Μία σύντομη εισαγωγή

tan( A) + tan( B)
tan( A+ B) = tan( π −C) ⇒ =−tan( C)
⇒
1−tan( A)tan( B)
tan( A) + tan( B) =−(1−tan( A) tan( B)) tan( C)
⇒
tan( A) + tan( B) =− tan( C) + tan( A) tan( B) tan( C)
⇒
tan( A) + tan( B) + tan( C) = tan( A) tan( B) tan( C)
3
6. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x ∈ ισχύει: sin(3 x) = 3sin( x) − 4sin ( x)
Λύση:
sin(3 x) = sin(2 x+ x) = sin(2 x)cos( x) + sin( x)cos(2 x)
=
2
2sin( x)cos( x)cos( x) + sin( x)(1− 2sin ( x))
=
2 3
2sin( x)(1− sin ( x)) + sin( x) − 2sin ( x)
=
3 3
2sin( x) − 2sin ( x) + sin( x) − 2sin ( x)
=
3
3sin( x) − 4sin ( x)
3
7. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x ∈ ισχύει: cos(3 x) = 4cos ( x) − 3cos( x)
Λύση:
cos(3 x) = cos(2 x+ x) = cos(2 x) cos( x) −sin(2
x)sin( x)
=
2
(2cos ( x) −1)cos( x) − 2sin( x)cos( x)sin( x)
=
3 2
2cos ( x) −cos( x) −2cos( x)(1− cos ( x))
=
3 3
2cos ( x) −cos( x) − 2cos( x) + 2cos ( x)
=
3
4cos ( x) − 3cos( x)
4
8. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x ∈ ισχύει: 8sin ( x) = 3− 4sin(2 x) + cos(4 x)
Λύση:
4 4 2 2
2
8sin ( x) = 2(4sin ( x)) = 2(2sin ( x)) = 2(1−cos(2 x))
=
2 2
2(1− 2cos(2 x) + cos (2 x)) = 2− 4cos(2 x) + 2cos (2 x)
=
2 − 4cos(2 x) + 1+ cos(4 x) = 3− 4sin(2 x) + cos(4 x)
9. Να λυθεί στο [0,2π] η εξίσωση cos(2 x) − 3sin( x)
+ 1 = 0 .
Λύση:
Παρατηρούμε ότι
2
cos(2 x) − 3sin( x) + 1 = 0 ⇔1−2sin ( x) − 3sin( x)
+ 1 = 0
2
2sin ( x) + 3sin( x)
− 2 = 0
Οπότε εάν θέσουμε y = sin( x)
η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την
2
1
2y + 3y− 2=0με
y ∈− [ 1,1] . Η δευτεροβάθμια αυτή έχει ρίζες ρ1 = , ρ2 =− 2 από τις
2
1
οποίες η δεύτερη απορρίπτεται. Από την ρ 1 = έχουμε
2
⇔
10