IZJAVA
IZJAVA
IZJAVA
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>IZJAVA</strong><br />
Spodaj podpisani(a) izjavljam,<br />
da sem naloge reševal(a) SAMOSTOJNO in s tem jamµcim, da sem<br />
seznanjen(a) z vsemi posledicami, ki jih za plagiatorstvo predvideva<br />
STATUT UM.<br />
Podpis:<br />
1
NAVODILO: Naloge ODDAJTE NAJKASNEJE do 27. 11. 2009 do 12.00.<br />
Obvezno podpišite IZJAVO.<br />
Pišite na bele prazne liste.<br />
Naloge oddajte zloµzene PO VRSTI.<br />
Številka naloge naj bo dobro opazna -<br />
teµzite k temu, da se vsaka naloga zaµcne na svoji strani.<br />
Listi naj bodo OŠTEVILµCENI.<br />
Naloge naj bodo napisane PROSTOROµCNO.<br />
IME PRIIMEK:<br />
ŠT. INDEKSA:<br />
Obkroµzajte na originalne liste (in ne na svoje priloµzene liste).<br />
Naloge oddajte v PROZORNI MAPICI (’SRAJµCKI’).<br />
Naredeite si KOPIJO oddanih nalog<br />
1 Parcialni odvodi in njihova uporaba<br />
1. Obkroµzi pravilne odgovore<br />
a) Skalarno polje ni funkcija<br />
b) Skalarno polje je funkcija U : R n ! R<br />
c) Skalarno polje je funkcija U : R ! R n<br />
d) Gra…µcni prikaz skalarnega polja v R 3 je krivulja<br />
e) Gra…µcni prikaz skalarnega polja v R 3 je ploskev<br />
f) Gra…µcni prikaz skalarnega polja v R n je hiperploskev<br />
g) Skalarno polje v R 3 je dvodimenzionalni objekt<br />
h) Skalarno polje v R n je (n 1) dimenzionalni objekt<br />
i) Skalarno polje lahko predstavimo s pomoµcjo nivojnic in prerezov<br />
j) Nivojnice skalarnega polja U : R 2 ! R so kruvulje, ki jih predstavimo<br />
v (x; y) ravnini<br />
k) Nivojnice skalarnega polja U : R 2 ! R so kruvulje, ki jih predstavimo<br />
v ravnini z = 0<br />
l) Prerez skalarnega polja U : R 2 ! R je vsak presek med ravnino ax+by =<br />
c in ploskvijo z = U (x; y)<br />
2. Ploskve drugega reda so (za razliµcne vrednosti realnih parametrov a; b; c;<br />
; ; ; d; e; f; g) podane z implicitno enaµcbo<br />
ax 2 + by 2 + cz 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz + dx + ey + fz + g = 0:<br />
2
Tako je, na primer za a = b = c = 1 in = = = d = e = f = 0 in<br />
g = R 2 podana enaµcba sfere x 2 +y 2 +z 2 = R 2 . V literaturi (npr. Pavlina<br />
Mizori Oblak, Matematika II. del, str. 453) poišµci enaµcbe za elipsoid, eno<br />
in dvo-delni hiperboloid paraboloid itd. in nariši njihove skice.<br />
3. Nariši razliµcne nivojnice polja U (x; y) = 6x 2 + 4yx.<br />
4. Nariši prereze z = U (x; kx) polja U (x; y) = 6x 2 + 4yx za k = 4, k = 0<br />
in k = 6.<br />
5. Obkroµzi pravilne odgovore<br />
a) Prva parcialna odvoda funkcije z = f (x; y) predstavljata vrednost<br />
drugih parcialnih odvodov zmanjšanih za produkt Hessejeve in Jacobijeve<br />
matrike izraµcunan v toµcki (x0; y0)<br />
b) Parcialni odvod @U(x;y)<br />
@x<br />
U(x0;y0)<br />
v toµcki (x0; y0) je limh!0<br />
U(x0;y0+h)<br />
h<br />
c) Parcialni odvod @U(x;y)<br />
@x<br />
U(x0;y0+h)<br />
v toµcki (x0; y0) je limh!0 h<br />
U(x0;y0)<br />
d) Gra…µcni pomen parcialnega odvoda @U(x;y)<br />
@y<br />
na krivuljo z = U (x; y0)<br />
v toµcki (x0; y0) je normala<br />
e) Prva parcialna odvoda funkcije z = f (x; y) v toµcki (x0; y0) gra…µcno<br />
predstavljata tangenti na prereza z = U (x; y0) in z = U (x0; y).<br />
f) Oznaki fx (x; y) in @f(x;y)<br />
@x<br />
pomenita isto<br />
g) Funkcija f : R n ! R ima v splošnem n prvih in n 2 drugih parcialnih<br />
odvodov<br />
h) Mešani parcialni odvodi istega tipa dovolj gladkih funkcij so med seboj<br />
enaki<br />
d) Gra…µcni pomen parcialnega odvoda @U(x;y)<br />
@y<br />
na krivuljo z = U (x0; y)<br />
v toµcki (x0; y0) je normala<br />
e) Pri n tih parcialnih odvodih gladke funkcije si lahko pomagamo z izrazom<br />
(x + y) n<br />
f) Ker je (x + y + z) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 z + 3xy 2 + 6xyz + 3xz 2 + y 3 +<br />
3y 2 z+3yz 2 +z 3 , vemo, da so za dovolj gladko skalarno polje w = U (x; y; z)<br />
enaki naslednji parcialni odvodi: Uxxy = Uxyx = Uyxx.<br />
6. Zapiši vse razliµcne druge parcialne odvode trikrat odvedljive funkcije w =<br />
U (x; y; z) :<br />
7. Zapiši vse razliµcne druge parcialne odvode polja U (x; y; z) = 4y 2 z + 6xz 2<br />
8. Funkcija n spremenljivk je homogena stopnje k, µce za vsak ~x = (x1; x2; :::; xn)<br />
velja<br />
~F (tx1; tx2; :::; txn) = t k ~ F (x1; x2; :::; xn) .<br />
Tako je, na primer, poljuben polinom dveh spremenljivk, ki je homogen<br />
stopnje 2 mogoµce zapisati kot ~ F (x; y) = x 2 + 2 xy + y 2 ; poljuben<br />
3
polinom treh spremenljivk, ki je homogen stopnje 1 pa je mogoµce zapisati<br />
kot ~ G (x; y; z) = x + y + z.<br />
a) Zapiši vse neniµcelne parcialne odvode funkcije ~ F (x; y)<br />
b) Zapiši vse neniµcelne parcialne odvode funkcije ~ G (x; y:z)<br />
c) Zapiši splošni homogeni kubiµcni polinom treh spremenljivk in izraµcunaj<br />
vse njegove neniµcelne parcialne odvode. Kaj opaziš (glede homogenosti<br />
odvodov).<br />
9. Splošni kvadratni polinom funkcije dveh spremenljivk je<br />
q (x; y) = x 2 + 2 xy + y 2 + x + "y + :<br />
a) Zapiši splošni kubiµcni polinom funkcije dveh spremenljivk in njegove<br />
prve odvode.<br />
b) Zapiši splošni kubiµcni polinom funkcije treh spremenljivk in njegove<br />
prve odvode.<br />
10. Izraµcunaj prve parcialne odvode funkcij v toµcki (4; 6)<br />
a) f (x; y) = 8yx2 +5x<br />
6xy 2 +5 ; b) g (x; y) = 5 ln 5y2 + 6x , c) h (x; y) =<br />
5 arctan (6x + 5y)<br />
11. Izraµcunaj prve parcialne odvode funkcij v toµcki (4; 6; 5)<br />
a) f (x; y; z) = x2 sin (4 y + 5 z), b) g (x; y; z) = 1<br />
xyz (4x + 6y + 5z)<br />
12. Skalarno polje je radialno, µce je oblike U (x; y; z) = f (r), kjer je r =<br />
p x 2 + y 2 + z 2 :<br />
a) Eksplicitno zapiši polje za f (r) = 4r 2<br />
b) Izraµcunaj @U @U<br />
@x , @y<br />
in @U<br />
@z<br />
c) Zapiši splošne izraze za @U @U<br />
@x , @y<br />
v toµcki (0; 5; 4) za U (x; y; z) = 4r2<br />
in @U<br />
@z<br />
(t.j. pri poljubni funkciji f).<br />
13. Zapiši linearni Taylorjev pribliµzek funkcije f (x; y) = 8yx2 +5x<br />
6xy2 +5<br />
toµcke (4; 6) :<br />
14. Zapiši kvadratni Taylorjev pribliµzek funkcije f (x; y) = 8yx2 +5x<br />
6xy2 +5<br />
toµcke (4; 6) :<br />
v okolici<br />
v okolici<br />
15. Lineariziraj vektorsko funkcijo ~ F (x; y; z) = 4x 2 sin 6y; 6x 2 + 5z 3 ; ye 4x v<br />
okolici toµcke (0; ; 4).<br />
16. Za vektorsko polje ~ F (x; y; z) = 8yx2 +5x<br />
6xy 2 +5 ; 4z; p x 2 + y 2 + z 2 zapiši Jacobijevo<br />
matriko v toµcki (4; 0; 1).<br />
17. Doloµci in poimenuj vse ekstreme funkcije f (x; y) = 4x 2 + 6xy 2 + 5y:<br />
4
18. Za funkcijo f (x; y) = 2x 2 + 6yx + 24y ln y zapiši Hessejevo matriko v<br />
toµcki (5; 1). Izraµcunaj tudi njeno determinanto.<br />
19. Doloµci in poimenuj vse ekstreme funkcije f (x; y) = 2x 2 + 6yx + 24y ln y:<br />
20. Za funkcijo f (x; y; z) = 1<br />
xyz (4x + 6y + 5z) izraµcunaj odvod v toµcki (4; 6; 5)<br />
v smeri (0; 6; 5).<br />
21. Za funkcijo f (x; y; z) = 1<br />
xyz (4x + 6y + 5z) izraµcunaj maksimalni odvod v<br />
toµcki (4; 6; 5).<br />
22. Dokaµzi, da je gradient smer maksimalnega narašµcanja.<br />
23. Podano je polje f (x; y; z) = 1<br />
xyz (4x + 6y + 5z) :<br />
a) Izraµcunaj vrednost gradienta rf v toµcki (4; 6; 5)<br />
b) Izraµcunaj div (grad (f)) = r (rf) = r 2 f v toµcki (4; 6; 5)<br />
c) Izraµcunaj rot (grad (f)) = r (rf) v toµcki (4; 6; 5)<br />
24. Podano je radialno polje U (x; y; z) = 4 p x2 + y2 + z2 + 6x2 + 6y2 + 6z2 .<br />
Izrazi vektor rU z vektorjem ~r = (x; y; z) in z r = k~rk = p x2 + y2 + z2 .!<br />
rU = a ~r<br />
k~rk + 2b~r<br />
25. Obkroµzi pravilne trditve<br />
a) rotor skalarnega polja je smer maksimalnega narašµcanja<br />
b) rotor skalarnega polja je vektor<br />
c) rotor skalarnega polja ne obstaja<br />
d) divergenca skalarnega polja je vektor<br />
e) divergenca vektorskega polja je vektor<br />
f) divergenca vektorskega polja je skalarno polje<br />
g) gradient vektorskega polja je skalarno polje<br />
h) gradient skalarnega polja je vektorsko polje<br />
26. Zapiši enaµcbo tangentne ravnine na ploskev z = p R 2 x 2 y 2 v toµcki<br />
R R<br />
2 ; 2 ; R p .<br />
2<br />
27. Obkroµzi pravilne trditve<br />
a) pri linearizaciji vektorske funkcije uporabimo Jacobijevo matriko<br />
b) Jacobijeva matrika je sestavljena iz prvih parcialnih odvodov<br />
c) Jacobijeva matrika je sestavljena iz drugih parcialnih odvodov<br />
d) Hessejeva matrika je sestavljena iz prvih parcialnih odvodov<br />
e) Hessejeva matrika je sestavljena iz drugih parcialnih odvodov<br />
5
f) Hessejevo matriko uporabimo pri doloµcanju ekstremov funkcije veµc spremenljivk<br />
g) Jacobijevo matriko uporabimo pri doloµcanju ekstremov funkcije veµc<br />
spremenljivk<br />
h) µCe je determinanta Jacobijeve matrike negativna, funkcija v stacionarni<br />
toµcki nima ekstremov<br />
i) µCe je determinanta Hessejeve matrike pozitivna, ima funkcija v stacionarni<br />
toµcki ekstrem<br />
j) niti Hessejeva niti Jacobijeva matrika nimata pomena pri doloµcanju<br />
ekstremov funkcije veµc spremenljivk<br />
k) zadostne pogoje za nastop ekstrema funkcije veµc spremenljivk smo izpeljali<br />
na osnovi kvadratnega Taylorjevega pribliµzka funkcije<br />
l) Za funkcijo ~ f : R ! R 3 lahko izraµcunamo Jacobijevo in Hessejevo matriko<br />
m) Za polje U : R 3 ! R lahko izraµcunamo Jacobijevo in Hessejevo matriko<br />
28. Obkroµzi lastnosti, ki veljajo za operator Nabla ( in sta skalarja).<br />
a) r ( f + g) = r (f) + r (g)<br />
b) r ~ F + ~ G = r ~ F + r ~ G<br />
c) r ~ F + ~ G = r ~ F + r ~ G<br />
d) r ~ F + ~ G = r ~ F + r ~ G<br />
e) r ~ F = r ~ F<br />
29. µCe je vektorsko polje ~ F potencialno je vedno rot ~ F = ~0. V veµcini primerov<br />
velja tudi obratna trditev: µce je rot ~ F = ~0, je ~ F potencialno (pravimo, da<br />
so izpolnjeni kontinuitetni pogoji). Torej:<br />
Doloµci tako, da bo<br />
~F (x; y; z) = 5y 3 + 4y z 2<br />
potencialno in izraµcunaj potencial.<br />
~F je potencialno , rot ~ F = ~0:<br />
6 x 3 y 2 ; 15xy 2<br />
12x 4 y + 2 xy 3 z 2 ; 2xy 4 z<br />
30. µCe je div ~ F = 0, je vektorsko polje ~ F solenoidalno. µCe je ~ F = rot ~ G,<br />
je polje ~ F oµcitno solenoidalno, saj je div rot ~ G = r r ~ G =<br />
n<br />
r; r; ~ o<br />
G = 0 za vsako (dovolj odvedljivo) polje ~ G. Dokazati je mogoµce,<br />
da velja tudi obratna trditev. To pomeni, da je vsako solenoidalno polje<br />
~F oblike ~ F = rot ~ G za neko (dovolj gladko) polje ~ G. Torej:<br />
~F je solenoidalno , 9 ~ G : ~ F = rot ~ G:<br />
6
a) Dokaµzi, da je polje<br />
solenoidalno.<br />
~F (x; y; z) =<br />
24y 24z 24x<br />
2 ;<br />
2 ;<br />
(6z + 5) (6x + 5) (6y + 5) 2<br />
!<br />
b) Preveri, da je ~ F = rot ~ G, kjer je ~ G (x; y; z) = 4 x y z<br />
6y+5 ; 4 6z+5 ; 4 6x+5 :<br />
31. Dokaµzi veljavnost formul za ustrezna skalarna oziroma vektorska polja<br />
a) grad (fg) = f grad (g) + g grad (f)<br />
b) grad (f (g)) = df<br />
dg grad (g)<br />
c) div ~ F ~ G = rot ~ F ~ G ~ F rot ~ G<br />
d) div f ~ F = grad (f) ~ F + f div ~ F<br />
e) rot f ~ F = grad (f) ~ F + f rot ~ F<br />
32. Obkroµzi pravilne trditve<br />
a) Laplaceov operator je r 2 (:::) = div (grad (:::)) in deluje na skalarnih<br />
poljih<br />
b) Laplaceov operator je r 2 (:::) = grad (div (:::)) in deluje na vektorskih<br />
poljih<br />
c) V karteziµcnih koordinatah je (U) = Uxx + Uyy + Uzz<br />
d) r 2 (:::) = (:::)<br />
e) r 2 (:::) = 2 (:::)<br />
f) Potencial polja (F1; F2; F3) izraµcunamo s pomoµcjo integralov R F1dx,<br />
R F2dy, R F3dz.<br />
33. Izraµcunaj Laplaceov operator radialnega skalarnega polja f (x; y; z) =<br />
ln p x 2 + y 2 + z 2 .<br />
34. Obkroµzi pravilne trditve. Zaradi lastnosti vektorskega in/ali mešanega<br />
produkta velja<br />
a) rot (grad (U)) = ~0, za vsako polje U<br />
b) grad (rot (U)) = 0, za vsako polje U<br />
c) div (rot (U)) = ~0, za vsako polje U<br />
d) div (rot (U)) = 0, za vsako polje U<br />
e) rot rot ~ F = ~0, za vsako polje ~ F<br />
7
35. Doloµci vezane ekstreme funkcije U (x; y) = 12xy 4x 2 pri (veznem) pogoju<br />
x 6y + 5xy = 0.<br />
a) S pomoµcjo Lagrangeve funkcije<br />
b) S prevedbo problema na funkcijo ene spremenljivke.<br />
Šifra naloge 235458961825<br />
8