Μία σύντομη εισαγωγή

⎧
π
⎪
x= 2kπ+
6
1
π ⎪
sin( x) = ⇔ sin( x) = sin( ) ⇔ ⎨
ή ( k ∈
).
2 6 ⎪
π 5π
⎪ x= 2( k+ 1) π − ⇔ x= 2kπ
+
⎩
6 6
Επειδή x ∈[0,2 π ] έχουμε
π
1 1 11 1 11
0≤ 2kπ + ≤2π ⇔0≤ 2k+ ≤2⇔ − ≤2k ≤ ⇔ − ≤k ≤
6 6 6 6 12 12
Που ικανοποιείται για κ=0 οπότε
Επίσης
x
6
π
= .
5π5 5 7 5 7
0≤ 2kπ + ≤2π ⇔0≤ 2k+ ≤2⇔ − ≤2k ≤ ⇔ − ≤k ≤
6 6 6 6 12 12
Που ικανοποιείται για κ=0 οπότε
5π
x = .
6
10. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x ∈ ισχύει:
4sin(2 x)cos(3 x)sin(5 x) = 1− cos(4 x) + cos(6 x) − cos(10 x)
Λύση:
4sin(2 x)cos(3 x)sin(5 x) = 2sin(2 x)2cos(3 x)sin(5 x)
=
2sin(2 x) [ sin(5x+ 3 x) + sin(5x− 3 x)
] =
2sin(2 x)(sin(8 x) + sin(2 x))
=
2
2sin(2 x)sin(8 x) + 2sin (2 x)
=
cos(8x−2 x) − cos(8x+ 2 x) + 1− cos(4 x)
=
1− cos(4 x) + cos(6 x) −cos(10
x)
11. Να λυθεί η εξίσωση cos(7 x)cos(2 x) = sin(6 x)sin( x)
.
Λύση:
cos(7 x)cos(2 x) = sin(6 x)sin( x)
⇔
2cos(7 x)cos(2 x) = 2sin(6 x)sin( x)
⇔
cos(7x+ 2 x) + cos(7x− 2 x) = cos(6 x−x) − cos(6 x+ x)
⇔
cos(9 x) + cos(5 x) = cos(5 x) −cos(7 x)
⇔
cos(9 x) =−cos(7 x)
⇔
cos(9 x) = cos( π + 7 x)
⇔
⎧
π
⎪
9x= 2kπ + π + 7x⇔ 2x= 2kπ
+ π ⇔ x= kπ
+
2
⎪
⎨
ή
( k ∈
) .
⎪
kπ
π
⎪ 9x
= 2kπ −π −7x⇔ 16x= 2kπ
−π ⇔ x=
−
⎩
8 16
11