LOPTA R R lopta

www.matematiranje.com
LOPTA
SFERA (LOPTA) i DELOVI LOPTE
P= 4R 2 4 3
π V= R π
3
R
lopta
R
OVDE JE : - R je poluprečnik lopte
- h je visina zone ( odsečka, isečka)
-r1 i r2 su poluprečnici presečnih krugova
Površina kalote: P= 2Rπ h
Površina zone : P= 2Rπ h
πh
Zapremina loptinog odsečka: V=
3
2 2
Zapremina loptinog isečka: V= R π h
3
2
(3R-h)
1

www.matematiranje.com
π h
Zapremina loptinog sloja: V= (3r1
6
2 +3r2 2 +h 2 )
h
r
R
kalota(samo poklopac)
h
r
R
loptin odsecak
h
r
2
r
1
R
loptin sloj(zona)
h
R . R
loptin isečak
odsečak + kupa
2

www.matematiranje.com
UZAJAMNI POLOŽAJ LOPTE I DRUGIH TELA
- Da bi se u prizmu mogla upisati sfera potrebno je i dovoljno da se u njen normalni presek
može upisati krug čiji je prečnik jednak visini prizme
- Da bi se u piramidu mogla upisati sfera dovoljno je da nagibni uglovi bočnih
strana prema osnovi piramide budu jednaki
- Ako se oko poliedra može opisati sfera, tada njen centar leži u tački preseka
simetralnih ravni svih ivica poliedra
- Da bi se oko prizme mogla opisati sfera potrebno je i dovoljno da prizma bude
prava i da se oko njene osnove može opisati krug.
- Da bi se oko piramide mogla opisati sfera potrebno je i dovoljno da se oko
njene osnove može opisati krug
- Lopta je upisana u prav valjak ako osnove i sve izvodnice valjka dodiruju
loptu. To je moguće ako je prečnik osnove valjka jednak visini valjka
- Lopta je upisana u pravu kupu ako osnova i sve izvodnice kupe dodiruju
loptu. To je uvek mogućno!
- Lopta je opisana oko valjka ako su osnove valjka preseci lopte. Oko svakog
pravog valjka može se opisati lopta
- Lopta je opisana oko kupe ako je osnova kupe presek lopte i ako vrh kupe
pripada odgovarajućoj sferi. Oko svake kupe može se opisati lopta.
3

www.matematiranje.com
1) Površina lopte jednaka je 225 π . Naći njenu zapreminu.
P π
= 225
_____________
V = ?
4 3
V = R π
3
4 3
V = ( 7,
5)
π
3
V = 562,
5π
2) Preseci dve ravni i lopte imaju površine 49 π i 4 π , a rastojaje izmedju tih ravni koje
su sa raznih strana centra lopte iznosi 9. Naći površinu lopte.
P = 49π
1
P = 4π
2
h = 9
________
PL
= ?
Preseci lopte su krugovi, pa ćemo odstale naći r 1 i r 2 .
2
P1
= r1
π
2
49π
= r1
π
r = 7
1
2
P2
= r2
π
2
4π
= r2
π
r = 2
2
2
P = 4R
π
2
225π
= 4R
π
R
2
=
225
4
225
R =
4
15
R =
2
R = 7,
5
Uočimo dva pravougla trougla (na slici) čije su hipotenuze R a katete za jedan x i r1 a za
drugi y i r 2
4

www.matematiranje.com
R
R
2
2
= x
2
= y
2
2
+ r ⎪⎫
1
⎬ ⇒
2
+ r2
⎪⎭
Sada je y − x = 5 ∧ y + x = 9 ⇒ y = 9 zamenimo pa je
R
2
2
2
2
= 7 + 4 ⇒ R = 53 ⇒ P = 4R
π ⇒ P = 212π
3) Poluprečnik lopte je 15. Koji se deo površine lipte vidi iz tačke koje je od centra lopte
udaljena za 25?
Nacrtamo najpre sliku:
Iz njihove sličnosti sledi proporcionalnost stranica:
X : R = R : 25
X
: 15
=
15 : 25
25X
= 225
X = 9
Pošto je X
+ h = R
Površina koja se vidi je ustvari kalota visine h = 6
P
P
K
K
⇓
h = R − X
h = 15 − 9
h = 6
= 2Rπh
= 2⋅15⋅π
⋅6
= 180π
x
2
+ r
2
1
= y
2
2
2
2
x + 49 = y + 4
45 = ( y − x)(
y + x)
y − x = 5
2
+ r
Trouglovi ABC i ABD su očigledno pravougli i slični.
Izvucimo ih na stranu!!!
5

www.matematiranje.com
4) Izračunati zapreminu odsečka lopte ako je poluprečnik njegove osnove jednak 6,
apoluprečnik lopte je 7,5
r1
= 6
R = 7,
5
Najpre I ovde nacrtamo sliku:
Kako je h
+ X = R
h = R − X
h =
Zapremina odsečka je:
πh
V =
7,
5
h = 3
2
3 2
V = 58,
5π
( 3R
− h)
π ⋅3
V =
3
V = 3π
⋅19,
5
( 3⋅
7,
5 − 3)
Iz pravouglog trougla ABC je:
5) Površina lopte opisane oko prave pravilne četvorostrane prizme osnovne ivice a = 4 je
P = 36π
. Izračunati površinu dijagonalnog preseka. [ P = 81 3]
Nacrtajmo i ovde prvo sliku:
−
4,
5
a = 4
= 36π
PL
X
X
X
d
2
= 7,
5
= 4,
5
2
= R
2
− r
2
2
1
− 6
2
6

www.matematiranje.com
Iz površine lopte ćemo izračunati poluprečnik.
P L
2
= 4R
π
2
36π
= 4R
π
2
R = 9
R = 3
Izvucimo ‘’na stranu’’ dijagonalni presek:
Odavde je:
H
H
H
H
2
2
2
2
=
=
H = 2
2 ( 2R)
− ( a 2)
36 − ( 4
2
2)
= 36 − 32
= 4
Površina dijagonalnog preseka je:
P = a
P = 8
2 ⋅ H = 4
2
2 ⋅ 2
6) Oko kocke površine P = 32 opisana je lopta. Izračunati zapreminu dela lopte iznad
⎡ 16 ⎤
gornje strane kose. ⎢V
= ( 3π
− 2 3)
.
⎣ 27 ⎥⎦
Poluprečnik R lopte je očigledno jednak polovini telesne dijagonale
2
Pošto je površina kocke
P = 32 ⇒ 2
6a
= 32
2 32
a =
6
2 16
a =
3
4 4 3
a = =
3 3
D = a
D = 4
3 =
4 3
3
⋅
3
7

www.matematiranje.com
R =
R =
D
2
2
Razmišljamo ovako:
→ Ovakvih odsečka ima 6.
→ Nadjemo zapreminu lopte i zapreminu kocke
→ Oduzmemo ih i podelimo sa 6.
V
L
4 3 4 3 32π
= R π = 2 π =
3 3 3
3
⎛ 4 3 ⎞
3
V ⎜ ⎟
K = a =
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
64⋅
3
=
27
3 64 3
=
9
32π
64 3 96π
− 64
VL
−VK
= − =
3 9 9
32(
3π
− 2 3)
VL
−VK
=
9
3
Sad nam treba ovo kroz 6
VL
−VK
32(
3π
− 2
VOD
= =
6 54
3)
16
VOD
= ( 3π
− 2
27
3)
7) U pravu kupu čija izvodnica ima dužinu 15 i čiji je poluprečnik osnove 9, upisana je
lopta. Naći zapreminu lopte
C
M
R
A
N
s
R
r
B
8

www.matematiranje.com
9
Iz sličnosti trouglova ABC i MNC dobijamo:
?
9
15
_______
=
=
=
L
V
r
s
12
144
81
225
9
15
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
−
=
−
=
−
=
H
H
H
H
r
s
H
2
9
2
9
24
108
108
24
9
108
15
)
12
(
9
15
15
:
)
12
(
9
:
:
)
(
:
=
=
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
R
R
R
R
R
R
R
R
R
S
R
H
r
R
2
243
2
9
3
4
3
4
3
3
π
π
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
V
V
R
V