Μία σύντομη εισαγωγή

A+ B C
A+ B C
Επειδή A+ B+ C = π ⇔ = π − έχουμε cot( ) = tan( ) .
2 2
2 2
16. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο με γωνίες Α,Β,C και πλευρές a,b,c ισχύει:
A ττ− ( a)
cos( ) =
2 bc
Όπου τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
Λύση:
2 2 2
b + c − a
Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε cos( A)
= .
2bc
Από τη γνωστή ταυτότητα
2 2 2
2 A 2 A 2 A b + c −a
cos( A) = 2cos ( ) −1⇔ 2cos ( ) = cos( A)
+ 1 ⇔ 2cos ( ) = + 1 ⇔
2 2 2 2bc
2 2 2 2 2
2 A b + c − a + 2 bc 2 A ( b+ c) − a 2 A ( b+ c− a)( a+ b+ c)
2cos ( ) = ⇔ 2cos ( ) = ⇔ 2cos ( ) =
2 2bc 2 2bc 2 2bc
Αλλά a+ b+ c= 2τ⇔ b+ c− a= 2τ −2a⇔ b+ c− a= 2(
τ − a)
2 A 2τ2( τ −a) A τ( τ −a
)
cos ( ) = ⇔ cos( ) =
2 4bc 2 bc
14