Μία σύντομη εισαγωγή

y− x x+ y y−x π
cos( x) − cos( y)
=− 3 ⇔ 2sin( )sin( ) =− 3 ⇔ 2sin( )sin( ) =− 3
2 2 2 2
y−x 3 y−x 3 y−x 3 x− y 3
sin( ) =− ⇔− sin( ) = ⇔sin( − ) = ⇔ sin( ) = ⇔
2 2 2 2 2 2 2 2
x−y π
sin( ) = sin( ) ⇔
2 3
⎧ x−y π 2π
⎪
= 2kπ + ⇔ x− y = 4kπ
+
2 3 3
⎪
⎨
ή ( k ∈)
⎪ x−y π 4π
⎪ = 2kπ + π − ⇔ x− y = 4kπ
+
⎩ 2 3 3
Οπότε το σύστημα είναι ισοδύναμο με τα δύο ακόλουθα
⎧ x+ y = π ⎫ ⎧ x+ y = π ⎫ ⎧ y = π −x
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎨ 2π⎬⇔ ⎨ 2π
⎬⇔ ⎨ 5π
⎬
⎪x− y = 4kπ + 2x 4kπ π 2x 4kπ
3
⎪ = + + = +
⎭ ⎩
⎪
3 ⎭
⎪ ⎪
⎩
3
⎪
⎩
⎭
⎧ 5π
⎫ ⎧ π ⎫
⎪
y =− 2kπ + π − y =− 2kπ
+
⎪ 6 ⎪ ⎪ 6 ⎪
⇔ ⎨ ⎬⇔ ⎨ ⎬k∈
⎪ 5π 5π
x= 2kπ + ⎪ ⎪x= 2kπ
+ ⎪
⎩⎪ 6 ⎪⎭ ⎪⎩ 6 ⎪⎭
ή
⎧ x+ y = π ⎫ ⎧ x+ y = π ⎫ ⎧ y = π −x
⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎨ 4π ⎬⇔⎨ 4π
⎬⇔⎨ 7π
⎬
⎪x− y = 4kπ + 2x= 4kπ
+ π +
⎩ 3
⎪ ⎪ 2x= 4kπ+
⎭ ⎩ 3
⎪
⎭
⎪
⎩
3
⎪
⎭
⎧ 7π
⎫ ⎧ π ⎫
⎪
y =− 2kπ + π − y =−2kπ −
⎪ 6 ⎪ ⎪ 6 ⎪
⇔ ⎨ ⎬⇔ ⎨ ⎬k∈
⎪ 7π 7π
x= 2kπ + ⎪ ⎪x= 2kπ
+ ⎪
⎩⎪ 6 ⎪⎭ ⎪⎩ 6 ⎪⎭
15. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο με γωνίες Α,Β,C και πλευρές a,b,c ισχύει:
a−b A−B C
= tan( ) tan( )
a+ b 2 2
Λύση:
Από το νόμο των ημιτόνων
a b a sin( A)
= ⇔ =
sin( A) sin( B) b sin( B )
a sin( A )
Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των αναλογιών από την = έχουμε
b sin( B)
⎛ A− B⎞ ⎛ A+ B⎞
2sin cos
a−b sin( A) −sin( B) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2 A− B A+ B A−B C
= =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= tan( )cot( ) = tan( ) tan( )
a+ b sin( A) + sin( B)
⎛ A+ B⎞ ⎛ A−B⎞ 2 2 2 2
2sin⎜ ⎟cos⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
13