Primeri starih izpitov

PRIMERI IZPITOV IN KOLOKVIJEV
IZ MATEMATIKE I / 1.del
vs gradbeništvo
Maribor, 2008 dr. Petra Šparl
1

Izpit iz matematike I (1. del), GRADBENIŠTVO
april 2007
1. Dane so toµcke A(1; 2; 3); B( 1; 0; 2) in C(3; 1; 1):
(a) Doloµci koordinate vektorjev !
AB in !
AC:
(b) Izraµcunaj plošµcino trikotnika 4ABC:
2. Reši sistem enaµcb
x + y + 2z = 1
x y = 3
2y + 3z = 0
3. Funkcijo f(x) = x sin x razvij v Taylorjevo vrsto do vkljuµcno µclenov reda 3, v okolici
toµcke x0 = 2 :
4. Podjetje je dobilo nalogo, da izdela kante v obliki kvadra, ki ima za osnovno ploskev
kvadrat in ima tudi pokrov. Prostornina kante mora biti 200 dm 3 : Kakšnih dimenzij
(a...osnovna ploskev in h...višina) mora biti kanta, da bodo za izdelavo porabili µcim
manj materjala?
5. Doloµci in poimenuj vse ekstreme funkcije f(x; y) = 2x 2 + xy xe x :
Izpit iz matematike I (1. del), GRADBENIŠTVO
Celje, junij 2007
1. Za funkcijo f(x) = x2 +2
x+1 doloµci
(a) lokalne ekstreme,
(b) intervale narašµcanja in padanja
2. Dani so vektorji ~a = (1; 2; 3); ~ b = ( 1; 0; 2) in ~c = ( 1; 2; 7):
(a) Pokaµzi, da vektorji ~a; ~ b in ~c leµzijo v isti ravnini,
(b) Vektor ~ b izrazi s pomoµcjo vektorjev ~a in ~c:
3. Kam se pri rotaciji za kot 30 v pozitivni smeri (t.j. v nasprotni smeri urinega kazalca)
preslika vektor (1; 4)?
4. Zapiši enaµcbo ravnine, ki je vzporedna s premico p : x =
~v = (1; 1; 2) ter toµcko T (1; 1; 1):
:
1 y
2
= z in vsebuje vektor
5. Funkcijo f(x; y) = xy 2 x 2 +5y razvij v Taylorjevo vrsto reda 1 v okolici toµcke T ( 2; 1):
2

1. Dana je matrika
Izpit iz matematike I (1. del), GRADBENIŠTVO
Celje, september 2007
2
A = 4
1 0 2
3 2 1
4 1 0
(a) Kam matrika A preslika vektor ~v = (1; 2; 3) T ?
(b) Doloµci inverzno matriko A 1 matrike A:
2. Trikotnik 4ABC doloµcajo toµcke A(1; 2; 3); B( 1; 0; 2) in C( 1; 1; 7):
(a) Izraµcunaj dolµzino stranice AB:
(b) Doloµci kot ]BAC (to je kot pri oglišµcu A):
(c) Izraµcunaj plošµcino trikotnika 4ABC:
3. Doloµci enaµcbo ravnine R; ki poteka skozi toµcke A; B in C iz naloge 2.
4. Dana je kvadratna funkcija f(x) = x 2 x 6.
(a) Doloµci enaµcbo tangente t na funkcijo f; v toµcki T (x0; 0), ki predstavlja pozitivno
niµclo funkcije f:
(b) V isti koordinatni sistem nariši funkcijo f in tangento t:
5. Doloµci ekstreme funkcije f(x; y) = 3x 2 + 6y 2 7xy + 8x 6:
3
3
5 :

1. kolokvij iz matematike I (1. del), GRADBENIŠTVO
November 2006
1. Dano je zaporedje an = n+3
2n+1 :
(a) Ugotovi ali je zaporedje (an) monotono. Odgovor utemelji!
(b) Doloµci natanµcno spodnjo (m) in natanµcno zgornjo mejo (M) zaporedja. Ali sta
števili m in M µclena zaporedja (an)?
(c) Kateri µcleni se od limite razlikujejo za manj kot 1
100 ?
2. V paralelogramu ABCD naj toµcka T deli stranico BC v razmerju 2 : 3 ter naj bo
~a = A ~ B in ~ b = A ~ D.
(a) Z vektorjema ~a in ~ b izrazi vektor A ~ T :
(b) Doloµci koordinate toµcke T; µce veš, da imata toµcki B in C koordinate B(1; 2; 3) ter
C( 2; 5; 4):
3. Za toµcki A(0 1; 2) in B(3; 0; 1) ter vektor ~v = (1; 2; 3)
(a) izraµcunaj kot med vektorjema A ~ B in ~v;
(b) Zapiši enaµcbo ravnine ; ki vsebuje toµcki A in B ter je vzporedna z vektorjem ~v:
4. Doloµci pravokotno projekcijo toµcke A(0; 1; 2) na ravnino R : x + 2y 3z = 1:
5. Izraµcunaj limiti:
(a) lim
n!1
p n 2 + 3 p 3n 2 2
2n 1
sin 5x
; b) lim
x!0
x
2
4

1. Test iz matematike I (1. del), GRADBENIŠTVO
Celje, November 2007
1. Dana je ravnina R : x + 2y 3z = 5
(a) Preveri ali toµcki A(4; 2; 1) in B(1; 1; 1) leµzita na ravnini R: Odgovor utemelji!
(b) Doloµci še eno toµcko, ki leµzi na ravnini R:
(c) Doloµci projekcijo toµcke M(1; 1; 1) na ravnino R:
2. Dano je zaporedje bn =
(a) Ali sta števili 5
12
n 3
n+2
in 4
9
µclena zaporedja?
(b) Pokaµzi, da je zaporedje (bn) narašµcajoµce za vsak n 2 N:
(c) Kateri µcleni so v 1 -okolici limite zaporedja (bn)?
1000
3. Dani so vektorji ~a = (1; 2; 3); ~ b = ( 1; 0; 1); ~c = (1; 3; 1) ter ~ d = (1; 1; 0):
(a) Izraµcunaj kot med vektorjema ~a in ~ b:
(b) Zapiši vektor ~a kot linearno kombinacijo vektorjev ~ b;~c in ~ d:
Namig: Pomagaj si s sistemom linearnih enaµcb!
2. Test iz matematike I (1. del), GRADBENIŠTVO
Celje, Januar 2008
1. Dana je funkcija f(x) = 7x 4 2x 2 :
a.[10%] Poišµci ekstreme funkcije f ter doloµci njihovo naravo (ali so minimumi ali maksimumi).
b.[5%] Doloµci prevoje funkcije f:
c.[5%] µCim bolj natanµcno skiciraj graf funkcije f:
d.[5%] Doloµci enaµcbo tangente na graf funkcije f v toµcki x = 1:
2. Dani so vektorji ~a = (1; 2; 3); ~ b = ( 1; 3; 4) in ~c = (2; 0; 1):
a.[10%] Izraµcunaj plošµcino trikotnika, ki ga doloµcata vektorja ~a in ~ b:
b.[5%] Preveri ali vektorji ~a; ~ b in ~c leµzijo v isti ravnini. Odgovor utemelji!
3.[20%] Doloµci in klasi…ciraj ekstreme funkcije f(x; y) = 3x 2 + y 3 4x + y 2 :
5