Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί
- TAGS
- isin
- moivre
- users.teiath.gr
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Γραµµική Άλγεβρα<br />
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης<br />
Επειδή 2005 835( 2π<br />
)<br />
( )<br />
2005<br />
2005<br />
2005 ⎛ 5π 5π<br />
⎞<br />
− 3+ i = 2 ⎜cos + isin<br />
⎟ =<br />
⎝ 6 6 ⎠<br />
⎛ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π<br />
⎞⎞<br />
= ⎜ ⎜ ⎟+ i ⎜ ⎟<br />
6 6<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠<br />
2005<br />
2 cos 2005 sin 2005 .<br />
5π5π<br />
= + έχουµε ότι<br />
6 6<br />
5π5π π 5π<br />
cos(2005 ) = cos , sin(2005 ) = sin . Άρα παίρνουµε<br />
6 6 3 6<br />
( ) 2005<br />
−<br />
2005 ⎛ 5π 5π ⎞ ⎛ 2005 − 3 1⎞<br />
2004<br />
3+ i = 2 ⎜cos + isin ⎟= 2 ⎜ + i ⎟=<br />
2 ( −<br />
⎝ 6 6 ⎠<br />
⎜ 2 2⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3+<br />
i)<br />
.<br />
Θεώρηµα του De Moivre και Εξισώσεις<br />
Έστω a∈C, a ≠0.<br />
Η εξίσωση<br />
από τον τύπο<br />
n<br />
x = a έχει n διακεκριµένες λύσεις που δίνονται<br />
2 2<br />
n ⎛ θ + kπ θ + kπ<br />
⎞<br />
zk= ρ ⎜cos+ isin ⎟,<br />
k = 0,1,..., n−<br />
1,<br />
⎝ n n ⎠<br />
όπου ρ είναι το µέτρο του a και θ είναι το όρισµά του.<br />
Παράδειγµα<br />
Να λυθεί η εξίσωση<br />
4<br />
x 3 i<br />
=− + .<br />
Είδαµε στο προηγούµενο παράδειγµα ότι −<br />
5π5π 3+ i = 2(cos + i sin ) ,<br />
6 6<br />
5π<br />
δηλαδή ρ = 2 και θ = . Άρα οι ζητούµενες λύσεις είναι οι<br />
6<br />
⎛ 5π 5π<br />
⎞<br />
⎜ + 2kπ + 2kπ<br />
2 cos 6 sin 6 ⎟<br />
= ⎜ + ⎟,<br />
k = 0,1, 2,3.<br />
⎜ 4 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
4<br />
zki Αντικαθιστώντας διαδοχικά k = 0,1, 2,3 βλέπουµε ότι οι λύσεις είναι<br />
⎛ 5π 2⎜cos ⎝ 24<br />
5π<br />
⎞<br />
sin ⎟<br />
24 ⎠<br />
⎛ 17π 2⎜cos ⎝ 24<br />
17π<br />
⎞<br />
sin ⎟<br />
24 ⎠<br />
⎛ 29π 2⎜cos ⎝ 24<br />
29π<br />
⎞<br />
sin ⎟<br />
24 ⎠<br />
⎛ 41π 2⎜cos ⎝ 24<br />
41π<br />
⎞<br />
sin ⎟.<br />
24 ⎠<br />
4<br />
z0= + i<br />
4<br />
z1= + i<br />
4<br />
z2= + i<br />
4<br />
z3= + i