1 Parcialni odvodi in njihova uporaba

1 Parcialni odvodi in njihova uporaba
1. Obkroµzi pravilne odgovore
a) Skalarno polje ni funkcija
b) Skalarno polje je funkcija U : R n ! R
c) Skalarno polje je funkcija U : R ! R n
d) Gra…µcni prikaz skalarnega polja v R 3 je krivulja
e) Gra…µcni prikaz skalarnega polja v R 3 je ploskev
f) Gra…µcni prikaz skalarnega polja v R n je hiperploskev
g) Skalarno polje v R 3 je dvodimenzionalni objekt
h) Skalarno polje v R n je (n 1) dimenzionalni objekt
i) Skalarno polje lahko predstavimo s pomoµcjo nivojnic in prerezov
j) Nivojnice skalarnega polja U : R 2 ! R so kruvulje, ki jih predstavimo
v (x; y) ravnini
k) Nivojnice skalarnega polja U : R 2 ! R so kruvulje, ki jih predstavimo
v ravnini z = 0
l) Prerez skalarnega polja U : R 2 ! R je vsak presek med ravnino ax+by =
c in ploskvijo z = U (x; y)
2. Ploskve drugega reda so (za razliµcne vrednosti realnih parametrov a; b; c;
; ; ; d; e; f; g) podane z implicitno enaµcbo
ax 2 + by 2 + cz 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz + dx + ey + fz + g = 0:
Tako je, na primer za a = b = c = 1 in = = = d = e = f = 0 in
g = R 2 podana enaµcba sfere x 2 +y 2 +z 2 = R 2 . V literaturi (npr. Pavlina
Mizori Oblak, Matematika II. del, str. 453) poišµci enaµcbe za elipsoid, eno
in dvo-delni hiperboloid paraboloid itd. in nariši njihove skice.
3. Nariši razliµcne nivojnice polja U (x; y) = 5x 2 + 3yx.
4. Nariši prereze z = U (x; kx) polja U (x; y) = 5x 2 + 3yx za k = 3, k = 0
in k = 5.
5. Obkroµzi pravilne odgovore
a) Prva parcialna odvoda funkcije z = f (x; y) predstavljata vrednost
drugih parcialnih odvodov zmanjšanih za produkt Hessejeve in Jacobijeve
matrike izraµcunan v toµcki (x0; y0)
b) Parcialni odvod @U(x;y)
@x
U(x0;y0)
v toµcki (x0; y0) je limh!0
U(x0;y0+h)
h
c) Parcialni odvod @U(x;y)
@x
U(x0;y0+h)
v toµcki (x0; y0) je limh!0 h
U(x0;y0)
d) Gra…µcni pomen parcialnega odvoda @U(x;y)
@y
na krivuljo z = U (x; y0)
1
v toµcki (x0; y0) je normala

e) Prva parcialna odvoda funkcije z = f (x; y) v toµcki (x0; y0) gra…µcno
predstavljata tangenti na prereza z = U (x; y0) in z = U (x0; y).
f) Oznaki fx (x; y) in @f(x;y)
@x
pomenita isto
g) Funkcija f : R n ! R ima v splošnem n prvih in n 2 drugih parcialnih
odvodov
h) Mešani parcialni odvodi istega tipa dovolj gladkih funkcij so med seboj
enaki
d) Gra…µcni pomen parcialnega odvoda @U(x;y)
@y
na krivuljo z = U (x0; y)
v toµcki (x0; y0) je normala
e) Pri n tih parcialnih odvodih gladke funkcije si lahko pomagamo z izrazom
(x + y) n
f) Ker je (x + y + z) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 z + 3xy 2 + 6xyz + 3xz 2 + y 3 +
3y 2 z+3yz 2 +z 3 , vemo, da so za dovolj gladko skalarno polje w = U (x; y; z)
enaki naslednji parcialni odvodi: Uxxy = Uxyx = Uyxx.
6. Zapiši vse razliµcne druge parcialne odvode trikrat odvedljive funkcije w =
U (x; y; z) :
7. Zapiši vse razliµcne druge parcialne odvode polja U (x; y; z) = 3y 2 z + 5xz 2
8. Funkcija n spremenljivk je homogena stopnje k, µce za vsak ~x = (x1; x2; :::; xn)
velja
~F (tx1; tx2; :::; txn) = t k ~ F (x1; x2; :::; xn) .
Tako je, na primer, poljuben polinom dveh spremenljivk, ki je homogen
stopnje 2 mogoµce zapisati kot ~ F (x; y) = x 2 + 2 xy + y 2 ; poljuben
polinom treh spremenljivk, ki je homogen stopnje 1 pa je mogoµce zapisati
kot ~ G (x; y; z) = x + y + z.
a) Zapiši vse neniµcelne parcialne odvode funkcije ~ F (x; y)
b) Zapiši vse neniµcelne parcialne odvode funkcije ~ G (x; y:z)
c) Zapiši splošni homogeni kubiµcni polinom treh spremenljivk in izraµcunaj
vse njegove neniµcelne parcialne odvode. Kaj opaziš (glede homogenosti
odvodov).
9. Splošni kvadratni polinom funkcije dveh spremenljivk je
q (x; y) = x 2 + 2 xy + y 2 + x + "y + :
a) Zapiši splošni kubiµcni polinom funkcije dveh spremenljivk in njegove
prve odvode.
b) Zapiši splošni kubiµcni polinom funkcije treh spremenljivk in njegove
prve odvode.
2

10. Izraµcunaj prve parcialne odvode funkcij v toµcki (3; 5)
a) f (x; y) = 6yx2 +7x
5xy 2 +7 ; b) g (x; y) = 4 ln 7y2 + 5x , c) h (x; y) =
4 arctan (5x + 7y)
11. Izraµcunaj prve parcialne odvode funkcij v toµcki (3; 5; 7)
a) f (x; y; z) = x2 sin (3 y + 7 z), b) g (x; y; z) = 1
xyz (3x + 5y + 7z)
12. Skalarno polje je radialno, µce je oblike U (x; y; z) = f (r), kjer je r =
p x 2 + y 2 + z 2 :
a) Eksplicitno zapiši polje za f (r) = 3r 2
b) Izraµcunaj @U @U
@x , @y
in @U
@z
c) Zapiši splošne izraze za @U @U
@x , @y
v toµcki (0; 7; 3) za U (x; y; z) = 3r2
in @U
@z
(t.j. pri poljubni funkciji f).
13. Zapiši linearni Taylorjev pribliµzek funkcije f (x; y) = 6yx2 +7x
5xy2 +7
toµcke (3; 5) :
14. Zapiši kvadratni Taylorjev pribliµzek funkcije f (x; y) = 6yx2 +7x
5xy2 +7
toµcke (3; 5) :
v okolici
v okolici
15. Lineariziraj vektorsko funkcijo ~ F (x; y; z) = 3x 2 sin 5y; 5x 2 + 7z 3 ; ye 3x v
okolici toµcke (0; ; 3).
16. Za vektorsko polje ~ F (x; y; z) = 6yx2 +7x
5xy 2 +7 ; 3z; p x 2 + y 2 + z 2 zapiši Jacobijevo
matriko v toµcki (3; 0; 1).
17. Doloµci in poimenuj vse ekstreme funkcije f (x; y) = 3x 2 + 5xy 2 + 7y:
18. Za funkcijo f (x; y) = 3
2 x2 + 5yx + 20y ln y zapiši Hessejevo matriko v
toµcki (7; 1). Izraµcunaj tudi njeno determinanto.
19. Doloµci in poimenuj vse ekstreme funkcije f (x; y) = 3
2 x2 +5yx+20y ln y:
20. Za funkcijo f (x; y; z) = 1
xyz (3x + 5y + 7z) izraµcunaj odvod v toµcki (3; 5; 7)
v smeri (0; 5; 7).
21. Za funkcijo f (x; y; z) = 1
xyz (3x + 5y + 7z) izraµcunaj maksimalni odvod v
toµcki (3; 5; 7).
22. Dokaµzi, da je gradient smer maksimalnega narašµcanja.
23. Podano je polje f (x; y; z) = 1
xyz (3x + 5y + 7z) :
a) Izraµcunaj vrednost gradienta rf v toµcki (3; 5; 7)
b) Izraµcunaj div (grad (f)) = r (rf) = r 2 f v toµcki (3; 5; 7)
c) Izraµcunaj rot (grad (f)) = r (rf) v toµcki (3; 5; 7)
3

24. Podano je radialno polje U (x; y; z) = 3 p x2 + y2 + z2 + 5x2 + 5y2 + 5z2 .
Izrazi vektor rU z vektorjem ~r = (x; y; z) in z r = k~rk = p x2 + y2 + z2 .!
rU = a ~r
k~rk + 2b~r
25. Obkroµzi pravilne trditve
a) rotor skalarnega polja je smer maksimalnega narašµcanja
b) rotor skalarnega polja je vektor
c) rotor skalarnega polja ne obstaja
d) divergenca skalarnega polja je vektor
e) divergenca vektorskega polja je vektor
f) divergenca vektorskega polja je skalarno polje
g) gradient vektorskega polja je skalarno polje
h) gradient skalarnega polja je vektorsko polje
26. Zapiši enaµcbo tangentne ravnine na ploskev z = p R 2 x 2 y 2 v toµcki
R R
2 ; 2 ; R p .
2
27. Obkroµzi pravilne trditve
a) pri linearizaciji vektorske funkcije uporabimo Jacobijevo matriko
b) Jacobijeva matrika je sestavljena iz prvih parcialnih odvodov
c) Jacobijeva matrika je sestavljena iz drugih parcialnih odvodov
d) Hessejeva matrika je sestavljena iz prvih parcialnih odvodov
e) Hessejeva matrika je sestavljena iz drugih parcialnih odvodov
f) Hessejevo matriko uporabimo pri doloµcanju ekstremov funkcije veµc spremenljivk
g) Jacobijevo matriko uporabimo pri doloµcanju ekstremov funkcije veµc
spremenljivk
h) µCe je determinanta Jacobijeve matrike negativna, funkcija v stacionarni
toµcki nima ekstremov
i) µCe je determinanta Hessejeve matrike pozitivna, ima funkcija v stacionarni
toµcki ekstrem
j) niti Hessejeva niti Jacobijeva matrika nimata pomena pri doloµcanju
ekstremov funkcije veµc spremenljivk
k) zadostne pogoje za nastop ekstrema funkcije veµc spremenljivk smo izpeljali
na osnovi kvadratnega Taylorjevega pribliµzka funkcije
l) Za funkcijo ~ f : R ! R 3 lahko izraµcunamo Jacobijevo in Hessejevo matriko
m) Za polje U : R 3 ! R lahko izraµcunamo Jacobijevo in Hessejevo matriko
4

28. Obkroµzi lastnosti, ki veljajo za operator Nabla ( in sta skalarja).
a) r ( f + g) = r (f) + r (g)
b) r ~ F + ~ G = r ~ F + r ~ G
c) r ~ F + ~ G = r ~ F + r ~ G
d) r ~ F + ~ G = r ~ F + r ~ G
e) r ~ F = r ~ F
29. µCe je vektorsko polje ~ F potencialno je vedno rot ~ F = ~0. V veµcini primerov
velja tudi obratna trditev: µce je rot ~ F = ~0, je ~ F potencialno (pravimo, da
so izpolnjeni kontinuitetni pogoji). Torej:
Doloµci tako, da bo
~F (x; y; z) = 7y 3 + 3y z 2
potencialno in izraµcunaj potencial.
~F je potencialno , rot ~ F = ~0:
5 x 2 y 2 ; 21xy 2
10x 3 y + 2 xy 2 z 2 ; 2xy 3 z
30. µCe je div ~ F = 0, je vektorsko polje ~ F solenoidalno. µCe je ~ F = rot ~ G,
je polje ~ F oµcitno solenoidalno, saj je div rot ~ G = r r ~ G =
n
r; r; ~ o
G = 0 za vsako (dovolj odvedljivo) polje ~ G. Dokazati je mogoµce,
da velja tudi obratna trditev. To pomeni, da je vsako solenoidalno polje
~F oblike ~ F = rot ~ G za neko (dovolj gladko) polje ~ G. Torej:
a) Dokaµzi, da je polje
solenoidalno.
~F je solenoidalno , 9 ~ G : ~ F = rot ~ G:
~F (x; y; z) =
15y 15z 15x
2 ;
2 ;
(5z + 7) (5x + 7) (5y + 7) 2
!
b) Preveri, da je ~ F = rot ~ G, kjer je ~ G (x; y; z) = 3 x y z
5y+7 ; 3 5z+7 ; 3 5x+7 :
31. Dokaµzi veljavnost formul za ustrezna skalarna oziroma vektorska polja
a) grad (fg) = f grad (g) + g grad (f)
b) grad (f (g)) = df
dg grad (g)
c) div ~ F ~ G = rot ~ F ~ G ~ F rot ~ G
d) div f ~ F = grad (f) ~ F + f div ~ F
e) rot f ~ F = grad (f) ~ F + f rot ~ F
5

32. Obkroµzi pravilne trditve
a) Laplaceov operator je r 2 (:::) = div (grad (:::)) in deluje na skalarnih
poljih
b) Laplaceov operator je r 2 (:::) = grad (div (:::)) in deluje na vektorskih
poljih
c) V karteziµcnih koordinatah je (U) = Uxx + Uyy + Uzz
d) r 2 (:::) = (:::)
e) r 2 (:::) = 2 (:::)
f) Potencial polja (F1; F2; F3) izraµcunamo s pomoµcjo integralov R F1dx,
R F2dy, R F3dz.
33. Izraµcunaj Laplaceov operator radialnega skalarnega polja f (x; y; z) =
ln p x 2 + y 2 + z 2 .
34. Obkroµzi pravilne trditve. Zaradi lastnosti vektorskega in/ali mešanega
produkta velja
a) rot (grad (U)) = ~0, za vsako polje U
b) grad (rot (U)) = 0, za vsako polje U
c) div (rot (U)) = ~0, za vsako polje U
d) div (rot (U)) = 0, za vsako polje U
e) rot rot ~ F = ~0, za vsako polje ~ F
35. Doloµci vezane ekstreme funkcije U (x; y) = 10xy 3x 2 pri (veznem) pogoju
x 5y + 7xy = 0.
a) S pomoµcjo Lagrangeve funkcije
b) S prevedbo problema na funkcijo ene spremenljivke.
6

RESITVE NEKATERIH NALOG
1. k
2. k
3. k
4. k
5. k
6. kl
7. k
8. k
9. k
10. a) fx (3; 5) =
35 059
145 924 = 0:240 26, fy =
b) gx = 0:105 26 gy = 1: 473 7
c) hx = 7: 996 8 10 3 hy = 1: 119 6 10 2
11. a) fx (3; 5; 7) = 0 = 0:0
fy (3; 5; 7) = 27 = 84: 823
fz (3; 5; 7) = 63 = 197: 92
b) gx (3; 5; 7) = 74
315 = 0:234 92
gy (3; 5; 7) = 58
525 = 0:110 48
gz (3; 5; 7) = 34
735
12. a) U = 3x 2 + 3y 2 + 3z 2
b)
c) @U
@x
@U(0;7; 3)
@x
= df
dr
= 0, @U
@y
= 4: 625 9 10 2
= 42, @U
@z
= 18
@r
@x = f 0 @r (r) @x = f 0 (r)
@U
@y = f 0 (r) @r
@y = f 0 (r)
@U
@z = f 0 (r) @r
@z = f 0 (r)
p y
x2 +y2 +z2 p z
x2 +y2 +z2 11 511
72 962 = 0:157 77
2x
2 p x 2 +y 2 +z 2
13. Linearni pribliµzek f (x; y) 291 35 059
382 + 145 924 (x 3) + 11 511
72 962 (y 5)
(f (x; y) 0:761 78 + 0:240 26 (x 3) + 0:157 77 (y 5))
14. Kvadratni pribliµzek
f (x; y) lin.µcleni # +
4655
27 871 484 (x 3)2 +
671 484
6967 871 (x 3)(y 5) 892 935
13 935 742 (y 5)2
2!
(f (x; y) l.µc. # + 1: 670 2 10 4 (x 3) 2 + 9: 636 9 10 2 (x 3)(y 5) 6: 407 5 10 2 (y 5) 2
2!
)
7

15. ~ 0
F @ x
1
y A
0
@
z
0
1 2
189 A + 4
0
0
0
0
3 0
0
189 5 @
3 1 0
x
y
z 3
2
1
16. J = 4 0
54
7
0
0
3
3
5
p
10
3
10
p 10 0 1
10
17. V toµcki 1 2
30105 3 ; 1 3p
5 105 = ( 0:741 89; 0:943 54) ; ki je EDINI kandidat
za ekstrem NI ekstrema, saj je determinanta Hessejeve matrike
6 2
det
3p 105
2 3p 2 = 133: 54 < 0 NEGATIVNA.
105 105 3
18. H =
3 5
5 1
y 2
1
3
! H (7; 1) =
19. Stacionarni toµcki sta T1
in T2 = 1
p
3 33 6 2; 5
V T1 je
3
5
5
1
y2 1
V T2 je
3 5
5 1
y 2 2
3 5
5 1
p p
1 6
33 2; 33 +
1
A
! det (H) = 22
1
3
p
1
5 33 =
5
8: 514 6
5
2 10 5: 108 7 10 2
= 3: 914 9 2: 348 9
= 550 100 p 33 = 24: 456 < 0 ! NI ekstrema
= 100 p 33 + 550 = 1124: 5 > 0 ! JE ekstrem
Ker je fxx = 3 > 0 gre za lokalni MINIMUM
8