Μία σύντομη εισαγωγή

12. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο με γωνίες Α,Β,C ισχύει:
A B C
sin( A) + sin( B) + sin( C)
= 4cos( )cos( )cos( )
2 2 2
Λύση:
A+ B C
A+ B C
Επειδή A+ B+ C = π ⇔ = π − έχουμε sin( ) = cos( ) και
2 2
2 2
A + B C
cos( ) = sin( ) .
2 2
A+ B A−B C C
sin( A) + sin( B) + sin( C)
= 2sin( )cos( ) + 2sin( )cos( ) =
2 2 2 2
C A− B A+ B C C A− B A+ B
2cos( )cos( ) + 2cos( )cos( ) = 2cos( )(cos( ) + cos( )) =
2 2 2 2 2 2 2
A− B A+ B A+ B A−B + −
C
2cos( )2cos( 2 2 )cos( 2 2 ) =
2 2 2
C A B A B C
2cos( )2cos( )cos( ) = 4cos( )cos( )cos( )
2 2 2 2 2 2
13. Να λυθεί η εξίσωση cos( x) − cos(3 x) − cos(5 x) + cos(7 x)
= 0 .
Λύση:
cos( x) −cos(3 x) − cos(5 x) + cos(7 x) = 0 ⇔ cos( x) + cos(7 x) − (cos(3 x) + cos(5 x))
= 0 ⇔
7x+ x 7x− x 5x+ 3x 5x−3x 2cos( ) cos( ) − 2cos( ) cos( ) = 0 ⇔
2 2 2 2
2cos(4 x)cos(3 x) − 2cos(4 x)cos( x) = 0 ⇔ 2cos(4 x)(cos(3 x) − cos( x))
= 0 ⇔
3x+
x x−3 x
2cos(4 x)(2sin(
)sin( )) = 0 ⇔ 4cos(4 x)sin(2 x)sin( − x)
= 0 ⇔
2 2
− cos(4 x)sin(2 x)sin( x) = 0 ⇔ cos(4 x) = 0 ή sin(2 x) = 0 ή sin( x)
= 0
Από την 1 η έχουμε:
⎧ π π π
⎪
4x= 2kπ+
⇔ x= k +
2 2 8
π ⎪
cos(4 x) = cos( ) ⇔ ⎨
ή ( k ∈
).
2 ⎪ π π π
⎪ x= 2kπ−
⇔ x= k −
⎩ 2 2 8
sin(2 x) = sin(0) ⇔ 2x= 2kπ± 0 ⇔ x= kπ( k∈
).
sin( x) = sin(0) ⇔ x= 2kπ± 0 ⇔ x= 2 kπ( k∈
).
⎧⎪ x+ y = π
14. Να λυθεί το σύστημα ⎨
.
⎪⎩ cos( x) − cos( y)
=− 3
Λύση:
Η δεύτερη εξίσωση γίνεται
12