Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί

Γραµµική Άλγεβρα
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης
2
2
z−4 z−4 z−4⎛ z−4⎞
= 2⇒ = 4⇒ ⎜ ⎟=
4⇒
z−1 z−1 z−1⎝ z−1⎠
( )
zz−4z− 4z+ 16
⇒ = 4⇒ zz−4z− 4z+ 16= 4 zz−z− z+
1 ⇒
zz−z− z+
1
⇒ zz = 4⇒ z = 4⇒ z = 2.
Τριγωνοµετρική Μορφή Μιγαδικού Αριθµού
Ας θεωρήσουµε την εικόνα ενός µη µηδενικού µιγαδικού αριθµού z = a+ bi.
Στο επίπεδο Έστω θ η γωνία που σχηµατίζεται αν κινηθούµε µε φορά
αντίθετη της κίνησης των δεικτών ρολογιού από τον ηµιάξονα Ox στο
1
OM όπως φαίνεται στο σχήµα .
b
Ο
θ
i M ( ab , )
Τότε έχουµε a= OM cosθ
και b= OM sinθ
. Συνεπώς
a
( cosθ sinθ
)
z = a+ bi = OM + i .
Η παράσταση OM (cos+ i sinθ
) ονοµάζεται η τριγωνοµετρική µορφή του
a+ bi.
Παρατηρούµε ότι το OM είναι το µέτρο του a+ bi.
Η δε γωνία θ
ονοµάζεται το όρισµα του a+ bi.
Συνεπώς η τριγωνοµετρική µορφή είναι
( cos + isin
)
ρ θ θ
2 2
όπου ρ = a + b και θ είναι το όρισµα του a+ bi.
Το όρισµα του a+ bi προσδιορίζεται από τις σχέσεις
a = ρ cos θ, b=
ρsin θ, 0 ≤θ < 2π
.
Τέλος ισχύει και ο τύπος του Euler:
iφ
e = cosφ+ isinφ
από τον οποίο έχουµε ότι ( cosθ sinθ)
1
Εννοούµε ότι 0≤ θ < 2π.
i
z a bi OM i OM e θ
= + = + =
x