3. POSPEŠEK DELCA Po prostoru gibajoči se delec se v času t ...

3. POSPEŠEK DELCA
Po prostoru gibajoči se delec se v času t nahaja v točki T na krivulji, podani s
krajevnim vektorjem v r = v r (t), pri čemer znaša njegova hitrost tedaj, ko se nahaja v
v v
navedeni točki T, v = v (t). Po preteku (končnega) časovnega intervala ∆ t se delec nahaja
v
v točki T’, ki je podana s krajevnim vektorjem r ’= v r (t+ ∆ t) kjer znaša tedaj trenutna
v v
hitrost delca v ’= v (t+ ∆ t). V danem časovnem intervalu ∆ t, se je hitrost delca
spremenila za (končno) vrednost ∆ v , ki je definirana z izrazom, = v ∆ ’ -
v v
v v v =
v v
v (t+ ∆ t) - v (t). V
T
v (t)
v r (t) v r (t+∆t)
T’
v (t+∆t)
v v
∆ v (t+ ∆ t)
Slika 8. V trenutku t, ko se masna točka nahaja v točki T krivulje znaša njena hitrost v (t).
V časovnem intervalu t se delec premakne v točko T’ prostora kjer je hitrost delca
’= v ∆
v v (t+ ∆ t). Vektorska sprememba hitrosti v danem časovnem intervalu opazovanja,
∆ t, je podana z ∆ v = v ’- v v v in je usmerjena v konkavno stran prostorske krivulje gibanja.
v
V to smer kaže tudi povprečni pospešek a .
splošnem kaže tako definirana vektorska sprememba hitrosti, ∆ v v , vedno na konkavno
stran dane prostorske krivulje gibanja, slika 8. Za zelo umestno se izkaže, če se definira
povprečni pospešek, v a , kot
v
a = ∆
v
∆t
=
v v
v(
t + ∆t)
− v(
t)
,
∆t
količino, ki podaja spremembo (vektorja) hitrosti v danem časovnem intervalu. Iz
definicije sledi, da je smer vektorja povprečnega pospeška podana s smerjo spremembe
vektorjev hitrosti, ki se odvije v intervalu opazovanja ∆ t. Iz definicije je razvidno, da je
enota povprečnega pospeška enaka,
25

[ ]
v
a =
m/ s
s
= m
. 2
s
Povprečni pospešek, v a , sam po sebi ne predstavlja pomembnejše kinematične
karakteristike gibajočega delca, marveč služi le za definicijo (trenutnega) pospeška v a , ki
je podan z izrazom,
v
a = lim ∆ t → 0 ∆
v
∆
t = lim ∆ t → 0
v v
v(
t + ∆t)
− v(
t)
∆t
= dv
v
dt
= dr
2v
2
dt
= v &&
r .
Pospešek delca, v a , je enak kvocientu infinitezimalne spremembe hitrosti, d v , ki se je
odvila v infinitezimalnem časovnem intervalu dt. Iz definicije je razvidno, da ima
(trenutni) pospešek smer infinitezimalne spremembe hitrosti d v , ki v splošnem tudi kaže
na konkavno stran prostorske krivulje gibanja.
Ob tej definiciji je tokrat potrebno podrobneje navesti smer vektorja pospeška v a . Naj
bo v r krajevni vektor do točke T na krivulji. Enotni vektor tangente v tej točki je podan z
)
etg . Od prej je poznano, da je
) e tg =
v
v =
v
s&
v
dr
=
ds
= v r ’,
kjer črtica pomeni, da gre za odvod krajevnega vektorja po naravni koordinati s.
Kot je znano iz matematike, je oblika prostorske krivulje natančno določena, če sta
poznani t.im. fleksijska in torzijska ukrivljenost krivulje v odvisnosti od parametra s. S tem
v zvezi je najprej potrebno definirati normalno ravnino prostorske krivulje kot tisto
ravnino, ki poteka skozi izbrano točko T(x,y,z) krivulje in stoji pravokotno na tangenti ) e tg .
Če vektor v R =(X, Y, Z) označuje krajevni vektor poljubne točke (X, Y, Z) na normalni
ravnini je vektorska razlika v R - v r vektor, ki leži v normalni ravnini in zato stoji pravokotno
na ) e tg . Enačba normalne ravnine se zato v vektorski obliki glasi
( v R - v r ) v &r = 0.
Tista ravnina, ki poteka skozi tangento, ) e tg , in se dani prostorski krivulji v izbrani točki
T(x,y,z) najtesneje prilega se imenuje pritisnjena ravnina (v primeru, da gre za ravninsko
krivuljo je pritisnjena ravnina kar tista ravnina v kateri leži krivulja sama). V splošnem je
pritisnjena ravnina tista ravnina, ki poteka skozi dano točko krivulje T in dve ali več točk,
ki
v
ležijo na krivulji in se nahajajo v infinitezimalno bližnji okolici dane točke T. Če sedaj
R pomeni krajevni vektor, do poljubne točke (X,Y,Z), ki leži v pritisnjeni ravnini, vektor
v
r pa krajevni vektor izbrane točke T krivulje se, kot je znano iz matematike, enačba
pritisnjene ravnine v vektorski obliki zapiše,
( v R - v r ) ( v &r x v &&
r ) = 0,
oziroma, če je krivulja izražena z naravno koordinato s, v obliki
( v R - v r ) ( ) e t x ) e t ’) = 0
26

kjer je ) e t = ) e t (s) in črtica pomeni odvod enotnega vektorja v smeri tangente, ) e t , po naravni
koordinati. Iz slednjega izraza izhaja, da je vektorski produkt ) e t x ) e t ’ vektor, ki stoji
pravokotno na pritisnjeno ravnino in ker mora biti mešani produkt vektorjev, od katerih sta
dva enaka po definiciji nič, je
)et ’ ( ) e t x ) e t ’) = ( ) e t ’, ) e t , ) e t ’) = 0.
Od tod izhaja, da leži vektor ) et ’ v pritisnjeni ravnini in ker je ) et enotni vektor stoji
) ' ) '
e te
t enaka recipročni
pravokotno na njega. Izkaže se, da je velikost vektorja ) e t
' =
vrednosti polmera pritisnjenega kroga, rpr, na krivuljo v točki T(x,y,z),
1
r pr
=
) )
e e
' '
t t
2 2
= x'' + y'' + z''
2 .
Enotni vektor, ki leži na premici v pritisnjeni ravnini ter poteka skozi izbrano točko T tako,
da stoji pravokotno na tangenti, ) e t , in kaže proti središču pritisnjenega kroga (torej na
konkavno stran krivulje) se imenuje glavna normala, ) n . Ker je tudi ) e t ’ vektor v pritisnjeni
ravnini in stoji pravokotno na ) e t , leži vektor ) e t ’ na glavni normali in ker je njegova
absolutna vrednost enaka 1/rpr, sledi,
)
et ’ = 1
rpr ) n .
Vektorski produkt enotnih vektorjev tangente in glavne normale je vektor, ki po definiciji
stoji pravokotno na oba vektorja in je torej pravokoten na pritisnjeno ravnino. Če se
navedeni vektorski produkt označi z vektorjem ) e bi , torej
)ebi = ) e t x ) n
le-ta definira binormalo, to je enotni vektor, ki stoji pravokotno na vektorja ) e t in ) n (in
definirata pritisnjeno ravnino). Da je velikost (t.j. absolutna vrednost) vektorja ) e bi v resnici
enaka 1 je razvidno iz definicije, saj je ) e bi = sin 90 o = 1.
Iz zapisanega je očitno, da določa krivulja v prostoru v vsaki svoji točki T tri med seboj
pravokotne enotne vektorje, tangento ) e t , glavno normalo, ) n , in binormalo, ) e bi , ki tvorijo
desnosučni koordinatni sistem, poimenovan naravni, oziroma osnovni trieder. Le-ta je
torej definiran z izrazom,
)et x ) n = ) e bi .
Iz definicije pospeška delca, v a , sledi
v
a = v && r = d( &s ) et )/dt = && s ) et + &s de
)
t
dt
,
27

pri čemer je potrebno izračunati še odvod enotnega vektorja v smeri tangente na krivuljo v
točki T po času. Iz definicije odvoda sledi,
)
det
dt
= lim ∆t→o ∆
)
et
,
∆t
kjer je ∆ ) et = ) )
et (t+ ∆ t) - et (t) in vektor ) et (t+ ∆ t) je enotni vektor tangente v točki T’ na
krivulji katere koordinate so (x(t+ ∆ t), y(t+ ∆ t),z(t+ ∆ t)). Ker velja,
lim ∆t→o ∆
)
et
= lim ∆t→o
∆t
∆
)
et
∆s
= &s lim∆s→o
∆s
∆t
∆
)
et
=
∆s
)
det
&s
ds
=
&s ) e t ’
zaradi že prej izpeljanih izrazov sledi, da je pospešek delca pri poljubnem gibanju po
prostorski krivulji opisan z enačbo,
v
a = && s ) et + &s
kjer je
2
r pr
) n ,
&& s = d( &s )/dt = d(v)/dt = atg
&s
2
r pr
= v
2
rpr = an
atg komponenta vektorja pospeška vzdolž tangente na krivuljo in je povezana s časovno
spremembo absolutne vrednosti (velikosti) vektorja hitrosti in an je komponenta pospeška
delca vzdolž glavne normale, ) n .
V splošnem se da dokazati, da je vrednost polmera pritisnjenega kroga na krivuljo v
točki T, rpr, enaka recipročni vrednosti fleksijske ukrivljenosti (ali upognjenosti) krivulje,
1/ ρ , pri čemer je upognjenost definirana kot,
1
ρ = lim ∆s→o ∆ϑ
∆s
,
kjer je kot ∆ ϑ definiran kot kot med vektorjema ) et (t) in ) et (t+ ∆ t) in torej pomeni kot
zavrtitve enotnega vektorja tangente krivulje v časovnem intervalu ∆ t, ko se naravna
koordinata spremeni za vrednost ∆ s.
Na podoben način je definirana torzijska ukrivljenost ali zvitost krivulje, τ. Binormali
)
ebi (t) v točki T in ) ebi (t+ ∆ t) v točki T’ v splošnem med seboj oklepata od nič različen kot
∆ψ. Tedaj meri kvocient ∆ψ/ ∆ s hitrost s katero se suče binormala, če gre točka od T do
T’. Limita tega kvocienta, ko gre T’ proti T je definirana kot torzijska ukrivljenost ali
zvitost,
28

1
τ
= lim∆s→o ∆
ψ
∆s
Mogoče je pokazati, da je recipročna zvitost krivulje 1/τ, enaka absolutni vrednosti odvoda
. Med navedenimi količinami v splošnem velja
binormale po spremenljivki s, t.j. ) '
e bi
naslednja povezava,
)
ebi ’ = - 1
τ ) n .
Iz definicije pospeška delca, v a = v&v = v && r , je kaj enostavno zapisati komponente
pospeška izraženega v različnih koordinatnih sistemih, tako n. pr. velja za:
1. kartezični koordinatni sistem,
v a = && x ) i + &&y +
v j && z ) k ,
kjer se komponente pospeška vzdolž koordinatnih osi izražajo kot
ax = && x
ay =
&&y
az = && z ,
in velikost pospeška a tedaj znaša,
2 2
a = && x + && y + && z
2 ,
2. polarni koordinatni sistem,
v a = d/dt( d( ρ ) eρ +z ) k )/dt) = d/dt( &ρ ) eρ + ρ &ϕ ) eϕ ) + && z ) k
)
v 2
a = ( && ρ−ρϕ& )
) eρ + ( r&& ϕ + 2 r&&
ϕ ) ) eϕ + && z k
od koder je razvidno, da se pospešek zapiše kot vektorska vsota med seboj pravokotnih
komponent aρ, aϕ in az, kjer so,
v 2
a = ( && &
)
ρ ρ−ρϕ ) eρ
v )
a = ( r&& ϕ ϕ + 2 r&&
ϕ ) eϕ v )
a z = && z k ,
količine, ki definirajo radialni pospešek v aρ , prečni (cirkularni) pospešek v a ϕ in
v
komponente pospeška v smeri stalne osi z, a z tako da je absolutna vrednost pospeška
podana z,
a =
2 2
(&& ρ− ρϕ& )
2
+ ( ρϕ&& + 2 & ρϕ&
)
2
+ && z ,
3. krogelni koordinatni sistem
29

V tem sistemu je najlažje izračunati komponente pospeška delca s pomočjo časovnega
v
odvoda kartezičnih komponent krajevnega vektorja r izraženega s krogelnimi
koordinatami, r, θ in ϕ ,
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ ,
2 2
tako, da se iz izraza a = && x + && y + && z
2 , po preureditvi členov lahko zapiše,
2 2 2
r ϑ ϕ ,
a = a + a + a
kjer so komponente pospeška podane z izrazi,
ar = && r - r &ϕ sin
2 2 θ - r &θ 2
aθ = r && θ + 2 r && θ - r &ϕ sin
2
θ cos θ
a = r
ϕ
Zgled:
&& ϕ sin θ + 2 & &
rϕ sin θ + 2 r & ϕθ& cos θ
Kroženje delca po krožnici polmera r v stalni ravnini. Ker je ρ =konstanta sledi, da je
&ρ = &&ρ = 0 in če se vzame, da krožnica leži v x-y ravnini je z = 0 in zato je
va =
−ρϕ& 2 ) eρ + r &&
ϕ ) e ϕ
kar pomeni, da pospešek delca sestoji iz radialne in tangentne komponente.
at
ar a v
Slika 9. Pospešek v a delca, ki se giblje po
krožnici (v stalni ravnini) polmera r sestoji
iz komponente v smeri tangente (tangentni
pospešek) in komponente v smeri glavne
normale (radialni pospešek).
Če je gibanje takšno, da velja ϕ =konst. sledi, da je v a = v a ρ = &&ρ ) e ρ , kar pa predstavlja
pospešeno premočrtno gibanje delca.
30

2. Gibanje delca po vijačnici. Enačba vijačnice v parametrični obliki je podana (glej
zgled v prejšnjem poglavju) v parametrični obliki: x=Rcosωt, y=Rsinωt in z=Ct, pri čemer
so R, ω in C konstante.
V danem primeru se skalarni produkt v &r v &r zapiše v enostavni obliki, v &r v &r = (Rω) 2 +
C 2 od koder sledi, da je ločna dolžina enaka, s= ( Rω) C
2 + 2 t = c t, pri čemer je c
definiran kot c=
2 2
R ω
2
+ C . Krajevni vektor v sedaj zapiše,
r v odvisnosti od naravne koordinate se
vr = (Rcos(ωs/c), Rsin(ωs/c), (C/c)s)
in zato je enotni vektor na tangenti vijačnice v točki T, ki je za ločno dolžino s oddaljena
od začetne točke To,
)et = v r ’ = (-(Rω/c)sin(ωs/c), (Rω/c)cos(ωs/c), (C/c)).
V tej točki je odvod enotnega vektorja po naravni koordinati podan z izrazom,
)et ’ = v r ’’ = (-(Rω 2 /c 2 )cos(ωs/c), -(Rω 2 /c 2 )sin(ωs/c), 0)
in dolžina (absolutna vrednost) zapisanega vektorja znaša tedaj,
1
r pr
=
v v
r'′ r'
′ = R
c
ω 2
2
,
tako, da je polmer pritisnjenega kroga na vijačnico v točki T enak,
rpr = R
2 2 2
ω
2
2
+ C C
= R + 2
Rω
Rω
.
Iz gornjega izraza je razvidno, da je polmer pritisnjenega kroga rpr večji kot je polmer
krožnice R, ki je projekcija vijačnice na xy ravnino. Samo za C=0 je tedaj rpr = R, toda
tedaj kroži delec po krožnici v xy ravnini.
Enotni vektor vzdolž glavne normale ) n je sedaj podan z,
)n = rpr ) e t ’ = (-cos(ωs/c), -sin(ωs/c), 0) = (-cosωt, -sinωt, 0).
Glavna normala ) n je vzporedna z ravnino xy in poteka skozi os valja. Binormala, ki stoji
pravokotno na pritisnjeni ravnini je tedaj,
)ebi = ) e t x ) n = ((C/c)sin(ωs/c), -(C/c)cos(ωs/c), Rω/c)
tako, da je odvod binormale po naravni koordinati, ) e bi ’, podan z
31

)
e bi ’ = ((Cω/c 2 )cos(ωs/c), (Cω/c 2 )sin(ωs/c), 0).
Torzijska ukrivljenost τ je tedaj,
τ = C
ω = 2
c
C
2 2 2
R ω + C
ω
in je prav tako kot fleksijska ukrivljenost, 1/rpr, ki je enaka recipročni vrednosti polmera
pritisnjenega kroga, konstantna.
V polarnih koordinatah se komponente hitrosti delca v v zapišejo,
vv = v &r = R ω ) e + C
ϕ
vρ = 0
vϕ = Rω
vz = C
)
k
tako. da je v danem primeru velikost hitrosti delca v=
delca tedaj znaša,
2 2
R ω
2
+ C = konstanta. Pospešek
va v
= && r = v&v v
= Rω &e ϕ = Rω (-
&ϕ ) e ρ ) = -Rω 2 ) e ρ ,
pri čemer je bil upoštevan izraz ϕ =ωt. Komponente pospeška v polarnem koordinatnem
sistemu se sedaj glasijo,
aρ = - Rω 2
aϕ = 0
az = 0.
3.
.
ϕ E
R
Slika 10. Krožna plošča polmera R je
vrtljivo vpeta v točki, ki je od središča
oddaljena za razdaljo E. Plošča se
enakomerno vrti pri čemer se kot ϕ
spreminja po enačbi, ϕ=Kt kjer je K
konstanta. Oboda plošče se dotika palica, ki
je vpeta tako, da dovoljuje gibanje palice
samo v navpični smeri. Izpelji enačbo
gibanja konice palice ter izračunaj hitrost in
pospešek te točke v odvisnosti od časa.
Palica se giblje samo v navpični smeri. Trenutno lego konice palice podaja krajevni vektor
v
r , ki ima v izbranem koordinatnem izhodišču komponente v r =(0,y). Iz skice je razvidno,
da velja,
32

2 2 2
y=E cosϕ + R − E sin ϕ
in hitrost ter pospešek krajišča palice se dobi s časovnim odvajanjem zapisanega izraza.
vv = v &r = (0, vy)
⎡
⎢
⎣
vy = - EK sin(Kt) 1
v
a = v &&
r = (0, ay)
ay = K vy ctgKt +
4.
v e tg
θ
+
EcosKt 2 2 2
R E sin Kt
V splošnem velja v = &s , zato je,
v = kbe kt = ks
2 kt 2
at = &v = bk e = k s
at = a cos Θ = k 2 s
2 2
an = a sin Θ = a − at Iz poslednjih dveh enačb sledi,
−
2 2 2
2 2
EKsin Kt ⎡ E cos Kt ⎤
2 2 2 ⎢1
− 2 2 2 ⎥
R − E sin Kt ⎣ R − E sin Kt⎦
v a
⎤
⎥
⎦
Slika 11. Delec potuje po krivulji opisani z
izrazom s=be kt tako, da vektor pospeška ves
čas oklepa konstanten kot Θ s tangento na
krivuljo. Kolikšen je krivinski polmer
pritisnjenega kroga in kolikšni so hitrost
delca, v, pospešek a ter tangentna, at in
normalna, an, komponenta pospeška.
33

tg Θ = an
at
zato je
an = at tg Θ.
Ker pa velja, da je
an = v
2
rpr je polmer pritisnjenega kroga enak
rpr = v
2
an = ks
2 2
2
kstgθ
= s
tgθ = b ekt ctg Θ
Pospešek delca, a, je tedaj enak
2
a = an + at
2 = at 1
2
+ tg θ = k 2 b e kt 2
1+
tg θ .
34