實驗五：偏極 - 物理學系

實驗五:偏極
Polarize:偏極、偏振、極化
光波的電場方向稱為光的偏振方向。
- 1 -
關於偏極
TEM 波:(transverse electromagnetic wave)
一平面波,其電場 E 與磁場 H 相互垂直,同時與波的行進方向相互垂直。其電場強度 E(electric
field intensity)對磁場強度 H(magnetic field intensity)的比值等於一個特定值,稱為波阻抗η
(
E μ
η = ≡ ,wave impedance)。
H ε
大多數情況下,以電場強度和方向,就可以描述所有的電磁波特性。因此,定義光波的電場
方向稱為光的偏振方向。
(圖)TEM wave
光的種類:依光的電場振動模式可分為
1、自然光(非偏振光)unpolarized light
2、偏振光 polarized light:
a) 線偏振(面偏振)linear(plane)polarized
b) 橢圓偏振 elliptical polarized
c) 圓偏振 circular polarized
(圖)線偏振

東海大學物理系
一平面波,在空間中沿著 z 軸方向前進,光波動在 x-y 平面上可以分解為兩個方向互相垂直
的振動: ( z,
t)
= iˆE
( z,
t)
+ ˆj
E ( z,
t)
E x
y
其中 Ex(,) z t = E0xcos( kz− ωt)
(1)
E (,) z t = E cos( kz− ωt+ ε ) (2)
y 0 y
E E x 2 y 2 E E x y
2
化簡後可以得到: ( ) + ( ) − 2( )( )cosε = sin ε (3)
E E E E
推導:將(1)(2)式子改為
Ex(,) z t
= cos( kz − ωt)
E
E
E
y
0 y
0x
Ey(,) z t
= cos( kz − ωt + ε )
E
0 y
= cos( kz − ωt + ε )
0x 0y 0x 0y
= cos( kz −ωt)cosε −sin( kz − ωt)sinε E ⎛ x E ⎞ x
= cosε − 1−⎜ ⎟ sin ε
E0x ⎝E0x ⎠
Ey E ⎛ x E ⎞ x
− cosε = 1−⎜ ⎟ sin ε
E0y E0x ⎝E0x ⎠
y
−
2
⎛
x cosε = ⎜1− x
2
⎞
2 ⎟sin
ε
0y 0x 0x
⎛ E E ⎞ ⎛ E ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
E E ⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎝E ⎠ ⎟
⎝ ⎠
2
2
2
2 2
y Ey
E ⎛ x E ⎞ 2 ⎛ x E ⎞ x 2
− 2 cosε + ⎜ cosε ⎟ = sin ε − ⎜ ⎟ sin ε
0y E0y E0x0x E0x
⎛ E ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ E ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ E ⎠ ⎝ ⎠
E E x 2 y 2 E E x y
2
( ) + ( ) − 2( )( )cosε = sin ε
E E E E
0x 0y 0x 0y
( z,
t)
= iˆE
( z,
t)
+ ˆj
E ( z,
t)
E x
y
=
iE cos( kz− ωt) + jE
cos( kz− ωt+ ε)
0x 0y
- 2 -

E E x 2 y 2 E E x y
2
( ) + ( ) − 2( )( )cosε = sin ε
E E E E
0x 0y 0x 0y
1)線偏振(linear(plane)polarized):
如果 ε = 0 或 ± 2π
E(,) zt = iE(,) zt + jE
(,) zt
x y
= iE cos( kz− ωt) + jE
cos( kz−ωt) 0x 0y
= ( iE0x + jE0y) cos( kz−ωt) 亦即我們有一固定振幅( iE + jE
)。
x 2 y 2 x y
( ) ( ) 2( )( ) 0
E0x E0y E0x E0y
0x0y E E E E
+ − = ⇒
如果ε =± π
E(,) zt = iE(,) zt + jE
(,) zt
x y
= iE cos( kz−ωt) −jEcos( kz−ωt) 0x 0y
= ( iE0x − jE0y) cos( kz−ωt) E E E E
+ + = ⇒
x 2 y 2 x y
( ) ( ) 2( )( ) 0
E0x E0y E0x E0y
⎛ E E ⎞
x y
⎜ − = 0
⎜
⎟
E E ⎟
⎝ 0x 0y
⎠
⎛ E E ⎞
x y
⎜ + = 0
⎜
⎟
E E ⎟
⎝ 0x 0y
⎠
- 3 -
2
2
⇒
⇒
E E x
E E
y
= ⇒
0x0y E E
x
E E
2 2 2 2
電場總強度 E = E + E = E + E cos( ωt−
kz)
(振幅)
x y 0x 0y y
=− ⇒
0x0y E E
=
E E
關於偏極
y 0 y
x 0x
E E
=−
E E
y 0 y
x 0x
E 1 y E
− −1
0 y
在 x-y 平面上,偏振方向角度 θ = tan =± tan
ExE0x θ 不是時間的函數,θ 不隨時間改變,偏振方向不隨時間改變,因此稱為線偏振。

東海大學物理系
2)圓偏振(circular polarized):
若 E0 = E0 = E0
x y
E (,) z t = i E cos( kz−ωt) x
0
E (,) z t = j
E sin( kz− ωt+ ε )
y
0
(圖)線偏極
π
a) ε =− + 2mπ
m = 0, ± 1, ± 2,...
2
E( z, t) = E ⎡
0 i cos( kz − ωt) + j sin( kz −ωt)
⎤
⎣ ⎦
Right-circularly polarized(右旋圓偏極光)
當觀察者往-z 方向看時,電場旋轉方向。
(圖)右旋圓偏極光
- 4 -

π
b) ε = + 2mπ
m = 0, ± 1, ± 2,...
2
E( z, t) = E ⎡
0 i cos( kz −ωt) − j sin( kz −ωt)
⎤
⎣ ⎦
left-circularly polarized(左旋圓偏極光)
當觀察者往-z 方向看時,電場旋轉方向。
(圖)左旋圓偏極光
電場的的振幅為( ) 1/2
E ⋅ E = E ……這是固定值,不變。
但…電場的方向會隨時間變化,而不是被限制住的。
E = E + E = E 淨電場在任意時間都是固定強度。
2 2
x y
−1 y
−1
tan tan ( )
Ex
0
0
E
θ = = ∓ ωt−kz
,偏振角度是位置與時間的函數。
偏振角度會隨時間改變,但因為振幅不變,所以是圓偏振。
2)橢圓偏振(elliptical polarized):
若 E0 ≠ E0
x y
E E x 2 y 2 E E x y
2
( ) + ( ) − 2( )( )cosε = sin ε
E E E E
0x 0y 0x 0y
2E E cosε
tan 2α
=
E E
0x 0y
2
0x −
2
0y
- 5 -
關於偏極

東海大學物理系
π 3π 5π
α = 0 ( ε =± , ± , ± ,... )
2 2 2
E
E
x 2 y 2
( ) + ( ) = 1
E0x E0y
If E0y E0x E0
= = ⇒
ε =± mπ
m = 2, 4,6,...
E0
y
Ey = Ex
E
0x
ε =± mπ
m = 1,3,5,...
E0
y
Ey =− Ex
E
0x
Jones Vector(Jones 向量):
( z,
t)
= iˆE
( z,
t)
+ ˆj
E ( z,
t)
E x
y
其中
E + E = E
2 2 2
0y 0x 0
(圖)橢圓偏振
E (,) z t E cos( kz t) E e ω
= − ω =
i( t−kz) x 0x 0x
E ( z, t) = E cos( kz− ωt+ ε)
= E e e
iε i( ωt−kz)
y 0y 0y
可以利用一個行向量來描述偏振的狀態,稱此行向量為 Jones vector。
0
⎡Ex() t ⎤ E x
E = ⎢
Ey() t
⎥
i
⎣ ⎦ E0ye ε
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥…Jones
vector
⎣ ⎦
利用 Jones vector 計算平均光強度
- 6 -

* ⎡ E ⎤
T *
iε0x
I = J J = ⎣
⎡E0x E0 ye ⎦
⎤⎢
* −iε
⎥ = E + E
⎢⎣E0ye ⎥⎦
T
將其 normalization, I = J J =
得
* 1
⎡ E ⎤
E = ⎢ ⎥
E + E ⎣ ⎦
1 0x
2
0x 2
0y
iε
E0ye 利用 Jones Vector 來表示各種型態的偏振光:
2 2
0x0y 偏振狀態 Jones vector 圖示
一般
⎡cosθ ⎤
E = ⎢
sinθ
⎥
⎣ ⎦
線偏振 垂直
⎡0⎤ E = ⎢
1
⎥
⎣ ⎦
水平
⎡1⎤ E = ⎢
0
⎥
⎣ ⎦
圓偏振
右旋圓偏振
左旋圓偏振
1 ⎡1⎤ E = ⎢
2 i
⎥
⎣ ⎦
1 ⎡ 1 ⎤
E = ⎢
2 −i
⎥
⎣ ⎦
橢圓偏振
右旋橢圓偏振
左旋橢圓偏振
E =
E =
1 ⎡ a ⎤
2 2 ⎢
a b ib
⎥
+ ⎣ ⎦
1 ⎡ a ⎤
2 2 ⎢
a b −ib
⎥
+ ⎣ ⎦
- 7 -
關於偏極

東海大學物理系
Jones matrix:
【待補!】
實驗步驟(三)布魯斯特角(或極化角)(Brewster Angle)
式子(16)~(20)推導:
TE 型:
sin( θi −θt)
rTE
=− ……(Optics 4ed,Hecht,p115,4.42)
sin( θi + θt)
sinθicosθt − cosθisinθt =−
sinθicosθt + cosθisinθt sinθicosθt 1− cosθisinθt − sinθicosθt cosθisinθt =
=
cosθisinθt + sinθicosθ sinθ cos
t
i θt
1+
cosθ sinθ
i t
- 8 -

sinθicosθ
⎛ t n ⎞⎛ i n ⎞ t nt
cosθt
⎜ ⎟⎜ ⎟=
≡a
cosθisinθt ⎝ni ⎠⎝nt⎠ nicosθi
Snelll law: n sinθ = n sinθ
r
TE
i i t t
2
n cos 1 sin
t θ n t t − θt
a = =
=
n cosθ n cosθ
2 2 2
i i t i i
icos i +
2
t −
2 2
i sin i
i i i i
1−
a n cosθ − n −n
sin θ cosθ − n −sinθ
= =
=
1+
a n θ n n θ cosθ sin θ
i t
2 2
i i
i +
2
n −
2
i
TM 型:
tan( θi −θt)
rTM
= ……(Optics 4ed,Hecht,p115,4.43)
tan( θ + θ )
- 9 -
2 2 2
nt − ni
sin θi
n cosθ
i i
⎛ sin( θi −θ
) ⎞ t
⎜ ⎟
⎝cos( θi −θt)
⎠ ⎛ sin( θi − θ ) ⎞⎛ t cos( θi + θ ) ⎞ ⎛ t sin( θi − θ ) ⎞⎛ t cos( θi + θ ) ⎞ t
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎛ sin( θi + θt)
⎞ ⎝cos( θi − θt) ⎠⎝ sin( θi + θt)
⎠ ⎝sin( θi + θt) ⎠⎝cos( θi −θt)
⎠
⎜ ⎟
⎝cos( θi + θt)
⎠
⎛sinθ icosθt −cosθisinθ ⎞⎛ t cosθicosθt −sinθisinθ
⎞ t
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝sinθicosθt + cosθisinθt ⎠⎝cosθicosθt + sinθisinθt ⎠
2 2 2
2
sinθicosθicos θt −sin θisinθt cosθt − cos θisinθt cosθt
+ sinθicosθisin θt
=
2 2 2
2
sinθicosθicos θt + sin θisinθt cosθt+ cos θisinθt cosθt + sinθicosθisin θt
sinθt cosθt
1− sinθicosθi − sinθt cosθt
sinθicosθi =
=
sinθicosθi + sinθt cosθ
sinθ cos
t
t θt
1+ sinθ cosθ
sinθt
cosθ ⎛ t n ⎞⎛ i n ⎞ t nicosθt
⎜ ⎟⎜ ⎟=
≡b
sinθi cosθi ⎝ni⎠⎝nt ⎠ nt
cosθi
2 2
⎛n ⎞ ⎛ i n ⎞ i nt
cosθt
nicosθt
b = ⎜ ⎟ a = ⎜ ⎟ =
⎝nt⎠ ⎝nt⎠ ni
cosθi
nt
cosθi
t i t i
i i
ni
2 2
ni
1 − ( ) sin θi
2 2 2
nicosθ
n
t
t ni nt − ni
sin θi
b = =
=
2
n cosθ n cosθ
n cosθ
t i
關於偏極

東海大學物理系
r
TM
2 2 2
1−
b n cosθ −n n −n
sin θ n cosθi − n −sinθi
= =
=
1+
b
2 2 2
n θ n n n θ n cosθ + n −sinθ
Optics 4ed,Hecht,p66
光在介質中的速度: v =
2 2 2 2
t i i t i i
2
t cos i + i
2
t −
2 2
i sin i
1
εμ
c
Absolute index of refraction 絕對折射率: n = =
v
補充資料:The Fresnel equation
Optics 4ed,Hecht,p113~p115
E E e
E = E cos( k ⋅r −ωt)
i( ki⋅r−ωit) i = 0i
⇒ i 0i i i
E = E cos( k ⋅r − ω t+
ε )
r 0r r r r
E = E cos( k ⋅r − ω t+
ε )
t 0t t t t
Law of Reflection 反射定律: θi = θr
Snell’s Law 司乃爾定律: n sinθ =
n sinθ
i i t t
- 10 -
i i
εμ
ε μ
0 0

Case1: E 垂直入射面(TE mode)
E = vB
k× E = vB
k ⋅ E = 0
E + E = E …………………………..(1)
0i 0r 0t
Bi Br
Bt
− cosθi + cosθr =− cosθt
μi μi μt
Ei
Bi
= , Br
v
Er
=
v
Et
, Bt
=
v
i =
i
r,
vi = vr
θ θ
1 1
( Ei − Er)cosθi = Et
cosθt
μv μv
i i t t
r
ni nt
( E0i − E0r)cosθi = E0t
cosθt………(2)
μi μt
n n
cosθ − cosθ
(1)+(2)
μ ≈μ ≈ μ
r
⊥
i t
i t
i t
⎛E⎞ 0r
μi μt
⎜ ⎟ =
⎝ E n 0i
⎠ i n
⊥
t cosθi + cosθt
μi μt
n
2 cosθ
⎛E⎞ 0t
⎜ ⎟
⎝ E0i
⎠ ⊥
i
i
μi
=
ni nt
cos i + cos
μi μt
t
0
θ θ
⎛E ⎞ 0r
nicosθi − nt
cosθt
sin( θi −θt)
= ⎜ ⎟ =
=−
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ
sin( θi + θt)
0i
⊥ i i t t
證明: r
⊥
t
⎛E ⎞ 0r
nicosθi − nt
cosθ ⎛ t sinθ ⎞⎛ i sinθ
⎞ t
= ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ ⎝sinθ ⎠⎝sinθ ⎠
0i
⊥ i i t t i t
nicosθisinθisinθt − nt
cosθtsinθisinθt =
nicosθisinθisinθt + nt
cosθtsinθisinθt
nisinθi(cosθisinθt
− cosθtsin θi)
=
(因為 nisinθi = ntsinθt
)
nisn
i θi(cosθisinθt + cosθts inθi)
cosθisinθt − cosθtsinθi =
cosθ sinθ +
cosθ sinθ
i t t i
- 11 -
關於偏極

東海大學物理系
t
⊥
0i
⊥ i i t t
sinθicosθt − cosθisinθt =−
sinθicosθt + cosθisinθt sin( θi −θt)
=−
sin( θ + θ )
i t
⎛E ⎞ 0t
2nicosθi 2sinθt cosθi
= ⎜ ⎟ =
=
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ
sin( θi + θt)
證明: t
⊥
⎛E ⎞ 0t
2nicosθ⎛ i sinθ ⎞⎛ i sinθ
⎞ t
= ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ ⎝sinθ ⎠⎝sinθ ⎠
Case2: E 在入射面上(TM mode)
E + E = E
0i 0r 0t
E cosθ − E cosθ = E cosθ
0i i 0r r 0t
t
1 1 1
E + E = E
μ μ μ
ivi 0i rvr 0r tvt 0t
i = r,
θi = θr
μ μ
r
t
//
//
n n
cosθ − cosθ
= =
t i
i t
⎛E⎞ 0r
μt μi
⎜ ⎟
⎝ E0
i ⎠
n
//
i nt
cosθt + cosθi
μi μt
⎛E⎞ 0t
⎜ ⎟
⎝ E0
i ⎠ //
i
i
μi
ni nt
cos t +
cos
μi μt
i
= =
0i
⊥ i i t t i t
n
2 cosθ
2nicosθisinθisinθt =
nicosθisinθisinθt + nt
cosθtsinθisinθt 2cosθisinθt 2sinθt cosθi
=
=
cosθ sinθ + cosθ sinθ
sin( θ + θ )
θ θ
i t t i
- 12 -
i t

t
//
//
⎛E ⎞ 0r
nt cosθi − nicosθt
tan( θi −θt)
= ⎜ ⎟ =
=
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ
tan( θi + θt)
0 i // i t t i
證明: r
//
⎛E ⎞ 0r
nt cosθi − nicosθ
⎛ t sinθ ⎞⎛ i sinθ
⎞ t
= ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ ⎝sinθ ⎠⎝sinθ ⎠
0 i // i t t i i t
nt cosθisinθisinθt − nicosθtsinθisinθt
=
nicosθtsinθisinθt + nt
cosθisinθisinθt
cosθisinθi − cosθtsinθt =
cosθ sinθ + cosθ sinθ
t t i i
⎛ sin( θi −θ
) ⎞ t
⎜ ⎟
tan( θ ) cos( i t)
i −θt ⎝ θ −θ
⎠ ⎛ sin( θi − θ ) ⎞⎛ t cos( θi + θ ) ⎞ ⎛ t sin( θi − θ ) ⎞⎛ t cos( θi + θ ) ⎞ t
=
= ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟
tan( θi + θt) ⎛ sin( θi + θt)
⎞ ⎝cos( θi − θt) ⎠⎝ sin( θi + θt)
⎠ ⎝sin( θi + θt) ⎠⎝cos( θi −θt)
⎠
⎜ ⎟
⎝cos( θi + θt)
⎠
∴ r
⎛sinθicosθt −cosθisinθ ⎞⎛ t cosθicosθt −sinθisinθ
⎞ t
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝sinθicosθt + cosθisinθt ⎠⎝cosθicosθt + sinθisinθt ⎠
2 2 2
2
sinθicosθicos θt −sin θisinθt cosθt − cos θisinθt cosθt
+ sinθicosθisin θt
=
2 2 2
2
sinθicosθicos θt + sin θisinθt cosθt+ cos θisinθt cosθt + sinθicosθisin θt
sinθicosθi − sinθt cosθt
=
sinθ cosθ + sinθ cosθ
//
i i t t
⎛E ⎞ 0r
nt cosθi − nicosθt
tan( θi −θt)
= ⎜ ⎟ =
=
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ
tan( θi + θt)
0 i // i t t i
⎛E ⎞ 0t
2nicosθi 2sinθt cosθi
= ⎜ ⎟ =
=
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ
sin( θi + θt)cos( θi −θt)
0 i // i t t i
證明: t
//
⎛E ⎞ 0t
2nicosθ⎛ i sinθ ⎞⎛ i sinθ
⎞ t
= ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ ⎝sinθ ⎠⎝sinθ ⎠
0 i // i t t i i t
2nicosθisinθisinθt =
nicosθtsinθisinθt + nt
cosθisinθisinθt 2cosθisinθt =
cosθ sinθ +
cosθ sinθ
t t i i
- 13 -
關於偏極

東海大學物理系
( )( )
sin( θ + θ )cos( θ − θ ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ cosθ cosθ + sinθ sinθ
∴t
//
i t i t i t i t i t i t
= sinθ cosθ cos θ + sin θ sinθ cosθ + cos θ sinθ
cosθ
+ sinθ cosθ sin
θ
2 2
2
2
i i t i t t
i t t i i t
= sinθ cosθ + sinθ cosθ
i i t t
⎛E ⎞ 0t
2nicosθi 2sinθt cosθi
= ⎜ ⎟ =
=
⎝ E ⎠ n cosθ + n cosθ
sin( θi + θt)cos( θi −θt)
0 i // i t t i
參考資料:
1、Optics, Hecht, Addison-Wesley, 1987.
2、Classical electromagnetic radiation, Marion.
3、Introduction to electrodynamics, Griffiths.
4、近代實驗光學,黃衍介,東華書局。
5、光電科技導論,五南出版社。
6、…
100/11/29(二)整理更新
- 14 -