Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί

Γραµµική Άλγεβρα
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης
Επειδή 2005 835( 2π
)
( )
2005
2005
2005 ⎛ 5π 5π
⎞
− 3+ i = 2 ⎜cos + isin
⎟ =
⎝ 6 6 ⎠
⎛ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π
⎞⎞
= ⎜ ⎜ ⎟+ i ⎜ ⎟
6 6
⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
2005
2 cos 2005 sin 2005 .
5π5π
= + έχουµε ότι
6 6
5π5π π 5π
cos(2005 ) = cos , sin(2005 ) = sin . Άρα παίρνουµε
6 6 3 6
( ) 2005
−
2005 ⎛ 5π 5π ⎞ ⎛ 2005 − 3 1⎞
2004
3+ i = 2 ⎜cos + isin ⎟= 2 ⎜ + i ⎟=
2 ( −
⎝ 6 6 ⎠
⎜ 2 2⎟
⎝ ⎠
3+
i)
.
Θεώρηµα του De Moivre και Εξισώσεις
Έστω a∈C, a ≠0.
Η εξίσωση
από τον τύπο
n
x = a έχει n διακεκριµένες λύσεις που δίνονται
2 2
n ⎛ θ + kπ θ + kπ
⎞
zk= ρ ⎜cos+ isin ⎟,
k = 0,1,..., n−
1,
⎝ n n ⎠
όπου ρ είναι το µέτρο του a και θ είναι το όρισµά του.
Παράδειγµα
Να λυθεί η εξίσωση
4
x 3 i
=− + .
Είδαµε στο προηγούµενο παράδειγµα ότι −
5π5π 3+ i = 2(cos + i sin ) ,
6 6
5π
δηλαδή ρ = 2 και θ = . Άρα οι ζητούµενες λύσεις είναι οι
6
⎛ 5π 5π
⎞
⎜ + 2kπ + 2kπ
2 cos 6 sin 6 ⎟
= ⎜ + ⎟,
k = 0,1, 2,3.
⎜ 4 4 ⎟
⎝ ⎠
4
zki Αντικαθιστώντας διαδοχικά k = 0,1, 2,3 βλέπουµε ότι οι λύσεις είναι
⎛ 5π 2⎜cos ⎝ 24
5π
⎞
sin ⎟
24 ⎠
⎛ 17π 2⎜cos ⎝ 24
17π
⎞
sin ⎟
24 ⎠
⎛ 29π 2⎜cos ⎝ 24
29π
⎞
sin ⎟
24 ⎠
⎛ 41π 2⎜cos ⎝ 24
41π
⎞
sin ⎟.
24 ⎠
4
z0= + i
4
z1= + i
4
z2= + i
4
z3= + i