IZPIT IZ MATEMATIKE I / 2. DEL

IZPIT IZ MATEMATIKE I / 2. DEL
VS PROMET, 29.6.2009
[25%] Doloµci in poimenuj ekstreme funkcije dveh spremenljivk:
f(x; y) = 2y 3
xy + 1
12 x2
[20%] Izraµcunaj plošµcino lika, ki ga omejujejo krivulje:
[25%] Reši diferencialno enaµcbo:
pri pogoju y(0) = 2.
6x:
y = x 2 + x + 6; y = x + 3; y = 0:
y 0 + x 2 y = 2x 2
Teorija
1. Odvod funkcije f(x; y) = cos 2 (xy) po spremenljivki y je enak
cos 2 (xy) x cos 2 (xy) 2y sin(xy) cos(xy) niµc od tega
2. Mešani odvod funkcije @(xy2 )
je enak
@x@y
2xy 2xy + x2 2x niµc od tega
3. V toµcki kjer ima funkcija f(x; y) lokalni maksimum je @f
@x enako
1 0 1 niµc od tega
4. V stacionarni toµcki (x0; y0) funkcije f(x; y) za katero velja fxx; fyy > 0
ima funkcija f vedno lokalni minimum
drµzi ne drµzi
5. Integral R sin(3x)dx je enak
1
cos(3x) + C cos(3x) + C 3 cos(3x) + C niµc od tega
6. Integral R 2 cos xdx je enak
0
sin x sin x 1 1 niµc od tega
7. Integral R b
f(x)dx je vedno enak plošµcini med funkcijo f(x) in x-osjo.
a
drµzi ne drµzi
R b
8. Formula a f(x)2dx glede na krivuljo y = f(x); za katero na intervalu
[a; b] velja f(x) > 0; predstavlja
plošµcino pod njo njeno dolµzinio volumen njene vrtenine
1

9. µCe za nedoloµceni integral funkcije f(x) velja R f(x)dx = F (x); potem je
doloµceni integral R b
f(x)dx enak
a
f(b) f(a) F (b) F (a) F (a) F (b) niµc od tega
10. Naj bo funkcija y = f(x) podana eksplicitno. Potem je diferencial loka
enak
dl = p _x(t) 2 + _y(t) 2 dt dl = p 1 + (y 0 ) 2 dx niµc od tega
11. Ali je diferencialna enaµcba xy 0 + y 2 = x linearna?
da ne
12. Ali je diferencialna enaµcba y 0 + y cos x = x 3 linearna?
da ne
13. Partikularno rešitev DE y 00 4y = x 2 e 2x išµcemo z nastavkom
yP = x(ax 2 + bx + c) yP = ax 2 + bx + c niµc od tega
14. Koliko rešitev ima enaµcba y 0 + xy = x 2 pri pogoju y(0) = 1?
nobene eno dve neskonµcno
15. Karakteristiµcna enaµcba k DE 3y00 2y = 0 je enaka
3 2
2 = 0 3 2
2 = 0 3 2 = 0
2

Rešitve:
1. f(x; y) = 2y 3 xy + 1
12 x2 6x
x 6 = 0
fx = y + 1
6
fy = 6y2 x = 0
, Solution is: [x = 54; y = 3] ; [x = 24; y = 2]
fxx = 1
6 , fxy = 1, fyy = 12y
T1(54; 3) je lok. min ( 1 = 5), T2(24; 2) ni ekstrem ( 1 = 5)
2. preseµcišµce: x 2 + x + 6 = x + 3, Solution is: 1; 3
pl =
y
5
­2 2 4
R1
2
x
x 2 + x + 6 dx +
3R
1
( x + 3)dx = 61
6
3. y0 + x2y = 2x2 ,
H : y0 + x2 n
y = 0, Exact solution is: yH = Ce 1
3 x3o
Nastavek: yP = C(x)e 1
3 x3
) yS = 2 + Ce 1
3 x3
y 0 + x 2 y = 2x 2
y(0) = 1
) C(x) = 2e 1
3 x3 ) yP = 2
, Exact solution is: y = 2 e 1
3 x3
3