IZPIT IZ MATEMATIKE I / 2. DEL
IZPIT IZ MATEMATIKE I / 2. DEL
IZPIT IZ MATEMATIKE I / 2. DEL
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong><strong>IZ</strong>PIT</strong> <strong>IZ</strong> <strong>MATEMATIKE</strong> I / <strong>2.</strong> <strong>DEL</strong><br />
VS PROMET, 29.6.2009<br />
[25%] Doloµci in poimenuj ekstreme funkcije dveh spremenljivk:<br />
f(x; y) = 2y 3<br />
xy + 1<br />
12 x2<br />
[20%] Izraµcunaj plošµcino lika, ki ga omejujejo krivulje:<br />
[25%] Reši diferencialno enaµcbo:<br />
pri pogoju y(0) = <strong>2.</strong><br />
6x:<br />
y = x 2 + x + 6; y = x + 3; y = 0:<br />
y 0 + x 2 y = 2x 2<br />
Teorija<br />
1. Odvod funkcije f(x; y) = cos 2 (xy) po spremenljivki y je enak<br />
cos 2 (xy) x cos 2 (xy) 2y sin(xy) cos(xy) niµc od tega<br />
<strong>2.</strong> Mešani odvod funkcije @(xy2 )<br />
je enak<br />
@x@y<br />
2xy 2xy + x2 2x niµc od tega<br />
3. V toµcki kjer ima funkcija f(x; y) lokalni maksimum je @f<br />
@x enako<br />
1 0 1 niµc od tega<br />
4. V stacionarni toµcki (x0; y0) funkcije f(x; y) za katero velja fxx; fyy > 0<br />
ima funkcija f vedno lokalni minimum<br />
drµzi ne drµzi<br />
5. Integral R sin(3x)dx je enak<br />
1<br />
cos(3x) + C cos(3x) + C 3 cos(3x) + C niµc od tega<br />
6. Integral R 2 cos xdx je enak<br />
0<br />
sin x sin x 1 1 niµc od tega<br />
7. Integral R b<br />
f(x)dx je vedno enak plošµcini med funkcijo f(x) in x-osjo.<br />
a<br />
drµzi ne drµzi<br />
R b<br />
8. Formula a f(x)2dx glede na krivuljo y = f(x); za katero na intervalu<br />
[a; b] velja f(x) > 0; predstavlja<br />
plošµcino pod njo njeno dolµzinio volumen njene vrtenine<br />
1
9. µCe za nedoloµceni integral funkcije f(x) velja R f(x)dx = F (x); potem je<br />
doloµceni integral R b<br />
f(x)dx enak<br />
a<br />
f(b) f(a) F (b) F (a) F (a) F (b) niµc od tega<br />
10. Naj bo funkcija y = f(x) podana eksplicitno. Potem je diferencial loka<br />
enak<br />
dl = p _x(t) 2 + _y(t) 2 dt dl = p 1 + (y 0 ) 2 dx niµc od tega<br />
11. Ali je diferencialna enaµcba xy 0 + y 2 = x linearna?<br />
da ne<br />
1<strong>2.</strong> Ali je diferencialna enaµcba y 0 + y cos x = x 3 linearna?<br />
da ne<br />
13. Partikularno rešitev DE y 00 4y = x 2 e 2x išµcemo z nastavkom<br />
yP = x(ax 2 + bx + c) yP = ax 2 + bx + c niµc od tega<br />
14. Koliko rešitev ima enaµcba y 0 + xy = x 2 pri pogoju y(0) = 1?<br />
nobene eno dve neskonµcno<br />
15. Karakteristiµcna enaµcba k DE 3y00 2y = 0 je enaka<br />
3 2<br />
2 = 0 3 2<br />
2 = 0 3 2 = 0<br />
2
Rešitve:<br />
1. f(x; y) = 2y 3 xy + 1<br />
12 x2 6x<br />
x 6 = 0<br />
fx = y + 1<br />
6<br />
fy = 6y2 x = 0<br />
, Solution is: [x = 54; y = 3] ; [x = 24; y = 2]<br />
fxx = 1<br />
6 , fxy = 1, fyy = 12y<br />
T1(54; 3) je lok. min ( 1 = 5), T2(24; 2) ni ekstrem ( 1 = 5)<br />
<strong>2.</strong> preseµcišµce: x 2 + x + 6 = x + 3, Solution is: 1; 3<br />
pl =<br />
y<br />
5<br />
2 2 4<br />
R1<br />
2<br />
x<br />
x 2 + x + 6 dx +<br />
3R<br />
1<br />
( x + 3)dx = 61<br />
6<br />
3. y0 + x2y = 2x2 ,<br />
H : y0 + x2 n<br />
y = 0, Exact solution is: yH = Ce 1<br />
3 x3o<br />
Nastavek: yP = C(x)e 1<br />
3 x3<br />
) yS = 2 + Ce 1<br />
3 x3<br />
y 0 + x 2 y = 2x 2<br />
y(0) = 1<br />
) C(x) = 2e 1<br />
3 x3 ) yP = 2<br />
, Exact solution is: y = 2 e 1<br />
3 x3<br />
3