Μία σύντομη εισαγωγή

3⎛ 5 ⎞ 4⎛ 12⎞ 63
sin( x+ y) = sin( x)cos( y) + cos( x)sin( y)
= ⎜− ⎟+ ⎜− ⎟=−
5 ⎝ 13 ⎠ 5 ⎝ 13 ⎠ 65
2 2
3. Να αποδείξετε ότι αν xy∈ , , ισχύει: sin( x + y)sin( x− y) = sin ( x)
−sin ( y )
Λύση:
1 ος τρόπος:
sin( x + y)sin( x− y) = (sin( x)cos( y) + cos( x)sin( y))(sin( x)cos( y) −cos(
x)sin( y))
=
2 2 2 2 2 2 2 2
(sin ( x)cos ( y) − cos ( x)sin ( y)) = sin ( x)(1−sin ( y)) −(1−sin ( x))sin ( y)
=
2 2 2 2 2 2 2 2
sin ( x) −sin ( x)sin ( y) − sin ( y) + sin ( y)sin ( x) = sin ( x)
− sin ( y)
1
Εναλλακτικά χρησιμοποιώντας τον τύπο sin( ω ) sin( φ)
= ( cos(
ω − φ ) − cos(
ω + φ ) )
2
1
sin( x+ y)sin( x− y) = (cos(( x+ y) −( x− y)) − cos(( x+ y) + ( x− y))
=
2
1 1
2 2 2
2
(cos(2 y) − cos(2 x)) = (1−2sin ( y) − 1+ 2sin ( x)) = sin ( x)
−sin ( y)
2 2
4. Να λυθεί η εξίσωση 3cos( x) + 3sin( x)
= 3.
Λύση:
Έχουμε
3
3cos( x) + 3sin( x) = 3⇔ cos( x) + sin( x)
= 1⇔
3
1
1
cos( x) + sin( x) = 1⇔ cos( x) + 2 sin( x)
= 1⇔
3 3
2
π
sin( )
cos( ) 6
π π π
x + sin( x) = 1 ⇔ cos( x)cos( ) + sin( x)sin(
) = cos( ) ⇔
π
cos( )
6 6 6
6
⎧ π π π
⎪
x− = 2kπ + ⇔ x= 2kπ
+
6 6 3
π π ⎪
cos( x − ) = cos( ) ⇔ ⎨
ή
( k ∈).
6 6 ⎪ π π
⎪ x− = 2kπ − ⇔ x= 2kπ
⎩ 6 6
5. Να αποδείξετε ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒC ισχύει:
tan( A) + tan( B) + tan( C) = tan( A) tan( B)
tan( C)
Λύση:
Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι tan( A), tan( B), tan( C)
, γιατί είναι
ABC , ,
2
π
≠ και A B C
2
π
+ = π − ≠ , οπότε έχουμε:
9