Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί
- TAGS
- isin
- moivre
- users.teiath.gr
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Γραµµική Άλγεβρα<br />
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης<br />
2<br />
2<br />
z−4 z−4 z−4⎛ z−4⎞<br />
= 2⇒ = 4⇒ ⎜ ⎟=<br />
4⇒<br />
z−1 z−1 z−1⎝ z−1⎠<br />
( )<br />
zz−4z− 4z+ 16<br />
⇒ = 4⇒ zz−4z− 4z+ 16= 4 zz−z− z+<br />
1 ⇒<br />
zz−z− z+<br />
1<br />
⇒ zz = 4⇒ z = 4⇒ z = 2.<br />
Τριγωνοµετρική Μορφή Μιγαδικού Αριθµού<br />
Ας θεωρήσουµε την εικόνα ενός µη µηδενικού µιγαδικού αριθµού z = a+ bi.<br />
Στο επίπεδο Έστω θ η γωνία που σχηµατίζεται αν κινηθούµε µε φορά<br />
αντίθετη της κίνησης των δεικτών ρολογιού από τον ηµιάξονα Ox στο<br />
1<br />
OM όπως φαίνεται στο σχήµα .<br />
b<br />
Ο<br />
θ<br />
i M ( ab , )<br />
Τότε έχουµε a= OM cosθ<br />
και b= OM sinθ<br />
. Συνεπώς<br />
a<br />
( cosθ sinθ<br />
)<br />
z = a+ bi = OM + i .<br />
Η παράσταση OM (cos+ i sinθ<br />
) ονοµάζεται η τριγωνοµετρική µορφή του<br />
a+ bi.<br />
Παρατηρούµε ότι το OM είναι το µέτρο του a+ bi.<br />
Η δε γωνία θ<br />
ονοµάζεται το όρισµα του a+ bi.<br />
Συνεπώς η τριγωνοµετρική µορφή είναι<br />
( cos + isin<br />
)<br />
ρ θ θ<br />
2 2<br />
όπου ρ = a + b και θ είναι το όρισµα του a+ bi.<br />
Το όρισµα του a+ bi προσδιορίζεται από τις σχέσεις<br />
a = ρ cos θ, b=<br />
ρsin θ, 0 ≤θ < 2π<br />
.<br />
Τέλος ισχύει και ο τύπος του Euler:<br />
iφ<br />
e = cosφ+ isinφ<br />
από τον οποίο έχουµε ότι ( cosθ sinθ)<br />
1<br />
Εννοούµε ότι 0≤ θ < 2π.<br />
i<br />
z a bi OM i OM e θ<br />
= + = + =<br />
x