Μία σύντομη εισαγωγή
Μία σύντομη εισαγωγή
Μία σύντομη εισαγωγή
- TAGS
- users.teiath.gr
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
⎧<br />
π<br />
⎪<br />
x= 2kπ+<br />
6<br />
1<br />
π ⎪<br />
sin( x) = ⇔ sin( x) = sin( ) ⇔ ⎨<br />
ή ( k ∈<br />
).<br />
2 6 ⎪<br />
π 5π<br />
⎪ x= 2( k+ 1) π − ⇔ x= 2kπ<br />
+<br />
⎩<br />
6 6<br />
Επειδή x ∈[0,2 π ] έχουμε<br />
π<br />
1 1 11 1 11<br />
0≤ 2kπ + ≤2π ⇔0≤ 2k+ ≤2⇔ − ≤2k ≤ ⇔ − ≤k ≤<br />
6 6 6 6 12 12<br />
Που ικανοποιείται για κ=0 οπότε<br />
Επίσης<br />
x<br />
6<br />
π<br />
= .<br />
5π5 5 7 5 7<br />
0≤ 2kπ + ≤2π ⇔0≤ 2k+ ≤2⇔ − ≤2k ≤ ⇔ − ≤k ≤<br />
6 6 6 6 12 12<br />
Που ικανοποιείται για κ=0 οπότε<br />
5π<br />
x = .<br />
6<br />
10. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x ∈ ισχύει:<br />
4sin(2 x)cos(3 x)sin(5 x) = 1− cos(4 x) + cos(6 x) − cos(10 x)<br />
Λύση:<br />
4sin(2 x)cos(3 x)sin(5 x) = 2sin(2 x)2cos(3 x)sin(5 x)<br />
=<br />
2sin(2 x) [ sin(5x+ 3 x) + sin(5x− 3 x)<br />
] =<br />
2sin(2 x)(sin(8 x) + sin(2 x))<br />
=<br />
2<br />
2sin(2 x)sin(8 x) + 2sin (2 x)<br />
=<br />
cos(8x−2 x) − cos(8x+ 2 x) + 1− cos(4 x)<br />
=<br />
1− cos(4 x) + cos(6 x) −cos(10<br />
x)<br />
11. Να λυθεί η εξίσωση cos(7 x)cos(2 x) = sin(6 x)sin( x)<br />
.<br />
Λύση:<br />
cos(7 x)cos(2 x) = sin(6 x)sin( x)<br />
⇔<br />
2cos(7 x)cos(2 x) = 2sin(6 x)sin( x)<br />
⇔<br />
cos(7x+ 2 x) + cos(7x− 2 x) = cos(6 x−x) − cos(6 x+ x)<br />
⇔<br />
cos(9 x) + cos(5 x) = cos(5 x) −cos(7 x)<br />
⇔<br />
cos(9 x) =−cos(7 x)<br />
⇔<br />
cos(9 x) = cos( π + 7 x)<br />
⇔<br />
⎧<br />
π<br />
⎪<br />
9x= 2kπ + π + 7x⇔ 2x= 2kπ<br />
+ π ⇔ x= kπ<br />
+<br />
2<br />
⎪<br />
⎨<br />
ή<br />
( k ∈<br />
) .<br />
⎪<br />
kπ<br />
π<br />
⎪ 9x<br />
= 2kπ −π −7x⇔ 16x= 2kπ<br />
−π ⇔ x=<br />
−<br />
⎩<br />
8 16<br />
11