek! Po prostu nie starczyło 

nam sił i czasu by usi ˛a´sć nad tym wielkim materiałem i go porz ˛adnie poprawić, równie˙z pod wzgl˛edem takich 

“drobiazgów” jak jako´sć rysunków, ci ˛agło´sć narracji, sensowno´sć wynikania z siebie kolejnych wzorów, czy te˙z 

proporcji pomi˛edzy matematyk ˛a a słownymi obja´snieniami. 3 Wraz z E.A. Bartnikiem planowali´smy prace nad 

przekształceniem tych notatek w projekt ksi ˛a˙zki, lecz owe prace ju˙z dawno temu zawisły gdzie´s w niebycie, za´s 

krytyczne przyjrzenie si˛e strukturze zamieszczonego materiału prowadzi do wniosku, i˙z nawet otrzymanie z tych 

notatek skryptu wymagałoby do´sć du˙zego wkładu pracy. Dlatego te˙z notatki te – w dziewi˛ećdziesi˛eciukilku procentach 

odpowiadaj ˛ace dokładnej zawarto´sci kolejnych zapisanych w trakcie półrocznego wykladu tablic – nale˙zy 

traktować jako ekwiwalent projekcji “live” wykładu, ewentualnie jako “skrypt na własn ˛a odpowiedzialno´sć”, lub 

te˙z “samouczek dla hobbystów”. Niechaj jednak nie przera˙zaj ˛a Ciebie, o Drogi Czytelniku, te słowa wyja´snienia! 

Jest to mimo wszystko solidna porcja materiału z mechaniki kwantowej, a bł ˛adzić... có˙z... jest rzecz ˛a ludzk ˛a! 4 

1 Najbardziej kanoniczny podr˛ecznik do mechaniki kwantowej 

2 Najbardziej “fizyczny” podr˛ecznik do mechaniki kwantowej 

3 Pomijam kwesti˛e w ˛atpliwej jako´sci i w ˛atpliwego dowcipu przypisów ;-) 

4 “Dopóki bł ˛adzi, d ˛a˙zy człowiek” (Wolfgang Goethe, Faust) 

R.P. Kostecki, 

5 wrze´snia 2004 AD

Spis tre´sci 

1 Wst˛ep 8 

1.1 Równania mechaniki klasycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.1.1 Mo˙zliwo´sć numerycznej analizy problemów mechanicznych . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2 Procedura kwantowania układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.2.1 Wst˛ep filozoficzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.2.2 Praktyczne kwantowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.3 Interpretacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.4 Ruch cz ˛astki swobodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.5 Równanie Schrödingera dla cz ˛astki swobodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2 Równanie Schrödingera 11 

2.1 Unormowanie funkcji falowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.2 Warto´sci ´srednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.3 Techniki rozwi ˛azywania zagadnień w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

3 Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna 14 

3.1 Wst˛ep (przepi˛eknej urody) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

3.2 Dygresja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

3.3 Równania Ehrenfesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

3.4 Studnia potencjału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

4 Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 18 

4.1 Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

4.2 Kwantowe rozwi ˛azania problemów klasycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

4.2.1 Oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

4.2.2 Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . 19 

4.2.3 Układ dwóch cz ˛astek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

4.2.4 Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . 22 

4.3 Przestrzeń Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

MECHANIKA KWANTOWA — Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 4 

4.3.1 Dwuwymiarowa przestrzeń Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

4.3.2 Baza w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

5 Twierdzenie spektralne 24 

5.0.3 Operator p˛edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

5.0.4 Operator poło˙zenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

5.1 Równoczesno´sć pomiaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

5.2 Uogólniona zasada Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

6 Oscylator harmoniczny 27 

6.1 Jak wytwarzać funkcje falowe? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

6.2 Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwi ˛azanie zagadnienia . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

6.3 Rozwi ˛azanie równania własnego z wykorzystaniem operatorów 

(bez konieczno´sci całkowania) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

6.4 Tworzenie funkcji falowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

6.5 Notacja “bra” i “ket” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

6.6 Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

6.6.1 Degeneracja stanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

7 Atom wodoru 32 

7.1 Zapis w układzie sferycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

8 Wielomiany Legendre’a, harmoniki sferyczne i moment p˛edu 34 

8.1 Krótkie powtórzenie, tytułem wst˛epu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

8.2 Wielomiany Legendre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

8.3 Harmoniki sferyczne i ich własno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

8.4 Operator momentu p˛edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

8.4.1 Wektor momentu p˛edu we współrz˛ednych sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

9 Atom wodoru - ciag ˛ dalszy 38 

9.1 Radialne równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

9.2 Poziomy energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


9.3 Atom wodoru: funkcja falowa i poziomy energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

10 Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej 40 

10.1 Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

10.1.1 Przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

10.1.2 Macierze hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

10.1.3 Funkcja od macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

10.2 Macierze i bra-kety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

10.3 Mechanika kwantowa w sformułowaniu Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

10.4 Uwagi rozmaite w obrazie Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

10.4.1 Wypisy z Schiffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

10.5 Operatorowe rozwi ˛azanie równania Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

11 Symetrie 45 

11.1 Tradycyjne jak gdyby przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

11.2 Najgł˛ebsze twierdzenie fizyki: Twierdzenie Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

11.3 Grupa obrotów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

11.4 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

12 Rachunek zaburzeń 49 

12.1 Troch˛e z tego, co ju˙z było . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

12.2 Metody rachunków przybli˙zonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

12.2.1 Metoda wariacyjna Ritza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

12.2.2 Problem atomu helu - szukanie stanu podstawowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

12.3 Rachunek zaburzeń niezale˙zny od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

13 Rachunek zaburzeń – ciag ˛ dalszy 52 

13.1 Ci ˛ag dalszy z poprzedniego wykładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

13.2 Znoszenie degeneracji przez zaburzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

13.2.1 Przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

14 Przybli˙zenie półklasyczne 54


14.1 Przybli˙zenie WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

14.2 Warunek na kwantyzacj˛e półklasyczn ˛a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

14.3 Interpretacja graficzna przybli˙zenia WKB dla cz ˛astki w potencjale . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

14.4 Rozpad promieniotwórczy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

14.5 Rachunek zaburzeń zale˙zny od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

15 Rachunek zaburzeń 57 

15.1 Przypomnienie wraz z kontynuacj ˛a materiału z wykładu poprzedniego . . . . . . . . . . . . . . . 57 

15.2 Zaburzenie harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

15.3 Przybli˙zenie adiabatyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

16 Przybli˙zenie nagłej zmiany, fermiony i bozony 60 

16.1 Rachunek zaburzeń - dalszy ci ˛ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

16.1.1 Przybli˙zenie adiabatyczne i oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

16.1.2 Nieci ˛agła zmiana warto´sci H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

16.1.3 Przybli˙zenie nagłej zmiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

16.2 Problem dwóch ciał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

17 Bozony i fermiony 62 

17.1 Symetryczno´sć i antysymetryczno´sć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

17.2 Izospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

18 Bozony, fermiony i układ okresowy 64 

18.1 Przypomnienie postulatów mechaniki kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

18.2 Problem cz ˛astek symetrycznych jeszcze raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

18.2.1 Jak antysymetryzować funkcje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

18.2.2 Hamiltonian dla układu n elektronów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

18.3 Układ okresowy pierwiastków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

18.3.1 Z czego wynika okresowo´sć pierwiastków? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

18.4 Model atomu Thomasa-Fermiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

19 Metoda Hartreego-Focka 68


20 Obraz Heisenberga, Diraca i Schrödingera 71 

20.1 Przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

20.2 Obrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

20.2.1 Przykład pierwszy: cz ˛astka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

20.2.2 Przykład drugi: oscylator jednowymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

20.2.3 Przykład trzeci: oscylator jednowymiarowy z sił ˛a wymuszaj ˛ac ˛a . . . . . . . . . . . . . . 73 

21 Jeszcze raz problem oscylatora 73 

22 Stany mieszane 75 

23 Rozpraszanie 76 

23.1 Wst˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

23.2 Rozpraszanie: ´sci´slejsze rozwa˙zania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

23.3 Funkcje Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

24 Rozpraszania ciag ˛ dalszy 78 

24.1 Postulaty, na dobry pocz ˛atek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

24.2 Rozpraszanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

24.3 Rozpraszanie na sferycznym potencjale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

24.4 Całkowity przekrój czynny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

25 Kwantyzacja układu zło˙zonego z N oscylatorów 82 

25.1 Wst˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

25.2 Skończona transformata Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

26 Podsumowanie wykładu “Mechanika kwantowa” 83 

26.1 Jako rzecze Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

26.2 Od kronikarzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

26.3 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1 Wst˛ep 

Mechanika kwantowa 5 – przynajmniej na dzień dzisiejszy – jest fundamentaln ˛a teori ˛a zjawisk zachodz ˛acych w 

skali atomowej. Jest ona cz˛estokroć nieintuicyjna, niezgodna z tak zwanym “zdrowym rozs ˛adkiem”, czasem wr˛ecz 

“absurdalna”, jednak˙ze jedynym kryterium poprawno´sci teorii jest jej zgodno´sć z do´swiadczeniem, a mechanika 

kwantowa jest jedn ˛a z dwóch najlepiej zgodnych z do´swiadczeniem teorii fizycznych (drug ˛a jest ogólna 

teoria wzgl˛edno´sci). Natomiast je´sli chodzi o “zdroworozs ˛adkowo´sć”, to trzeba pami˛etać, ˙ze rozs ˛adek nasz (oraz 

intuicje) ukształtowany jest w do´swiadczeniach i obserwacjach zjawisk skali mezoskopowej, nie za´s skali mikro, 

ani makro. 6 

1.1 Równania mechaniki klasycznej 

Mechanik˛e klasyczn ˛a mo˙zna uj ˛ać w j˛ezyku opisu lagran˙zowskiego (w którym centraln ˛a rol˛e pełni funkcja zwana 

lagran˙zjanem 7 ), b ˛ad´z te˙z w j˛ezyku opisu hamiltonowskiego (w którym centraln ˛a rol˛e pełni hamiltonian). Podanie 

lagran˙zjanu lub hamiltonianu (oraz ewentualnie okre´slenie wi˛ezów nało˙zonych na dany układ) w pełni i jednoznacznie 

okre´sla dynamik˛e układu. Lagran˙zjan jest to funkcjonał L(x, ˙x, t), natomiast hamiltonian jest funkcjonałem 

innych zmiennych: H(x, p, t), gdzie oczywi´scie ˙x oznacza pochodn ˛a poło˙zenia po czasie. S ˛a atoli zjawiska 

dla których zapisanie lagran˙zjanu jest niemo˙zliwe, b ˛ad´z trudne (np. gdy wyst˛epuje tarcie). Je˙zeli jednak dla układu 

klasycznego da si˛e zapisać lagran˙zjan (a zatem i hamiltonian), to dane zagadnienie daje si˛e skwantować, czyli 

przetłumaczyć na j˛ezyk mechaniki kwantowej. 

P˛ed kanoniczny to (z definicji) lagran˙zjan zró˙zniczkowany po pr˛edko´sci (uogólnionej): pi := ∂L 

∂ . Odpowiedni- 

˙qi 

kiem newtonowskiej zasady dynamiki ( d 

dtp = F ) w j˛ezyku lagran˙zjanu jest równanie Eulera-Lagrange’a: 

d 

dt 

 

∂L 

∂ ˙qi 

= ∂L 

. (1) 

∂qi 

Energi˛e układu mo˙zna wyrazić za pomoc ˛a p˛edów i poło˙zeń - otrzymuje si˛e hamiltonian: 

H = 

(pi ˙qi) − L. (2) 

Dla ka˙zdego hamiltonianu spełnione s ˛a równania Hamiltona: 

1.1.1 Mo˙zliwo´sć numerycznej analizy problemów mechanicznych 

Dla jednego wymiaru równania te maj ˛a postać: 

 

i 

˙qi = ∂H 

, (3) 

∂pi 

˙pi = − ∂H 

. (4) 

∂qi 

˙x = ∂H(p,x,t) 

∂p 

˙p = − ∂H(p,x,t) 

∂x 

5Wła´sciwsz ˛a nazw ˛a dla tej mechaniki byłoby okre´slenie jej jako mechaniki operatorowej := mechaniki falowej + mechaniki kwantowej, 

bowiem – jak si˛e oka˙ze – podstawowym poj˛eciem mechaniki kwantowej nie jest ani kwant, ani funkcja falowa, lecz operator. 

6Choć oczywi´scie mo˙zna z przek ˛asem stwierdzić, ˙ze istnienie innych skal ni˙z nasza ludzka skala mezo jest tylko naukow ˛a koncepcja˛ - 

zatem nie stanowi, przynajmniej filozoficznie, wa˙zkiego uzasadnienia. – przyp. RPK 

7W ´srodowisku fizyków polskich – jak mi si˛e zdaje – istniej ˛a silne kontrowersje wobec pisania ‘lagran˙zjan’ zamiast lagrangian. Przeciwko 

takiemu spolszczaniu nie przemawia jednak ˙zadna norma j˛ezykowa. – przyp. RPK 

.


Wykorzystuj ˛ac definicj˛e ró˙zniczkowania: ∂x 

∂t 

wzory: 

x(t+ △ t) = x(t)+ △ t ∂H(x,p,t) 

∂p 

p(t+ △ t) = p(t)+ △ t ∂H(x,p,t) 

∂x , 

= x(t+△t)−x(t) 

△t 

co umo˙zliwia numeryczne wyznaczanie ewolucji układu dla dowolnych czasów. 

1.2 Procedura kwantowania układu 

1.2.1 Wst˛ep filozoficzny 

oraz wzory (3) i (4), otrzymuje si˛e nast˛epuj ˛ace 

Przej´scie od mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej mo˙zna realizować na kilka ró˙znych (równowa˙znych 

sobie) sposobów. Niezale˙znie od tego, który sposób uzna si˛e za stosowny, wa˙zne jest podkre´slenie podstawowej 

idei, która za takim przej´sciem si˛e kryje. Otó˙z w mechanice klasycznej ciche zało˙zenie brzmiało: u˙zywane w 

formalizmie matematycznym obiekty reprezentuj ˛a stan rzeczywisto´sci jedno-jednoznacznie. Czyli wsz˛edzie w 

równaniach gdzie wyst˛epowały zmienne (r, p, t) znaczyło to “w okre´slonej chwili czasu t, układ ma dokładnie 

okre´slony p˛ed p i poło˙zenie r”. Idea mo˙zliwo´sci dowolnie dokładnego okre´slenia parametrów układu le˙zała u podstaw 

newtonowskiej mechaniki. Tymczasem mechanika kwantowa opiera si˛e na idei niemo˙zliwo´sci dokładnego 

okre´slenia wszystkich parametrów układu. Ta idea znajduje swoje odzwierciedlenie w aparacie matematycznym 

teorii. 8 

1.2.2 Praktyczne kwantowanie 

1. Hamiltonian we współrz˛ednych kartezjańskich przekształca sie w operator kwantowy: 

H(r, p, t) −→ ˆ H(r, −iℏ∇, t). (5) 

Poszukajmy jednostek stałej ℏ9 , tak, by we wzorze (5) zgadzały si˛e jednostki (czyli: dokonajmy analizy 

wymiarowej): [p] = kg·m 

s = J·s [ℏ] 

m = m , [p] = J·s ∂ 1 

[m][x]2 

m , [ ∂x ] = m . Zatem: [ℏ] = [t] = [p][x] = [E][t]. 

Analiza wymiarowa nie jest w stanie podać nam warto´sci zmiennej, któr ˛a to warto´sć trzeba wyznaczyć 

eksperymentalnie. Dzi´s wiemy, i˙z ℏ = 1.054573 · 10−34J · s 6.58 · 10−16eV · s. 

2. Energii i składowym p˛edu przypisane s ˛a nast˛epuj ˛ace operatory, działaj ˛ace na funkcj˛e falow ˛a ψ(r, t): 

1.3 Interpretacja 

E −→ iℏ ∂ 

, (6) 

∂t 

px −→ −iℏ ∂ 

, 

∂x 

(7) 

py −→ −iℏ ∂ 

, 

∂y 

(8) 

pz −→ −iℏ ∂ 

. (9) 

∂z 

Funkcja falowa ψ(r, t) okre´sla w mechanice kwantowej stan fizyczny układu. Podanie tej funkcji dla pewnej 

chwili czasu opisuje wszystkie własno´sci układu, nie tylko w danym momencie, ale równie˙z w przyszło´sci, oraz 

w przeszło´sci. Funkcja falowa ψ koduje cała˛ informacj˛e o układzie. Nie czyni tego jednak w postaci dyskretnej 

8 Ten paragaf pozwoliłem sobie dopisać ku lepszemu wyja´snieniu tematyki. – przyp. RPK 

9 ℏ to taki kwantometr


zbioru sze´sciu liczb (x, y, z, px, py, pz), tak jak to było w mechanice klasycznej, lecz w bardziej wyrafinowanej 

postaci funkcyjnej. Mechanika kwantowa jest teoria˛ deterministyczna˛ i probabilistyczna. ˛ 

Działanie hamiltonianu ˆ H na funkcj˛e falow ˛a: przesuwa on nasz ˛a wiedz˛e o układzie w czasie: 

ˆH(r, −iℏ∇, t)ψ(r, t) = iℏ ∂ 

ψ(r, t). (10) 

∂t 

Interpretacja funkcji falowej ψ: iloczyn funkcji falowej ψ i funkcji do niej sprz˛e˙zonej ψ ∗ jest g˛esto´sci ˛a prawdopodobieństwa 

poło˙zenia: 

ϱ(r, t) = |ψ(r, t)| 2 . (11) 

Oznacza to, ˙ze ϱ(r, t)dxdydz jest prawdopodobieństwem znalezienia cz ˛astki w elemencie obj˛eto´sci dxdydz 

wokół punktu r w chwili t. Funkcja ψ musi być unormowana zgodnie z warunkiem normalizacji: 

 

1 = d 3 

rϱ(r, t) = d 3 r|ψ(r, t)| 2 . (12) 

1.4 Ruch czastki ˛ swobodnej 

klasycznie: 

• energia kinetyczna: L = 

• p˛ed: px = ∂L 

∂ ˙x = m ˙x, 

• hamiltonian H = p ˙x − 

kwantowo: 

• ˆ H = −ℏ2 

2m 

m ˙x2 

2 , 

m ˙x2 

2 

= p2 

m 

− m 

2 

p 2 

m 2 = p2 

 

2 

∂ 

∂x2 + ∂2 

∂y2 + ∂2 

∂z2 

= − ℏ2 

2m (∇)2 . 

1.5 Równanie Schrödingera dla czastki ˛ swobodnej 

iℏ ∂ψ 

∂t 

Postuluj ˛ac rozwi ˛azania w postaci fali płaskiej: 

otrzymuje si˛e: 

2m 

= 1 

2m (p2 x + p 2 y + p 2 z). 

2 

ℏ2 ∂ ψ 

= − 

2m ∂x2 + ∂2ψ ∂y2 + ∂2ψ ∂z2 

. (13) 

ψ(x, y, z, t) = exp(−iωt + ik1x + ik2y + ik3z), 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

Po wstawieniu do równania (13) mamy: 

∂ 2 ψ 

∂x2 = (−k2 1)ψ 

∂ 2 ψ 

∂y2 = (−k2 2)ψ 

∂ 2 ψ 

∂z2 = (−k2 3)ψ 

∂ψ 

∂t 

= −iω exp(−iωt) = (−iω)ψ. 

(iℏ)(−iω)ψ = ℏ2 

2m (k)2 ψ → ℏωψ = ℏ2 (k) 2 

2m ψ. 

Z powy˙zszych równań wynika zale˙zno´sć na cz˛esto´sć rozchodzenia si˛e paczki falowej (zwi ˛azek dyspersyjny): 

ω = ℏ(k)2 

. (14) 

2m


2 Równanie Schrödingera 

2.1 Unormowanie funkcji falowej 

iℏ ∂ψ 

∂t = ˆ Hψ. (15) 

Rozwi ˛azaniem tego równania jest funkcja falowa ψ(r, t), która dostarcza pełnego opisu zachowania cz ˛astki. 

Poniewa˙z prawdopodobieństwo znalezienia cz ˛astki gdziekolwiek wynosi 1, to mamy warunek normalizacji: 

 

d 3 rψ ∗ ψ = 1. (16) 

Współczynnik przy funkcji ψ - norma - jest niezale˙zny od czasu. Potwierdzaj ˛a to obliczenia: 

dP 

dt = 

 

 

P (t) = 

Wstawiamy ˙ ψ = 1 

iℏ ( ˆ Hψ) oraz ˙ ψ ∗ = − 1 

iℏ ( ˆ Hψ) ∗ : 

dP 

dt = 

 

d 3 r d 

dt (ψ∗ 

ψ) = 

d 3 rψ ∗ ψ = 1. 

d 3 r( ˙ ψ ∗ ψ + ψ ∗ ˙ ψ). 

d 3 r 1 

 

−ψ( 

iℏ 

ˆ Hψ) ∗ + ψ ∗ ( ˆ 

Hψ) . 

Przyjmuj ˛ac, ˙ze H = H0 + V (r), natomiast ˆ H = − ℏ2 

2m (∇)2 + V (r): 

dP 

dt 

Ostatecznie mamy: 

 

1 

= 

iℏ 

d 3 

r −ψ − ℏ2 

2m ∇2 ∗ 

ψ + V (r)ψ + ψ ∗ 

 

− ℏ2 

2m ∇2 

ψ + V (r)ψ . 

dP 

dt 

 

ℏ 

= − 

2mi 

Problem mo˙zna rozwi ˛azać dwoma sposobami: 

d 3 r −(∇ 2 ψ ∗ )ψ + ψ ∗ ∇ 2 ψ . (17) 

1. Skorzystać z definicji laplasjanu (∇ 2 = ∂2 

∂x 2 + ∂2 

∂y 2 + ∂2 

∂z 2 ) i przekształcić równanie (17) do postaci: 

− ℏ 

2mi 

Z tego równania wynika dP 

dt 

+∞ 

−∞ 

= 0. 

dz 

+∞ 

−∞ 

+∞ 

dy dx −ψ 

−∞ 

∂2ψ ∗ 

∂x2 + ψ∗ ∂2ψ ∂x2 

= 0. (18) 

 

+∞ ∂ψ 

dx[− −∞ ∂x 

∂ψ∗ ∂ψ∗ ∂ψ 

∂x + ∂x ∂x ]=0


2. Zmiana w czasie prawdopodobieństwa znalezienia cz ˛astki w pewnym obszarze (nie w całej obj˛eto´sci): 

 

d 

P (t) = d 

dt Ω 

3 r d 

dt (ψ∗ψ) = − ℏ 

 

d 

2mi Ω 

3 r[−(∇ 2 ψ ∗ )ψ + ψ ∗ (∇ 2 ψ)]. 

Na mocy twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego całka powierzchniowa zamienia si˛e w całk˛e po konturze 

obszaru: 

 

d 

ℏ 

P (t) = − d 

dt 2mi dΩ 

2 σ[−ψ(∇ψ ∗ ) + ψ ∗ (∇ψ)]. 

Na podstawie otrzymanego wyniku mo˙zna zdefiniować pr ˛ad prawdopodobieństwa (g˛esto´sć pr ˛adu prawdopodobieństwa) 

S: 

Obowi ˛azuje wówczas równanie ci ˛agło´sci: 

Strumień prawdopodobieństwa wypływa, gdy funkcje falowe s ˛a zespolone: 

2.2 Warto´sci ´srednie 

Ogólny wzór na warto´sć ´sredni ˛a funkcji f(x): 

S := ℏ 

2mi [ψ∗ (∇ψ) − (∇ψ ∗ )ψ]. (19) 

∂ϱ 

+ ∇S = 0. (20) 

∂t 

ψ(r, t) = N exp(−iω(p)t + irp 

ℏ ), 

ω(p) = p2 

. (21) 

2mℏ 

 

〈f(x)〉 = dxϱ(x)f(x), (22) 

gdzie ϱ(x) jest g˛esto´sci ˛a prawdopodobieństwa. Dla cz ˛astek danych pewnym rozkładem prawdopodobieństwa istotne 

s ˛a dwie warto´sci: σ-odchylenie standardowe, µ-´srednia rozkładu. Znaj ˛ac g˛esto´sć prawdopodobieństwa ϱ 

mo˙zna obliczyć ´srednie poło˙zenie cz ˛astki 〈x〉: 

 

 

µ = dxϱ(x)x = 〈x〉 dla ϱ(x) 0 i dxϱ(x) = 1, 

σ 2 

= 

Ka˙zdej wielko´sci fizycznej mo˙zna przypisać operator: 

np. kwantowy operator momentu p˛edu: ˆ L = ˆr × ˆp. 

Wzór na ´sredni ˛a warto´sć dowolnego operatora: 

dxϱ(x)[x − µ] 2 = 〈(x − µ)〉 2 = 〈x 2 〉 − 〈x〉 2 .


〈 ˆ 

Θ〉 = 

d 3 rψ ∗ ˆ Θψ. (23) 

Operatory mechaniki kwantowej - operatory hermitowskie - w działaniu na dowoln ˛a funkcj˛e falow ˛a daj ˛a wynik 

rzeczywisty. 

Przykładowe obliczenia: 

• ´Srednie poło˙zenie cz ˛astki 〈x〉: 

〈x〉 = d 3 rψ ∗ (r)xψ(r) = d 3 rψ ∗ ψx = d 3 rϱ(r, t)x, 

ˆx : ψ(x, t) −→ xψ(x, t). 

• ´Srednia x-owej składowej p˛edu 〈px〉: 

〈px〉 = d3rψ∗ (−iℏ ∂ψ 

∂x ) = −iℏ dz dy ∗ ∂ψ 

dxψ ∂x = −iℏ dydz dx ∂ψ 

sprz˛e˙zenie ´sredniej warto´sci x-owej składowej p˛edu 〈px〉 ∗ : 

〈px〉 ∗ = d3rψ(−iℏ ∂ψ∗ 

∂x ) = iℏ dz dy dxψ dψ∗ 

dx = 〈px〉, 

zatem, gdy funkcja falowa jest rzeczywista (ψ∗ = ψ), wtedy 〈px〉 = 0. 

2.3 Techniki rozwiazywania ˛ zagadnień w mechanice kwantowej 

∂x ψ∗ , 

Istnieje tylko jedna analityczna metoda rozwi ˛azywania równań ró˙zniczkowych cz ˛astkowych: przez separacj˛e zmiennych. 

Potrafimy rozwi ˛azywać w ten sposób tylko zagadnienia o du˙zej symetrii. 

Dany jest hamiltonian: 

ˆH = − ℏ2 

2m ∇2 + V (r), (24) 

gdzie V (r) nie zale˙zy od czasu. Rozwi ˛azuj ˛ac równanie Schrödingera mo˙zna je rozseparować na cz˛e´sć zale˙zn ˛a i 

niezale˙zn ˛a od czasu, a funkcj˛e falow ˛a zapisać nast˛epuj ˛aco: ψ(r, t) = α(t)ψE(r). 

Rachunki: 

iℏ ∂ψ 

∂t = ˆ Hψ 

iℏ dα 

dt ψE(r) = α(t) ˆ Hψ(r) : α(t)ψE(r) 

iℏ dα 

dt 

1 

α(t) = ˆ Hψ(r) 

= E. 

ψE(r) 

E jest stał ˛a separacji oraz, jak si˛e pó´zniej oka˙ze, energi ˛a. Separacja równania udaje si˛e tylko dla potencjałów 

niezale˙znych od czasu. Końcowym efektem separacji s ˛a dwa równania: 

• Proste równanie ró˙zniczkowe zale˙zne od czasu: 

• Równanie Schrödingera niezale˙zne od czasu: 

iℏ dα 

dt 

α(t) 

= E. (25) 

− ℏ2 

2m ∇2 ψE + V (r)ψE = EψE. (26)


Szukana postać rozwi ˛azania równania (25): e γt = α(t). 

iℏ dα 

dt 

= Eα(t) → iℏγα(t) = Eα(t) ⇒ α(t) = e− iEt 

ℏ . 

Zatem: ψ(r, t) = exp(− iEt 

ℏ )ψE(r); ψ ∗ (r, t) = exp(+ iEt 

ℏ )ψ∗ E (r). 

G˛esto´sć prawdopodobieństwa znalezienia cz ˛astki nie zale˙zy od czasu: 10 

ϱ = ψ ∗ ψ = |ψE(r)| 2 . 

3 Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna 

3.1 Wst˛ep (przepi˛eknej urody) 

Ka˙zdej wielko´sci fizycznej przypisujemy operator kwantowy: 

Θ(r, p) −→ ˆ Θ(r, −iℏ∇). 

Przepis ten czasami nie sprawdza si˛e. Dla przykładu zbadajmy kwantowy odpowiednik klasycznej równo´sci 

xpx = pxx: 

ˆx pxψ ˆ = x( ℏ 

i )∂ψ , 

∂x 

(27) 

pxˆxψ ˆ = ( ℏ 

)[ψ + x∂ψ ]. 

i ∂x 

(28) 

Oczywi´scie (27) = (28). Okazuje si˛e, ˙ze w mechanice kwantowej dopuszczone s ˛a jedynie takie operatory, które s ˛a 

hermitowskie. Ani (27) ani (28) hermitowskie nie s ˛a. Natomiast 1 

2 (ˆx ˆ px + pxˆx) ˆ w pełni poprawnym hermitowskim 

operatorem ju˙z jest. 

Mechanika kwantowa jest statystyczna. W jej warstwie interpretacyjnej my´slimy w terminach funkcji falowej, 

warto´sci oczekiwanych, prawdopodobieństwa. Jest ona deterministyczna, bo potrafi przesuwać nasz ˛a wiedz˛e w 

czasie: iℏ ∂ψ 

∂t = ˆ Hψ to nic innego, jak równanie liniowe ewolucji. Była ona sprawdzana w warunkach ekstremalnych 

i nigdy nie zostało zaobserwowane ˙zadne odst˛epstwo od liniowo´sci. 

Funkcj˛e falow ˛a cz˛esto separujemy na cz˛e´sć zale˙zn ˛a tylko od czasu oraz cz˛e´sć zale˙zn ˛a tylko od poło˙zenia: 

gdzie ϕE(r) spełnia równanie Schrödingera niezale˙zne od czasu: 

iEt − 

ψ(r, t) = A(t)ϕE(r) = e ℏ ϕE(r), (29) 

ˆHϕE = EϕE. (30) 

10 Z dokładno´sci ˛a do fazy funkcji falowej, która to zmienia si˛e w czasie, jednak g˛esto´sć prawdopodobieństwa - |ψ| 2 - skutecznie wpływu 

ewolucji nie zauwa˙za.


Udowodnimy teraz, ˙ze stała separacji E rzeczywi´scie jest energi ˛a: 

〈 ˆ 

H〉 = 

 

= 

d 3 rψ ∗ ˆ Hψ = 

d 3 rϕ ∗ E ˆ HϕE = 

 

 

d 3 re iEt 

ℏ ϕ ∗ E(r) ˆ iEt − 

He ℏ ϕE(r) = (31) 

d 3 rϕ ∗ 

EEϕE = E 

Zatem ϕE to funkcje własne, za´s E to warto´sci własne operatora ˆ H. 

3.2 Dygresja 

Miar ˛a rozrzutu rozkładu prawdopodobieństwa jest wariancja: 

Zatem: 

σ 2 E = 〈( ˆ H − E) 2 〉 = 

d 3 rϕ ∗ EϕE = E. 

σ 2 ϑ = 〈(ϑ − 〈ϑ〉) 2 〉. (32) 

 

d 3 rϕ ∗ E(r) ( ˆ H − E) 2 ϕE(r) 

 

( ˆ H−E)·( ˆ H − E)ϕE 

 

=0 

= 0. (33) 

Okazuje si˛e, ˙ze w specyficznych sytuacjach specyficzne wielko´sci maj ˛a w mechanice kwantowej dokładnie okre´slone 

warto´sci. 11 

3.3 Równania Ehrenfesta 

W jakim znaczeniu mechanika kwantowa odtwarza mechanik˛e klasyczn ˛a? 

˙ψ = 1 

iℏ ( ˆ Hψ) = 1 ℏ2 

[− 

iℏ 2m (∇2ψ) + V ψ], 

 

d d 

〈x〉 = 

dt dt 

˙ψ = − ℏ 

2mi (∇2ψ) + 1 

V ψ, 

iℏ 

˙ψ ∗ = ℏ 

2mi (∇2 ψ ∗ ) − 1 

iℏ V ψ∗ . 

d 3 rψ ∗ xψ = 

 

d 3 rx[ ˙ ψ ∗ ψ + ψ ∗ ˙ ψ] = 

11 Znikanie wariancji energii jest faktem oczywistym, gdy zauwa˙zy si˛e, ˙ze stosuj ˛ac równanie Schrödingera zakładamy, ˙ze mamy do czynienia 

z dokładnymi pomiarami energii (por. Haken). Dokładnymi, czyli o wariancji równej zero. (przyp. R.K.)


 

= 

Człony zale˙zne od potencjału skróciły si˛e! 

= ℏ 

 

2mi 

d 3 rx[ψ ∗ (− ℏ 

2mi )(∇2 ∗ V ℏ 

ψ) + ψ ψ + 

iℏ 2mi (∇2ψ ∗ ) − ψ V 

iℏ ψ∗ ] = 

d 3 rx[ψ(∇ 2 ψ ∗ ) − ψ ∗ (∇ ∗ ψ)] = ℏ 

 

2mi 

d 3 r[ψ ∗ (2 ∂ψ 

∂x + x∂2 ψ 

∂x2 ) − ψ∗x ∂2ψ ∂x 

Rachunek pomocniczy: dx(xψ) ∂2ψ ∗ 

∂x2 = − dx d ∂ψ∗ 

dx (xψ) ∂x = dx[ d2 

dx2 (xψ)]ψ∗ . 

Zatem: 

Uzyskali´smy równanie: 

Analogicznie liczy si˛e: 

 

d 3 r ℏ 

 

∂ 

ψ = 

mi ∂x 

px 

d 3 ∗ ˆ 

rψ 

Zestaw równań (34) i (35) nazywa si˛e równaniami Ehrenfesta. 

m 

ψ = 〈px 

m 〉. 

d 

〈x〉 = 〈px 〉. (34) 

dt m 

d 

dt 〈px〉 = −〈 ∂V 

〉. (35) 

∂x 

Niech 〈x〉 = x0. W przypadku, gdy paczka falowa jest bardzo w ˛aska w porównaniu z potencjałem, mamy: 

〈− ∂V 

 

〉 = 

∂x 

d 3 rψ ∗ ψ(− ∂V 

 

∂V 

) ≈ (− ) 

∂x ∂x0 

Nie jest tak jednak wówczas, gdy paczka falowa jest rozmyta. 

3.4 Studnia potencjału 

d 2 

d 3 rψ ∗ ψ = − ∂V 

. 

∂x0 

Rozwa˙zmy hamiltonian H = − ℏ2 

2m dx2 + V (x), oraz we´zmy cz ˛astk˛e zwi ˛azan ˛a w studni potencjału o pewnej 

energii E. Klasycznie mamy: 

czyli: 

E = p2 

+ V (x), (36) 

2m 

p(x) = ± (E − V (x))2m. (37) 

2 ].


Natomiast kwantowo: 

OBSZAR KLASYCZNIE 

ZABRONIONY 

V(X) 

OSCYLACJE 

E V(X) 

p p 


ZABRONIONY 

Vmin 

w tym oszarze pedy, 

brane sa ze znakiem 

"+" i "-" 


DOSTEPNY 

Spróbujmy rozwi ˛azać uproszczone równanie (V = const): 

Podstawiaj ˛ac ϕE = e λx mamy: 

Przypadki: 

• V > E ⇒ λ = ± 1 

 

ℏ 2m(V − E) 

jest to rozwi ˛azanie klasycznie zabronione! 

• V < E ⇒ λ = ± i 

 

i 

ℏ 2m(E − V ) = ± ℏp jest to rozwi ˛azanie oscylacyjne. 

V>E - obszar klasycznie 

zabroniony 

− ℏ2 d 

2m 

2ϕE dx2 + V (x)ϕE(x) = EϕE(x). (38) 

− ℏ2 d 

2m 

2ϕE dx2 + V ϕE(x) = EϕE(x). (39) 

λ 2 = 2m 

(V − E). (40) 

ℏ2 V < E - obszar oscylacji


Okazuje si˛e, ˙ze ψ (dla ró˙znych energii E) ucieka do +∞ lub do −∞. Rozwi ˛azania fizyczne istniej ˛a tylko dla 

wybranych energii. Zatem energia jest skwantowana. 

Trzy głowne fakty ró˙zni ˛ace mechanik˛e kwantow ˛a od klasycznej: 

• to funkcja falowa, a nie cz ˛astka, ma własno´sci falowe, 

• energia mo˙ze przyjmować jedynie skwantowane warto´sci, 

• cz ˛astk˛e kwantow ˛a mo˙zna znale´zć w obszarze klasycznie niedost˛epnym. 

4 Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 

4.1 Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej 

1. Mechanika kwantowa jest mechanik ˛a operatorów: 

2. Operatory działaj ˛a na zespolon ˛a funkcj˛e falow ˛a: 

3. G˛esto´sć prawdopodobieństwa wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛aco: 

4. Warto´sć ´sredni ˛a wielko´sci fizycznej liczy si˛e ze wzoru: 

〈 ˆ 

Θ〉 = 

5. Hamiltonian dla pojedynczej cz ˛astki w potencjale niezale˙znym od czasu: 

Θ(r, p) → ˆ Θ(r, −iℏ∇). (41) 

ψ(r, t). (42) 

ϱ(r, t) = |ψ| 2 = ψ ∗ ψ. (43) 

d 3 rψ ∗ ˆ Θψ. (44) 

ˆH = − ℏ2 

2m ∇2 + V (r). (45) 

6. Równaniem opisuj ˛acym ewolucj˛e czasowo-przestrzenn ˛a funkcji falowej w przypadku nierelatywistycznym 

jest równanie Schrödingera: 

iℏ ∂ψ ℏ2 

= (− 

∂t 2m ∇2 + V )ψ. (46) 

7. Dla potencjału niezale˙znego od czasu wiele problemów ulega uproszczeniu. Wówczas mo˙zliwy jest zapis 

funkcji falowej w postaci: 

iEt − 

ψ(r, t) = e ℏ ψE(r). (47) 

8. Otrzymujemy wówczas równanie Schrödingera niezale˙zne od czasu: 

gdzie E jest warto´sci ˛a własn ˛a operatora energi, czyli hamiltonianu. 

ˆHψE = EψE, (48)


Anatomia funkcji falowej 

V(x) 

4.2 Kwantowe rozwiazania ˛ problemów klasycznych 

Stany zwiazane: 

symetryczne 

antysymetryczny 

Istniej ˛a tylko dwa klasyczne przykłady, które mo˙zna skwantować otrzymuj ˛ac pełne rozwi ˛azanie w sposób jawny. 

Jest to oscylator harmoniczny i potencjał kulombowski (atom wodoru). 

4.2.1 Oscylator harmoniczny 

Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego (jednowymiarowego): 

H = p2 

2m 

x 

kx2 

+ . (49) 

2 

Szukane rozwi ˛azanie ma postać: x(t) = e iωt . Zatem: ˙x = iωe iωt , ¨x = −ω 2 x. Cz˛esto´sć drgań nie zale˙zy od 

amplitudy i w klasycznym podej´sciu wynosi: 

ωkl = 

4.2.2 Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny 

Hamiltonian dla oscylatora kwantowego: 

 

k 

. (50) 

m 

ˆH = − ℏ2 d 

2m 

2 k 

+ 

dx2 2 x2 . (51) 

Z działania hamiltonianu na funkcj˛e ( ˆ HψE = EnψE) otrzymujemy nast˛epuj ˛ace równanie: 

− ℏ2 

2m ψ′′ (x) + k 

2 x2 ψ(x) = Eψ(x). (52)


Chcemy znale´zć rozwi ˛azanie wskazuj ˛ace na stan o najni˙zszej energii. Postulujemy rozwi ˛azanie postaci: ψ = 

αx2 − e 2 . St ˛ad: ψ ′ αx2 − = e 2 (−αx), ψ ′′ αx2 − = e 2 (α2x2 − α). Po wstawieniu ψ, ψ ′ i ψ ′′ do równania (52) otrzymujemy 

równanie: 

Z tego równania otrzymujemy wyra˙zenie na najni˙zsz ˛a energi˛e: 

gdzie czynnik α wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛aco: 

ℏ 2 α 2 

2m 

− ℏ2 

2m (α2 x 2 − α) + k 

2 x2 = E. (53) 

E = ℏ2α , (54) 

2m 

k 

= 

2 ⇒ ℏ2α 2 √ 

km 

= km ⇒ α = 

ℏ . 

Szukaj ˛ac zwi ˛azku mi˛edzy oscylatorem kwantowym i klasycznym wykonujemy nast˛epuj ˛ace przekształcenia: 

E = ℏ2 

√ 

km 

2m ℏ = ℏ√ 

km ℏ km ℏ 

= = 

2m 2 m2 2 ωkl. 

Czyli energia oscylatora kwantowego wyra˙zona za pomoc ˛a cz˛esto´sci drgań oscylatora klasycznego wynosi: 

Cała klasa rozwi ˛azań równania (52) wyra˙zona jest nast˛epuj ˛aco: 

Wówczas dla: 

n=0: ψ0(x) = N0e 

n=1: ψ1(x) = N1xe 

α − 2 x2 

α − 2 x2 

E = ℏ 

2 ωkl. (55) 

α − 

ψn(x) = Wn(x)e 2 x2 

- mamy stan podstawowy, 

- mamy pierwszy stan wzbudzony. 

Klasyczne prawdopodobieństwo P (x) znalezienia cz ˛astki w punkcie x jest proporcjonalne do odwrotno´sci jej 

pr˛edko´sci: 

P (x) ∼ 1 m 

= 

v(x) p(x) = 

m 

. 

2m(E − V (x)) 

Kwantowomechaniczne prawdopodobieństwo, jak widać na poni˙zszym rysunku, u´srednia si˛e do klasycznego 

rozkładu prawdopodobieństwa. 

(56)


4.2.3 Układ dwóch czastek ˛ 

V(x) 

Obszar 

klasyczny Obszar 

klasyczny 

x 

- funkcja falowa 

wyzszego 

. 

stanu 

(nieznormalizowana) 

Dla układu dwóch cz ˛astek dana jest funkcja falowa ψ(r1, r2, t). Zastanawiamy si˛e nad tym, jakie jest prawdopodobieństwo 

znalezienia pierwszej cz ˛astki w r1, a drugiej cz ˛astki w r2. Funkcj˛e falow ˛a zapisujemy jako 

iloczyn dwóch funkcji, z których ka˙zda zwi ˛azana jest z pojedyncz ˛a cz ˛astk ˛a: 

Odpowiada to separacji g˛esto´sci prawdopodobieństwa: 

Hamiltonian dla układu dwóch cz ˛astek: 

ψ(r1, r2, t) = ψ1(r1, t)ψ2(r2, t). 

ϱ(r1, r2) = ϱ1(r1)ϱ2(r2). 

ˆH = ˆ H1(r1, −iℏ∇1) + ˆ H2(r2, −iℏ∇2). (57) 

Mo˙zna teraz równanie (48) zapisać tak, by było spełnione dla układu dwóch cz ˛astek: 

( ˆ H1 + ˆ H2)ψ1(r1)ψ2(r2) = Eψ1(r1)ψ2(r2), (58) 

( ˆ H1ψ1)ψ2 + ψ1( ˆ H2ψ2) = Eψ1(r1)ψ2(r2). 

( ˆ H1ψ1) 

ψ1 

+ ( ˆ H2ψ2) 

ψ2 

= E. 

Z powy˙zszej równo´sci wynikaj ˛a zale˙zno´sci na energi˛e ka˙zdej z cz ˛astek: 

E1 = E − ( ˆ H2ψ2) 

, (59) 

ψ2


4.2.4 Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny 

Hamiltonian dla układu trójwymiarowego: 

ˆH = − ℏ2 

2m ∇2 + kr2 

2 

ℏ2 ∂ ∂2 ∂2 

= − + + 

2 2m ∂x2 ∂y2 Funkcja własna dla układu trójwymiarowego wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: 

Energia układu wynosi zatem: 

wobec czego drgania w ka˙zdym kierunku s ˛a od siebie niezale˙zne. 

4.3 Przestrzeń Hilberta 

E2 = E − ( ˆ H1ψ1) 

. (60) 

ψ1 

∂z 2 

 

+ k 2 2 2 

x + y + z 

2 

. (61) 

ψE(x, y, z) = ψE1 (x)ψE2 (y)ψE3 (z). (62) 

E = E1 + E2 + E3, (63) 

Abstrakcyjn ˛a geometryczn ˛a ilustracj ˛a funkcji falowej ψα mo˙ze być wektor stanu wα w nieskończenie wymiarowej 

przesterzeni Hilberta. Przestrzeń Hilberta stanowi matematyczn ˛a baz˛e mechaniki kwantowej. Jest ona 

nieskończon ˛a przestrzeni ˛a wektorow ˛a, o elementach b˛ed ˛acych funkcjami. Wielko´sci fizyczne s ˛a reprezentowane 

jako operatory działaj ˛ace w tej przestrzeni, a stany fizyczne jako wektory (funkcje) stanu. 

Dla przykładu we´zmy jak ˛a´s dowoln ˛a funkcj˛e ψ(x). Graficznie mo˙zna j ˛a przedstawić w nast˛epuj ˛acy sposób: 

Widać, ˙ze na drugim rysunku funkcja ψ(x) jest kombinacj ˛a liniow ˛a odpowiednich wektorów własnych, czyli 

elementów bazy (w tym przypadku: ci ˛agłej bazy poło˙zeń) pomno˙zonych przez odpowiednie współczynniki. 

4.3.1 Dwuwymiarowa przestrzeń Hilberta 

We´zmy wektor o skladowych rzeczywistych u i wektor transponowany u T :


u = 

x1 

x2 

 

, u T = (x1, x2). 

Norma wektora wynosi: ||u|| 2 = u T u = x 2 1 + x 2 2. Wykonuj ˛ac to samo dla wektora w o składowych zespolonych 

otrzymujemy: 

w = 

z1 

z2 

(w T ) ∗ w = (z ∗ 1, z ∗ 

z1 

2) 

z2 

Oznaczenie: w † := (w T ) ∗ definiuje sprz˛e˙zenie hermitowskie. 

 

, w T = (z1, z2), 

 

= z ∗ 1z1 + z ∗ 2z2 = ||z1|| 2 + ||z2|| 2 . 

Mo˙zna dowie´sć, i˙z ogólna postać macierzy hermitowskiej M † jest nast˛epuj ˛aca: 

Wynik działania macierzy M na wektor u: 

Dane s ˛a nast˛epuj ˛ace macierze M i M † : 

M = 

M † 

= 

a + ib c + id 

f + ig r + is 

Szukamy rozwi ˛azania zagadnienia własnego: 

 

a c + id 

c − id b 

Chcemy, ˙zeby szukane rozwi ˛azania były niezerowe, wi˛ec: 

a − λ c + id 

c − id b − λ 

a c + id 

c − id b 

 

. (64) 

Mu = λu. (65) 

 

, M † 

= 

z1 

z2 

det(M − λ) = 0 : 

z1 

z2 

 

= 

 

= 

a c + id 

c − id b 

0 

0 

0 

0 

 

. 

 

. (66) 

det(M − λ) = 0 ⇔ (a − λ)(b − λ) − (c 2 + d 2 ) = 0 (68) 

λ 2 − λ(a + b) − c 2 − d 2 = 0. 

 

(67)


Poniewa˙z chcemy, by rozwi ˛azania na λ były rzeczywiste, to wyró˙znik △ musi być wi˛ekszy od zera: 

4.3.2 Baza w przestrzeni Hilberta 

△ = λ(a + b) 2 + 4ab + 4c 2 + 4a 2 = (a − b) 2 + 4(c 2 + d 2 ) 0 (69) 

W przestrzeni Hilberta istnieje zbior funkcji cn(x) spełniaj ˛acych nast˛epuj ˛ac ˛a zale˙zno´sć: 

Funkcje cn(x) s ˛a baza˛ przestrzeni Hilberta: 

 

dx c ∗ n(x)cm(x) = 

ψ(x) = 

1 m = n 

0 n = m 

(70) 

∞ 

en(x)cn. (71) 

n=0 

||ψ|| 2 

= dx ψ ∗ 

(x)ψ(x) = dx ( 

= 

∞ 

∞ 

n=0 m=0 

c ∗ ncm 

 

n 

dxe ∗ n(x)e ∗ m(x) 

 

m=n 

e ∗ n(x)c ∗ n)( 

e ∗ m(x)c ∗ m) 

= 

∞ 

n=0 

m 

c ∗ ncn = 

∞ 

|cn| 2 . 

Zatem funkcj˛e ψ(x) = ∞ 

n=0 en(x)cn ⋍ N 

n=0 en(x)cn stanowi ˛a szeregi ortogonalne. 

5 Twierdzenie spektralne 

Równanie własne pokazuje jak funkcja falowa koduje informacj˛e: 

n=0 

ˆΘϕλ = λϕλ. (72) 

Jedyne mo˙zliwe wyniki pomiaru to warto´sci λ. Operatory hermitowskie spełniaj ˛a (72) tak, ˙ze λ ∈ R. Spektrum to 

zbiór wszystkich λ. 

Przypadki: 

1. Spektrum dyskretne: λ1, λ2, . . . (np. dla cz ˛astki w studni potencjału). Wówczas ϕλ jest normalizowalna: 

 

d 3 rϕ ∗ λnϕλm = δnm. 

2. Spektrum ci ˛agłe: stanowi ono pewien kłopot. Funkcje własne istniej ˛a, ale nie nale˙z ˛a do przestrzeni Hilberta, 

nie s ˛a normalizowalne. S ˛a normowalne dopiero do delty Diraca 12 (b˛ed ˛acej nie funkcj ˛a, lecz dystrybucj ˛a): 

12 Uwaga: Delta Diraca posiada nast˛epuj ˛ace podstawowe własno´sci: dxf(x)δ(x − x0) =: f(x0), +∞ 

−∞ dxeikx = 2πδ(k) = {0 : k = 

0, ∞ : k = 0}. 

 

=


 

d 3 rϕ(r)ϕ(r ′ ) = δ(r − r ′ ). 

3. Spektrum mieszane - np. dla dodatnich energii w studni potencjału wyst˛epuje spektrum ci ˛agłe (fale płaskie, 

zaburzone nieco przez istnienie studni), za´s dla energii ujemnych mamy dyskretn ˛a kwantyzacj˛e poziomów 

energetycznych. 

5.0.3 Operator p˛edu 

Rozwi ˛azanie: 

px ˆ := −iℏ ∂ 

∂x , 

pxϕλ(x) ˆ = λϕλ(x), 

ϕp0 = e ip 0 x 

ℏ , λ = p0, 

−iℏ( ip0 

ℏ )ϕp0 = λϕp0 = p0ϕp0. 

Fala płaska jest idealizacj ˛a - mówimy o niej jako o dobrej funkcji falowej, mimo ˙ze ni ˛a nie jest. ϕp0 nie jest 

funkcj ˛a z przestrzeni Hilberta, a jednak: 

5.0.4 Operator poło˙zenia 

Rozwi ˛azanie: 

|ϕp0 |2 = 1. 

ˆx := x, 

xϕλ(x) = λϕ(x). 

xδ(x − x0) = x0δ(x − x0), 

 

 

dxϕx0(x)ϕx1(x) = dxδ(x − x0)δ(x − x1) = δ(x1 − x0). 

Funkcje własne s ˛a ortogonalne, tworz ˛a baz˛e w przestrzeni Hilberta: 

f(x) = 

5.1 Równoczesno´sć pomiaru 

n 

cnϕλn (x). 

• Rozwa˙zmy operatory ˆ Θ1, ˆ Θ2, oraz funkcj˛e charakteryzuj ˛ac ˛a układ: ϕλ1λ2 . Mamy: 

Zatem: ( ˆ Θ1 ˆ Θ2 − ˆ Θ2 ˆ Θ1)ϕλ1λ2 = 0. 

ˆΘ1ϕλ1λ2 

= λ1ϕλ1λ2 

ˆΘ2ϕλ1λ2 = λ2ϕλ1λ2 

ˆΘ1 ˆ Θ2ϕλ1λ2 = ˆ Θ1λ2ϕλ1λ2 

ˆΘ2 ˆ Θ1ϕλ1λ2 = . . . = λ1λ2ϕλ1λ2 

= λ1λ2ϕλ1λ2


• Je´sli operatory nie s ˛a przemienne, to nie mo˙zna zbudować funkcji falowej, która koduje dokładn ˛a informacj˛e 

o obydwu warto´sciach wielko´sci fizycznych, które te operatory reprezentuj ˛a. 

• Operatory s ˛a przemienne =: komutuja: ˛ 

[A, B] = AB − BA 

[ˆx, px] ˆ = ˆx px ˆ − pxˆx ˆ =? 

[ˆx, px]ϕ ˆ = x(−iℏ ∂ϕ 

∂x 

[ˆx, px] ˆ = iℏ 

) − (−iℏ ∂ 

∂x 

)(xϕ) = −iℏx ∂ϕ 

∂x 

∂ϕ 

+ iℏ(ϕ + x ∂x ) = iℏϕ 

• “Cała mechanika kwantowa została stworzona po to, by mieć relacj˛e komutacji.” 

• Fakt: [α + βA, B] = [α, B] + β[A, B] = β[A, B]. 

• Fakt: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, oraz analogicznie: [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C. 

• Przykład: czy da si˛e zmierzyć jednocze´snie poło˙zenie i energi˛e kinetyczn ˛a cz ˛astki? 

2 

px 

[x, ˆ 1 

] = [x, ˆ 

2m 2m pxpx] ˆ = 1 

( ˆ 

2m px[x, px] ˆ + [x, px] ˆ px) ˆ = 1 

( ˆ 

2m px(iℏ) + (iℏ) px), ˆ 

2 

px 

[x, ˆ iℏ 

] = 

2m m ˆ px = 0, 

zatem nie da si˛e dokonać jednoczesnego pomiaru tych wielko´sci. 

5.2 Uogólniona zasada Heisenberga 

Niech: 

Wówczas: 

analogicznie: 

St ˛ad: 

Fakt: Dla ka˙zdego operatora hermitowskiego zachodzi: 

[A, B] = iC, Ã := A − 〈A〉, ˜ B := B − 〈B〉. 

〈 Ã〉 = 〈 ˜ B〉 = 0, σ 2 A = 〈(A − 〈A〉) 2 〉 = 〈 Ã2 〉, 

 

σ 2 B = 〈 ˜ B 2 〉. 

[ Ã, ˜ B] = iC. 

d 3 rψ ∗ ( ˆ Θψ) = 

Korzystaj ˛ac z (73) i z powy˙zszych definicji Ã oraz ˜ B, mamy: 

 

 

d 3 rψ ∗ (z Ã − i ˜ B)(z Ã + i ˜ B)ψ ≥ 0 

d 3 r( ˆ Θψ ∗ )ψ. (73) 

(poniewa˙z: z 2 Ã 2 + ˜ B 2 + z( Ãi ˜ B − i ˜ B Ã) = z2 Ã 2 + iz[ Ã, ˜ B] + ˜ B 2 = z 2 Ã 2 − zC + ˜ B 2 ), 

z 2 

 

d 3 rψ ∗ Ã 2 

ψ − z 

d 3 rψ ∗ 

Cψ + 

Otrzymujemy równanie kwadratowe i obliczamy jego wyró˙znik △: 

d 3 rψ ∗ ˜ B 2 ψ ≥ 0.


z 2 〈 Ã2 〉 − z〈C〉 + 〈 ˜ B 2 〉 ≥ 0, 

△ = 〈C〉 2 − 4〈A 2 〉〈B 2 〉 ≤ 0, 

Powy˙zsze równanie jest wła´snie uogólniona˛ zasada˛ Heisenberga. 

Przykład: A = x, B = px, ˆ C = ℏ =⇒ σ2 xσ2 px 

gaussowskiej. 

6 Oscylator harmoniczny 

6.1 Jak wytwarzać funkcje falowe? 

〈A 2 〉〈B 2 〉 ≥ 〈C〉2 

. (74) 

4 

ℏ2 ≥ 4 . Doln ˛a granic˛e tej nierówno´sci daje si˛e osi ˛agn ˛ać dla paczki 

Załó˙zmy, i˙z dany jest hamiltonian dla którego rozwi ˛azania przyjmuj ˛a warto´sci: E1, E2, . . . , E∞ i tworz ˛a spektrum 

dyskretne. Wtedy wiemy, ˙ze dowoln ˛a funkcj˛e mo˙zna zapisać jako: Ψ(x) = ∞ anψEn n=0 (x). Wówczas: 

dla t = 0 : Ψ(x, t = 0) = Ψ0(x) = 

∞ 

anψEn(x), 

natomiast ogólna postać funkcji falowej zale˙znej od czasu wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: 

Ψ(x, t) = 

∞ 

n=0 

n=0 

˙Zeby znale´zć współczynnik an nale˙zy wykonać nast˛epuj ˛ace całkowanie: 

 

ψ ∗ 

Emψ(x) = 

dxψ ∗ Em (x) 

∞ 

∞ 

anψEn(x) = 

n=0 

an exp( −iEnt 

)ψEn(x). (75) 

ℏ 

n=0 

an 

 

dx ψ ∗ Em (x)ψEn(x) = am. 

 

=0: n=m 

6.2 Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwiazanie ˛ zagadnienia 

Wi˛ekszo´sć układów dynamicznych mo˙zna rozpatrywać jako układy wykonuj ˛ace małe drgania - oscylatory harmoniczne. 

Hamiltonian dla klasycznego oscylatora harmonicznego wyra˙za si˛e wzorem: 

Pomocne obliczenia: 

Cz˛esto´sć drgań układu klasycznego: 

H = p2 k 

+ 

2m 2 x2 . (76) 

˙x = p 

˙p k 

; ˙p = −kx; ¨x = = − 

m m m x; x = eiωt ; ¨x = −ω 2 e iωt . 

ωcl = 

 

k 

. (77) 

m


Hamiltonian dla kwantowego oscylatora harmonicznego: 

Rozwa˙zamy równanie własne: 

− ℏ2 d 

2m 

2ψE(x) dx2 ˆH = − ℏ2 d 

2m 

2 k 

+ 

dx2 2 x2 . (78) 

ˆHψE(x) = EψE(x), 

˙Zeby upro´scić równanie (79) wprowadzamy nowe zmienne: 

St ˛ad: 

czyli: 

Chcemy ˙zeby podkre´slone człony były sobie równe: 

Zatem, ostatecznie: 

k 

+ 

2 x2ψE(x) = EψE(x). (79) 

x = aX . 

d 1 d 

= 

dx a dX , 

ˆH = − ℏ2 

2ma2 d2 ka2 

+ 

dX 2 2 X 2 . 

ℏ2 ka2 

= 

2ma2 2 ⇒ a4 = ℏ2 

km ⇒ a2 = ℏ 

√ , 

mk 

ka2 kℏ 

= 

2 2 √ 

ℏ ℏ ℏ 

= = 

mk 2 m 2 ωcl. 

ˆH 

1 

= ℏωcl 

2 

d2 

(− 

dX 2 + X 2 ). (80) 

˙Zeby rozwi ˛azać równanie (80) trzeba je najpierw upro´scić. Najlepiej jest doprowadzić je do postaci iloczynu: 

(a2 + b2 ) = (a − ib)(a + ib). Pierwszym krokiem b˛edzie zdefiniowanie nast˛epuj ˛acych operatorów: 

P := −i d 

dx 

(jest to operator hermitowski), 

A := 1 

√ 2 (X + iP) (za´s operator A nie jest operatorem hermitowskim), 

A † := 1 

√ 2 (X − iP) (co nie przeszkadza sprz ˛ac go hermitowsko). 

A † A = 1 

1 

(X − iP)(X + iP) = 

2 2 (X 2 + iX P − iPX 

 

A † A = 1 

2 (X 2 + P 2 ) − 1 

2 

i[X ,P]=i(i)=−1 

+P 2 ), 

Po wstawieniu tego zestawu zmiennych do hamiltonianu, jego postać jest nast˛epuj ˛aca: 

Istotne obliczenia komutatorów: 

. (81) 

ˆH = ℏωcl(A † A + 1 

). (82) 

2


1. 

2. 

3. 

[A, A † ] = [ 1 

√ (X + iP), 

2 1 

√ (X − iP)] = 

2 1 

([X , X ] + [X , −iP] + [iP, X ] + [iP, iP] ) = 

2 

=0 −i[X ,P] i[P,X ] =0 

= i 

(− [X , P] + [P, X ] ) = 

2 

=i =−i 

i 

(−i − i) = 1. 

2 

[A, ˆ H] = ℏωcl[ A, A † A 

 

A † [A,A]+[A, A † ] 

 

1 

A 

[A † , H] = −ℏωclA † . 

+ 1 

] = Aℏωcl. 

2 

Pomiary w mechanice kwantowej opieraj ˛a si˛e głównie na wyliczeniach warto´sci ´srednich i okre´sleniu odst˛epstw 

od tych warto´sci dla poszczególnych pomiarów. Warto´sć ´srednia operatora energii (hamiltonianu) jest zawsze 

dodatnia, co mo˙zna sparawdzić na podstawie obliczeń: 

〈Epot〉 = k 

2 〈x2 〉 = k 

 

dx|Ψ(x)| 

2 

2 ≥ 0. 

 

 

〈Ekin〉 = 〈− ℏ2 d 

2m 

2Ψ(x) dx2 〉 = − ℏ2 

2m 

= ℏ2 

2m 

dxΨ ∗ (x)Ψ ′′ (x) = ℏ2 

 

dx|Ψ ′ | 2 ≥ 0. 

2m 

dx(Ψ ′ (x)) ∗ (Ψ ′ (x)) = 

〈Epot〉 + 〈Ekin〉 = 〈H〉 ≥ 0. (83) 

6.3 Rozwiazanie ˛ równania własnego z wykorzystaniem operatorów 

(bez konieczno´sci całkowania) 

Wybieramy funkcj˛e własn ˛a i działamy na ni ˛a operatorem: ψ1 = A † ψ 

ˆHψ1 = E1ψ1 

ˆHA † ψ = EA † ψ 

A † H − HA † = −A † ℏωcl 

HA † = A † H + A † ℏωcl 

A † Hψ + ℏωclA † ψ = E1A † ψ 

(E + ℏωcl)A † ψ = (E + ℏωcl)ψ1 

Operator A † nazywa si˛e operatorem kreacji, 13 poniewa˙z w działaniu na funkcj˛e tworzy stan o energii wy˙zszej. 

Wstawiaj ˛ac do równania własnego funkcj˛e ψ2 = Aψ otrzymamy: 

ˆHψ2 = ˆ HAψ = (AH − Aℏωcl)ψ = A Hψ −Aℏωclψ = (E − ℏωcl)Aψ = (E − ℏωcl)ψ2. 

 

Eψ 

Prawdopodobnie istnieje stan ψ0 o najni˙zszej energii, wtedy: 

Aψ0 = 0. (84) 

13 W terminologii wprowadzonej przez Grzesia Pełk˛e operator ten nazywa si˛e operatorem kremacji. (przyp. R.K.) Chodziłam z Grze´skiem 

do klasy w podstawówce (przyp. E.S.)


6.4 Tworzenie funkcji falowej 

Bierzemy operator A = 1 √ (X + iP) = 

2 1 √ (X + 

2 d 

dX ) i wstawiamy do równania (84): 

Rozwi ˛azujemy równanie ró˙zniczkowe: 

1 

√ (X + 

2 d 

dX )ψ0 = 0, 

X ψ0 + dψ0 

dX 

= 0. 

dψ0 

= −xdx, 

ψ0 

dψ0 

ψ0 

 

= − 

x2 − 

ψ0 = Ne 2 

xdx, 

Z działania hamiltonianu na funkcj˛e ψ0 otrzymamy wyra˙zenie na energi˛e stanu podstawowego: 

Hψ0 = ℏωcl(A † A + 1 

2 )ψ0 = ℏωcl 

2 ψ0 + ℏωclA † Aψ0, 

2 

. (85) 

Spektrum energii oscylatora harmonicznego - spektrum stanów równoodległych - przedstawia poni˙zszy rysunek: 

E0 = ℏωcl 

Spektrum energii 

oscylatora harmonicznego 

✻ 

En = ℏωcl(n + 1/2) 

Widać, ˙ze stan podstawowy jest zaznaczony na poziomie E0 = ℏωcl 

2 , a kolejne stany ró˙zni ˛a si˛e od siebie o czynnik 

ℏωcl, czyli n-ty poziom energetyczny okre´slony jest wzorem: 

6.5 Notacja “bra” i “ket” 

ℏωcl 

2 

✲ 

En = ℏωcl(n + 1 

), gdzie n = 0, 1, 2, . . . (86) 

2 

Dla znacznego uproszczenia zapisu mo˙zna wprowadzić notacj˛e “bra” i “ket”. Funkcj˛e stanu ψα mo˙zna zapisać w 

nast˛epuj ˛acej konwencji: 

|α〉 ket - funkcja stanu (wektor stanu),


〈α| bra - stan hermitowsko sprz˛e˙zony (wektor z przestrzeni dualnej). 

Funkcj˛e stanu podstawowego oscylatora harmonicznego zapisuje si˛e nast˛epujaj ˛aco: ψ0 = |0〉, natomiast funkcja 

stanu ψn = |n〉. Zachodzi fakt: 

|n〉 = Cn(A † ) n |0〉. (87) 

Teraz nale˙zy obliczyć 〈n|n〉 : 

〈0|(A) n (A † ) n |0〉 = 〈0| A . . . A A † . . . A † 

 

n 

 

n 

operacje wykonujemy a˙z do uzyskania 〈0|0〉 = 1, wtedy: 

|0〉 = n〈0| A . . . A 

= n! 

 

n−1 

Postać funkcji falowej oscylatora harmonicznego w jednym wymiarze: 

6.6 Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej 

Zapisujemy trójwymiarowy hamiltonian: 

ˆH = ℏωcl1(A † 

1 A1 + 1 

A † . . . A † 

 

n−1 

|0〉 = n〈n − 1|n − 1〉 = 

|n〉 = 1 

√ n! (A † ) n |0〉. (88) 

† 

) + ℏωcl2(A 

2 

2 A2 + 1 

2 

) + ℏωcl3(A † 

3 A3 + 1 

2 ). 

Za pomoc ˛a trzech liczb kwantowych opisać mo˙zna dowolny stan trójwymiarowego oscylatora harmonicznego: 

|n1n2n3〉 = C(A † 

1 )n1 (A † 

2 )n2 (A † 

3 )n3 |000〉, (89) 

E = ℏωcl1(n1 + 1 

2 ) + ℏωcl2 (n2 + 1 

2 ) + ℏωcl3 (n3 + 1 

). (90) 

2 

Przedstawione na poni˙zszym rysunku spektrum energii pokazuje, ˙ze nie jest to ju˙z prosty rozkład, a poszczególne 

poziomy energetyczne ró˙zni ˛a si˛e od siebie i od stanu podstawowego o czynnik ωcl1,2,3 . Pewnego uproszczenia 

mo˙zna si˛e dopiero spodziewać, gdy rozpatrywany układ b˛edzie oscylatorem symetrycznym. 

6.6.1 Degeneracja stanów 

Spektrum energii trójwymiarowego 

oscylatora harmonicznego 

ℏ 

2 ω1 

ℏ 

2 ω2 

ℏ 

2 ω3 

✻ 

ℏ 

2 (ω1 + ω2 + ω3) 

Rozpisanie trzech pierwszych stanów energetycznych w przestrzeni trójwymiarowej: 

✲


1. stan podstawowy: 

2. I stan wzbudzony: 

|0 0 0〉. 

|1 0 0〉 |0 1 0〉 |0 0 1〉. 

Cała podprzestrzeń stanów zdegenerowanych opisanych w tej bazie: 

Jest to stan trzykrotnie zdegenerowany. 

3. II stan wzbudzony: 

Jest to stan sze´sciokrotnie zdegenerowany. 

7 Atom wodoru 

α|1 0 0〉 + β|0 1 0〉 + γ|0 0 1〉. 

|2 0 0〉 |0 2 0〉 |0 0 2〉 

|1 1 0〉 |1 0 1〉 |0 1 1〉. 

Koronnym argumentem za poprawno´sci ˛a mechaniki kwantowej jest istnienie 14 atomu wodoru. Rozwa˙zmy kwantowo 

oddziaływanie dwóch cz ˛astek o ró˙znych masach w polu wzajemnego potecjału: 

zatem kwantowo mamy: 

H = p21 + 

2m1 

p22 + V (r1 − r2), (91) 

2m2 

ˆH = − ℏ2 

2m1 

Rozwi ˛azanie równania Schrödingera (iℏ ∂ψ 

∂t = ˆ Hψ(r1, r2; t)): 

Potencjał kulombowski dwóch oddziałuj ˛acych elektrostatycznie cz ˛astek: 

Podstawiaj ˛ac to do równania (92) mamy: 

ˆH = − ℏ2 

2m1 

∇ 2 1 − ℏ2 

∇ 

2m2 

2 2 + V (r1 − r2). (92) 

ψ(r1, r2; t) = e −iE pot t 

ℏ ψEpot(r1, r2). (93) 

V (r1 − r2) = 1 e 

4πɛ0 

2 

α 

=: − . (94) 

|r1 − r2| |r1 − r2| 

( ∂2 

∂x2 + 

1 

∂2 

∂y2 + 

1 

∂2 

∂z2 )− 

1 

ℏ2 

( 

2m2 

∂2 

∂x2 + 

2 

∂2 

∂y2 + 

2 

∂2 

∂z2 2 

α 

)− 

(x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 . (95) 

+ (z1 − z2) 2 

Teraz wprowadzimy nowe zmienne, tak, aby umo˙zliwić dokonanie separacji zmiennych: 

Zatem w nowych zmiennych: Vc = − α 

|r| 

Chcemy mieć równo´sć: exp ir1p1 

ℏ 

14 i funkcjonowanie (przyp. R.K.) 

r := r1 − r2, 

R := ar1 + br2 = m1r1 + m2r2 

. 

m1 + m2 

α = − r . 

ir2p2 

iRP 

+ ℏ = exp ℏ 

irp 

+ ℏ , czyli: 

RP + rp = r1p1 + r2p2,


st ˛ad: 

Czyli: 

oraz: 

Niech M := m1 + m2, wtedy: 

P( m1r1 + m2r2 

) + p(r1 − r2) = r1( 

m1 + m2 

m1P 

+ p) + r2( 

m1 + m2 

m2P 

− p) 

m1 + m2 

p1 = m1P 

+ p, p2 = 

m1 + m2 

m2P 

− p, 

m1 + m2 

p1 + p2 = m1 + m2 

P = P, 

m1 + m2 

P = p1 + p2, 

p = m2P 

− p2 = 

m1 + m2 

m1(p1 + p2) 

m1 + m2 

p 2 1 

2m1 

− m1 + m2 

m1 + m2 

p2 = m2p1 − m1p2 

. 

m1 + m2 

+ p22 = 

2m2 

1 

( 

2m1 

m1P 

M + p)2 + 1 

( 

2m2 

m2P 

M − p)2 2 P p2 

= + 

2M 2µ , 

gdzie masa zredukowana: 1 

µ := 1 1 + . Ostatecznie, nowy hamiltonian wyra˙za si˛e wzorem: 

m1 m2 

Zatem: ϕEpot 

ˆH = − ℏ2 ∂2 ∂2 ∂2 

( + + ) − 

2M ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 

 

ruch ´srodka masy 

ℏ2 ∂2 ∂2 ∂2 α 

( + + ) − . (96) 

2µ ∂x2 ∂y2 ∂z2 |r| 

 

ruch wzgl˛edny 

= exp{i PR 

ℏ }ϕE(r), Epot = E + 

7.1 Zapis w układzie sferycznym 

P 2 

2M . 

Przechodz ˛ac do sferycznego układu współrz˛ednych 15 i do układu odniesienia ´srodka masy, mamy: 

H = − ℏ2 1 

[ 

2µ r2 ∂ ∂ 1 

(r2 ) + 

∂r ∂r r2 1 

sin θ 

∂ ∂ 

(sin θ ) − 

∂θ ∂θ 

Postulujemy separacj˛e zmiennych: ϕE(r, θ, ϕ) = f(r)Y (θ, ϕ). Zatem: 

− ℏ2 1 

[ 

2µ r2 ∂ 

∂r 

− ℏ2 

2µ 

(r2 ∂f 

∂r 

1 1 ∂ ∂ 

)Y (θ, ϕ) + f(r)( (sin θ ) − 

r2 sin θ ∂θ ∂θ 

 

+ − α 

r 

d df 

dr (r2 dr ) 

− 

f 

ℏ2 [ 

2µ 

1 

sin θ 

− ℏ2 

2µ 

d df 

dr 

r2 

dr 

f 

Z separacji otrzymujemy dwa równania: 

1. 

⎧ 

⎨ 

15 

⎩ 

x = r sin θ sin ϕ 

y = r sin θ cos ϕ 

z = r cos θ 

1 

r 2 sin 2 θ 

1 

r 2 sin 2 θ 

( ∂2 

∂ϕ 

α 

)] − . (97) 

2 r 

∂2 

( )]Y (θ, ϕ)+ 

∂ϕ2 

f(r)Y (θ, ϕ) = Ef(r)Y (θ, ϕ), (98) 

∂ ∂ 1 

∂θ (sin θ ∂θ ) + sin2 ∂2 ( θ ∂ϕ2 )]Y (θ, ϕ) 

− αr = r 

Y 

2 E, 

− αr − r 2 E = 

ℏ 2 

2µ [. . .]Y 

Y 

=: −λ ℏ2 

. (99) 

2µ 

− ℏ2 1 

2µ r2 d df α λℏ2 

(r2 ) − f + f = Ef, (100) 

dr dr r 2µr2 , gdzie: r ∈ [0, ∞], θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].


2. 

Z rownania (101) mamy: 

postuluj ˛ac Y = A(ϕ)B(θ): 

1 

sin θ 

∂ ∂ 1 

(sin θ )Y + 

∂θ ∂θ sin 2 θ 

sin θ ∂ ∂ 

∂θ (sin θ ∂θ )Y 

Y 

sin θ d dB(θ) 

dθ (sin θ dθ ) 

B(θ) 

∂2Y + λY = 0. (101) 

∂ϕ2 + λ sin 2 θ = − ∂2Y ∂ϕ2 , 

Y 

+ λ sin 2 θ = − d2 A 

dϕ 2 

A =: m2 . (102) 

Separacja tego równania ze wzgl˛edu na ϕ daje: d2 A 

dϕ 2 = −m 2 A ⇒ e imϕ = A, a poniewa˙z A(ϕ = 0) = A(ϕ = 

2π), to m musi być całkowite. Ostatecznie mamy: 

Natomiast równanie (102) rozseparowane ze wzgl˛edu na θ daje: 

Podstawiaj ˛ac w := cos θ, d 

dθ 

1 

sin θ 

d 

dθ 

dw d 

d 

= ( dθ ) dw = − sin θ dw : 

1 

d 

[(− sin θ) 

sin θ dw 

Y (θ, ϕ) = eimϕ 

√ 2m B(θ). (103) 

dB m2 

(sin θ ) + (λ − 

dθ sin 2 )B = 0. 

θ 

m2 

(sin θ(− sin θ)dB )] + (λ − 

dw sin 2 )B = 0, 

θ 

d dB m2 

((1 − w)2 ) + (λ − )B = 0. (104) 

dw dw 1 − w2 Rozwi ˛azaniem powy˙zszego równania ró˙zniczkowego s ˛a stowarzyszone wielomiany Legendre’a (harmoniki kuliste): 

przy czym: l = 0, 1, 2, 3, . . ., za´s m = −l, −l + 1, . . . , l. Natomiast: 

gdzie Pl(w) to ju˙z normalne wielomiany Legendre’a. 

Ylm(θ, ϕ) P m 

l (cos θ)e imϕ , (105) 

P m 

l (w) = (1 − w 2 ) |m| d 

2 

|m| 

dw |m| Pl(w), (106) 

8 Wielomiany Legendre’a, harmoniki sferyczne i moment p˛edu 

8.1 Krótkie powtórzenie, tytułem wst˛epu 

1. W mechanice kwantowej obserwable ( wielko´sci fizyczne 16 ) wyra˙zamy za pomoc ˛a p˛edów i poło˙zeń, a 

nast˛epnie przekształcamy je w operatory: 

Θ(r, p) −→ ˆ Θ(r, −iℏ∇). (107) 

2. Jedyne mo˙zliwe do uzyskania warto´sci (λ) pomiarów wielko´sci fizycznych opisywanych operatorem ˆ Θ 

otrzymuje si˛e z rozwi ˛azania równania własnego: 

16 te, które daje si˛e zmierzyć :) 

ˆΘϕλ = λϕλ. (108)


3. Funkcja falowa dostarcza informacji o stanie układu. Gdy podziałamy na ni ˛a hamiltonianem, b˛edziemy 

wiedzieli jak funkcja zachowuje si˛e w dowolnej chwili. Hamiltonian przesuwa funkcj˛e w czasie: iℏ ∂ψ 

∂t = 

iEt 

ˆHψ. − Rozwi ˛azaniem tego równania jest funkcja ψ(r, t) = e ℏ ψE(r), gdzie ψE(r) otrzymuje si˛e z równania 

własnego. 

4. W przypadku gdy rozwa˙zamy problem w potencjale sferycznie symetrycznym, hamiltonian przyjmuje 

postać: 

ˆH = − ℏ2 1 

[ 

2µ r2 ∂ ∂ 1 

(r2 ) + 

∂r ∂r r2 ∂ ∂ 1 

(sinΘ ) + 

sinΘ ∂Θ ∂Θ r2sin2 ∂ 

Θ 

2 

]. (109) 

∂ϕ2 Z rozwi ˛azania równania własnego otrzymujemy funkcj˛e postaci: 

gdzie: 

8.2 Wielomiany Legendre’a 

ψE(r) = f(r)Ylm(Θ, ϕ), 

Na wykładzie (7) wyprowadzono nast˛epuj ˛ace równanie ró˙zniczkowe: 

Ylm(Θ, ϕ) = NlmP m 

l (cosΘ)e imϕ . (110) 

d dP m2 

((1 − w)2 ) + (λ − )P = 0. (111) 

dw dw 1 − w2 Fizyczne rozwi ˛azania równania (111) dostajemy dla niezerowego m, gdy λ = l(l + 1), |m| l. Otrzymane 

rozwi ˛azania zwane s ˛a stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a i wyra˙zaj ˛a si˛e przez wielomiany Legendre’a Pl(w): 

Mo˙zna okre´slić funkcj˛e tworz ˛ac ˛a: 

P m 

l (w) = (1 − w 2 ) |m| d 

2 

|m| 

dw |m| Pl(w). (112) 

T (w, s) = 

1 

√ 1 − sw − s 2 = 

Zbadamy teraz własno´sci wielomianów Legendre’a przy u˙zyciu funkcji tworz ˛acej (113): 

∞ 

Pl(w)s l . (113) 

l=0 

dT 

ds |s=0 

+∞ 

= Pl(w) 

l=0 

d 

ds sl |s=0 = P1(w), (114) 

d n T 

ds n |s=0 = 

+∞ 

Pl ( 

l=n 

dn 

dsn sl ) 

 

=n!s l−n 

|s=0 = n!Pn(w). (115) 

Wielomiany te s ˛a do siebie ortogonalne, na odcinku [−1, 1] stanowi ˛a one baz˛e w przestrzeni funkcyjnej, czyli 

 

ka˙zd ˛a funkcj˛e opisan ˛a na sferze da si˛e przedstawić w postaci nieskończonego szeregu wielomianów f(w) = 

+∞ 

l=0 clPl(w): 

1 

dwPl(w)Pl ′(w) = 

−1 

8.3 Harmoniki sferyczne i ich własno´sci 

 

[ 2 (l+|m|)! 

2l+1 ][ (l−|m|)! ] dla l = l′ 

0 dla l = l ′ (116) 

Dowód ortogonalno´sci harmonik sferycznych: gdy powy˙zsz ˛a całk˛e zast ˛apimy całk ˛a po k ˛atach, to otrzymamy: 

1 

−1 

d cos Θ 

2π 

0 

dϕY ∗ 

lm(Θ, ϕ)Y˜ l ˜m (Θ, ϕ) = δ l ˜ l δm ˜m. (117)


Cz˛e´sć k ˛atowa Ylm(Θ, ϕ) pełnej funkcji falowej, b˛ed ˛aca rozwi ˛azaniem równania k ˛atowego dla λ = l(l + 1): 

1 ∂ 

sinΘ ∂Θ (sinΘ∂Y 

∂Θ 

1 

) + 

sin2 ∂ 

Θ 

2Y ∂2 + λY = 0, (118) 

ϕ 

nazywa si˛e harmonika˛ sferyczna. ˛ Harmoniki sferyczne tworzy si˛e według nast˛epuj ˛acego wzoru: 

gdzie ε = 

(−1) m dla m > 0 

1 dla m 0 . 

Ylm(Θ, ϕ) = ε[ 

Przykłady podstawowych funkcyj 17 kulistych: 

• Y00 = 1 

√ 4π , 

• Y10 = ( 3 1 

4π ) 2 cos Θ, 

• Y1±1 = ∓( 3 1 

8π ) 2 sin Θe ±iϕ , 

• Y20 = ( 5 1 

16π ) 2 (3 cos2 Θ − 1), 

• Y2±1 = ( 15 1 

8π ) 2 sin Θ cos Θe ±iϕ , 

• Y2±1 = ( 15 1 

32π ) 2 sin 2 Θe ±2iϕ . 

8.4 Operator momentu p˛edu 

(2l + 1)(l − |m|)! 

] 

4π(l + |m|)! 

1 

2 Plm(cos Θ)e imϕ , (119) 

Klasycznie wektor momentu p˛edu L jest zdefiniowany nast˛epuj ˛aco: 

⎡ 

ex 

L = r × p = ⎣ x 

ey 

y 

ez 

z 

⎤ 

⎛ 

ypz − zpy 

⎦ = ex(ypz − zpy) − ey(xpz − zpx) + ez(xpy − ypx) = ⎝ −xpz + zpx 

⎞ 

⎠ . 

px py pz 

xpy − ypx 

Teraz, analogicznie, konstruujemy kwantowy operator momentu p˛edu: 

⎛ 

z ∂ 

∂y 

∂z 

− y ∂ 

∂z 

ˆL = iℏ ⎝ x ∂ ∂ − z 

y ∂ 

∂x 

∂x 

− x ∂ 

∂y 

⎞ 

⎠ . (120) 

x, y, z mo˙zna zmierzyć jednocze´snie, bo te wielko´sci ze sob ˛a komutuj ˛a, natomiast nie komutuje ze sob ˛a x i px, y 

i py, z i pz ⇒ [x, px] = [y, py] = [z, pz] = iℏ. 

Obliczenie niektórych komutatorów: 

[Lx, Ly] = [y ˆpz − z ˆpy, zpx ˆ − x ˆpz] = [y ˆpz, zpx] ˆ − [y ˆpz, x ˆpz] − [z ˆpy, zpx] ˆ + [z ˆpy, x ˆpz] 

 

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(1) [y ˆpz, zpx] ˆ = (y ˆpz)(zpx) ˆ − (zpx)(y ˆ ˆpz) = −iℏ(ypx) 

(2) [y ˆpz, x ˆpz] = 0 

(3) [z ˆpy, zpx] ˆ = 0 

(4) [z ˆpy, x ˆpz] = (z ˆpy)(x ˆpz) − (x ˆpz)(z ˆpy) = iℏ(x ˆpy) 

[Lx, Ly] = −iℏ(ypx) + iℏ(x ˆpy) = iℏLz, (121) 

17 ta dawna i wspaniała forma j˛ezykowa, u˙zywana przez Sierpińskiego, Kaca, Ulama, Lej˛e i innych wielkich bojowników matematyki, nie 

mo˙ze zostać przecie˙z pot˛epiona i skazana na wieczne zapomnienie, nieprawda˙z? (przyp. R.K.)


[Lx, Lz] = −iℏLy, (122) 

[Ly, Lz] = iℏLx. (123) 

Kwadrat operatora momentu p˛edu: ˆ L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z. Operator ten komutuje z ka˙zdym spo´sród operatorów: 

ˆ 

Lx, ˆ Ly, ˆ Lz: 18 

[ ˆ L 2 , Lx] = [ ˆ L 2 , Ly] = [ ˆ L 2 , Lz] = 0. (124) 

8.4.1 Wektor momentu p˛edu we współrz˛ednych sferycznych 

Wyprowadzimy wzór na składow ˛a wzdłu˙z osi z, oraz na kwadrat momentu p˛edu we współrz˛ednych sferycznych. 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x = r cos Θ sin ϕ 

y = r sin Θ sin ϕ 

z = r cos Θ 

∂ 

∂x 

∂r ∂ 

= ( ) 

∂x ∂r 

Z obliczenia poszczególnych ró˙zniczek otrzymujemy: 

, r = x 2 + y 2 + z 2 , 

∂ 

+ (∂Θ ) 

∂x ∂Θ 

∂ 

+ (∂ϕ ) 

∂x ∂ϕ , 

Lz = xpy − ypx = −iℏ[x ∂ ∂ ∂ ∂ 

, −y ] = iℏ[y , −x 

∂y ∂x ∂x ∂y ]. 

∂r 

∂x 

x ∂Θ 

= , 

r ∂x = 

∂r 

∂Θ 

= sin Θ sin ϕ, 

∂y ∂y 

y ∂ 

∂ 

= r sin Θ sin ϕ(sin Θ cos ϕ 

∂x ∂r 

zx 

x ∂ 

∂ 

= r sin Θ cos ϕ(sinΘsinϕ 

∂y ∂r 

r2√r2 ∂ϕ 

, 

− z2 ∂x 

= − sin ϕ 

r sin Θ , 

cos Θ sin ϕ 

= , 

r 

∂ϕ cos ϕ 

= 

∂y r sin Θ . 

+ cos Θ cos ϕ 

r 

+ cosΘ sin ϕ 

r 

y ∂ ∂ 

− x 

∂x ∂y = cos2ϕ ∂ 

∂ϕ + sin2 ϕ ∂ ∂ 

= 

∂ϕ ∂ϕ . 

∂ sin ϕ ∂ 

− 

∂Θ r sin Θ ∂ϕ ), 

∂ cos ϕ ∂ 

+ 

∂Θ rsinΘ ∂ϕ ), 

Zatem składowa z-owa wektora momentu p˛edu wyra˙zona we współrz˛ednych sferycznych przedstawia si˛e nast˛epuj 

˛aco: 

ˆLz = −iℏ ∂ 

. (125) 

∂ϕ 

Tak prosta postać wynika z faktu, ˙ze o´s z jest osi ˛a symetrii. Kwadrat momentu p˛edu we współrz˛ednych sferycznych: 

ˆL 2 = −ℏ 2 [ 1 ∂ ∂ 1 

(sinΘ ) + 

sinΘ ∂Θ ∂Θ sin2 ∂ 

Θ 

2 

∂2 ]. (126) 

ϕ 

Wynik działania operatorów ˆ Lz, ˆ L 2 na funkcj˛e falow ˛a Ylm(Θ, ϕ): 

ˆLzYlm(Θ, ϕ) = ℏmYlm(Θ, ϕ), (127) 

ˆL 2 Ylm(Θ, ϕ) = ℏ 2 l(l + 1)Ylm(Θ, ϕ). (128) 

18 Lx, Ly, Lz tworz ˛a algebr˛e - ich komutatory nie wyprowadzaj ˛a poza ich zbiór; operatory momentu p˛edu s ˛a generatorami grupy oboru.


Hamiltonian wyra˙zony we współrz˛ednych sferycznych za pomoc ˛a operatora ˆ L 2 : 

ˆH = − ℏ2 

2µr 2 

∂ ∂ 

(r2 

∂r 

∂r ) + ˆ L2 + V (r). (129) 

2µr2 Gdy podziałamy hamiltonianem (129) na funkcj˛e własn ˛a ψE(r, Θ, ϕ) = f(r)Ylm(Θ, ϕ), to otrzymamy: 

ˆHψE = − ℏ2 

2µr2 d df 

(r2 

dr dr )Ylm(Θ, 

2 ℏ l(l + 1) 

ϕ) + 

2µr2 

+ V (r) f(r)Ylm(Θ, ϕ) = 

= Enlmf(r)Ylm(Θ, ϕ). 

Pojawił si˛e dodatkowy (podkre´slony) człon, który w fizyce klasycznej jest potencjałem siły od´srodkowej. Zgubiona 

za´s została zale˙zno´sć od m. Oznacza to, ˙ze wyst˛epuje degeneracja stanu (ze wzgl˛edu na m), zwi ˛azana z 

faktem symetrii obrotowej. 

9 Atom wodoru - ciag ˛ dalszy 

9.1 Radialne równanie Schrödingera 

Równanie Schrödingera w postaci radialnej dla ka˙zdego potencjału sferycznie symetrycznego przedstawia si˛e 

nast˛epuj ˛aco: 

− ℏ2 1 

2µ r2 d 

dr (r2ψ ′ (r)) + ℏ2l(l + 1) 

2µr 

2 ψ + V (r)ψ = Eψ. (130) 

Równanie (130) mo˙zemy zapisać tak, aby uzale˙znione było od liczby kwantowej l. W tym celu wybieramy sobie 

pewn ˛a funkcj˛e ψ = u(r) 

r (funkcja ta w r = 0 musi być skończona): 

ψ ′ = u′ 

r 

u 

− , 

r2 r 2 ψ ′ = u ′ r − u, 

(r 2 ψ ′ ) ′ = u ′′ r + u ′ − u ′ = u ′′ r, 

1 

r 2 

d 

dr (R2 ψ ′ ) = u′′ 

r . 

Otrzymujemy równanie (130) zale˙zne od liczby kwantowej l: 

− ℏ2 

2µ u′′ 

+ V (r) + ℏ2l(l + 1) 

2µr2 

u = Eu. (131) 

Rozwi ˛azuj ˛ac radialne równanie Schrödingera dla atomu wodoru chcemy je przepisać tak, by miało postać bezwymi- 

1 d = ) i przekształcamy poni˙zsze równanie: 

arow ˛a. Postulujemy ϱ = ar ( d 

dϱ 

a dr 

− ℏ2 1 

2µ r2 

d dψ 

(r2 ) + − 

dr dr α 

r + ℏ2l(l + 1) 

2µr2 

ψ = Eψ. 

Musimy tak dobierać a, ˙zeby wyraz z E przeszedł w stał ˛a, dzi˛eki czemu asymptotyczne zachowanie rozwi ˛azania 

b˛edzie niezale˙zne od warto´sci własnej.


− ℏ2 a 2 

2µ 

1 

ϱ 2 

− ℏ2 a 2 

8µE 

 

=:1 

d 

dϱ 

1 

ϱ 2 

1 

ϱ 2 

 

dψ 

(ϱ2 ) + − 

dϱ αa 

ϱ + a2ℏ2l(l + 1) 

2µϱ2 

ψ = Eψ || : 4E, 

d 

dϱ 

d 

dϱ 

 

dψ 

(ϱ2 ) + − 

dϱ αa 

4Eϱ + a2ℏ2l(l + 1) 

8µEϱ2 

 

dψ λ l(l + 1) 

(ϱ2 ) + − 

dϱ ϱ ϱ2 ψ = ψ 

. (132) 

4 

 

1 

− ψ = 0, (133) 

4 

Funkcja falowa b˛ed ˛aca rozwi ˛azaniem tego równania przyjmuje postać ψ = exp(− ϱ 

2 )F (ϱ), przy czym F (ϱ) jest 

wielomianem. Dodatkowo mamy zwi ˛azki na a2 , λ: 

a 2 = 8µ|E| 

ℏ2 , 

λ = αa 

 

α µ 

= 

4|E| ℏ 2|E| . 

Energia stanu jest ukryta w λ. Wyznaczaj ˛ac warto´sć λ znajdziemy te˙z warto´sć energii dla danego stanu. 

ϱ 

− Je˙zeli do równania (133) wstawimy funkcj˛e ψ = e 2 F (ϱ) to otrzymamy wówczas równanie: 

9.2 Poziomy energetyczne 

F ′′ + ( 2 

ϱ − 1)F ′ 

λ − 1 l(l + 1) 

+ − 

ϱ ϱ2 

= 0. (134) 

Naszym celem jest znalezienie rozwi ˛azań na F . Szukane rozwi ˛azania przyjmuj ˛a postać szeregu: 

F = ϱ s 

Po podstawieniu do równania (134) otrzymujemy: 

∞ 

n=0 

anϱ n a0 = 0, 

F = ϱ s L(ϱ). 

ϱ 2 L ′′ + ϱ[2(s + 1) − ϱ]L ′ + [ϱ(λ − s − 1) + s(s + 1) − l(l + 1)]L = 0. (135) 

Funkcja F jest skończona w punkcie 0. Przyjmujemy, ˙ze ϱ = 0. Po wstawieniu do równania (135), otrzymujemy: 

[s(s + 1) − l(l + 1)] a0 = 0. 

 

L(0) 

Jest to równanie kwadratowe na s, po wyliczeniu pierwiastków: 

s ∈ {l, −l(l + 1)}.


Jak ju˙z wcze´sniej wspomniano, funkcj˛e F wyra˙zono za pomoc ˛a szeregu L = ∞ 

n=0 anϱ n . Wstawiaj ˛ac postać L 

do równania (135) otrzymuje si˛e zwi ˛azek rekurencyjny pomi˛edzy kolejnymi współczynnikami szeregu: 

ann(n − 1)ϱ + ϱ[2(s + 1) − ϱ]annϱ n−1 + ϱ(λ − s − 1)anϱ = 0. 

W równaniu nale˙zy przemianować zmienne ñ = n − 1, ostatecznie otrzymuj ˛ac nast˛epuj ˛ace równanie: 

aν+1 = 

ν − λ + l + 1 

(ν + 1)(ν + 2l + 2) aν. (136) 

Gdy warto´sci ν d ˛a˙z ˛a do ∞, szereg zbiega do 1/ν. Zatem szereg reprezentuj ˛acy L musi si˛e w pewnym miejscu 

urywać. Zachodzi to dla λ równego liczbie kwantowej n oraz takiego, ˙ze: 

λ = ν + l + 1 ν = 0, 1, 2, 3, . . . 

9.3 Atom wodoru: funkcja falowa i poziomy energetyczne 

Powy˙zsze rozwa˙zania prowadz ˛a do wzoru na funkcj˛e falow ˛a w atomie wodoru: 

ψ(r, θ, ϕ) = e −ϕ/2 Ln(ϱ)Ylm(θ, ϕ). (137) 

Kolejnym istotnym wzorem jest wyra˙zenie na energi˛e poziomów energetycznych: 

Wzór na energi˛e stanu podstawowego wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛aco: 

|En| = − µα2 

2ℏ2 . (138) 

n2 E0 = − µα2 

= 13.59eV. 

2ℏ2 Jak widać, energia stanów zale˙zy tylko od głównej liczby kwantowej n, nie zale˙zy za´s od l. Fakt ten wskazuje na 

degeneracj˛e stanów w układzie. 

10 Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej 

10.1 Macierze 

10.1.1 Przypomnienie 

Przykładowa macierz 2x2 wygl ˛ada tak: A = 

s ˛a (mo˙zna zdefiniować) nast˛epuj ˛ace operacje: 

a11 a12 

a21 a22 

 

. Element macierzy to aij. Na macierzach dozwolone


• dodawanie: C = A + B, czyli cij = aij + bij, 

• mno˙zenie: C = A ∗ B, czyli cij = 

k aik ∗ bkj. 

W praktyce cz˛esto stosuje si˛e konwencj˛e sumacyjna˛ Einsteina, polegaj ˛ac ˛a na tym, i˙z znak sumy si˛e pomija, za´s 

sumowanie przebiega zawsze po powtarzaj ˛acym si˛e wska´zniku. W konwencji tej mamy po prostu cij = aik ∗ bkj. 

Czy dla macierzy ∃19 element neutralny? Tak: A =1A = A1, 1= δij. Mno˙zenie macierzy jest ł ˛aczne (A(BC) = 

(AB)C) i nieprzemienne (ABC = ACB). Gdyby zatem ∃ element odwrotny, to macierze stanowiłyby grup˛e. 

Ale, niestety, ∃ takie macierze, dla których det A = 0, zatem grupy nie ma! 

10.1.2 Macierze hermitowskie 

Macierze hermitowskie to takie macierze dla których (A ∗ ) T = A. Wprowadza si˛e oznaczenie A † := (A ∗ ) T . 

Oczywi´scie zapis A † = A równowa˙zny jest zapisowi aij = a ∗ ji . Łatwa do udowodnienia jest równo´sć: (ABC)† = 

C † B † A † . 

10.1.3 Funkcja od macierzy 

Chcemy zdefiniować dowoln ˛a funkcj˛e od macierzy. Np. sin(A). 

• Dobry trop: rozwini˛ecie w szereg Taylora. 

Skoro: f(x) = f0 + xf1 + x 2 f2 + . . ., to mo˙ze: 

f(A) = f0 + Af1 + A 2 f2 + . . .? Ale co wtedy, gdy funkcja jest nieanalityczna (nierozwijalna w szereg, 

np. √ x|x=0)? 

⎛ 

λ1 

⎜ 0 

• Potrafimy znale´zć funkcj˛e dla macierzy diagonalnej: A = ⎜ . 

⎝ . 

0 

λ2 

. 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

0 

0 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0 0 · · · λn 

, 

⎛ 

A 2 ⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

⎛ 

f(λ1) 

⎜ 0 

f(A)= ⎜ 

⎝ . 

0 

f(λ2) 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

0 

0 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0 0 · · · f(λn) 

. 

λ2 1 0 · · · 0 

0 λ2 2 · · · 0 

. 

. 

. .. 

0 0 · · · λ 2 n 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ , 

• Fakt: ka˙zd ˛a macierz hermitowsk ˛a daje si˛e zapisać w postaci diagonalnej: 

A = U −1 

⎛ 

λ1 

⎜ 0 

⎜ 

⎝ . 

0 

λ2 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

0 

0 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0 0 · · · λn 

U. 

19 symbol ‘∃’ znaczy tyle co słowo ‘istnieje’, ale jak˙ze przyjemniej si˛e go u˙zywa! (przyp. R.K.)


• Zatem: f(A) = U −1 

⎡ 

f(λ1) 

⎢ 0 

⎢ 

⎣ . 

0 

f(λ2) 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

0 

0 

. 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

0 0 · · · f(λn) 

U. 

10.2 Macierze i bra-kety 

20 

Przestrzeń zespolonych wektorów z norm ˛a: ||v|| 2 = v∗ i vi nazywamy przestrzenia˛ Hilberta. Mamy: 

〈v|v〉 = (v ∗ 1, v ∗ 2, . . . , v ∗ n) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

Au = v, aijuj = vi, 

⎛ ⎞ 

|v〉 := 

⎜ 

⎝ 

v1 

. 

vn 

⎟ 

⎠ , 

〈v| := (v ∗ 1, . . . , v ∗ n) = v † , 

v1 

v2 

. 

vn 

⎞ 

⎟ 

⎠ = v∗ 1v1 + . . . + v ∗ nvn = ||v1|| 2 + . . . + ||vn|| 2 , 

u ∗ i aijvj = 〈u|A|v〉. 

10.3 Mechanika kwantowa w sformułowaniu Heisenberga 

Istnieje ´scisły zwiazek: funkcja falowa - wektory, operatory - macierze. Mamy: 

(A|v〉)i = 

aijvj, (139) 

narzucaj ˛ac ci ˛agło´sć wska´znika otrzymujemy: 

( ˆ 

Θψ)(r) = 

j 

d3r ′ W (r, r ′ )ψ(r ′ ). (140) 

Dotychczas u˙zywali´smy wył ˛acznie operatorów mno˙zenia i ró˙zniczkowania. Warto sobie zadać pytanie: jaka jest 

najogólniejsza postać operatora? Odpowied´z: (140). W (r, r ′ ) uto˙zsamia si˛e zatem z elementem macierzowym 

operatora. 

1. Operator poło˙zenia (‘w stylu’ mno˙zenia): 

 

d 3 r ′ W (r, r ′ )ψ(r ′ ) = 21 

 

2. Operator p˛edu (‘w stylu’ ró˙zniczkowania): 

 

d 3 r ′ W (r, r ′ )ψ(r ′ ) = 22 

 

20 okazuje si˛e, ˙ze Schrödinger miał swojego kota, za´s Dirac swojego keta (przyp. R.K.) 

21 jest to równo´sć przez zgadywanie (zapostulowanie) 

22 j.w. 

d 3 rδ3(r − r ′ )V (r)ψ(r ′ ) = V (r)ψ(r). (141) 

d 3 r(iℏ)δ ′ (x − x ′ )δ(y − y ′ )δ(z − z ′ )ψ(r ′ ) =


 

= 

dx ′ (iℏ)δ ′ (x − x ′ )ψ(x ′ , y, z) = {całkowanie przez cz˛e´sci} = 

 

= − 

dx ′ (iℏ)δ(x − x ′ ) ∂ψ(x′ , y, z) 

∂x ′ 

= −iℏ ∂ψ 

. (142) 

∂x 

Uwaga o dystrybucjach: dystrybucje s ˛a to uogólnione funkcje. Na przykład dystrybucja daje si˛e wsz˛edzie zró˙zniczkować 

∞ ilo´sć razy. Wszystkie operacje nielegalne dla funkcji robimy na dystrybucjach. 

A co z ró˙zniczkowaniem dystrybucji? δ ′ (x − x ′ ) =? . . . 

 

dx ′ δ(x − x ′ )f(x ′ ) =: f(x), 

 

dx ′ δ ′ (x − x ′ )f(x ′ ) =: 

 

dx ′ dδ(x − x′ ) 

dx ′ f(x ′ 

) = − 

10.4 Uwagi rozmaite w obrazie Heisenberga 

Zachodzi to˙zsamo´sć zapisów: 

Au = v ⇔ aijuj = vi ⇔ A|u〉 = |v〉. 

dx ′ δ(x − x ′ )f ′ (x) = f ′ (x). 

Dla wektorów z przestrzeni Hilberta o bazie dyskretnej ich iloczyn skalarny jest sumowaniem po wska´zniku 

naturalnym: 

〈u|v〉 = u ∗ i vi. 

Dla wektora z przestrzeni Hilberta o bazie ci ˛agłej ich iloczyn skalarny jest sumowaniem po wska´zniku ci ˛agłym 

(w tym przypadku: po r): 

 

〈ψ1|ψ2〉 = d 3 rψ ∗ 1(r)ψ2(r). 

Warto´sć ´srednia operatora w notacji braketowej wyra˙za si˛e tak: 

〈ψ| ˆ Θ|ψ〉 = 〈 ˆ Θ〉 = d 3 rψ ∗ ˆ Θψ 

Ka˙zd ˛a funkcj˛e falow ˛a daje si˛e rozło˙zyć na sum˛e wektorów bazy z odpowiednimi wpółczynnikami: 

ψ(x) = 

∞ 

cnϕn(x). 

W notacji braketowej wygl ˛ada to tak (trzeba pami˛etać, i˙z jest to jedynie inna forma zapisu!): 

|ψ〉 = 

cn|n〉. 

n=0 

Współczynnik cm mo˙zna wyliczyć z nast˛epuj ˛acego wzoru: 

 

cm = dxϕ ∗ m(x)ψ(x), 

co znajduje swoje uzasadnienie, daj ˛ace si˛e prosto przedstawić w notacji braketowej: 

〈m|ψ〉 = 

= 

cnδnm = cm. 

n 

n 

cn 〈m|n〉 

 

= dxϕ ∗ m ϕn 

Co to jest wektor bazy poło˙zenia |x〉? Jest to delta Diraca: 

n 

|x〉 := δ(x − x ′ ).


Ogólnie mamy: 

〈x|ψ〉 = 

cn〈x|n〉. 

n 

Przy korzystaniu z braketów przydatna jest znajomo´sć nast˛epuj ˛acego wzoru (zachodz ˛acego przy sumowaniu po 

bazach zupełnych): 

1 = 

|n〉〈n|. 

Przykład (dlaN := dim 

H = 2): 

1 

0 

|e1〉 = |1〉 = , |e2〉 = |2〉 = , 〈1| = (1, 0), 〈2| = (0, 1). 

0 

1 

 

1 

1 0 

0 

0 0 

St ˛ad: |1〉〈1| = (1, 0) = , |2〉〈2| = (0, 1) = 

0 

 

0 

 

0 

1 

0 1 

1 0 

Zatem: |1〉〈1| + |2〉〈2| = . 

0 1 

Faktem jest, i˙z dla bazy dyskretnej mamy: 〈n|m〉 = δnm, za´s dla bazy ci ˛agłej: 〈ψ(r)|ψ(r ′ )〉 = δ(r − r ′ ). 

Ka˙zdy operator daje si˛e zamienić na nieskończon ˛a macierz: 

〈n| ˆ 

Θ|m〉 = 

10.4.1 Wypisy z Schiffa 

23 Twierdzenie spektralne: 

Mo˙zna je zapisać w dowolnej bazie (np. r ′ ): 24 

n 

 

. 

dx ′ ϕ ′ n(x)Θ(x, x ′ )ϕm(x ′ )dx = ˆ Θnm. 

Ω|µ〉 = ωµ|µ〉. 

Sr ′〈r|Ω|r ′ 〉〈r ′ |µ〉 = ωµ〈r|µ〉. 

Tak jak i ka˙zdy abstrakcyjny wektor stanu mo˙zna zapisać w jakiej´s konkretnej bazie 〈α|: 

Poniewa˙z obowi ˛azuje ogólny wzór: 

|µ〉 = Sα|α〉〈α|µ〉. 

Sx|x〉〈x| = 1, (143) 

to mo˙zna dowolnie bawić si˛e bazami - czy to dyskretnymi, czy to ci ˛agłymi: 

 

Sµ〈k|µ〉〈µ|l〉 = 〈k|l〉 = Sr〈k|r〉〈r|l〉 = drϕ ∗ k(r)ϕl(r). 

Twierdzenie spektralne dla p˛edu wygl ˛ada tak: 

px|p〉 ˆ = p|p〉, gdzie |p〉 to funkcje własne operatora p˛edu. 

Mo˙zna powy˙zsze równanie “uzupełnić” baz ˛a poło˙zeń: 

〈r| px|p〉 ˆ = p〈r|p〉. 

Rozwi ˛azaniem powy˙zego równania, b˛ed ˛acego w istocie pytaniem o elementy macierzy przej´scia pomi˛edzy baz ˛a 

poło˙zeń a baz ˛a p˛edów, jest nast˛epuj ˛aca równo´sć, wynikaj ˛aca (w jednym z uj˛eć 25 ) z własno´sci transformaty Fouriera 

dla poło˙zeń i p˛edów: 

ψp(r) = 1 ipx 

e ℏ . 

(2π) 3 

23 L. J. Schiff - "Quantum Mechanics", rozdział 6: "Matrix Formulation of Quantum Mechanics", str. 148-186 

24S ∈ { , }, w zale˙zno´sci od potrzeb 

25 W tym sensie, ˙ze istnieje pewna arbitralno´sć konstruowania aksjomatyki mechaniki kwantowej jako teorii matematycznej. (przyp. R.K.)


A teraz nieco drobnych wariacji omówionych ju˙z spraw: 

ψα(x) = 〈x|α〉, 

ψα(x) = 

∞ 

cnϕn(x), 

n=0 

 

〈n|α〉 = 〈n|1|α〉 = Sα〈n|x〉〈x|α〉 = dxϕ ∗ n(x)ψα(x), 

|n〉 ∼ = (a † ) n |0〉. 

10.5 Operatorowe rozwiazanie ˛ równania Schrödingera 

Równanie Schrödingera w notacji braketowej wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: 

Jego rozwi ˛azanie za´s: 

Przypu´sćmy: H|n〉 = Wn|n〉. Wówczas: 

iℏ d 

dt |α〉 = ˆ H|α〉. 

|α(t)〉 = e −i ˆ Ht 

ℏ |α(t = 0)〉. 

〈n|α(t)〉 = 〈n|e −i ˆ Ht 

ℏ |α(t = 0)〉 = 〈n|e −i ˆ Ht 

ℏ |α(t = 0)〉 = e −i ˆ Ht 

ℏ 〈n|α(t = 0)〉, 

bowiem 〈n|e −i ˆ Ht 

ℏ = 〈n|e −iEnt 

ℏ . Ostatecznie mamy wi˛ec: 

11 Symetrie 

11.1 Tradycyjne jak gdyby przypomnienie 

Pracujemy na sferze w przestrzeni Hilberta. 

|α(t)〉 = Sn|n〉〈n||α(t)〉 = Sne −i ˆ Ht 

ℏ |n〉〈n|α(t = 0)〉. 

ψ(r) = 〈r|ψ〉 

ρ = |〈r|ψ〉| 2 

ρ = 〈ψ|r〉〈r|ψ〉 

〈 ˆ θ〉 = 〈ψ| ˆ θ|ψ〉 

ˆθ|λ〉 = λ|λ〉, λ ∈ R 

iℏ d 

dt |α(t)〉 = ˆ H|α(t)〉


11.2 Najgł˛ebsze twierdzenie fizyki: Twierdzenie Noether 

Dla ka˙zdej symetrii ci ˛agłej istniej ˛a pewne warto´sci zachowane. Na przykład: definicja˛ energii jest: stała zachowana 

dla układów, które s ˛a niezmiennicze wzgl˛edem przesuni˛eć w czasie. W mechanice kwantowej energia jest tak˙ze 

stał ˛a separacji: 

|E〉 : H|E〉 = E|E〉. 

Jak przechodzić z symetrii na r do symetrii na ψ? 

〈r|α(t)〉 = e −iEt/ℏ 〈r|E〉 = e −iEt/ℏ φE(r). 

ψα(r) → ψα ′(r), 

ψα ′(r + ϱ) = ψα(r). 

Szukamy operatora unitarnego 26 , który przekształca jedn ˛a funkcj˛e falow ˛a w drug ˛a, odpowiadaj ˛ac tym samym za 

przesuni˛ecie w przestrzeni. 

U(ϱ)ψα(r) = ψα ′(r) = ψα(r − ϱ), 

dla ϱ ≪ 1: 

Operator p˛edu jest generatorem przesuni˛ecia w r: 

ψα ′(r) = ψα(r − ϱ) ψα(r) − ϱ (∇ψα) 

 

to prawie operator p˛edu 

+ . . . 

ψα(r − ϱ) = ψα(x − ϱ, y, z) = ψα(x, y, z) − ϱ d 

1! dx ψα + ϱ2 

2! 

∞ 

 

n d (−ϱ) 

= 

n=0 

n 

dxn 

ψα = exp −ϱ 

n! 

d 

 

ψα = exp − 

dx 

iϱpx 

 

ψα. 

ℏ 

 

U(ϱ) = exp − −iϱpx 

 

≈ 1 − 

ℏ 

iϱp 

ℏ . 

Fakt: U = e iH , U - operator unitarny, H - operator hermitowski. 

d 2 

dx 2 ψα + . . . = 

Grupa wszystkich dowolnych przesuni˛eć to trójparametrowa grupa przemienna. Operatory odpowiadaj ˛ace małym 

(ró˙zniczkowym) przesuni˛eciom s ˛a proste, za´s operatory odpowiadaj ˛ace du˙zym przesuni˛eciom s ˛a trudne. P˛ed jest 

zachowany dla układów, które s ˛a niezmiennicze wzgl˛edem przesuni˛ecia. Hamiltonian jest generatorem przesuni˛ecia 

w czasie, natomiast p˛ed jest generatorem przesuni˛ecia w przestrzeni. 

11.3 Grupa obrotów 

⎛ 

⎝ xR 

yR 

zR 

ψ(r1, r2) = e iPR ϕ(r). 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

a b c 

d e f 

g h i 

⎞ ⎛ 

⎠ ⎝ x 

⎞ 

y ⎠ 

z 

Obroty nie s ˛a przemienne. Mówi si˛e, ˙ze grupa obrotów jest nieabelowa. Obracamy teraz funkcj˛e falow ˛a... Do 

obrotu wykorzystujemy taki operator ˆ R, ˙ze dowolny wektor r przechodzi w wektor ˆ Rr: 

dla |ϕ| ≪ 1: 

r → ˆ Rr, 

ψα ′(rR) = ψα ′( ˆ Rr) = ψα(r), 

rR r + ϕ × r. 

26 operator unitarny to taki, dla którego U −1 = U † , inaczej mówi ˛ac: UU † = U † U = 1


To jest wła´snie przepis na grup˛e obrotów dla małych obrotów. St ˛ad mamy: 

⎛ 

⎝ xR 

yR 

⎞ ⎛ 

⎠ ⎝ 1 −ϕz 

ϕz 1 

ϕy 

−ϕx 

⎞ 

⎠ 

−ϕy ϕx 1 

zR 

UR(ϕ)ψα(r) = ψα(R −1 r) ψα(r − ϕ × r) ψα(r) − (ϕ × r)(∇ψα) = ψα(r) − ϕ(r × ∇)ψα, 

UR(ϕ) = 1 − i 

ℏ ϕL. 

Generatorem obrotów jest moment p˛edu. St ˛ad przy obrotach jest on zachowany. Generatory grupy obrotów: 

Jakie s ˛a warto´sci własne dla J 2 i J? ([J 2 , J] = 0). 

Definiujemy dwa nowe operatory niehermitowskie: 

St ˛ad: 

Spektrum Jz wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛aco: 

[Jx, Jy] = iℏJz, [Jy, Jz] = iℏJx, [Jx, Jz] = −iℏJy. 

J+ = Jx + Jy, 

J− = Jx − Jy. 

[J±, J 2 ] = 0, (144) 

[Jz, J+] = ℏJ+, (145) 

[Jz, J−] = −ℏJ−, (146) 

[J+, J−] = 2ℏJz. (147) 

Jz|jm〉 = ℏm|jm〉, 

J 2 |jm〉 = ℏ 2 f(j)|jm〉, 

〈jm|J 2 |˜j ˜m〉 = 〈jm|ℏ 2 f(˜j)|˜j ˜m〉 = ℏ 2 f(˜j)〈jm|˜j ˜m〉 = ℏ 2 f(˜j)δ j˜j δm ˜m, 

〈jm|Jz|˜j ˜m〉 = ℏmδ j˜j δm ˜m. 

W reprezentacji jm, poniewa˙z wyst ˛apiły delty, J 2 i Jz s ˛a diagonalne. Rozpisujemy teraz komutator (145): 

JzJ+ − J+Jz = ℏJ+ 

1 = 

|ñ ˜m〉〈˜j ˜m| 

˜j ˜m 

〈jm|JzJ+|˜j ˜m〉 − 〈jm|J+Jz|˜j ˜m〉 = ℏ〈jm|J+|˜j ˜m〉 = 

= 

(〈jm|Jz|˜j ˜m〉〈˜j ˜m|J+|˜j ˜m〉 − 〈jm|J+|˜j ˜m〉〈˜j ˜m|Jz|˜j ˜m〉) = 

˜j ˜m 

= ℏ〈jm|J+|˜j ˜m〉 

ℏm〈jm|J+|˜j ˜m〉 − ℏ ˜m〈jm|J+|˜j ˜m〉 = ℏ〈jm|J+|˜j ˜m〉 

〈jm|J+|˜j ˜m〉(m − ˜m − 1)ℏ = 0 

〈jm + 1|J+|jm〉 = ℏλm 

Analogicznie po rozpisaniu komutatora (146) otrzymujemy: 

〈jm|J−|j, m + 1〉 = ℏλ ∗ m.


Widać podobieństwo do operatorów kreacji i anihilacji. 

J+J− − J−J+ = 2ℏJz, 

|λm−1| 2 − |λm| 2 = 2m, 

|λm| 2 = |λm−1| 2 − 2m. 

Jest to iloraz ró˙znicowy. Rozwi ˛azaniem tego równania jest: 

|λm| 2 = C − m(m + 1). 

Dla małych i dla du˙zych m to wyra˙zenie jest bezsensowne. 

m1,2 = − 1 1√ 

± 1 + 4C, 

2 2 

m2 = −m1 − 1. 

m-y ró˙zni ˛a si˛e o liczb˛e całkowit ˛a. Dozwolone s ˛a tylko warto´sci: −m1, −m1 + 1, . . . , m1. 

J 2 = J+J− + J 2 z , 

〈jm|J 2 |jm〉 = −ℏ 2 m1(m1 + 1). 

Zatem mo˙zliwe warto´sci momentu p˛edu to m1 ∈ −j, . . . , +j. Jakie s ˛a dopuszczalne warto´sci j? — Dopuszczalne 

s ˛a: 

j = 1/2 — wtedy: m = −1/2, 1/2, 

j = 3/2 — wtedy: m = −3/2, −1/2, 1/2, 3/2. 

Jak rozpoznać połówkowe warto´sci momentu p˛edu? 

11.4 Spin 

Trzeba zbudować operator, który nie wynika z mechaniki klasycznej, bowiem trzeba opisać jako´s wewn˛etrzny 

moment p˛edu elektronu. Spin - cecha charakterystyczna obiektu, tak jak masa, ładunek. Jego istnienie potwierdził 

eksperyment Sterna-Gerlacha 27 . 

Postulujemy operatory s o relacjach: 

Zatem: 

ψ(r, sz = 

[sx, sy] = iℏsz (oraz cykliczne). 

ℏ/2 

−ℏ/2 

 

 

ψ1(r, ℏ/2) 

) = ψ(r, sz) = 

ψ2(r, −ℏ/2) 

27 Gerlach potem zało˙zyl firm˛e produkuj ˛ac ˛a bardzo dobre scyzoryki i sztućce... (przyp. R.K.) 

 

,


p↑ = 

p↓ = 

 

 

d 3 r|ψ(r, ℏ/2)| 2 , 

d 3 r|ψ(r, −ℏ/2)| 2 . 

Trzeba wymy´sleć pewn ˛a macierz... Na szcz˛e´scie zrobił to Pauli: 

σx = 

0 1 

1 0 

Macierze te spełniaj ˛a relacj˛e komutacji. 

12 Rachunek zaburzeń 

12.1 Troch˛e z tego, co ju˙z było 

 

σy = 

s = ℏ 

2 σ. 

 

0 −i 

i 0 

σz = 

1 0 

0 −1 

Od tej pory mówi ˛ac o cz ˛astce b˛edziemy rozpatrywać elektron. W funkcji falowej uwzgl˛ednimy istnienie spinu 28 

ψ(r, sz), gdzie sz = ± 1 

2 ℏ: 

ψ(r, sz) = 

Reprezentacja macierzowa operatora spinu: 

1. dla spinu połówkowego s = 1 

2 

σx = 

ψ↑(r) 

ψ↓(r) 

 

= 

1 ℏσ = 2ℏ[σx, σy, σz]: 

 

0 

1 

 

1 

0 

σy = 

2. dla spinu całkowitego, np: s = 1: 

σx = ℏ ⎛ 

0 

√ ⎝ −1 

2 0 

−1 

0 

1 

⎞ 

0 

1 ⎠ 

0 

σy = iℏ 

⎛ 

√ ⎝ 

2 

ψ1(r, sz = ℏ/2) 

ψ2(r, sz = −ℏ/2) 

0 −i 

i 0 

 

σz = 

0 1 0 

−1 0 −1 

0 1 0 

⎞ 

 

. 

 

. 

1 0 

0 −1 

 

, 

⎛ 

⎠ σz = ℏ ⎝ 

1 0 0 

0 0 0 

0 0 −1 

Operator spinu jest pierwszym operatorem, dla którego nie ma analogu klasycznego. Działanie operatora spinu na 

funkcj˛e falow ˛a (zapis formalny): 

szψ = ℏ 

 

1 0 ψ↑(r) 

= 

2 0 −1 ψ↓(r) 

ℏ 

 

ψ↑(r) 

. 

2 −ψ↓(r) 

Normalizacja funkcji falowej ze spinem: 

1 = 

 

G˛esto´sć prawdopodobieństwa: 

28 lub, jak kto woli, ‘kr˛etu’. 

sz=±ℏ/2 

d 3 r|ψ(r, sz)| 2 = 

ϱ(r) = |ψ↑(r)| 2 + |ψ↓(r)| 2 , 

 

d 3 r(|ψ↑| 2 + |ψ↓| 2 ). 

⎞ 

⎠ .


Warto´sć ´srednia operatora sz: 

〈sz〉 = 

 

sz 

= ℏ 

 

2 

P↑ = 

P↓ = 

d 3 rψ ∗ (r, σz)szψ(r, σz) = 

 

 

 

d 3 r(|ψ↑| 2 − |ψ↓| 2 ) = ℏ 

2 ( 

 

12.2 Metody rachunków przybli˙zonych 

d 3 r|ψ↑| 2 , 

d 3 r|ψ↓| 2 . 

d 3 rψ † szψ = ℏ 

 

2 

d 3 r|ψ↑| 2 ) − ( ℏ 

 

2 

d 3 r ψ ∗ ↑ 

ψ∗ ↓ 

ψ↑ 

d 3 r|ψ↓| 2 ). ( 29 ) 

Mechanika kwantowa i klasyczna posiada wiele problemów dla których nie da si˛e znale´zć ´scisłego rozwi ˛azania. 

Jednak te zagadnienia, które posiadaj ˛a ´scisłe rozwi ˛azania, stanowi ˛a punkt wyj´scia dla rachunków przybli˙zonych. 

12.2.1 Metoda wariacyjna Ritza 

Metoda wariacyjna jest stosowana do przybli˙zonego wyznaczania najni˙zszego stanu energetycznego. Z rozwi ˛azania 

równania własnego: 

ˆHun = Enun, 

otrzymujemy funkcje un 

tworz ˛ace baz˛e. Dodatkowo ka˙zd ˛a funkcj˛e falow ˛a mo˙zna zapisać nast˛epuj ˛aco: ψ = 

∞ 

n=0 cnκn. Wówczas: 

〈ψ|H|ψ〉 = 

c ∗ m〈um| H|κn〉 cn = 

= 

|cn| 2 En, 

n,m 

 

En|un〉 

n,m 

Metoda ta wymaga du˙zej intuicji w wybieraniu funkcji falowej. 

12.2.2 Problem atomu helu - szukanie stanu podstawowego 

c ∗ mEncn 〈um|un〉 

 

δnm 

n 

−ψ↓ 

 

= 

〈ψ|H|ψ〉 E0. (148) 

Atom helu składa si˛e z j ˛adra o ładunku +2e otoczonego przez dwa elektrony, jego hamiltonian ma nast˛epuj ˛ac ˛a 

postać: 

H = − ℏ2 

2m (∇2 1 + ∇ 2 2) − Zα 

r1 

− Zα 

r2 

+ α 

. (149) 

r12 

Rozwi ˛azanie dla powy˙zszego hamiltonianu wcale nie jest takie trywialne, ale mo˙zna przeprowadzić pewien 

eksperyment my´slowy i poczynić pewne zało˙zenia. Gdyby w hamiltonianie nie wyst˛epował człon α zwi ˛azany z 

r12 

odziaływaniem obu elektronów, to wtedy funkcja falowa byłaby iloczynem dwóch funkcji falowych: 

 

(− Z 

 

)(r1 + r2) = u0(r1)u0(r2). 

Rozpatruj ˛ac atom wodoru wiemy, ˙ze: 

ψ(r1, r2) = Z3 

πa3 exp 

0 

E H k = α 

2a0 

a0 

; E H pot = − α 

a0 

 

π 

; ψ = e −r/a0 . 

29 Czyli całkujemy cały “spin w gór˛e” po przestrzeni, a potem odejmujemy od tego cały “spin w dół”. Wychodzi z tego ´sredni spin, np. 0ℏ. 

(przyp. R.K.) 

a 3 0


Powy˙zsze zale˙zno´sci dotycz ˛a jednego elektronu, ale po przeskalowaniu mo˙zna je zapisać dla dwóch elektronów: 

Ek = 2 × αZ2 

; Epot = 2 × − 

2a0 

2αZ 

. 

a0 

Energia odziaływania dwóch elektronów wynosi: E12 = 5Zα 

8a0 . 

´Srednia warto´sć Hamiltonianu: 

〈H〉 = αZ2 

a0 

− 4αZ2 

a0 

+ 5αZ2 

8a0 

= α 

(Z 

a0 

2 − 27 

8 Z). 

Minimum wyst˛epuje dla Z = 1.7, czyli 〈H〉pot = −2.85( α 

a0 ), a energia wi ˛azania helu wynosi EHe = −2.904( α 

a0 ). 

Wiadomo, ˙ze elektrony musz ˛a poruszać si˛e w sposób skorelowany, a rozpatrywana funkcja falowa tego nie 

uwzgl˛ednia, jednak i tak dokładno´sć uzyskanego wyniku jest bardzo du˙za (niepewno´sć rz˛edu 2 procent). 

12.3 Rachunek zaburzeń niezale˙zny od czasu 

Działamy hamiltonianem H na funkcj˛e falow ˛a ψ i otrzymujemy odpowiadaj ˛acy jej poziom energetyczy W : 

Zakładamy, ˙ze: 

Hψ = W ψ; gdzie H = H0 

 

+ H 

niezaburzony 

′ 

 

. 

poprawka 

H0un = Enun. 

Wprowadzamy teraz parametr λ i rozwijamy H w szereg Taylora. Poprawka jest analityczn ˛a funkcj ˛a λ: 

W = W0 + λW1 + λ 2 W2 + λ 3 W3 + . . . 

ψ = ψ0 + λψ1 + λ 2 ψ2 + . . . 

Funkcj˛e rozwijamy do tego stopnia, do którego chcemy mieć dokładno´sć w obliczeniach: 

Hψ = (H0 + λH ′ )(ψ0 + λψ1 + λ 2 ψ2) = (W0 + λW1 + λ 2 W2)(ψ0 + λψ1 + λ 2 ψ2) = 

• wyrazy rz˛edu ’0’: 

• wyrazy z λ (czyli rz˛edu 1): 

• wyrazy z λ 2 (czyli rz˛edu 2): 

Załó˙zmy, ˙ze ψ0 jest jak ˛a´s funkcj ˛a um: 

H0ψ0 + H0λψ1 + H0λ 2 ψ2 + λH ′ ψ0 + λ 2 H ′ ψ1 + λ 3 H ′ ψ3. 

H0ψ0 = W0ψ0, (150) 

(H0 − W0)ψ1 = (W1 − H ′ )ψ0, (151) 

(H0 − W0)ψ2 = (W1 − H ′ )ψ1 + W2ψ0. (152) 

ψ0 = um; W0 = Em. 

Chcemy teraz uzyskać funkcje ortogonalne, wi˛ec odpowiednio przetransponujemy ψ1 przez dodanie do niej ψ0, 

(ψ1 → ψ1 + αψ0): 

〈ψs|ψ0〉 = 0; s = 0,


a nast˛epnie rozwiniemy funkcj˛e falow ˛a w szereg ψ1 = 

n anun: 

Ostatecznie: 

〈um|(H0 − Em)|ψ1〉 

 

0 

(H0 − W0)ψ1 = (W1 − H ′ )ψ0, 

= 〈um|(W1 − H ′ )|ψ0〉 = 〈um|um〉 

W1 = 〈um|H ′ |um〉. 

 

1 

W1 − 〈um|H ′ |um〉. 

Wyznaczenie zmian energii jest zawsze dokładniejsze, ni˙z wyznaczenie zmian funkcji falowej. 

13 Rachunek zaburzeń – ciag ˛ dalszy 

13.1 Ciag ˛ dalszy z poprzedniego wykładu 

H = H0 + λH ′ , 

Hψ = W ψ, 

H0um = emum ⇔ H0|m〉 = Em|m〉, 

(H0 + λH ′ )(ψ0 + λψ1 + λ 2 ψ2 + . . .) = (W0 + λW1 + λ 2 W2 + . . .)(ψ0 + λψ1 + λ 2 ψ2 + . . .). (153) 

H0ψ0 = W0ψ0. 

Zakładamy, ˙ze ψ0 = um (konkretne - np. robimy rachunek zaburzeń dla siódmego stanu), W0 = Em. Wypisujemy 

człony równania (153) stoj ˛ace przy tych samych pot˛egach λ: 

Z (155) mamy: 

Obkładamy to stanem 〈m|: 

Drugi rz ˛ad rachunku zaburzeń: 

Szukamy a (1) 

n : z (155) mamy: 

〈k|: 

(H0 − W0)ψ0 = 0, (154) 

(H0 − W0)ψ1 = (W1 − H ′ )ψ0, (155) 

(H0 − W0)ψ2 = (W1 − H ′ )ψ1 + W2ψ0. (156) 

(H0 − W0)ψ1 = (W1 − H ′ )ψ0. 

0 = W1 − 〈m|H ′ |m〉, 

W1 = 〈m|H ′ |m〉. 

(H ′ − W1)ψ1 = W2ψ0. 

〈m|(H ′ − W1)|ψ1〉 = W2, 

〈m|H ′ |ψ1〉 = W2, 

W2 = 〈m|H 

′Sna 

(1) 

n |un〉. 

(H0 − E0)ψ1 = (W1 − H ′ )ψ0. 

(H0 − Em)ψ1 = W1um − H ′ um. 

(H0 − Em)Sna (1) 

n |n〉 = W1|m〉 − H ′ |m〉. 

〈k|(En − Em)Sna (1) 

n |n〉 = W1〈k|m〉 − 〈k|H ′ |m〉. 

a (1) 

k 

= 〈k|Sna (1) 

n |n〉 = − 〈k|H′ |m〉 

En − Em 

= 〈k|H′ |m〉 

. 

Em − En


Podstawiamy, otrzymuj ˛ac ostatecznie wzór na poprawk˛e do energii w drugim rz˛edzie rachunku zaburzeń bez 

degeneracji i bez czasu: 

W2 = 〈m|H 

′Sna 

(1) 

n |n〉 = 〈m|H ′Sn 

Em − En 

〈n|H ′ |m〉 

|n〉 = Sn,n=m 

|〈m|H ′ |n〉| 2 

Em − En 

. (157) 

Przyjmujemy, ˙ze 〈ψ0|ψs〉 = 0 dla s > 0, czyli, ˙ze poprawka do funkcji falowej jest do niej ortogonalna. Dla 

ka˙zdego s: 

We´zmy teraz stan końcowy 〈k|: 

Ostatecznie: 

Czyli: 

〈H ′ 〉 = 〈ψ0|H ′ |ψs−1〉 

, 

〈ψ0|ψ0〉 

〈ψ0|(H0 − W0)|ψ1〉 = 〈ψ0|(W1 − H ′ )|ψ0〉, 

0 = W1〈ψ0|ψ0〉 − 〈ψ0|H ′ |ψ0〉, 

W1 = 〈ψ0|H ′ |ψ0〉 = 〈m|H ′ |m〉, 

ψ1 = Sn,n=ma (1) 

n un(r), 

(H0 − W0)ψ2 = W1ψ0 − H ′ ψ0, 

(H0 − Em)Sn=ma (1) 

n un(r) = W1um − H ′ um, 

Sn=ma (1) 

n (H0 − Em)|n〉 = W1|m〉 − H ′ |m〉, 

Sn=ma (1) 

n (En − Em)|n〉 = W1|m〉 − H ′ |m〉. 

Sn=ma (1) 

n (En − Em)〈k|n〉 = W2〈k|m〉 − 〈k|H ′ |m〉, 

a (1) 

k (Ek − En) = −〈k|H ′ |m〉. 

a (1) 

k = 〈k|H′ |m〉 

, 

Em − Ek 

W2 = 〈ψ0|H ′ |ψ1〉 = 〈m|H ′Sn=m 

Em − En 

〈n|H ′ |m〉 

|n〉 = Sn=m 

〈m|H 

W2 = Sn=m 

′ |n〉〈n|H ′ |m〉 

Em − En 

|〈m|H ′ |n〉| 2 

Em − En 

. 

. (158) 

Cz˛esto zdarza si˛e, ˙ze zaburzenie w pierwszym rz˛edzie wynosi zero. Wówczas trzeba liczyć dalej. Poprawka w 

drugim rz˛edzie rachunku zaburzeń jest zawsze ujemna. Z poprawk ˛a w pierwszym rz˛edzie ró˙znie to bywa. 

W (0) 

2 

13.2 Znoszenie degeneracji przez zaburzenie 

|〈0|H 

= Sn=0 

′ |n〉| 2 

< 0. 

E0 − En 

Powy˙zsze formuły nie działaj ˛a w przypadku degeneracji. Zaburzenie na ogół znosi degeneracj˛e. Warunek konieczny 

i dostateczny usuni˛ecia degeneracji w dowolnym okre´slonym rz˛edzie rachunku zaburzeń: 

• nierówno´sć diagonalnych elementów macierzowych operatora H ′ mi˛edzy dwoma zdegenerowanymi stanami 

niezburzonymi, 

• nieznikanie pozadiagonalnych elementów macierzowych operatora H ′ w tych stanach.


Mamy dwa stany: um, ul : Em = El, 〈l|H ′ |m〉 = 0. Wyj´sciowa funkcja jest kombinacj ˛a liniow ˛a: ψ0 = amum + 

alul. 

“Obkładamy” to stanem 〈m|: 

(H0 − W0)ψ0 = (W1 − H ′ ψ0), 

(H0 − W0)|ψ1〉 = (W1 − H ′ )(am|m〉 + al|l〉). 

〈m|(H0 − W0)|ψ1〉 = W1am〈m|m〉 + W1al〈m|l〉 − 〈m|H ′ |m〉am − 〈m|H ′ |l〉al, 

Zaburzenie znosi degeneracj˛e! 

13.2.1 Przykład 

0 = W1am − 〈m|H ′ |m〉am − 〈m|H ′ |l〉al, 

 

′ 〈m|H |m〉 − W1 〈m|H ′ |l〉 

〈l|H ′ |m〉 〈l|H ′ 

am 

= 

|l〉 − W1 al 

Hamiltonian dla cz ˛astki w polu magnetycznym przedstawia si˛e nast˛epuj ˛aco: 

0 

0 

H = 1 e 

(p − 

2m c A)2 + V (r). (159) 

A jest potencjałem wektorowym pola magnetycznego. Zachodzi oczywisty wzór: B = ∇ × A. Przy takim jego 

okre´sleniu mamy pewn ˛a dowolno´sć (w wyborze cechowania). My dokonamy wyboru potencjału symetrycznego: 

Rozpisuj ˛ac wzór (159) otrzymujemy: 

Czyli: 

A = 1 

B × r. 

2 

H = 1 

2m (p 2 − e e e2 

pA − Ap + 

c c c2 A 2 ). 

H = 1 

2m (p 2 − 2e e2 

Ap + 

c c2 A 2 ) + V (r). 

Rozpatrujemy teraz tylko pierwszy rz ˛ad, traktuj ˛ac A jako parametr: 

B˛edziemy teraz liczyć elementy macierzowe: 

H ′ = − e −e 

e 

Ap = (B × r)p = 

mc 2mc 2mc BL. 

|n, l, ˜m〉 −→ fnl(r)Ylm(τ, ϕ), 

〈n, l, ˜m|H ′ |n, l, ˜m〉 = 〈n, l, ˜m|Lz|n, l, ˜m〉 eB 

2mc 

Zdegenerowanie zostaje rozszczepione. 

14 Przybli˙zenie półklasyczne 

14.1 Przybli˙zenie WKB 

 

. 

= 〈n, l, ˜m|n, l, ˜m〉eBℏ ˜m 

2mc . 

Przybli˙zenie półklasyczne Wentzla-Kramersa-Brillouina, jest metod ˛a przybli˙zonego rozwi ˛azywania równania Schrödingera, 

któr ˛a mo˙zna stosować dla problemów bliskich problemom klasycznym. 30 W praktyce okazuje si˛e jednak, ˙ze ta 

30 Czyli takim, które opisane s ˛a za pomoc ˛a bardzo du˙zych liczb kwantowych.


metoda daje bardzo dobre rezultaty zarówno w przypadkach klasycznych jak i w kwantowych. Metoda opiera 

si˛e na rozwini˛eciu funkcji falowej wzgl˛edem pot˛eg ℏ, ale rozwini˛ecie to nie zawsze jest zbie˙zne i ma charakter 

asymptotyczny. Rozwa˙zmy równanie Schrödingera: 

gdzie 

− ℏ2 

2m u′′ (x) + V (x)u(x) = Eu(x), (160) 

u(x) = exp( iS(x) 

). (161) 

ℏ 

Musimy przerobić tak równanie (160), ˙zeby było zale˙zne od S. Liczymy ró˙zniczki (161) i wstawiamy do (160): 

u ′′ = u( iS′′ 

u ′ = u( iS′ 

ℏ ), 

+ (iS′ 

ℏ ℏ )2 ) = u( iS′′ S′2 

− ), 

ℏ ℏ2 ′′ iℏS 

u + 

2m 

u(S′ ) 2 

+ uV = Eu, (162) 

2m 

iℏS ′′ + (S ′ ) 2 = (E − V )2m. (163) 

Teraz do równania (163) wstawiamy rozwini˛ecie S według kolejnych pot˛eg ℏ: S = S0 + ℏS1 + ℏ 2 S2 + . . . 

Zajmujemy si˛e rozwi ˛azaniem tylko do drugiego rz˛edu: 

Pomijamy człony bez ℏ: 

iℏ(S ′′ 

0 + S ′′ 

1 ℏ) + (S ′ 0 + ℏS ′ 1) 2 = p 2 (x), 

(S ′ 0) 2 = p 2 (x) ⇒ S ′ x 

0 = ±p(x) ⇒ S0 = ± 

P˛ed mo˙zna wyrazić za pomoc ˛a liczby falowej k = p 

ℏ . Wtedy S0: 

Znaj ˛ac S0 wyznaczamy S1: 

S0 = ± 1 

ℏ 

x 

x0 

dx k(x). 

x0 

dxp(x). 

−iS ′′ 

0 + 2S ′ 0S ′ 1 = 0, gdzie S ′ 0 = p(x), S ′′ 

0 = p ′ (x), 

S ′ 1 = i p 

2 

′ (x) i 

= 

p(x) 2 

S1 = i 

2 ln(p(x)). 

Zapisuj ˛ac rozwi ˛azanie w postaci eksponencjalnej: 

e iS1 1 − 

= e 2 ln p(x) = 

14.2 Warunek na kwantyzacj˛e półklasyczna˛ d 

dx ln(p(x)), 

1 

p(x) . 

Cz ˛astka w odpowiednim ruchu klasycznym wykonuje oscylacje mi˛edzy punktami zwrotnymi x1 i x2. Jest to ruch 

po całym okresie, a warunek na kwantyzacj˛e jest nast˛epuj ˛acy: 31 

31 pojawia si˛e tu h nie ℏ i wcale to nie jest bł ˛ad! 

x2 

x1 

dxpE(x) − π 

= nπ. 

2


 

x2 

x1 

dxp(x) = 2 

dxp(x) = (n + 1 

2 )πℏ. 

x2 

x1 

p(x)dx = (n + 1 

2 )h. 

W graficznym uj˛eciu tego problemu, ruch cz ˛astki mo˙zna przedstawić w kartezjańskiej przestrzeni (x, p). Pole 

powierzchni zamkni˛ete przez krzyw ˛a obiegan ˛a przez cz ˛astk˛e jest równe: dxp(x). 

p 

x 1 

x 

2 x 

14.3 Interpretacja graficzna przybli˙zenia WKB dla czastki ˛ w potencjale 

x1 

√ 1 exp( 

k(x) 

tu funkcja zanika 

i 

x 

ℏ 0 dyk(y)) 

✻ 

obszar II obszar I obszar II 

Bessel 

√ 1 cos( 

p(x) x 

0 

-E 

p(y)dy + π 

4 ) 

Bessel 

[J1/3(x)] x2 

✲ 

√ 1 exp(− 

k(x) 

tu funkcja zanika 

i 

x 

ℏ 0 dyk(y)) 

❙♦ 

❙ obszar ten przybli˙zamy potencjalem: 

V (x) V (x0) + (x − x2)V (x2) 

Formalnie WKB działa tylko dla n >> 1, lecz w praktyce okazuje si˛e, i˙z przydatne rezultaty otrzymuje si˛e z 

niego równie˙z dla n ≈ 1. 

14.4 Rozpad promieniotwórczy 

Chcemy zrozumieć rozpad α. J ˛adra maj ˛a stały czas półrozpadu. J ˛adro odpycha cz ˛astk˛e α potencjałem V = ZZ′ α 

r 

[Tutaj powinny pojawić si˛e dwa istotne rysunki ilustrujace ˛ proces rozpadu. Skoro ich nie ma, 

znaczy to, ˙ze ich jeszcze nie przygotowali´smy!] 

r2 

r1 

p(x)dx = 

√ 2m 

ℏ 

ZZe 2 

θ 

R 

(1 − 2 1 

arcsin( √ ) − 

π γ µrR 

ℏ (γ − 1)1/2 ). 

γ := ZZ′ e 2 

RE , R = 10−17 m.


Czas ˙zycia ∼ tunelowanie ∼ e −E . 

14.5 Rachunek zaburzeń zale˙zny od czasu 

Dla hamiltonianu zale˙znego od czasu nie ma rozwi ˛azań stacjonarnych równania Schrödingera. Wtedy rozwi ˛azuj ˛ac 

problemy z zaburzeniem wiemy, ˙ze H0 ma prost ˛a postać, zaIJ H ′ zale˙zy od czasu i powoduje przej´scia mi˛edzy 

stanami własnymi. Mamy równanie Schrödingera zale˙zne od czasu: 

iℏ ∂ψ 

∂t = Hψ, gdzie H = H0 + H ′ (t), (164) 

iEnt 

− 

ψ(t) = Snan(t)e ℏ un. 

Ró˙zniczkujemy ψ(t) i wstawiamy do (164). Lewa strona równania ma postać: 

prawa za´s: 

iEnt 

− 

L = Sniℏun ˙ane ℏ + Sniℏunan(− iEn iEnt 

)e− ℏ , 

 

ℏ 

 

iEnt 

− 

unanEne ℏ 

iEnt 

− 

P = Snane ℏ (H0 + H ′ iEnt 

− 

)un = Snane ℏ (Enun + H ′ un). 

Przyrównujemy obie strony do siebie i skracamy wyrazy podobne. Zostaje: 

Obkładamy stanem 〈k|: 

iEnt 

iEnt 

− 

Sniℏun ˙ane ℏ − 

= Snane ℏ H ′ un, 

iℏuk ˙ake − iEkt iEnt 

ℏ − 

= Snane ℏ 〈uk|H ′ |un〉, 

˙ak = 1 

iℏ Sne iωknt 〈uk|H ′ |un〉an. (165) 

Otrzymujemy układ równań dla wszystkich warto´sci k, gdzie ωkn jest cz˛esto´sci ˛a kołow ˛a Bohra i oznacza: 

15 Rachunek zaburzeń 

ωkn =: Ek − En 

. 

ℏ 

15.1 Przypomnienie wraz z kontynuacja˛ materiału z wykładu poprzedniego 

Niech: 

H = H0 + H ′ , H0uk = Ekuk. 

Zaburzenie to powoduje, i˙z współczynniki an zale˙z ˛a od czasu: 

Wstawiaj ˛ac powy˙zszy wzór do równania Schrödingera: 

otrzymujemy: 

ψ(t) = Snan(t)une −iEnt/ℏ . 

iℏ ∂ψ 

∂t 

= Hψ, 

˙ 

ak = 1 

iℏ Sn〈k|H ′ |n〉ane iωknt .


Rozwijamy an(t) w szereg zaburzeń: 

Jak wiadomo z poprzedniego wykładu, mamy: 

15.2 Zaburzenie harmoniczne 

an = a (0) 

n + λa (1) 

n + λa (2) 

n + . . . 

ak ˙ 

(s+1) = 1 

iℏSn〈k|H ′ |n〉a (s) 

n e iωknt 

, 

a (1) 

k 

a (0) 

k 

ak ˙ 

(1) = 1 

= 1 

iℏ 

= 〈k|m〉 = δkm, 

iℏ 〈k|H′ |m〉e iωkmt , 

t 

0 

〈k|H ′ |m〉e iωkmτ dτ. (166) 

Przykładem zaburzenia harmonicznego jest ´swiatło lasera “padaj ˛ace” na elektron. Fala −→ 32 EB jest w tych warunkach 

znacznie szersza od paczki falowej elektronu, zatem w przybli˙zeniu ma ∂ 

∂ 

= 0, natomiast jej jest nieze- 

∂x ∂t 

rowa, czyli, inaczej mówi ˛ac, otrzymujemy zaburzenie zmienne w czasie. Przyjmijmy, ˙ze zaburzenie jest nast˛epuj 

˛acej postaci: 

〈k|H ′ (t)|m〉 := 2 sin(ωt)〈k|H ′ |m〉, t ∈ [0, t0]. 

Wstawiaj ˛ac tak ˛a postać do równania (166), otrzymujemy: 

a (1) 

k (t > t0) = 1 

iℏ 〈k|H′ t 

|m〉 

0 

dτ2 sin(ωτ)e iωknτ = 

= − 1 

iℏ 〈k|H′ i(ωkm+ω)t0 e − 1 

|m〉 

− 

ωkm + ω 

ei(ωkm+ω)t0 − 1 

ωkm − ω 

Teraz, dla ustalenia uwagi, zało˙zymy, ˙ze drugi człon w nawiasie jest mały. Mamy st ˛ad: 

|a (1) 

k (t > t0)| 2 = 4|〈k|H′ |m〉| 2 

ℏ 2 

Zało˙zymy teraz, ˙ze Ek w okolicy Em + ℏω jest du˙ze. Z tego wynika, i˙z: 

 

A = dEkϱ(Ek)|a (1) 

k (t > t0)| 2 ϱ(Ek0 = ℏω + Em), 

 

. 

sin 2 ( 1 

2 (ωkm − ω)t0) 

(ωkm − ω) 2 . (167) 

2π 

A = t0 

ℏ ϱ(k)|〈k|H′ |m〉| 2 , 

gdzie A jest prawdopodobieństwem obsadzenia grupy stanów energetycznych wokół pewnego ustalonego stanu. 

Fermi nazwał to złot ˛a reguł ˛a Fermiego numer dwa. 

15.3 Przybli˙zenie adiabatyczne 

33 

32 −→ 

EB to bardzo przyjemny skrót na wszystkie słowa pochodz ˛ace od korzenia “elektomagnetyzm”, bo przecie˙z E to nic innego jak elektro-, 

za´s B to, jak powszechnie wiadomo, magnetyzm. Skrócik ten, wraz z takimi cudeńkami jak ∃ (istnieje), oraz p() (prawdopodobieństwo), 

znacznie ułatwia mi ˙zycie od wielu lat, dlatego te˙z pozwol˛e sobie go tutaj zastosować. Nie wolno mi? No jasne, i˙z mi wolno! (przyp. R.K.) 

33 adiabatycznie ≈ wolno


Ten rodzaj przybli˙zeń stosuje si˛e dla układów, w których hamiltonian zmienia si˛e bardzo powoli w czasie. Wyobra´zmy 

sobie, ˙ze mamy oscylator harmoniczny, k 

2 x2 , w którym powoli zmienia si˛e k. Wówczas: 

Wstawiaj ˛ac 

H = H(t) : H(t)un(t) = En(t)un(t). 

ψ(t) = Snan(t)un(t) exp( 1 

iℏ 

do równania Schrödingera (iℏ ˙ ψ = H(t)ψ), mamy: 

iℏSn exp( 1 

iℏ 

t 

0 

t 

0 

En(τ)dτ) 

 

 

En(t) 

En(τ)dτ) ˙anun + an ˙un + anun = Sn exp( 

iℏ 

1 

iℏ 

0 = Sn(˙anun + an ˙un) exp( 1 

iℏ 

Dostawiamy stan końcowy 〈k|: 

Ostatecznie mamy: 

t 

0 

t 

dτEn(τ)) = Sn( ˙an|n〉 + an| ˙n〉) exp( 1 

iℏ 

0 = Sn(˙an〈k|n〉 + an〈k| ˙n〉)e 1 

t 

iℏ 0 dτEn(τ) , 

0 = ˙ake 1 

t 

iℏ 0 dτEk(τ) 

+ Snan〈k| ˙n〉e 1 

t 

iℏ 0 dτEn(τ) . 

˙ak = −Snan〈k| ˙n〉 exp( 1 

t 

iℏ 

0 

dτ(En(τ) − Ek(τ))) 

Po obustronnym zró˙zniczkowaniu poni˙zszego równania mo˙zna obliczyć 〈k| ˙n〉: 

H(t)un(t) = En(t)un(t), 

∂H 

∂t un(t) + H(t) ˙un(t) = ∂En 

∂t un(t) + En ˙un, 

∂H 

∂En 

|n〉 + H| ˙n〉 = |n〉 + E| ˙n〉, k = n. 

∂t ∂t 

Lewostronnie wymna˙zamy przez 〈k|: 

〈k| ∂H 

|n〉 + 〈k|H| ˙n〉 

∂t 

Ek〈k| ˙n〉 

= ∂En 

∂t δkn 

 

=0, bo k=n 

〈k| ∂H 

∂t |n〉 = (En − Ek)〈k| ˙n〉. 

〈n|n〉 = 1, 

〈 ˙n|n〉 + 〈n| ˙n〉 = 0, 

〈n| ˙n〉 + 〈n| ˙n〉 ∗ = 0, 

+En〈k| ˙n〉, 

〈n| ˙n〉 = iα(t) ←− musi być czysto urojone. 

0 

dτEn(τ))(anH(t)un), 

t 

0 

dτEn(τ)). 

Upro´scimy sobie rachunki sprytnie dobieraj ˛ac faz˛e. Jest to mo˙zliwe, bo fazy funkcji własnych s ˛a dowolne w 

ka˙zdej chwili czasu. 

ũn = une iγ(t) , 

〈ñ| ˙ñ〉 = 0, 

e iγ 〈n| d 

dt (eiγ |n〉) = e −iγ 〈n|(i ˙γ|n〉 + | ˙n〉)e iγ ,


Dzi˛eki temu znikaj ˛a dwa minusy: 

˙ak = Sn=kan 

i ˙γ + 〈n| ˙n〉 = i( ˙γ + α) = 0, 

γ = − 

t 

〈k| ∂H 

∂t |n〉 

En − Ek 

Dla t = 0 we´zmy am = δnm, czyli n-ty stan. Wówczas: 

˙ak = 

1 

Em − Ek 

0 

α(τ)dτ, 

exp( 1 

iℏ 

〈k| ∂H 1 

|m〉 exp( 

∂t iℏ 

t 

0 

t 

0 

(Ek − En)dτ). 

(Ek − Em)dτ). 

Człon exp(. . .) szybko oscyluje, zatem pochodna jest na zmian˛e dodatnia i ujemna, czyli ak ani specjalnie nie 

ro´snie, ani nie maleje. 

16 Przybli˙zenie nagłej zmiany, fermiony i bozony 

16.1 Rachunek zaburzeń - dalszy ciag ˛ 

16.1.1 Przybli˙zenie adiabatyczne i oscylator harmoniczny 

Potencjał dla oscylatora harmonicznego z uwzgl˛ednieniem członów zaburzaj ˛acych: 

V (X) = V (x0) + 1 

2 V ′′ (X0)(x − x0) 2 

+ V (x) − V (x0) − 

 

1 

H0 

2 V ′′ (X0)(x − x0) 2 

 

H ′ 

Poniewa˙z hamiltonian wolno zmienia si˛e w czasie, dokonujemy przybli˙zenia adiabatycznego. Bierzemy funkcj˛e 

falow ˛a postaci: 

ψ = 

anune 1 

t 

iℏ En(τ)dτ t0 , 

oraz nast˛epuj ˛acy hamiltonian (taki jak dla atomu polonu): 

 

H0 : 

H = 

H1 : 

t < 0 

t > 0 . 

16.1.2 Nieciagła ˛ zmiana warto´sci H 

Rozwa˙zaj ˛ac powy˙zsze zagadnienie zakładamy, ˙ze potrafimy okre´slić H0 i H1. Wtedy: 

n 

H0un = Enun, H1vµ = Eµvµ, 

H0|n〉 = En|n〉, H1|µ〉 = Eµ|µ〉, 

iEnt 

− 

dla t > 0 : ψ(t) = Snanune ℏ , 

iEµt 

− 

dla t < 0 : ψ(t) = Sµbµvµe ℏ . 

Funkcja falowa ma być w ka˙zdym punkcie przestrzeni ci ˛agła dla t = 0, wi˛ec: Snanun = Sµbµvµ. W momencie 

przeł ˛aczenia hamiltonianu stara funkcja falowa rozkłada si˛e na now ˛a. Stał ˛a bµ wyra˙zamy przez an, po 

przemno˙zeniu i scałkowaniu przez funkcj˛e sprz˛e˙zon ˛a v ∗ µ, otrzymujemy: 

bµ = Snan〈µ|n〉, 

.


an = δnm ⇔ an = 

0 dla n = m 

1 dla n = m . 

Gdy układ pocz ˛atkowo jest w stanie m, to an = 〈n|m〉, wówczas bµ = 〈µ|m〉. 

16.1.3 Przybli˙zenie nagłej zmiany 

W drugim przypadku rozwa˙zamy taki hamiltonian, ˙ze jego zmiana zachodzi w bardzo krótkim czasie. 

⎧ 

⎨ H0 : t < 0 

H = HI : 

⎩ 

H1 : 

t ∈ [0, t0] 

t > t0 

. 

Dla t ∈ [0, t0]: 

ψ(t) = Skckwke − iE k t 

ℏ , 

ck = Skan〈k|n〉. 

ψ(t0) = Skckwke − iE k t 0 

ℏ = ||robimy przeskalowanie z HI na H1|| = Sµbµvµe − iEµt 0 

ℏ , 

Skcke − iEkt0 iEν t 

ℏ − 

〈ν|k〉Sνbνe ℏ = Skck〈ν|k〉e − iEkt ℏ , 

bµ = Snan 

bν = Skck〈ν|k〉e i(Eν −E k )t 

ℏ , 

bµ = SkSnan〈µ|k〉e −i(E k −Eν )t 0 

ℏ 〈k|n〉, 

bµ = SnanSk〈µ|k〉 e −i(Ek−Eν )t0 ℏ 

 

⎡ 

=1− it 0 

ℏ (Ek−Eµ) 

〈k|n〉, 

⎢ 

⎣Sk〈µ|k〉〈k|n〉 − it0 

ℏ Sk〈µ|k〉(Ek 

⎥ 

− Eµ)〈k|n〉 ⎥ 

 

⎦ 

poprawka ∼ t0 

, 

bµ ∼ = Snan〈µ|n〉 − i t0 

ℏ SnanSk〈µ|k〉(Ek − Eµ) 〈k|n〉, 

 

−i t 0 ℏ Snan〈µ|(HI −H1)|n〉 

Sn〈µ|k〉 〈k|HI|n〉 = Sk〈µ|k〉Ek〈k|n〉 = 〈µ|H1|n〉 = 〈µ|Eµ|n〉 = Sk〈µ|k〉Eµ〈k|n〉. 

 

Ek〈k|n〉 

Przybli˙zenie nagłej zmiany jest najlepsze gdy warto´sci t0 s ˛a bardzo małe. Wówczas bµ wynosi: 

16.2 Problem dwóch ciał 

bµ ∼ = Snan〈µ|1 − it0 

ℏ (H2 − H1)|n〉. 

Mechanika kwantowa jest teori ˛a probabilistyczn ˛a i deterministyczn ˛a (z równania Schrödingera wiemy jak funkcja 

falowa zmienia si˛e w czasie). Załó˙zmy, ˙ze mamy dwie cz ˛astki (ψ(r1, sz1, r2, sz2)). W przypadku, gdy poruszaj ˛a 

si˛e niezale˙znie od siebie, funkcja falowa układu przyjmuje postać: 

ψ = ψ1(r, sz1)ψ2(r, sz2), 

⎤


a rozkład g˛esto´sci prawdopodobieństwa wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: 

ϱ(r1, sz1, r2, sz2) = ϱ(r1, sz1)ϱ(r2, sz2). 

Mówimy, ˙ze cz ˛astki s ˛a identyczne wówczas, gdy nie da si˛e ich odró˙znić od siebie i spełniona jest zale˙zno´sć: 

Zale˙zno´sć t˛e mo˙zna spełnić na dwa sposoby: 

• symetrycznie 34 - ψ(r1, r2) = ψ(r2, r1), 

• antysymetrycznie 35 - ψ(r1, r2) = −ψ(r2, r1). 

ϱ(r1, r2) = ϱ(r2, r1). 

To, czy cz ˛astki s ˛a opisywane falami symetrycznymi, czy antysymetrycznymi, zale˙zy od ich wewn˛etrznego momentu 

obrotowego - spinu. Bozony maj ˛a spin całkowity, natomiast fermiony połówkowy. Je˙zeli cz ˛astki s ˛a symetryczne, 

to hamiltonian w odpowiednich zmiennych te˙z musi być symetryczny, np. dla dwóch elektronów hamiltonian ma 

postać: 

H = − ℏ2 

2m (∇2 1 + ∇ 2 2) + V (|r1 − r2|). 

Przypu´sćmy, ˙ze znale´zli´smy rozwi ˛azanie dla hamiltonianu. Na ogół funkcja ψ nie ma symetrii, ale je˙zeli spełnia 

równanie Schrödingera, to funkcje ψ(r1, r2), ψ(r2, r1) daj ˛a dobre rozwi ˛azanie. 

Zdefiniujemy funkcj˛e symetryczn ˛a i antysymetryczn ˛a: 

ψsym(r1, r2) =: 1 

√ 2 [ψ(r1, r2) + ψ(r2, r1)], 

ψanty(r1, r2) =: 1 

√ 2 [ψ(r1, r2) − ψ(r2, r1)]. 

Załó˙zmy teraz, ˙ze ka˙zda z cz ˛astek opisywana jest własn ˛a funkcj ˛a falow ˛a: u1(r1)u2(r2). Wtedy funkcje ψsym, 

ψanty przyjmuj ˛a postać: 

ψsym = 1 

√ 2 (u1(r1)u2(r2) + u1(r2)u2(r1)), 

Je´sli u1 = u2 = u to: 

ψanty = 1 

√ 2 (u1(r1)u2(r2) − u1(r2)u2(r1)). 

ψsym = √ 2(u(r1)u(r2)), 

ψanty = 0. 

Wniosek: ˙Zadne dwa fermiony nie mog ˛a znajdować si˛e w stanie opisanym t ˛a sam ˛a funkcj ˛a falow ˛a. Jest to Zakaz 

Pauliego. Bozony za´s mog ˛a. 

17 Bozony i fermiony 

17.1 Symetryczno´sć i antysymetryczno´sć 

• Bozony: 

ϱ(r1, r2) ≡ ϱ(r2, r1), 

ψ(r1, r2) = 1 

√ 2 (u(r1, r2) + u(r2, r1)), 

ϱ(r1, r2) = |ψ| 2 = 1 

2 |u(r1, r2) + u(r2, r1)| 2 = 2|u(r1, r2)| 2 . 

Dla bozonów zachodz ˛a korelacje Bosego-Einsteina. 

34 np. dla bozonów, opisywanych statystyk ˛a Bosego-Einsteina. 

35 np. dla fermionów, opisywanych statystyk ˛a Fermiego-Diraca.


• Fermiony: 

ϱ = |ψ| 2 = 1 

2 |u(r1, r2) − u(r2, r1)| 2 . 

Układy Fermionów nie maj ˛a analogów klasycznych. 

Ka˙zdy z fermionów musi mieć inn ˛a funkcj˛e falow ˛a. 

Postać ´sci´sle antysymetrycznej funkcji falowej jest nast˛epuj ˛aca: 

Przypadek 1: 

Przypadek 2: 

φ(r1, s (1) 

z ; r2, s (2) 

z ) = 1 

√ 2 (u1(r1, s (1) 

z )u2(r2, s (2) 

z ) − u1(r2, s (1) 

z )u2(r1, s (2) 

z )). 

φ = 1 

 

1 

√ 

2 0 

u1(r1, s (1) 

 

1 

z ) = 

0 

u2(r2, s (1) 

 

1 

z ) = 

 

1 

 

1 

⊗ 

0 

 

0 

 

 

u1(r1), 

1 

u2(r2), 

2 

(u1(r1)u2(r2) − u2(r1)u1(r2)). 

2 

 

1 

u1 = u(r1), 

0 

1 

 

1 

u2 = u(r2), 

0 

2 

φ = u(r1)u(r2) 

 

1 0 0 

√ ( ⊗ − 

2 0 1 1 

1 

sz = 0ℏ −→ (| ↑↓〉 − | ↓↑〉). 

W danym punkcie mog ˛a być dwa elektrony, ale musz ˛a mieć przeciwne spiny! 

We´zmy operator sz = s (1) 

z + s (2) 

z : 

Zauwa˙zmy, ˙ze: 

s (1) 

z φ = u(r1)u(r2) 

ℏ 

√ σ 

2 2 

(1) 

 

1 

z 0 

 

s (1) 

z φ = ℏ 

u(r1)u(r2) 1 

√ 

2 2 0 

 

s (2) 

z φ = ℏ 

 

u(r1)u(r2) 1 

√ − 

2 2 0 

 

s (1) 

z = ℏ 

 

1 

2 0 

0 

−1 

s (2) 

z = ℏ 

 

1 

2 0 

0 

−1 

(1) 

(1) 

(1) 

 

0 

⊗ 

1 

 

0 

⊗ 

1 

 

0 

⊗ 

1 

2 

 

 

 

 

(2) 

(2) 

 

, 

(1) 

, 

(2) 

 

(2) 

s (1) 

z φ + s (2) 

z φ = 0. 

− 

 

1 

σ (1) 

z 

 

0 

+ 

1 

 

0 

− 

1 

 

1 

⊗ 

0 

0 

1 

 

(1) 

 

(1) 

 

 

(1) 

). 

2 

 

 

1 

⊗ 

0 

 

1 

⊗ 

0 

 

1 

⊗ 

0 

 

, 

usym(r1, r2) (| ↑↓〉 − | ↓↑〉)/ √ 2 spin = 0 (jest to stan singletowy), 

uanty(r1, r2) 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

| ↑↑〉 spin = ℏ 

(| ↑↓〉 + | ↓↑〉)/ √ 2 spin = 0 (jest to stan trypletowy). 

| ↓↓〉 spin = −ℏ 

(2) 

 

(2) 

 

. 

 

(2) 

 

,


17.2 Izospin 

Pomysł: zamiast rozpatrywać istnienie dwóch ró˙znych nukleonów załó˙zmy, i˙z istnieje jeden tylko nukleon, który 

mo˙ze za to przyjmować dwa stany: protonu i neutronu. Otrzymujemy operator podobny do spinu - izospin. 

Enucl 

 

aA 

obj˛eto´sć 

−bA 2/3 

 

powierzchnia 

−cZ 2 A −1/3 

 

odpychanie 

+(N − Z) 2 . 

Dla silnego odpychania kulombowskiego - model kropelkowy! 36 Bomb˛e atomow ˛a zbudowano wła´snie na bazie 

modelu kropelkowego. 

Model kropelkowy wykorzystuje analogi˛e mi˛edzy j ˛adrem a kropl ˛a cieczy i jest najprostsz ˛a wersj ˛a modelu silnych 

korelacji. Podstaw ˛a tej analogii s ˛a dwa fakty do´swiadczalne: stała g˛esto´sć materii w j ˛adrze, niezale˙zna od 

jego wielko´sci, oraz niemal stała warto´sć energii wi ˛azania j ˛adra w przeliczeniu na jeden nukleon. Wymienione 

własno´sci j ˛adra s ˛a charakterystyczne dla cieczy - g˛esto´sć jej jest stała niezale˙znie od obj˛eto´sci, a tak˙ze ciepło 

parowania (b˛ed ˛ace odpowiednikiem energii wi ˛azania) przeliczone na jednostk˛e obj˛eto´sci jest stałe. 

18 Bozony, fermiony i układ okresowy 

18.1 Przypomnienie postulatów mechaniki kwantowej 

• Obserwablom mo˙zemy przypisać operatory: 

• Warto´sć ´sredni ˛a operatora obliczamy nast˛epuj ˛aco: 

〈 ˆ 

Θ〉 = 

• Jedyne mo˙zliwe warto´sci pomiarów ˆ Θ: 

Θ(r, p) −→ ˆ Θ(r, −iℏ ∇). 

d 3 rψ ∗ ˆ Θψ. 

ˆΘψλ = λψλ. 

• Mechanika kwantowa jest deterministyczna - znaj ˛ac funkcj˛e falow ˛a ψ mamy zakodowan ˛a informacj˛e o 

układzie i mo˙zemy przewidzieć co b˛edzie si˛e działo za jaki´s czas: 

iℏ ∂ψ 

∂t = ˆ Hψ. 

• Dla cz ˛astek symetrycznych g˛esto´sć prawdopodobieństwa ϱ(r) te˙z jest symetryczna. 

36 Zamieszczony tutaj rysunek, tych co cierpi ˛a na brak doznań artystycznych w notatkach, mo˙ze jeszcze bardziej dobić. (przyp. E.S.) I o to 

wła´snie chodzi! (przyp. R.K.)


18.2 Problem czastek ˛ symetrycznych jeszcze raz 

Funkcje falowe mog ˛a być symetryczne i antysymetryczne: 

Ψsym ↔ BOZONY 

Ψanty ↔ F ERMIONY 

Problem: We´zmy dwa elektrony, jeden z Ksi˛e˙zyca, a drugi z Ziemi. Ich funkcje falowe wcale si˛e nie przekrywaj ˛a, 

bo elektrony maj ˛a ró˙zne poło˙zenia: 

uZ(r1, sz1 )uK(r2, sz2 ), 

Funkcja antysymetryczna przyjmuje postać: 

uanty = 1 

√ 2 (uZ(r1, sz1 )uK(r2, sz2 ) − uZ(r2, sz2 )uK(r1, sz1 )), 

|uanty| 2 = 1 

2 [|uZ(r1, sz1 )|2 |uK(r2, sz2 )|2 + |uK(r1, sz1 )|2 |uZ(r2, sz2 )|2 ]. 

Nie ma członów krzy˙zowych ze wzgl˛edu na fakt nie przekrywania si˛e funkcji. 

18.2.1 Jak antysymetryzować funkcje? 

Mamy funkcj˛e u = u1(x1)u2(x2) · · · un(xn). Obiektem ´sci´sle antysymetrycznym wzgl˛edem permutacji jest wyznacznik37 

, czyli: 38 

uanty = 1 

⎛ 

⎜ 

√ det ⎜ 

N! ⎝ 

u1(x1) 

u2(x1) 

. 

. 

u1(x2) 

u2(x2) 

. 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

u1(xn) 

u2(xn) 

. 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

un(x1) un(x2) · · · un(xn) 

. 

18.2.2 Hamiltonian dla układu n elektronów 

ˆH = − ℏ2 

2µ 

∞ 

(∇ 

n=1 

2 ∞ Ze 

n) − 

n=1 

2 

Z 1 

+ 

4πε0 |rn| 

n=1 

 

uwzgl˛edniamy potencjał 

m=1 

n=1 

e 2 

4πε0 

1 

|rm − rn| . 

Problem z takim hamiltonianem wcale nie daje si˛e łatwo rozwi ˛azać, poniewa˙z liczba równań zale˙zy od liczby 

atomowej Z. Ale bazuj ˛ac na tym co mamy i wiemy, wymy´slimy hamiltonian rozwi ˛azywalny: 

− ℏ2 

2µ 

 

∇ 2 n − Veff (rn) = 

Hn. 

Ka˙zda cz ˛astka ma si˛e poruszać w polu o potencjale efektywnym: 

n 

37Bowiem “ka˙zde dziecko wie, ˙ze wyznacznik macierzy jest antysymetryczn ˛a funkcj ˛a kolumn i wierszy”, jak mawiał dr Panasiuk. (przyp. 

R.K.) 

38Wyznacznik ten zwie si˛e wyznacznikiem Slatera. 

n


✻V (r) 

− Ze2 

4πεr 

✲ 

− e2 

r 

4πεr 

Mamy zestaw funkcji unlm(r, ϑ, ϕ). Dla stanu podstawego n = 1, l = 0 nie ma degeneracji, a na powłoce 

umieszczamy dwa elektrony (z uwzgl˛ednieniem spinu): 

 

 

1 

0 

u100(r, τ, π) ; u100(r, τ, π) → stan 1s. 

0 

1 

Dla kolejnych liczb kwantowych powłoki maj ˛a nast˛epuj ˛ace oznaczenia: 

l = 0 → s, 

l = 1 → p, 

l = 2 → d, 

l = 3 → f, 

l = 4 → g. 

Gdy w potencjale uwzgl˛ednimy obsadzenie powłok przez elektrony otrzymamy nast˛epuj ˛ace wyra˙zenie: 

V = Veff (r) − ℏ2l(l + 1) 

2µr2 , 

z którego widać, ˙ze dla coraz to wi˛ekszych warto´sci l, energia wi ˛azania maleje. 

V (r) ✻ 

18.3 Układ okresowy pierwiastków 

Obsadzenie powłok elektronami: 

2 − (1s) 

2 − (2s) 

6 − (2p) 

2 − (3s) 

✲


6 − (3p) 

2 − (4s) 

10 − (3d) 

6 − (4p) 

 

stany te maj ˛a porównywalne energie 

s 1 s 2 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 

1s HZ=1 HeZ=2 

2s Li Z=3 Be Z=4 

2p B Z=5 C Z=6 N Z=7 0 Z=8 F Z=9 Ne Z=10 

3s Na Z=11 Mg Z=12 

18.3.1 Z czego wynika okresowo´sć pierwiastków? 

Uło˙zenie pierwiastków w układzie wynika z zapełnienia powłok elektronami: 

Li i H maj ˛a ideologicznie bardzo podobn ˛a budow˛e, dodatkowo wła´sciwo´sci chemiczne litu s ˛a podobne do wła´s- 

ciwo´sci chemicznych sodu. 

Rozpatrujemy konfiguracj˛e elektronow ˛a tlenu O 16 

8 : (1s) 2 (2s) 2 , nie obchodz ˛a nas zapełnione powłoki, rozwa˙zamy 

tylko powłok˛e niezapełnion ˛a (2p) 4 : 

u21m(r, θ, ϕ) = u21(r)Y2m(θ, ϕ), 

Y10 = ( 3 1 

) 2 cos Θ = ( 

4π 3 1 z 

) 2 

4π r , 

Y1±1 = ∓( 3 1 

) 2 

8π 

sin Θe ±iϕ 

 

sin Θ(cos ϕ±i sin ϕ)= x±iy 

r 

. 

W graficznym przedstawieniu, zamiast u˙zywać trzech funkcji: Y10, Y1±1 mo˙zna u˙zyć trzech funkcji niezale˙znych: 

x 

r 

, y 

r 

, z 

r . Wtedy stan 2pxyz wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: 

Z 

Gdy we´zmiemy cz ˛asteczk˛e wody (H2O), wodory wraz z tlenem tworz ˛a układ z k ˛atem prostym, układ ten ma 

bardzo du˙zy moment dipolowy, dzi˛eki czemu woda jest bardzo dobrym rozpuszczalnikiem. Elektrony pochodz ˛ace 

od tlenu i wodoru razem uwspólniaj ˛a orbit˛e: 

Z 

H 

Y 

Y 

X 

X


18.4 Model atomu Thomasa-Fermiego 

1 

|r| + Vϱ, gdzie Vϱ = V (r) + v1(r)LS. ˙Zeby dobrze rozwi ˛azać ten problem, 

Mamy potencjał Veff = − Ze2 

4πε 

bierzemy przybli˙zenie WKB, a funkcj˛e falow ˛a brutalnie ’maltretujemy’ ˙zeby zanikała na brzegach, przybli˙zaj ˛ac 

j ˛a sinusem: 

 

1 x1 

(sin( n x0 un(x) = dypE(y)) 

, 

pE(x) 

Dalej rozwi ˛azujemy w trzech wymiarach: 

ϱ 2 (x) = ( sin2 ( 1 

n 

ϱ(r) = 

 

19 Metoda Hartreego-Focka 

x1 

x0 dypE(y)) 

pE(x) 

πnl(r) = unl(r) 

, 

r 

ϱ(r) = u2 nl , 

r2 = 1 

pE(x) . 

2µ(E − V (r)) + ℏ2 (l + 1/2) 2 

 

4π 

drr 2 ϱnl(r) = 1. 

Mamy atom wapnia 44 

22Ca, gdzie Z = 22. Z rozwi ˛azania równania Schrödingera dostajemy równania ró˙zniczkowe 

66 zmiennych (22p + + 22n + 22e − ). 39 Trzeba znale´zć taki sposób, ˙zeby zagadnienie było rozwi ˛azywalne. Pole od 

elektronów u´srednia si˛e, tworz ˛ac sferycznie symetryczny potencjał efektywny. Z potencjału za´s mo˙zna wyliczyć 

funkcj˛e falow ˛a unlm, natomiast elektrony u´srednić. Post˛epuj ˛ac w ten sposób otrzymamy rozmyt ˛a g˛esto´sć elektronów, 

a to jest przydatne przy analizie rozmieszczenia elektronów na poziomach energetycznych. 

39 problem mało przyjemny do rozwi ˛azania. 

2µr 2 

V eff (r) → unlm(r, τ, ϕ) = unl(r)Ylm(τ, ϕ). 

n,l 

✻ 

Ze 2 

4πεr 

✲ 

, 

mamy poziomy energetyczne, ka˙zdy 

poziom n zdegenerowany jest (2l + 1)−krotnie


G˛esto´sć prawdopodobieństwa ϱnlm(r, τ, ϕ) otrzymuje si˛e: ϱtot 

nlm = n,l,m ϱnlm. Ten sposób zwie si˛e metod ˛a 

Hartreego. Model ten nie zawsze si˛e sprawdza, bo pomija antysymetryzacj˛e (otrzymana w wyniku funkcja falowa 

nie jest antysymetryczna). Fock jednak wymy´slił procedur˛e antysymetryzacji. Jednak w przypadku du˙zej liczby 

elektronów jest on bliski przypadkowi klasycznemu i mo˙zna stosować przybli˙zenie WKB. 

Rozwi ˛a˙zemy teraz problem ´sci´sle: 

ϱnl(r) = 

l 

m=−l 

|unlm(r, Θ, ϕ)| 2 = u 2 nl(r) 

 

⋆ 

l 

m=−l 

Y ∗ 

lm(Θ, ϕ)Ylm(Θ, ϕ). 

Przy czym: ⋆ to kawałek, który zale˙zy od dynamiki. Z gł˛ebokiej analizy harmonik sferycznych wynika: 

Ogl ˛adamy funkcj˛e tworz ˛ac ˛a: 

4π 

2l + 1 

l 

m=−l 

Y ∗ 

lm(Θ1, ϕ1)Ylm(Θ2, ϕ2) = Pl(cos Θ12). 

z ✻ 

✟✯ y 

✁ ✲ 

x 

✟ 

✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟ ✁✁ 

❆❑ 

❆ 

❆ 

❆ 

❆ ✁✕ Θ2 

❆ Θ1 

❆ 

❆ 

l 

m=−l 

Y ∗ 

2l + 1 

lm(Θ, ϕ)Ylm(Θ, ϕ) = Pl(1) 

4π . 

T (w, s) = (1 − 2sw + s 2 ) 1/2 = 

T (w, 0) = P0(w) = 1, 

T ′ (w, 0) = P1(w). 

∞ 

Pl(w)s l . 

Ten sposób pozwala na policzenie wszystkich wielomianów Legendre‘a. Dla w = 1: 

T (1, s) = (1 − s) 2(−1/2) = 1 

1 − s = 

Z tego wynika, ˙ze dla wszystkich wielomianów Legendre’a Pl(1) = 1. 

˜ϱnl(r) = 

1 

−1 

d cos Θ 

Jak normalizować ϱnl? ˜ Warunek normalizacji: 

l=0 

∞ 

s l = 

Pl(1)s l . 

l=0 

ϱnl(r) = u 2 2l + 1 

nl(r) 

4π . 

2π 

0 

dϕϱnl = 4πϱnl = (2l + 1)unl 2 (r). 

l


Szukamy unl(r): 

Niech unl = anl(r) 

r . Wówczas: 

− ℏ2 1 

2µ r2 d 

− ℏ2 

drr 2 ˜ϱnl(r) = 2 

dr (r2u 2 nl) + (V (r) + ℏ2l(l + 1) 

2µr2 )unl = Enlunl. 

2µ a′′ nl + (V (r) + ℏ2l(l + 1) 

2µr2 )anl = Enlanl, 

 

pnl(r) = 2µ(E − V − ℏ2l(l + 1) 

2µr2 1/2 

) , 

1 

anl(r) = 

pnl(r) sin 

r 

1 

drpnl(r) . 

ℏ 

Zast˛epujemy wyra˙zenie l(l + 1) przez (l + 1 

2 )1/2 = z 2 . Wówczas: 

 

l 

m=−l 

ϱnlY ∗ Y = ˜ϱnl ∼ 

r0 

2z 

r 2 ϱnl(r) , 

d 3 ∞ 

rϱnl(r) = 2 = 4π drr 2 ∞ 

ϱnl(r) = 4π drr 2 

0 

1 

c = 

2π 

Wprowadzamy teraz Rnl(r) := ϱ00 + ϱn1 + ϱn2 + . . . 

dn 

dE 

∂F 

∂E = − ∂F 

∂n 

Rn ∼ 

r2 

2 

r0 

0 

dr 

ϱnl(r) 

˜ϱnl(r) = 2zϱnl(r), 

dRnl 

dn ∼ = ˜ϱnl, 

drϱnl(r) = 2πℏn = 0. 

= −2 dr 

ϱnl (2µ)1/2 

= 

−2πℏ 

µ 

πℏ 

dRnl(r) dR dn m 

= = 

dE dn dE 2π2 1 

ℏ r2ϱnl(r) . 

l=m 

 

Rn(r) = Rnl(r) ∼ dzRnl(r), 

 

l=0 

dRnl 

dE ∼ 

 

, 

dz dRnl 

dE , 

c 

= 4πc 

ϱnlr2 

dr 

ϱnl(r) , 

1 

dzdE 

r2 ϱ3/2 

nl 

⇒ R = 

ϱnl(r) 3π2 = 0, 

ℏ3 R(r) = 1 

3π 2 ℏ 3 (2µ(−V (r)))3/2 . 

∞ 

0 

dr 1 

, 

ϱnl 

Sk ˛ad wzi ˛ać V (r)? V (r) składa si˛e z potencjału j ˛adra i ujednoliconego potencjału e − , który mo˙zna dostać z 

równania Laplace’a: 

1 

e ∇2 V = 4πR.


Wymiar atomów ro´snie proporcjonalnie do Z 1/3 . 

− 1 

er2 d dV 

(r2 

dr dR ) = 4e2 (−2µV ) 3/2 

2πℏ3 . 

V = − Ze2 

r χ, 

V = bχ. 

χ(0) = 1, χ(∞) = 0. 

b = 1 

2 3π ℏ 

2 4 meZ 

0.885a0 

= . 

1/3 Z1/3 20 Obraz Heisenberga, Diraca i Schrödingera 

20.1 Przypomnienie 

1. Warto´sć ´srednia: 〈ψ| Â|ψ〉. Wielko´sci ˛a własn ˛a jest kombinacja liniowa wektorów i operatorów. 

2. Równanie własne: Â|ψλ〉 = λ|ψλ〉. 

3. Prawdopodobieństwo znalezienia stanu ϕ = |ϕ〉 w stanie |ψ〉 jest nast˛epuj ˛ace: p = |〈ϕ|ψ〉| 2 . 

20.2 Obrazy 

Obraz Schrödingera: zale˙zne od czasu s ˛a wektory (funkcje falowe): 

Abstrakcyjne równanie Schrödingera: 

czyli: 

Podstawiaj ˛ac równanie (169) do (168) otrzymujemy: 

〈a〉 (t) = 〈ψ (t)| Â|ψ (t)〉. (168) 

iℏ d 

dt |ψ(t)〉 = ˆ H|ψ(t)〉. 

|ψ(t)〉 = e − i ˆ Ht 

ℏ |ψ(t = 0)〉, (169) 

|ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉. 

〈a〉 (t) = 〈e − i ˆ Ht 

ℏ ψ(0)|Ae − i ˆ Ht 

ℏ |ψ(0)〉, 

〈a〉 (t) = 〈ψ(0)|e i ˆ Ht 

ℏ Ae − i ˆ Ht 

ℏ |ψ(0)〉. (170) 

Jest to uniwersalny wzór w obrazie Heisenberga. Mo˙zna go zapisać w ogólnej postaci: 

〈a〉 (t) = 〈ψ(0)| Â(t)|ψ(0)〉. (171) 

Â(t) := e i ˆ Ht 

ℏ Ae − i ˆ Ht 

ℏ . 

Idea obrazów jest nast˛epuj ˛aca: W obrazie Heisenberga podstawowe s ˛a operatory, natomiast w obrazie Schrödingera 

podstawowymi s ˛a funkcje falowe. Zale˙zne od czasu s ˛a za´s wła´snie rzeczy podstawowe. Obraz Diraca jest obrazem 

po´srednim: jest w nim troch˛e ewolucji czasowej w operatorach, a troch˛e w funkcji falowej.


20.2.1 Przykład pierwszy: czastka ˛ swobodna 

Hamiltonian: H = p2 

2m . Rozwa˙zmy operatory ˆr oraz ˆp: 

ˆr(t) = e ip2 

2mℏ t ip2 

− ˆre 2mℏ t , 

ˆp(t) = e ip2 

2mℏ t ip2 

− ˆpe 2mℏ t = ˆp. 

W obrazie Heisenberga dla cz ˛astki swobodnej p nie zmienia si˛e w czasie (powtarza to wynik mechaniki klasycznej). 

Fakt ogólny: 

[ ˆ B, ˆ H] = 0 ⇒ ˆ B(t) = ˆ B. 

Wynika z tego faktu ogólny wzór: 

ˆr(t) = ˆr(0) + i 

[H, r(0)]t + . . . 

ℏ 

Poniewa˙z i p2 

p 

ℏ [ 2m , r] = m , to w obrazie Heisenberga mamy ruch swobodny (bowiem wy˙zsze komutatory si˛e 

zeruj ˛a): 

r(t) = ˆr(0) + p 

m t. 

Pytanie: jakie równanie spełnia pochodna: dÂ(t) 

dt =? 

d Â(t) 

dt 

Równanie to jest odpowiednikiem równania Schrödingera. 

= i 

ℏ ( ˆ H Â(t) − Â(t) ˆ H) = 1 

iℏ [Â(t), ˆ H]. 

obraz Heisenberga: dÂ(t) 

dt 

obraz Schrödingera: d|ψ(t)〉 

dt 

= 1 

iℏ [Â(t), ˆ H], 

= 1 

iℏ H|ψ(t)〉. 

Obraz Heisenberga najbli˙zej ł ˛aczy kwantowy opis z klasycznym. Poniewa˙z: dr(t) 

dt 

20.2.2 Przykład drugi: oscylator jednowymiarowy 

= 1 iˆp(0) 

(ˆx(0) − 

2 

mω )eiωt + 1 

2 

r(t) = p 

t + ˆr(0). 

m 

ˆH = ˆp2 mω2 

+ 

2m 2 ˆx2 

dˆx(t) 1 

ˆp(t) 

= [ˆx(t), H(t)] = 

dt iℏ m 

dˆp(t) 1 

= 

dt iℏ [ˆp(t), H(t)] = −mω2 ˆx(t) 

x(t) = ˆx(0) cos(ωt) + ˆp(0) 

mω sin(ωt) 

p(t) = −mωˆx(0) sin(ωt) + ˆp(0) cos(ωt) 

x(t) = 1 

2 (ˆx(0)(eiωt + e −iωt ) − iˆp(0) 

(ˆx(0) + iˆp(0) 

mω )e−iωt = 

dâ(t) 

dt 

mω (eiωt − e −iωt ) = 

ℏ 

2mω (â† e iωt + âe −iωt ) = 

= ℏω 

iℏ [a(t), a† (t)a(t)] = −iωâ(t) 

dâ † (t) 

dt = iωâ† (t) 

1 

p 

= iℏ [r(t), H] = m , to: 

ℏ 

2mw (â† (t) + â(t))


20.2.3 Przykład trzeci: oscylator jednowymiarowy z siła˛ wymuszajac ˛ a˛ 

dx(t) 

dt 

dˆp(t) 

dt = −mω2 x(t)f(t) = p2 

i − 

e ℏ 

= p(t) 

m 

2m 

 

i t 

− 

e ℏ 0 dtH i − 

= e ℏ Ht 

d 

i t 

e− ℏ 0 

dt dtH = − i 

(t+∆t) 

0 dtH(t) − 

− e i 

ℏ 

21 Jeszcze raz problem oscylatora 

+ mω2 

2 x2 − xf(t) = H(t) 

ℏ ˆ H(t)e 

− i 

ℏ Ht 

t 

0 dtH(t) i − 

= e ℏ 

t 

0 dtH(t) 

Dany jest oscylator jednowymiarowy, zaburzony sił ˛a zale˙zn ˛a od czasu. 

Pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, ˙ze układ b˛edzie znajdował si˛e w stanie podstawowym? 

Hamiltonian dla układu przybiera postać: 

gdzie wykres siły f w funkcji czasu wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: 

f(t) 

✻ 

ˆH = p2 

2m + mω2q2 − q f(t), (172) 

2 

Rozwi ˛azanie tego zagadnienia jest do´sć skomplikowane, poniewa˙z mamy równanie Schrödingera zale˙zne od 

czasu. Zastanówmy si˛e jak wygl ˛ada nasz problem w obrazie Schrödingera: 

iℏ d 

dt |ψ(t)〉 = ˆ H|ψ(t)〉, 

i − 

|ψ(t)〉 = e ℏ ˆ Ht 

|ψ(0)〉. 

Teraz wyra˙zamy zmian˛e stanów w czasie, za pomoc ˛a operatora Â(t): 

〈ψ(0)|e i 

ℏ ˆ i Ht − 

Âe ℏ ˆ Ht 

|ψ(0)〉. 

Operator Â(t) spełnia równanie ruchu, natomiast ˆ H nie zale˙zy od czasu: 

40 operatory ˆ H, Â s ˛a nieprzemienne. 

d i 

Â(t) = 

dt ℏ ˆ He i 

ℏ ˆ i Ht − 

Âe 

ℏ ˆ Ht i 

− 

ℏ 

✲ 

t 

i 

e− ℏ ˆ i Ht − 

Âe ℏ ˆ Ht 

H, ˆ 40


d i 

Â(t) = 

dt ℏ [ ˆ H, Â(t)]. 

Bior ˛ac teraz operator poło˙zenia ˆq(t) i p˛edu ˆp(t) i ró˙zniczkuj ˛ac otrzymujemy: 

d ˆp 

ˆq = 

dt m , 

d 

dt ˆp = −mω2 ˆq + f(t) , 

 

gdzie (*) - człon zwi ˛azany z sił ˛a. 

Rozwi ˛azywanie zagadnienia w obrazie Heisenberga, jest bardzo wygodne, bo rozwi ˛azujemy problem oscylatora 

bez siły, a dopiero na sam koniec wprowadzamy człon zwi ˛azany z sił ˛a. W kolejnym etapie wprowadzamy operatory 

kreacji i anihilacji: 

 

ℏ 

ˆq = 

2mω (â + â† ), 

 

mωℏ 

ˆp = i 

2 (â† − â), 

Dla t → ∞ : α = e iαt âout : 

â(t) = â(0)e −iωt , 

∗ 

â † (t) = â † (0)e iωt , 

1 

â(t) = âin(t) + √ e 

2mωℏ −iωt 

∞ 

dt 

−∞ 

′ e iωt f(t ′ ) . 

 

α(t) 

âout = âin − α 

d 

i 

â = −iωâ(t) + √ f(t), 

dt 2ℏmω 

d 

dt â† = iωâ † (t) − 

i 

√ 2ℏmω f(t). 

Wracamy do pytania zadanego na pocz ˛atku paragrafu: 

Jakie jest prawdopodobieństwo, ˙ze układ b˛edzie znajdował si˛e w stanie podstawowym? 

Pocz ˛atkowo â(t = 0) = âin, 

• âin|0in〉 = 0 - stan podstawowy w przeszło´sci, 

• âout|0out〉 = 0 - stan podstawowy w przyszło´sci, 

• âin|aout〉 = αâout - stan koherentny, stan układu na końcu. 

Z definicji stanu koherentnego, prawdopodobieństwo: 

P = |〈aout|ain〉| 2 = e −|α|2 

. 

Stan pocz ˛atkowy i stan końcowy b˛edzie stanem podstawowym.


22 Stany mieszane 

Układy dotychczas rozpatrywane były układami izolowanymi, niezale˙znymi od otoczenia. Funkcja falowa okre´slaj 

˛aca stan tego układu jest funkcj ˛a zale˙zn ˛a jedynie od jego współrz˛ednych. Wi˛ekszo´sć układów jest jednak sprz˛e˙zona 

z otoczeniem, np. gaz utrzymywany w stałej temperaturze w naczyniu. Je˙zeli przez u oznaczone b˛ed ˛a współrz˛edne 

układu, a przez t współrz˛edne otoczenia, to pomimo, ˙ze układ jako cało´sć ma dobrze okre´slony hamiltonian i 

funkcj˛e falow ˛a ψ(u, t), to jednak funkcja ta nie jest równa iloczynowi funkcji ψ1(u) i ψ2(t). Oznacza to, ˙ze układ 

jest w stanie mieszanym. Stan mieszany to zbiór stanów czystych, które wchodz ˛a z ró˙znymi wagami. 

Od stanu mieszanego oczekujemy, by warto´sci wyst˛epowały z ró˙znymi prawdopodobieństwami: (p1, s1), (p2, s2), 

ldots - stany klasyczne: prawdopodobieństwo i stan, (p1, ψ1), (p2, ψ2), ldots - stany kwantowe: prawdopodobieństwo 

i funkcja falowa reprezentuj ˛aca stan. 

We´zmy kwantowy przykład układu w stanie mieszanym, jakim jest układ ze spinem: 

α| ↑〉 + β| ↓〉 = | ↗〉. 

Tu rzut wypadkowego spinu skierowany jest na o´s inn ˛a ni˙z o´s z. 

Stan mieszany to zbiór stanów czystych, które wchodz ˛a z ró˙znymi wagami. ´Srednia warto´sć operatora Â w stanie 

mieszanym okre´slona jest wzorem: 

〈 Â〉m = p1〈ψ1| Â(t)|ψ1〉 + p2〈ψ2| Â(t)|ψ2〉 + . . . + pn〈ψn| Â(t)|ψn〉, 

〈 Â〉m = 

pn〈ψn| Â(t)|ψn〉. 

Bierzemy najprostszy układ o spinie s = 1 

2 . Mo˙zliwe s ˛a wtedy tylko dwa stany: 

Obliczamy warto´sć ´sredni ˛a operatora: 

gdzie: 

n 

|−〉 −→ 

|+〉 −→ 

0 

1 

1 

0 

 

, 

 

. 

〈 Â〉 = p1〈+| Â|+〉 + p2〈−| Â|−〉 = Tr{Âϱ}, 

ϱ = p+|ψ+〉〈ψ+| + p−|ψ−〉〈ψ−| = 

−ih d 

d+ 

0 

0 −ih d 

d− 

Stany mieszane mo˙zna opisywać w abstrakcyjny sposób przy pomocy jednego operatora: macierzy g˛esto´sci ϱ. 41 

Z takiego przedstawienia widać, ˙ze stany mieszane mo˙zna opisywać nie tylko przez funkcje falowe, ale te˙z przez 

funkcje spinu. Dodatkowo pojawia si˛e mo˙zliwo´sć mieszania stanów, ale bez konieczno´sci brania superpozycji 

funkcji falowych do opisania funkcji układu, co daje nast˛epuj ˛ac ˛a macierz g˛esto´sci: 

ϱ(r, r ′ ) = p1ψ1(r)ψ ∗ 1(r ′ ) + p2ψ2(r)ψ ∗ 2(r ′ ) + . . . + pnψn(r)ψ ∗ n(r ′ ). 

 

〈r〉 = d 3 rrϱ(r, r ′ )|r=r ′, 

 

〈p〉 = 

41 Pojawiła si˛e ona po raz pierwszy w pracach Landaua. 

d 3 r ℏ 

i pϱ(r, r′ )|r=r ′. 

 

.


23 Rozpraszanie 

23.1 Wst˛ep 

Zajmiemy si˛e teraz rozpraszaniem, czyli zmian ˛a wektora falowego k cz ˛astki (np. elektronu) przez potencjał (np. 

potencjał wytwarzany przez atom). Podstaw ˛a naszych rozwa˙zań jest równanie Schrödingera dla cz ˛astki swobodnej, 

oraz id ˛ace za nim zało˙zenie, i˙z energia rozproszonej cz ˛astki nie zmienia si˛e (bowiem zarówno przed, jak i po 

rozproszeniu musi ona spełniać to samo równanie własne: Hψ = Eψ). Zajmuj ˛ac si˛e rozpraszaniem zajmujemy 

si˛e w istocie cz ˛astk ˛a w dwóch stanach: w x = −∞, oraz w x = +∞ (bo tylko wówczas cz ˛astka jest swobodn ˛a). 

Energia rozpatrywanej cz ˛astki wyra˙za si˛e wzorem: 

E = p2 

2m = ℏ2k2 > 0. (173) 

2m 

1 

Funkcja falowa cz ˛astki swobodnej to fala płaska: 

( √ 2π) 3 eikr . Wektor k musi być bardzo du˙zy, by zdolno´sć 

rozdzielcza rozpraszania była do´sć du˙za. Mo˙zna zapisać nast˛epuj ˛ace równanie: 

(nat˛e˙zenie wi ˛azki) = (ilo´sć cz ˛astek na cm 3 ) ∗ (pr˛edko´sć elektronów), 

czyli: I = P v. Je´sli okre´slimy N jako liczb˛e zliczeń pod danym k ˛atem bryłowym (d 2 Ω = d(cosθ)dϕ), to mo˙zna 

sformułować nast˛epuj ˛acy wzór: 

N = NIσ(Ω)d 2 Ω, (174) 

gdzie σ(Ω) zwie si˛e ró˙zniczkowym przekrojem czynnym, za´s I jest proporcjonalne do powierzchni z której wylatuj ˛a 

elektrony. Całkowity przekrój czynny okre´slony jest (jak łatwo si˛e domy´slić) całk ˛a z ró˙zniczkowego przekroju 

czynnego: 

 

σtot = d 2 Ωσ(Ω). (175) 

Jednostk ˛a przekroju czynnego jest barn. 42 

23.2 Rozpraszanie: ´sci´slejsze rozwa˙zania 

1barn = 10 −24 cm 2 = 10 −28 m 2 . (176) 

Rozwa˙zać b˛edziemy asymptotyczne warunki brzegowe, czyli takie, w ktorych cz ˛astka znajduje si˛e w +∞, lub 

−∞. Schematyczne przedstawienie tej sytuacji znajduje si˛e na zamieszczonym poni˙zej rysunku. Na rysunku tym 

nadchodz ˛aca fala płaska symbolizowana jest przez linie pionowe, za´s potencjał rozpraszaj ˛acy - przez okr˛egi. 43 

✬✩ 

✤✜ 

✗✔ 

♠ 

✫✪ 

✣✢ 

✖✕ 

Funkcja falowa cz ˛astki rozproszonej (dla r → ∞) przedstawia si˛e nast˛epuj ˛acym wzorem: 

ψ (+) 

k 

= eikr + f(Ω) eikr 

. (177) 

r 

42Barn w j˛ezyku angielskim znaczy ‘stodoła’. Jest to zwi ˛azane z faktem, i˙z przekroje czynne wielko´sci 1 barn s ˛a ogromne, ‘tak wielkie jak 

stodoła’. 

43Nieprawda˙z, i˙z rysunek ten jest bardzo schematyczny? (przyp. R.K.)


Równanie Schrödingera dla cz ˛astki swobodnej: 

Przechodzimy do współrz˛ednych sferycznych: 

co dla r → ∞: 

Podstawiaj ˛ac ϕnl(r) = u(r) 

r , mamy: 

− ℏ2 

2m ∇2 ψ = Eψ. 

− ℏ2 1 

2m r2 ∂ ∂ 

(r2 

∂r ∂r )ϕ + ℏ2l(l + 1) 

2mr2 ϕ = Eϕ, 

∼= − ℏ2 1 

2m r2 ∂ ∂ 

(r2 

∂r ∂r )ϕnl(r) = Eϕnl(r). 

− ℏ2 

2m 

d2u = Eu. 

dr2 Rozwi ˛azaniem tego równania jest oczywi´scie u = e ±ikr , st ˛ad: 

ϕnlm(r, θ, ϕ) = [ 

clmYlm(θ, ϕ)] 

l,m 

 

f(θ,ϕ),Ω=(θ,ϕ) 

bowiem superpozycja liniowa rozwi ˛azań równie˙z jest rozwi ˛azaniem. 

Gwoli przypomnienia: pr ˛ad prawdopodobieństwa opisuje si˛e wzorem: 

J = ℏ 

2mi (ψ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ). 

Dla wi ˛azki wpadaj ˛acej opisywanej fal ˛a eikr mamy pr ˛ad J = ℏk, 

za´s dla członu rozproszeniowego (dla r → ∞), 

opisywanego fal ˛a f(Ω) eikr 

23.3 Funkcje Greena 

r , mamy pr ˛ad: Jrel = ℏk 

m 

Wiemy ju˙z, i˙z: H0 = − ℏ2 

2m ∇2 , p = ℏk, H = − ℏ2 

Poni˙zsze dwa wzory nale˙zy przyj ˛ać na wiar˛e: 

|f(Ω)| 2 

r 2 

m 

e ikr 

r , 

. Amplituda˛ rozpraszania jest f(Ω). Zachodzi zatem: 

σ(Ω) = |f(Ω)| 2 . (178) 

2m∇2 + V (r), ψ (+) 

k 

(r), Hψ(+) 

k 

ψ (+) 

k (r) −→r→∞ e ikr + f (+) 

k (Ω)eikr 

r . 

△( 1 

r ) = −4πδ3 (r) 

(△ + k 2 ) eikr 

r = −4πδ3 (r) 

= Eψ(+) 

k 

, oraz: 

Pomy´slmy o polu wytworzonym przez przestrzenny rozkład ładunku. Potencjał całkowity rozbija si˛e na całk˛e po 

ładunkach (lokalnych g˛esto´sciach): 

 

ϕ = d 3 r ′ ϱ(r′ ) 

|r − r ′ | . 

Funkcj˛e Greena definiujemy nast˛epuj ˛aco: 

G(r, r ′ ) = −m 

2πℏ 3 

eik|r−r′ | 

|r − r ′ . (179) 

|


Funkcja Greena spełnia równanie: 

ℏ 2 

2m (△r + k 2 )G(r, r ′ ) = −4πδ 3 (r − r ′ ), 

ℏ2 2m (△r + k 2 )ψ + 

k 

Jednym z rozwi ˛azań powy˙zszego równania jest: 

Zatem, ostatecznie: 

(r) = V (r)ψ+ (r) =: F (r). 

˜ψ = d 3 r ′ G(r, r ′ )F (r ′ ) 

ψ + 

k (r) = eikr 

+ 

k 

d 3 r ′ G(r, r ′ )F (r ′ ), 

gdzie drugi człon równo´sci opisuje kulist ˛a fal˛e rozproszon ˛a dla r → ∞. W ogólno´sci mamy równanie całkowe: 

ψ + 

k (r) = eikr − m 

2πℏ2 

d 3 r ′ eik|r−r′ | 

|r − r ′ | V (r′ )ψ + 

k (r′ ). (180) 

Mo˙zemy to równanie przybli˙zać, obliczaj ˛ac je sekwencyjnie, przez podstawienie kolejno obliczonych ψ + 

k (r): 

0 rzad: ˛ ψ + 

k (r)(0) = e ikr . 

1 rzad: ˛ ψ + 

k (r)(1) = e ikr − m 

2πℏ2 

d 3 r ′ eik|r−r′ | 

|r − r ′ | V (r′ )e ikr . 

Powy˙zszy stopień przybli˙zenia rozwi ˛azania nazywa si˛e przybli˙zeniem Borna funkcji falowej rozproszeniowej. 

24 Rozpraszania ciag ˛ dalszy 

24.1 Postulaty, na dobry poczatek ˛ 

• Operatory tworzymy z obserwabli (wielko´sci fizycznych, daj ˛acych si˛e zmierzyć do´swiadczalnie): 

Θ(r, p) −→ ˆ Θ(r, −iℏ ∇). 

• W warto´sciach bezwzgl˛ednych kodujemy prawdopodobieństwo znalezienia cz ˛astki w danym miejscu: 

|ψ(r, t)| 2 = ϱ(r, t), 

natomiast w fazie, prawdopodobieństwo znalezienia cz ˛astki o danym p˛edzie: 

ψϱ(r)e ip0r → 〈p〉 = p0. 

• Warto´sć ´sredni ˛a obserwabli zmierzymy na podstawie wzoru: 

〈 ˆ 

Θ〉 = 

d 3 rψ ∗ ˆ Θψ. 

• Jedynymi mo˙zliwymi warto´sciami pomiaru wielko´sci fizycznych opisanych przez ˆ Θ s ˛a λ: 

ˆΘψλ = λψλ, λ ∈ R.


• Mechanika kwantowa, jest teori ˛a deterministyczn ˛a, znaj ˛ac funkcj˛e falow ˛a ψ, mamy informacj˛e o zachowaniu 

układu, teraz i w przyszło´sci: 

iℏ ∂ψ 

∂t = ˆ Hψ, 

ˆH = − ℏ2 

2m ∇2 + V (r). 

• Mechanika kwantowa daje ´scisłe i “ładne” rozwi ˛azania, dla prostych symetrycznych zagadnień. Gdy nie ma 

symetryzacji, problem jest bardziej skomplikowany, stosuje si˛e wi˛ec przybli˙zenia i rachunek zaburzeń. 

• Niezale˙zne od czasu równanie: 

ˆHψE = EψE 

umo˙zliwia wyznaczenie całego spektrum energii - energie ujemne s ˛a skwantowane - otrzymujemy spektrum 

dyskretne, dla energii dodatnich - spektrum ci ˛agłe. 

24.2 Rozpraszanie 

Mamy biegn ˛ac ˛a fal˛e płask ˛a e ikr , opisan ˛a wektorem falowym k. Badamy zachowanie tej fali po “przej´sciu” przez 

centrum rozproszeniowe. 

Szukamy rozwi ˛azania postaci: 

e 

✲ 

ikr 

① 

✩ 

✜ 

✏ 

✑ 

✢ 

✪ 

ψ + 

k −→r→∞ e ikr + f(Ω) eikr 

r , 

σ (Θ, ϕ) = |f(Θ, ϕ)| 

 

Ω 

2 . 

Rozwi ˛azuj ˛ac równanie Schrödingera, z hamiltonianem H = H0 + V , otrzymujemy: 

(E − H0)ψ (+) = (V ψ (+) ), 

ψ + 

k (r) = eikr − m 

 

2πℏ 

Obszar całkowania r ′ w okolicach potecjału: 

W przybli˙zeniu Borna: 

1. r ∼ [m] 

2. r ′ ∼ [fm] 

ψ + 

BORN (r) = eikr − m 

2πℏ2 

d 3 r eik|r−r′ | 

|r − r ′ | V (r′ )ψ + 

k (r′ ). 

 

⇒ r >> r ′ . 

Szukamy amplitudy rozproszenia: rozwijamy w szereg |r| >> |r ′ |: 

d 3 r ′ eik|r−r′ | 

|r − r ′ | V (r′ )e ikr′ 

. 

|r − r ′ | = (r − r ′ ) 21/2 2 ′ 2 ′ 

= r + r − 2rr 2 

r′ 

= r 1 + − 2rr′ 

r2 r2 1/2 

= 44 

r 1 − rr′ 

r2 

= r − rr′ 

r . 

44 stosujemy wzór: (1 + ε) n = 1 + nε.


Na podstawie powy˙zszego rozwini˛ecia: 

gdzie kout = k r 

r 

e ik|r−r′ | 

|r − r ′ | 

eikr 

r 

 

“0” rz ˛ad 

rr′ ik(− 

e r ) 

 

e−ikoutr , 

- wektor, opisuj ˛acy fal˛e wychodz ˛ac ˛a (rozproszon ˛a). Amplituda rozpraszania w przybli˙zeniu 

Borna jest proporcjonalna do przestrzennej transformaty Fouriera potencjału rozpraszania. 

f(Θ, ψ) = − m 

2πℏ2 

d 3 r ′ e −koutr′ 

V (r ′ ′ 

ikr 

)e = − m 

2πℏ2 

d 3 r ′ e i△r V (r ′ ), 

gdzie △ = k − kout - wektor, okre´sla punkt przekazania p˛edu. 

24.3 Rozpraszanie na sferycznym potencjale 

Mamy funkcj˛e kulist ˛a 

ψ (+) (r, Θ, ϕ) = ψ(r, Θ) = Yl(r)Ylm(Θ, ϕ); 

ψ(r, Θ) = 

l=0 

Yl(r) 

r Pl(cos Θ), Ylm ∼ e imϕ . 

Wstawiamy do równania Schrödingera i wykonujemy separacj˛e: 

2 d 

dr2 + (k2 l(l + 1) 

− u − 

r2 

) Yl(r) = 0, 

Dla r −→ 0 : Yl(r) −→ r l+1 . 

Dla równania postaci: 

gdzie k 2 = 2mE 2m 

, u = V. 

ℏ2 ℏ2 d 2 

dr 2 Yl + k 2 Yl = 0 

otrzymujemy rozwi ˛azanie oscyluj ˛ace: Yl = Al sin(kr + δl). 

Gdy równanie wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: 

d 2 

dr 2 + (k2 − 

l(l + 1) 

r2 

) Yl(r) = 0, 

to rozpatrujemy asymptotyczn ˛a postać funkcji Bessela → jl(kr) −→r→∞ 

Dla wysokich l - funkcja Bessela zabija potencjał i “dłu˙zej” jest zerowa. 

sin(kr− lπ 

2 ) 

(kr) 

Zawsze mo˙zliwe jest numeryczne znalezienie Yl(r) −→r→∞ Al sin(kr − lπ 

2 + δl). Znalezienie Al pozwoli na 

odtworzenie fali wpadaj ˛acej i rozproszonej. Rozkładamy fal˛e płask ˛a, na fale cz ˛astkowe: 

e ikz = e ikr cos Θ = 

ψ(r, Θ) = e ikr + f(Θ) eikr 

r = 

∞ 

(2l + 1)i l jl(kr)Pl(cos Θ), 

l=0 

∞ 

l=0 

 

Pl(cos Θ) i l (2l + 1) jl(kr) + fl 

= 

 

i 

l 

l lπ sin(kr − 2 (2l + 1) ) e 

+ fl 

kr 

ikr 

 

= 

r 

 

(1) 

. 

eikr 

= 

r


(1) - asymptotyczna postać funkcji falowej, dla ka˙dej fali parcjalnej. 

Porównujemy (1) i (2), dla r >> 1: 

∞ 

l=0 

ikr e 

Pl(cos Θ) 

r (fl + 

2l + 1 

2ik 

= 

∞ 

l=0 

Pl(cos Θ) Al sin(kr − lπ 

2 

r 

+ δl) 

. 

 

(2) 

 

eikr 2l + 1 

) + (−1)l+1 = 

r 2ik 

z przyrównania członów przy e±ikr 

2ir , otrzymujemy: Al: 

amplituda rozpraszania rozło˙zona na fale parcjalne: 

24.4 Całkowity przekrój czynny 

1 

σtot = 

−1 

d cos Θ 

Całkowity przekrój czynny: 

przy czym danej fali parcjalnej: 

∞ 

l=0 

l 2l + 1 

Al = (i) e 

k 

iδl , 

fl = 

2l + 1 

2ik (e2iδl − 1). 

Pl(cos Θ) Al 

r 

e ikr 

2ir 

ei(− lπ 

2 +δl) − e −ikr 

2ir 

lπ 

ei( 2 −δl) 

 

, 

2π 

dϕ|f(Θ, ϕ)| 

0 

2 1 

= 2π d cos Θ|f(Θ)| 

−1 

2 1 

∞ 

= 2π d cos Θ f 

−1 

l=0 

∗ ∞ 

l Pl(cos Θ) f˜l P˜l (cos Θ) = 

l=0 

1 

2 

= d cos ΘPl(cos Θ)P˜l (cosΘ) = δl˜l −1 

2l + 1 . 

Zastosowanie powy˙zszego formalizmu: 

P0(cos Θ) = 1 

P1(cos Θ) = cos Θ 

σtot = 4π 

k2 

l sin2 δl(2l + 1) = 

l σtot 

l , 

σ tot 

l 

< 4π 

(2l + 1). 

k2 

⇒ 2 pierwsze wielomiany Legendre‘a. 

f0 = 0, f(Θ) = const. 

Dla niskich energii rozpraszanie jest izotropowe - pod ka˙zdym k ˛atem, liczba rozpraszanych cz ˛astek jest taka sama. 

Amplituda rozproszenia, w układzie sferycznym: 

f(Θ, ϕ) = f(Θ), 

f(Θ) = 

flPl(cos Θ). 

l


25 Kwantyzacja układu zło˙zonego z N oscylatorów 

25.1 Wst˛ep 

Wyobra´zmy sobie układ N mas m poł ˛aczonych spr˛e˙zynkami w kółeczko. Prowadzimy arytmetyk˛e modulo N , 

czyli n ∈ 0, 1, . . . , N − 1, za´s n = N to to samo, co n = 0. 45 Hamiltonian dla takiego układu wyra˙za si˛e 

nast˛epuj ˛aco: 

N −1 

H = 

n=0 

( p2 n 

2m 

+ k 

2 (xn+1 − xn) 2 ). 

Hamiltonian dla układów rzeczywistych jest bardziej skomplikowany: 

H real = 

nxnynz 

( p2 nxnynz 

2m + V (xnx+1 − xnx) + V (xnxnynz − . . .) + V (. . . )). 

Minimum potencjału zachodzi dla kryształu spoczywaj ˛acego (tzn. dla jego drgań równych zeru). 

25.2 Skończona transformata Fouriera 

B˛edziemy poszukiwać rozwi ˛azań równania opsiuj ˛acego kryształ w postaci skończonej transformaty Fouriera. 

We´zmy dowoln ˛a funkcj˛e fn: 

˜fk = 

Znamy rozwi ˛azanie N równań ró˙zniczkowych: 

Dla skończonej transformaty Fouriera: 

Teraz: 

N −1 

n=0 

p 2 n 

 

p ∗ n pn 

k 

N −1 

n=0 

 

fn = 1 

N −1 

N 

N −1 

n=0 

k=0 

exp( 2πi 

N nk)fn. 

exp(− 2πi 

N nk) ˜ fk. 

z n = zN − 1 

z − 1 . 

= 

( 

n 

1 

N exp(−2πi 

N nk) ˜ fk)( 

 

 

= 1 

N 2 

 

k, ˜ k 

f ∗ k ˜ f˜ k 

1 2πi 

N exp( N nk) ˜ f ∗ k 

 

n 

exp( 2πi 

N n(k = ˜ k)) 

 

(exp( 2πi 

N (k−˜ k))) n 

 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

 

n 

yn = xn+1 − xn = 1 

N 

= N : k = ˜ k 

= 0 : k = k 

xn+1 − xn =: yn. 

y 2 n → 1 

N −1 

N 

k=0 

 

k 

˜k 

 

| ˜yk| 2 . 

e 2πi(n+1)k ˜xk − 1 

N 

1 

N exp(−2πi 

N ˜ kn) ˜ f˜ k ) = 

= 1 

N −1 

N 

 

k 

 

| ˜pk| 2 . 

n=0 

e 2πi 

N nk ˜xk = 

45 Wła´sciwie łatwiej byłoby to zrozumieć z rysunku, lecz niestety, brak mi na to czasu dzi´s, wybaczcie... (przyp. R.K.)


= 1 

N 

 

k 

e 2πi 

N nk (e 2πi 

N k − 1)˜xk. 

k 2πi 

uwaga: e N = 1 + 2πik 

N 

W ten sposób odtworzyli´smy własno´sci transformaty Fouriera. 

+ . . . 

e 2πi 

N k − 1 = e iπk 

N (e iπk 

iπk 

N − 

− e N ) = e iπk 

N 2i sin( πk 

N ). 

|e 2πi 

N k − 1| 2 = 4 sin 2 ( πk 

N ). 

Ostatecznie hamiltonian dla układu wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛aco: 

 

( | ˜pk| 2 

H = 1 

N −1 

N 

k=0 

2m + 2mω2 sin 2 ( πk 

N )|˜xk| 2 ) = 1 

N 

 

Ωk(A † 

k 

k Ak + 1 

). (181) 

2 

D´zwi˛ek w krysztale chodzi w paczkach - jest skwantowany. Skwantowali´smy zatem pole d´zwi˛ekowe. Jego kwanty 

to fonony. 

26 Podsumowanie wykładu “Mechanika kwantowa” 

Jedynym kryterium poprawno´sci teorii jest zgodno´sć z do´swiadczeniem. Nasze zmysły s ˛a przystosowane do 

mezo-, nie za´s mikro´swiata. Dziury w całym s ˛a ´zródłem post˛epu. Wci ˛a˙z si˛e ich szuka, lecz mechanika kwantowa 

- opisuj ˛aca mikro´swiat sprzecznie z naszymi intuicjami - wci ˛a˙z si˛e dobrze (nadzwyczaj dobrze) trzyma. 

Przepis kuchenny na otrzymanie mechaniki kwantowej: bierzemy wielko´sć fizyczn ˛a, zapisan ˛a w j˛ezyku poło˙zeń i 

p˛edów: Θ(r, p) i przypisujemy jej operator kwantowy ˆ Θ(r, −iℏ∇), działaj ˛acy na funkcj˛e falow ˛a ψ, która niesie 

cał ˛a informacj˛e o układzie: ψ(r, t). ψ koduje g˛esto´sć prawdopodobieństwa znalezienia cz ˛astki w danym punkcie 

(r, t): |ψ| 2 = ϱ(r, t). Funkcja falowa przedstawia nasz stan wiedzy o układzie po idealnym pomiarze. Warto´sć 

´srednia otrzymana w pomiarze to 〈 ˆ Θ〉 = d 3 rψ ∗ ˆ Θψ. Rzadko daje si˛e wzbudzić układ do pewnego okre´slonego 

stanu - raczej do kilku stanów z pewnym prawdopodobieństwem. Opisuje to macierz g˛esto´sci ϱ. Operatory opisuj 

˛ace wielko´sci fizyczne musz ˛a być hermitowskie. Spełniaj ˛a one równanie (twierdzenie spektralne): ˆ Θϕλ = λϕλ, 

gdzie λ ∈ R to warto´sć wielko´sci, jak ˛a mo˙zemy zmierzyć, za´s ϕλ to funkcja stanu układu w momencie pomiaru. 

λ to jedyne mo˙zliwe warto´sci, które mo˙zna otrzymać w wyniku pomiaru ˆ Θ. ψ to tylko nasza wiedza o układzie, 

nie za´s obiekt istniej ˛acy rzeczywi´scie. 46 Twierdzenie spektralne mówi, i˙z warto´sci własne s ˛a dwóch rodzajów – 

dyskretne, b ˛ad´z ci ˛agłe. Dla spektrum dyskretnego (dla hamiltonianu: En < 0) funkcje własne nale˙z ˛a do zbioru 

funkcji całkowalnych z kwadratem: ϕn ∈ L 2 (R 2 ). Dla ci ˛agłych spektrum funkcje własne s ˛a anormalne 47 , nie 

nale˙z ˛a do L 2 (R 2 ). S ˛a one normalizowalne dopiero na gruncie dystrybucji - do delty Diraca. Wówczas ψ + 

E : 

Ek = ℏ2k 2 

∂ψ 

2m . Ewolucja czasowa funkcji falowej dana jest równaniem Schrödingera: iℏ ∂t = ˆ Hψ. Jest to rów- 

nanie ró˙zniczkowe cz ˛astkowe. Jedyn ˛a znan ˛a ´scisł ˛a metod ˛a rozwi ˛azywania równań ró˙zniczkowych cz ˛astkowych 

jest separacja zmiennych. Gdy nie da si˛e równań w ten sposób rozwi ˛azać, to dokonujemy rachunku zaburzeń, 

czyli rozdzielenia hamiltonianu na cz˛e´sć du˙z ˛a (o rozwi ˛azaniu znanym) i cz˛e´sć mał ˛a - zaburzenie. W mechanice 

kwantowej, tak jak i w klasycznej, obowi ˛azuje Twierdzenie Noether. Dla ψ(r, t), przy potencjale V : ∂V 

∂t = 0 

mo˙zna dokonać separacji: 

ψ(r, t) = f(t)ϕE(r) = e −iEt/ℏ ϕe(r). 

ψ(r, t) = 

n cne−iEnt/ℏϕE(r) jest najogólniejszym rozwi ˛azaniem równania Schrödingera dla potencjału niezale˙znego 

od czasu. Dla t = 0: 

ψ(r, t = 0) = ϕ0(r) = 

cnϕE(r), 

cn = 〈ϕEn |ϕ0〉 

 

= 

n 

d 3 rϕ0(r)ϕ ∗ En (r). 

46David Bohm istotnie z tym polemizuje - patrz “Quantum Mechanics”, “Ukryty porz ˛adek”, oraz prace nt. teorii parametrów ukrytych. 

(przyp. R.K.) 

47czyli po prostu nienormalne. (przyp. R.K.)


Kolejna cz˛e´sć twierdzenia spektralnego: wektory własne stanowi ˛a baz˛e w przestrzeni Hilberta, czyli ka˙zdy stan 

daje si˛e przedstawić jako kombinacja liniowa stanów (wektorów) własnych. Operatory momentu p˛edu nie komutuj 

˛a ze sob ˛a. Problem atomu wodoru jest jednym z nielicznych problemów, które w mechanice kwantowej daj ˛a 

si˛e ´sci´sle rozwi ˛azać. Dla elektronu w atomie wodoru otrzymali´smy nast˛epuj ˛ace funkcje własne operatora energii: 

ψE(r, θ, ϕ) = ψnl(r)Ylm(θ, ϕ). 

Otrzymane przy okazji harmoniki kuliste Ylm s ˛a funkcjami własnymi operatora momentu p˛edu: 

L 2 Ylm = ℏl(l + 1)Ylm 

ˆLzYlm = ℏmYlm 

l = 0, 1, . . . 

m = −l, . . . , l 

S ˛a to jawne rowi ˛azania dla atomu wodoru, czyli dla potencjału V (r) = α 1 

r . Aby znale´zć funkcj˛e falow ˛a dla 

której dwie obserwable maj ˛a dokładne warto´sci w tym samym pomiarze, musi być spełniony warunek komutacji 

(równego zeru komutatora operatorów reprezentuj ˛acych te obserwable): [ Â, ˆ B] = 0. Z faktu [ˆx, ˆpx] = iℏ 

wynika zasada nieoznaczono´sci Heisenberga: △x△px ℏ 

2 , opisuj ˛aca relacj˛e pomi˛edzy p˛edem a poło˙zeniem. 

Jedynym obliczeniowym wgl ˛adem w skomplikowan ˛a rzeczywisto´sć jest rachunek zaburzeń. Cz ˛astki elementarne 

mikro´swiata maj ˛a mas˛e oraz spin, czyli wewn˛etrzny moment obrotowy. Cz ˛astki mog ˛a posiadać wewn˛etrzny moment 

p˛edu, zatem jakim´s operatorem trzeba go reprezentować. Cz ˛astki ze spinem mog ˛a mieć kwantow ˛a liczb˛e 

spinow ˛a s = 0, 1 3 , 1, , 2, . . . Cz ˛astki o spinie całkowitym zwiemy bozonami. Funkcja falowa dla bozonów musi 

2 2 

być symetryczna: ψsym. Spin ułamkowy maj ˛a za´s fermiony. Ich funkcja falowa jest ψantysym. Zachodzi zakaz 

Pauliego: ˙zadne dwa fermiony nie mog ˛a mieć tej samej funkcji falowej. 

26.1 Jako rzecze Feynman 

Według Feynmana (w oparciu o ksi ˛a˙zki Diraca) mechanika kwantowa dotyczy propagatora: U(xB, tB, xA, tA). 

Prawdopodobieństwo okre´sla si˛e oczywi´scie przez |U| 2 . Jaka jest amplituda prawdopodobieństwa tego, ˙ze cz ˛astka 

znajdzie si˛e ze stanu (xA, tA) w stanie (xB, tB)? Feynman rzecze: 

U(xB, tB, xA, tA) = 

 

(xB,tB) 

(xA,tA) 

D[x(t)]e 

b 

i 

ℏ 

a 

dtL( ˙x(t),x(t)) 

. 

Cz ˛astka mo˙ze si˛e poruszać po wszystkich drogach - zatem trzeba po nich przecałkować. Całki po drogach wymy´slone 

były do opisu ruchów Browna. Teoria tych całek jest bardzo trudna, wi˛ec to, co si˛e udało policzyć, to tylko całka z 

gaussa razy wielomian. Feynman udowodnił, ˙ze jego opis jest równowa˙zny z “klasyczn ˛a” mechanik ˛a kwantow ˛a. 

26.2 Od kronikarzy 

To ju˙z ostatnia strona notatek z wykładu. W tym miejscu chcieliby´smy postawić \end{document}, co te˙z za 

chwil˛e uczynimy. Jednak przedtem chcemy przeprosić za wszelakie bł˛edy, ewentualnie znajduj ˛ace si˛e w tych 

notatkach (a zwłaszcza za dalek ˛a nieidealno´sć rysunków, jednakowo˙z wykonanie ich w sposób zadowalaj ˛acy 

pochłania ogromne ilo´sci czasu rzeczywistego, za´s my funkcjonujemy wyłacznie w urojonym). Wynikaj ˛a one z 

powodu TEX’owania o 2 w nocy, kiedy to poj˛ecie bł˛edu, a w ogólno´sci egzystencji jako takiej, staje si˛e wysoce nietrywialne, 

nawet w drugim rz˛edzie rachunku zaburzeń (emocjonalnych). Przepraszamy. I jednocze´snie ˙zyczymy 

wszystkim 

\end{document} 48 

Szcz˛e´sliwego kwantowania! 

48 A ja mam jeszcze nadziej˛e na butelk˛e wina czerwonego półwytrawnego! (przyp. R.K.)


26.3 Appendix 

Oto bonusowy rysunek p. Anny Kauch wyja´sniaj ˛acy niejedne zawiło´sci problemu normalizacji wektora stanu w 

rachunku zaburzeń.

Mechaniki Kwantowej

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?