Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθµοί
0.1 Βασικοί ορισµοί και πράξεις
Γραµµική Άλγεβρα
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης
Ξέρουµε ότι δεν υπάρχει πραγµατικός αριθµός που επαληθεύει την εξίσωση
2
x =−1.
Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των
µιγαδικών αριθµών. Το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών είναι ένα σύνολο
που περιέχει το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών.
Υπάρχει στο C ένα στοιχείο i τέτοιο ώστε 2
i = − 1.
Επιπλέον κάθε στοιχείο του
C έχει µοναδική παράσταση της µορφής a+ biόπου
ab∈ , R . Εποµένως, αν
aa , ′ , bb , ′∈R, έχουµε
Έστω z = a+ bi∈C
όπου ab∈ , .
a+ bi = a′ + bi ′ ⇔ a = a′ και b= b′.
Ο πραγµατικός αριθµός a ονοµάζεται το πραγµατικό µέρος του z και
συµβολίζεται µε Re( z) . Ο πραγµατικός αριθµός b ονοµάζεται το φανταστικό
µέρος του z και συµβολίζεται µε Im( z).
1 1
Αν για παράδειγµα z = + 3i,
τότε Re( z) = , Im( z)
= 3.
2
2
Ένας µιγαδικός αριθµός είναι πραγµατικός αν και µόνο αν το φανταστικό
µέρος του είναι ίσο µε µηδέν:
Ξέρουµε ότι ένα τριώνυµο
z∈R ⇔ Im( z)
= 0 .
2
ax + bx + c , όπου abc∈ , , R , έχει πραγµατικές
2
ρίζες αν και µόνο αν η διακρίνουσά του είναι µη αρνητική, δηλαδή b −4ac≥ 0.
Όµως κάθε τριώνυµο έχει µιγαδικές ρίζες (ανεξάρτητα από το πρόσηµο της
διακρίνουσας). Πράγµατι, εύκολα επαληθεύεται µε πράξεις ότι η εξίσωση
2
ax + bx + c = 0 , όπου a ≠ 0 , έχει ρίζες τις
2
− b± b −4ac
2
x = . Αν b − 4ac< 0,
2a
2 2
( ) ( b )
− b± τότε οι ρίζες αυτές γράφονται x =
( −1) 4ac−b 2a − b± i
=
4ac−
2a
2
− 2± i
παράδειγµα, οι ρίζες του x + 2x+
3είναι
x =
2
8
=− 1± i 2.
Πράξεις Μιγαδικών Αριθµών
Έστω zw∈C , µε z = a+ biκαι
w= c+ di.
Πρόσθεση - Αφαίρεση Ορίζουµε το άθροισµα z ± w ως εξής
z± w= ( a+ c) ± ( b+ d) i.
Πολλαπλασιασµός Ορίζουµε το γινόµενο zw ως εξής
zw = ( ac − bd) + ( ad + bc) i
. Για
1

Γραµµική Άλγεβρα
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης
1
ο αντίστροφος του a+ biκαι
συµβολίζεται µε ( a bi) −
+ ή
a −b
+
a + b a + b
είναι ο µιγαδικός αριθµός 2 2 2 2
Παραδείγµατα:
Αν z = 2− 5i
και w= 1+ 3i,
τότε
Ο αντίστροφος του 1 2iείναι
ο
z + w= ( 2+ 1) + ( − 5+ 3) i=
( 2+ 1) + ( −2) i
i
1
a+ bi
. Ισχύει ( ) 1
και θα
( a bi) a bi −
+ + = 1
zw= ( 2+ 5⋅ 3) + (3 2− 5) i=
( 2+ 15) + (3 2−5) i.
1 ( 2) 1
i i
1 ( 2) 1 ( 2) 5 5
2
− −
+ = + .
+ − + −
− 2 2 2 2
2−3i Για να γράψουµε το µιγαδικό αριθµό
1+
i
στη µορφή a bi + παρατηρούµε ότι
1 1
ο αντίστροφος του 1+ i είναι ο
2 2 i − και άρα
2−3i 1 ⎛1 1 ⎞ 1 5
= (2− 3 i) = (2−3 i) ⎜ − i⎟=−
− i.
1+ i 1+ i ⎝2 2 ⎠ 2 2
Μέτρο Μιγαδικού Αριθµού z = a+ biείναι
ο αριθµός
συµβολίζεται µε z .
2 2
a + b και
Το µέτρο µιγαδικών αριθµών ικανοποιεί ιδιότητες ανάλογες µε αυτές της
απόλυτης τιµής. Έστω zz , 1, z∈C. 2 Τότε
1. z =− z
2. az = a z , a ∈
3. z1z2= z1z2 4. αν z ≠ 0 , τότε
2
z z 1 =
z z
1
2 2
5. z1+ z2 ≤ z1 + z2
(τριγωνική ανισότητα)
Παραδείγµατα:
Το µέτρο του 1−2iείναι 2 2
− 3 = ( − 3) + 0 =3 . Επίσης
− = + − = και του − 3=− 3+ 0iείναι
2 2
1 2i 1 ( 2) 5
Το µέτρο του µιγαδικού αριθµού ( )(
2 2
− 3i= 0 + ( − 3) = 3..
1+ 2i
2+ 3i 1−
i
)

1+ 2i
( 2+ 3i)( 1− i) ( 2+ 3i)( 1−i)
( i) ( i)
1+ 2i
= =
1+ 2i 5 5
= = = .
2+ 3 1− 13 ⋅ 2 26
Μπορούµε να αποδείξουµε ότι ισχύει 1 2
Χρησιµοποιώντας την τριγωνική ανισότητα έχουµε
Γραµµική Άλγεβρα
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης
2z + 3z < 14όπου
z1 = 2−3iκαι z 2 = 2 ;
2z + 3z ≤ 2z + 3z = 2 z + 3 z
1 2 1 2 1 2
= 2 13+ 6< 2⋅ 4+ 6= 14.
Ο συζυγής του µιγαδικού αριθµού z = a+ biείναι
ο a−biκαι συµβολίζεται µε
z .
Για παράδειγµα, έχουµε 2+ 3i = 2−3iκαι 2− 3i = 2+ 3i.
Επίσης 5= 5+ 0i= 5 και
7i =− 7i.
Έστω zz , , z∈C για κάθε µιγαδικό αριθµό z = a+ biέχουµε
1 2
1 z+ z = 2a∈R
2
2 2
zz = a + b = z
3 z1+ z2 = z1+ z2
4 z1z2= z1z2 ⎛ z ⎞ 1 z1
5 αν z2 ≠ 0 , τότε ⎜ ⎟=
.
⎝ z2 ⎠ z2
Παραδείγµατα
Έστω z ∈C µε z = 1. Τότε
2
⎛ z ⎞ 1
⎜ ⎟=
.
⎝2+ z⎠ 1+
2z
1
1 ⎛ z ⎞ z 1
Έχουµε 1 = zz ⇔ z = . Άρα
z
⎜ ⎟=
= = .
z ⎝2+ z ⎠ 2 + z 1
2 +
1+
2z
z
Έστω z∈C , z ≠1,
τέτοιο ώστε
z − 4
= 2. Να βρεθεί το µέτρο του z .
z −1
=
3

Γραµµική Άλγεβρα
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης
2
2
z−4 z−4 z−4⎛ z−4⎞
= 2⇒ = 4⇒ ⎜ ⎟=
4⇒
z−1 z−1 z−1⎝ z−1⎠
( )
zz−4z− 4z+ 16
⇒ = 4⇒ zz−4z− 4z+ 16= 4 zz−z− z+
1 ⇒
zz−z− z+
1
⇒ zz = 4⇒ z = 4⇒ z = 2.
Τριγωνοµετρική Μορφή Μιγαδικού Αριθµού
Ας θεωρήσουµε την εικόνα ενός µη µηδενικού µιγαδικού αριθµού z = a+ bi.
Στο επίπεδο Έστω θ η γωνία που σχηµατίζεται αν κινηθούµε µε φορά
αντίθετη της κίνησης των δεικτών ρολογιού από τον ηµιάξονα Ox στο
1
OM όπως φαίνεται στο σχήµα .
b
Ο
θ
i M ( ab , )
Τότε έχουµε a= OM cosθ
και b= OM sinθ
. Συνεπώς
a
( cosθ sinθ
)
z = a+ bi = OM + i .
Η παράσταση OM (cos+ i sinθ
) ονοµάζεται η τριγωνοµετρική µορφή του
a+ bi.
Παρατηρούµε ότι το OM είναι το µέτρο του a+ bi.
Η δε γωνία θ
ονοµάζεται το όρισµα του a+ bi.
Συνεπώς η τριγωνοµετρική µορφή είναι
( cos + isin
)
ρ θ θ
2 2
όπου ρ = a + b και θ είναι το όρισµα του a+ bi.
Το όρισµα του a+ bi προσδιορίζεται από τις σχέσεις
a = ρ cos θ, b=
ρsin θ, 0 ≤θ < 2π
.
Τέλος ισχύει και ο τύπος του Euler:
iφ
e = cosφ+ isinφ
από τον οποίο έχουµε ότι ( cosθ sinθ)
1
Εννοούµε ότι 0≤ θ < 2π.
i
z a bi OM i OM e θ
= + = + =
x

Παράδειγµα
Γραµµική Άλγεβρα
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης
Για να βρούµε την τριγωνοµετρική µορφή του − 3 + i , βρίσκουµε πρώτα το
µέτρο του
( ) 2
2
ρ = − 3+ i = − 3 + 1 = 2.
Για να βρούµε το όρισµα έχουµε a = ρ cos θ, b=
ρsinθ δηλαδή
− 3
cos θ = , sin =
2 2
1
θ . Από τις σχέσεις αυτές συµπεραίνουµε ότι
5π5π
5π
cosθ = cos , sinθ
= και άρα θ = + 2kπ
για κάποιο
6 6
6
k ∈Z . Επειδή
0≤ θ < 2πέχουµε
5π5π 2(cos + i sin ).
6 6
5π
θ = .
6
Άρα η τριγωνοµετρική µορφή είναι
Η τριγωνοµετρική µορφή µας βοηθά στον πολλαπλασιασµό και στη
z = ρ cosθ + isinθ
και
διαίρεση µιγαδικών αριθµών. Έστω 1 1( 1 1)
z = ρ ( cosθ + isinθ
) .
2 2 2 2
Τότε έχουµε
και αν
z ≠ 0,
2
( cos( ) sin ( ) )
zz = ρ ρ θ + θ + i θ + θ
1 2 1 2 1 2 1 2
z
z
ρ
= ( cos( θ 1− θ2) + isin
( θ 1−θ 2)
) .
ρ
1 1
2 2
Θεώρηµα (De Moivre) Έστω z ρ ( cosθ isin)
αριθµό n έχουµε
Παράδειγµα
Να υπολογισθεί στη µορφή a bi
= + θ . Τότε για κάθε φυσικό
( cos( ) sin ( ) )
n n
z n i n
= ρ θ + θ .
+ ο µιγαδικός αριθµός ( ) 2005
− 3 + i .
Στο προηγούµενο παράδειγµα είδαµε ότι η τριγωνοµετρική µορφή του
5π5π − 3 + i είναι − 3+ i = 2(cos + i sin ) . Εφαρµόζοντας το Θεώρηµα του De
6 6
Moivre έχουµε
5

Γραµµική Άλγεβρα
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης
Επειδή 2005 835( 2π
)
( )
2005
2005
2005 ⎛ 5π 5π
⎞
− 3+ i = 2 ⎜cos + isin
⎟ =
⎝ 6 6 ⎠
⎛ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π
⎞⎞
= ⎜ ⎜ ⎟+ i ⎜ ⎟
6 6
⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
2005
2 cos 2005 sin 2005 .
5π5π
= + έχουµε ότι
6 6
5π5π π 5π
cos(2005 ) = cos , sin(2005 ) = sin . Άρα παίρνουµε
6 6 3 6
( ) 2005
−
2005 ⎛ 5π 5π ⎞ ⎛ 2005 − 3 1⎞
2004
3+ i = 2 ⎜cos + isin ⎟= 2 ⎜ + i ⎟=
2 ( −
⎝ 6 6 ⎠
⎜ 2 2⎟
⎝ ⎠
3+
i)
.
Θεώρηµα του De Moivre και Εξισώσεις
Έστω a∈C, a ≠0.
Η εξίσωση
από τον τύπο
n
x = a έχει n διακεκριµένες λύσεις που δίνονται
2 2
n ⎛ θ + kπ θ + kπ
⎞
zk= ρ ⎜cos+ isin ⎟,
k = 0,1,..., n−
1,
⎝ n n ⎠
όπου ρ είναι το µέτρο του a και θ είναι το όρισµά του.
Παράδειγµα
Να λυθεί η εξίσωση
4
x 3 i
=− + .
Είδαµε στο προηγούµενο παράδειγµα ότι −
5π5π 3+ i = 2(cos + i sin ) ,
6 6
5π
δηλαδή ρ = 2 και θ = . Άρα οι ζητούµενες λύσεις είναι οι
6
⎛ 5π 5π
⎞
⎜ + 2kπ + 2kπ
2 cos 6 sin 6 ⎟
= ⎜ + ⎟,
k = 0,1, 2,3.
⎜ 4 4 ⎟
⎝ ⎠
4
zki Αντικαθιστώντας διαδοχικά k = 0,1, 2,3 βλέπουµε ότι οι λύσεις είναι
⎛ 5π 2⎜cos ⎝ 24
5π
⎞
sin ⎟
24 ⎠
⎛ 17π 2⎜cos ⎝ 24
17π
⎞
sin ⎟
24 ⎠
⎛ 29π 2⎜cos ⎝ 24
29π
⎞
sin ⎟
24 ⎠
⎛ 41π 2⎜cos ⎝ 24
41π
⎞
sin ⎟.
24 ⎠
4
z0= + i
4
z1= + i
4
z2= + i
4
z3= + i

Γραµµική Άλγεβρα
∆ρ Ι. Θ. Φαµέλης
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνοµο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο
σύγγραµµα που διανέµεται και στην προτεινόµενη βιβλιογραφία του
µαθήµατος. Το περιεχόµενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραµµα των
παραδόσεων του µαθήµατος. Αποτελεί υλικό της διδασκαλίας του µαθήµατος
από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να µη χρησιµοποιηθεί
και να µην αναπαραχθεί και διανεµηθεί για άλλο σκοπό.
7