ARVUTEOORIA - Cs.ioc.ee

Kord- ja algarvud 

Suurim ühistegur 

Moodularitmeetika 

Algarvulisuse testimine 

ARVUTEOORIA 

Teema 6 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Rekurrentsed arvujadad

Loengu kava 

1 Kord- ja algarvud 

Jaguvus 

Algarvud 

Fermat’ teoreem 





2 Suurim ühistegur 

Definitsioon 

Ühisteguri omadused 

Eukleidese algoritm 

3 Moodularitmeetika 

4 Algarvulisuse testimine 

Fermat’ test 

Miller-Rabini test 


Järgmine punkt 


Jaguvus 

Algarvud 







Definitsioon 







Jaguvus 

Algarvud 



Jaguvus 

Definitsioon 





Jaguvus 

Algarvud 


Olgu a ja b täisarvud. Arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a, 

kui leidub selline täisarv m, et b = am. 

Tähistused: 

Näiteks 

a|b arv a jagab arvu b 

b.a arv b jagub arvuga a 

3|111 7| − 91 −7| − 91 


Tegurid 

Definitsioon 

Kui a|b, siis 





Jaguvus 

Algarvud 


arvu a nimetatakse arvu b teguriks ehk jagajaks 

arvu b nimetatakse arvu a kordseks 

Jaguvuse definitsiooni põhjal on arv a arvu b tegur, kui leidub 

selline täisarv m, et b = am. 

Omadusi 

Igal täisarvul b on vähemalt järgmised tegurid: 1,−1,b,−b. 

Iga täisarvu a korral a|0, vastupidine seos 0|a kehtib parajasti 

siis, kui a = 0. Seega 0|0. 

Iga täisarvu b korral 1|b, vastupidine b|1 kehtib parajasti siis, 

kui b = 1 või b = −1. 


Tegurid 

Definitsioon 

Kui a|b, siis 





Jaguvus 

Algarvud 






Omadusi 





kui b = 1 või b = −1. 


Tegurid 

Definitsioon 

Kui a|b, siis 





Jaguvus 

Algarvud 






Omadusi 





kui b = 1 või b = −1. 


Tegurid 

Definitsioon 

Kui a|b, siis 





Jaguvus 

Algarvud 






Omadusi 





kui b = 1 või b = −1. 






Jaguvuse lihtsamad omadused 

Jaguvus 

Algarvud 


Täisarvude hulgal määratud jaguvuserelatsioonil on järgmised 

omadused: 

Refleksiivsus: iga täisarvu a korral a|a. 

"Antisümmeetria": kui a|b ja b|a, siis a = b või a = −b. 

Transitiivsus: kui a|b ja b|c, siis a | c. 

Tõestamiseks kasutada jaguvuse definitsiooni. 






Jaguvuse seos tehetega 

1 Kui a|b, siis ±a| ± b. 

Jaguvus 

Algarvud 


2 Kui a|b ja a|c, siis suvaliste täisarvude s ja t korral a|bs + ct. 

3 a|b parajasti siis, kui iga täisarvu c korral ac|bc. 

Esimene omadus tähendab, et jaguvuse uurimisel võime piirduda 

mittenegatiivsete täisarvudega. 

Teisest omadusest järeldub, et kui arv a jagab arve b ja c, siis jagab 

ta ka nende arvude summat ja vahet. 








Jaguvus 

Algarvud 















Jaguvus 

Algarvud 









Jäägiga jagamine 





Jaguvus 

Algarvud 


Kui a ja b täisarvud, kusjuures a > 0 ja a ∤ b, saab arvu b arvuga a 

jagada jäägiga. 

Jäägiga jagamine tähendab arvu b esitamist kujul 

Siin on 

Näide 

Kui a = 3 ja b = 17, siis 

b = aq + r , kus 0 r < a. 

b – jagatav 

a – jagaja 

q – jagatis 

r – jääk 

17 = 3 · 5 + 2. 


Jäägiga jagamine 





Jaguvus 

Algarvud 


Kui a ja b täisarvud, kusjuures a > 0 ja a ∤ b, saab arvu b arvuga a 

jagada jäägiga. 

Jäägiga jagamine tähendab arvu b esitamist kujul 

Siin on 

Näide 

Kui a = 3 ja b = 17, siis 

b = aq + r , kus 0 r < a. 

b – jagatav 

a – jagaja 

q – jagatis 

r – jääk 

17 = 3 · 5 + 2. 






Negatiivsete arvude jagamine 

Jääk on alati mittenegatiivne. 

Näiteks 

Kui a = 3 ja b = −17, siis 

Jaguvus 

Algarvud 


−17 = 3 · (−6) + 1. 

Võrduses b = a · q + r peab alati kehtima 0 r < a . 

Arvu b saab alati ülal kirjeldatud viisil esitada, sest jadas 

...,−3a,−2a,−a,0,a,2a,3a,... 

saab alati leida kaks järjestikust arvu, mille vahel b asub. 








Näiteks 


Jaguvus 

Algarvud 


−17 = 3 · (−6) + 1. 



...,−3a,−2a,−a,0,a,2a,3a,... 









Näiteks 


Jaguvus 

Algarvud 


−17 = 3 · (−6) + 1. 



...,−3a,−2a,−a,0,a,2a,3a,... 





Jaguvus 

Algarvud 







Definitsioon 







Jaguvus 

Algarvud 



Algarv ja kordarv 





Jaguvus 

Algarvud 


Vaatleme järgnevalt ainult positiivseid täisarve ja nende positiivseid 

tegureid. 

Igal positiivsel täisarvul a on kindlasti olemas tegurid 1 ja a. 

Algarv on selline ühest suurem naturaalarv n, millel pole 

rohkem positiivseid tegureid kui 1 ja n. 

Kordarv on selline ühest suurem naturaalarv n, millel on ka 

muid positiivseid tegureid peale 1 ja n. 

Arv 1 ei ole ei algarv ega kordarv. 

Algarvud: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,... 

Kordarvud: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,... 






Algarvulisuse kontrollimine 

Jaguvus 

Algarvud 


Kuidas teha kindlaks, kas etteantud naturaalarv n on algarv? 

Kontrollida läbi kõik arvud 2,...,n − 1. Kui n ei jagu ühegagi 

nendest, siis ta on algarv. 

Kontrollida läbi kõik arvud 2,..., √ n. Kui n on kordarv, siis tal 

leidub tegur ka nende arvude hulgas. 

Tõenäosuslikud polünomiaalsed meetodid (Rabin-Milleri test). 

Polünomiaalne algoritm (2002). 







Jaguvus 

Algarvud 















Jaguvus 

Algarvud 















Jaguvus 

Algarvud 










Algarvude arv 





Eukleidese teoreem 6.4.1 

Leidub lõpmata palju algarve. 

Jaguvus 

Algarvud 


Tõestus. Oletame väite vastaselt, et algarve on lõplik hulk: 

Vaatleme arvu 

p1,p2,p3,...,pk. 

n = p1p2p3 ···pk + 1. 

See ei jagu algarvudega p1,p2,p3,...,pk, sest ta annab 

nendega jagades jäägi 1. Järelikult on n ise algarv või tal 

leidub algarvuline tegur, mis erineb algarvudest 

p1,p2,p3,...,pk, kummalgi juhul vastuolu. m.o.t.t. 


Algarvude arv (2) 

Eukleidese teoreem 





Leidub lõpmata palju algarve. 

Jaguvus 

Algarvud 


Tõestus 2. Tõestame, et iga naturaalarvu n jaoks leidub temast 

suurem algarv. 

Olgu p arvu n! + 1 vähim ühest erinev tegur. Siis 

p on algarv, sest kui tal leiduks tegur 1 ja p vahel, 

siis see tegur oleks ka arvu n! + 1 tegur ning p ei 

oleks vähim tegur. 

p > n, sest kui see väide ei kehtiks, oleks korraga 

p|n! ja p|n! + 1, millest omakorda järeldub, et 

p|(n! + 1) − n! = p|1, mis on aga võimatu. 

m.o.t.t. 


Eratosthenese sõel 





Jaguvus 

Algarvud 


Kirjutame välja kõik arvud 1,2,...,n. 

Kriipsutame maha arvu 1. 

Järgmine allesjääv arv on 2; kriipsutame maha kõik arvu 2 

kordsed. 

Järgmine allesjääv arv on 3; kriipsutame maha kõik arvu 3 

kordsed. 

Järgmine allesjääv arv on 5 jne. 

Algarvud on parajasti need, mis protsessi lõppedes alles jäävad. 






Eratosthenese sõel: näide 

Jaguvus 

Algarvud 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 







Jaguvus 

Algarvud 


× 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 







Jaguvus 

Algarvud 


× 2 3 × 5 × 7 × 9 × 

11 × 13 × 15 × 17 × 19 × 

21 × 23 × 25 × 27 × 29 × 

31 × 33 × 35 × 37 × 39 × 

41 × 43 × 45 × 47 × 49 × 

51 × 53 × 55 × 57 × 59 × 

61 × 63 × 65 × 67 × 69 × 

71 × 73 × 75 × 77 × 79 × 

81 × 83 × 85 × 87 × 89 × 

91 × 93 × 95 × 97 × 99 × 







Jaguvus 

Algarvud 


× 2 3 × 5 × 7 × × × 

11 × 13 × × × 17 × 19 × 

× × 23 × 25 × × × 29 × 

31 × × × 35 × 37 × × × 

41 × 43 × × × 47 × 49 × 

× × 53 × 55 × × × 59 × 

61 × × × 65 × 67 × × × 

71 × 73 × × × 77 × 79 × 

× × 83 × 85 × × × 89 × 

91 × × × 95 × 97 × × × 







Jaguvus 

Algarvud 


× 2 3 × 5 × 7 × × × 

11 × 13 × × × 17 × 19 × 

× × 23 × × × × × 29 × 

31 × × × × × 37 × × × 

41 × 43 × × × 47 × × × 

× × 53 × × × × × 59 × 

61 × × × × × 67 × × × 

71 × 73 × × × × × 79 × 

× × 83 × × × × × 89 × 

× × × × × × 97 × × × 


Algarvude jaotumine 





Jaguvus 

Algarvud 


Algarvud paiknevad naturaalarvude jadas väga ebaühtlaselt. 

Kaks algarvu võivad asuda järjest. Ainukesed sellised on 2 ja 3. 

Kui kaks algarvu erinevad teineteisest kahe võrra, siis 

nimetatakse neid kaksikalgarvudeks. Näiteks 17 ja 19 või 3557 

ja 3559. Oletatakse, et kaksikute paare on lõpmata palju. 

Teoreem 6.4.2 

Iga positiivse täisarvu k korral leidub k järjestikust kordarvu. 

Tõestus. Olgu n = k + 1. Arvud n! + 2,n! + 3,...,n! + n on kõik 

kordarvud, sest i|n! + i igai = 2,3,...,n korral. m.o.t.t. 






Algarvude jaotusdiagramme 

Jaguvus 

Algarvud 



Algarvufunktsioon 





Jaguvus 

Algarvud 


Algarvude jaotumist kirjeldab algarvufunktsioon 

Esimesed väärtused: 

π(n) = algarvude arv hulgas {1,2,...,n} 

π(1) = 0 π(2) = 1 π(3) = 2 π(4) = 2 

π(5) = 3 π(6) = 3 π(7) = 4 π(8) = 4 


Algarvuteoreem 

Teoreem 6.4.3. 





Kehtib asümptootiline ekvivalents 

π(n) ∼ n 

lnn 

Jaguvus 

Algarvud 


Valemi tuletas C. F. Gauss 18. sajandi lõpul algarvude tabeli 

analüüsimisel. 

Tõestasid J. Hadamard ja C. de la Vallée Poussin teineteisest 

sõltumatult aastal 1896. 

On olemas ka täpsemaid empiirilisi valemeid, näiteks 

π(n) = 

n 

lnn − 1,08366 

n dt 

(Legendre) π(n) ≈ 

2 lnt (Gauss) 


Algarvuteoreem (2) 





Jaguvus 

Algarvud 


Näide: leida, kui suur on 200-kohaliste arvude hulgas algarvude 

osakaal. 

200-kohalisi arve on 

10 200 − 10 199 = 9 · 10 199 

200-kohalisi algarve on ligikaudu 

π(10 200 ) − π(10 199 ) ≈ 10200 10199 

− ≈ 1,95 · 10197 

200ln10 199ln10 

Algarvude osakaal on ligikaudu 

1,95 · 10197 1 

≈ 

9 · 10199 460 






Jaguvus 

Algarvud 


Arvu lahutamine algtegurite korrutiseks 

Kui arv ei ole algarv, siis saab ta esitada kahe väiksema teguri 

korrutisena. 

Kui mõni saadud teguritest ei ole algarv, siis saab selle teguri 

esitada kahe väiksema teguri korrutisena jne. 

Järelikult saab iga arvu, mis pole algarv, esitada algarvude 

korrutisena. 

Kui arv juba on algarv, siis tõlgendame teda korrutisena, kus 

esineb ainult üks tegur. 






Aritmeetika põhiteoreem 

Teoreem 

Jaguvus 

Algarvud 


Iga ühest suurema naturaalarvu saab parajasti ühel viisil esitada 

algarvude korrutisena, arvestamata tegurite järjekorda. 

Tõestuse idee. (Täpsem tõestus esitatakse hiljem) 

Oletame, et leidub naturaalarve, millel on kaks esitust algarvude 

korrutisena. Olgu n vähim selline naturaalarv. 

Tõestame, et siis saab leida naturaalarvu n ′ , mis on väiksem kui n ja 

millel on samuti kaks esitust algarvude korrutisena. 

Et n juba oli vähim selline arv, siis tähendab see vastuolu. 

m.o.t.t. 


Arvu kanooniline kuju 

Näiteks: 





Jaguvus 

Algarvud 


Iga naturaalarvu n saab esitada kujul 

n = p α1 

1 pα2 

2 ···pαk 

k 

Siin on p1,p2,··· ,pk kõik algarvud, millega n jagub, ning 

α1,α2,··· ,αk nende algarvude kordsused. 

Aritmeetika põhiteoreemist järeldub, et see esitus on ühene. 

Seda esitust nimetatakse naturaalarvu n kanooniliseks kujuks. 

600 = 2 3 · 3 · 5 2 , 

35 = 5 · 7, 

5 251 400 = 2 3 · 5 2 · 7 · 11 2 · 31 






Tegurite kanooniline kuju 


Olgu n naturaalarv kanoonilise kujuga 

Jaguvus 

Algarvud 


n = p α1 

1 pα2 

2 ···pαk 

k 

Naturaalarv m on arvu n tegur parajasti siis, kui m avaldub kujul 

kus iga i ∈ [k] korral 0 βi αi. 

m = p β1 

1 pβ2 

2 ···pβk 

k 


Arvu tegurite arv 

Näide 





Jaguvus 

Algarvud 


Arvu kanoonilise kuju põhjal saab leida arvu tegurite arvu ilma 

neid välja kirjutamata. 

Kui 

n = p α1 

1 pα2 

2 ···pαk 

k , 

siis arvu n teguris peab algteguri p1 astendaja olema üks 

arvudest 0,1,··· ,α1, algteguri p2 astendaja olema üks 

arvudest 0,1,··· ,α2 jne. 

Tegurite arv on seega 

(α1 + 1)(α2 + 1)···(αk + 1) 

Arvul 694 575 = 3 4 · 5 2 · 7 3 on (4 + 1)(2 + 1)(3 + 1) = 60 tegurit. 




Jaguvus 

Algarvud 







Definitsioon 







Jaguvus 

Algarvud 







Jaguvus 

Algarvud 


Fermat’ väike teoreem (Teoreem 6.5.1.) 


Kui p on algarv, siis iga täisarvu a korral, mis ei jagu 

p-ga, kehtib seos 

p|a p−1 − 1 

Lemma 6.2.5. 

Kui p on algarv ja 0 < k < p, siis p| p 

k 

Tõestuse idee. Järeldus seosest 

 

p 

= 

k 

p(p − 1)···(p − k + 1) 

k(k − 1)···1 

Pierre de 

Fermat 

(1601–1665) 


Teoreemi teine kuju 

Järeldus 





Jaguvus 

Algarvud 


Kui p on algarv, siis iga täisarvu a korral p|a p − a. 

Tõestus. 

Kui a ei jagu p-ga, siis p|a p−1 − 1 kehtib parajasti siis, kui p|(a p−1 − 1)a 

Seos kehtib triviaalselt, kui a = 0. Tõestamaks induktsiooniga võtame a > 0 

korral a = b + 1. järelikult 

a p − a = (b + 1) p − (b + 1) = 

= b p 

p 

+ b 

1 

p−1 

p 

+ ··· + b + 1 − b − 1 = 

p − 1 

= (b p 

p 

− b) + b 

1 

p−1 

p 

+ ··· + b 

p − 1 

Liige (b p − b) jagub p-ga induktsiooni eelduse põhjal, ülejäänud liikmed Lemma 6.5.2 

tõttu. m.o.t.t. 


Pseudoalgarvud 





Jaguvus 

Algarvud 


Fermat’ teoreemi väide võib mõnikord kehtida ka siis, kui p ei 

ole algarv. 

Näiteks olgu p = 341 = 11 · 31 ning a = 2: 

2 340 = (2 10 ) 34 = 1024 34 

annab 341-ga jagamisel jäägi 1, sest 1024 annab jäägi 1. 

Arv 341 on pseudoalgarv alusel 2. 

Siiski, 341 ei rahulda Fermat’ teoreemi väidet, kui aluseks 

võtta mingi muu arv, nt 3 340 annab 341-ga jagades jäägi 56. 


Carmichaeli arvud 

Definitsioon 





Jaguvus 

Algarvud 


Carmichaeli arv on paaritu kordarv, mis rahuldab Fermat’ teoreemi 

väidet iga aluse korral, mis on selle kordarvuga ühistegurita (st on 

pseudoalgarv kõigil neil alustel). 

Näide: olgu p = 561 = 3 · 11 · 17 ning SÜT(a,p) = 1. 

a 560 = (a 2 ) 280 annab 3-ga jagamisel jäägi 1 



Seega a 560 − 1 jagub nii 3-ga, 11-ga kui 17-ga. 

Vt ka http://www.research.att.com/~njas/sequences, jada nr A002997 




Jaguvus 

Algarvud 







Definitsioon 







Definitsioon 





Definitsioon 





Definitsioon 



Naturaalarvude a ja b ühisteguriks nimetatakse iga naturaalarvu, 

millega jagub nii a kui ka b. 

Ühistegurite hulgast suurimat tähistatakse SÜT(a,b) (=Suurim 

ÜhisTegur) või gcd(a,b) (= Greatest Common Divisor) 

Näide 

Arvude 36 ja 60 teguriteks on 1, 2, 3, 4, 6, 12. 

Suurim ühistegur on SÜT(36,60) = gcd(36,60) = 12. 

Suurim ühistegur on alati olemas, sest iga kahe arvu 

ühistegurite hulk on mittetühi. 

Analoogiliselt defineeritakse mitme arvu a1,a2,...,an ühistegur 

ja nende arvude suurim ühistegur. 



Definitsioon 





Definitsioon 



Naturaalarvude a ja b ühisteguriks nimetatakse iga naturaalarvu, 

millega jagub nii a kui ka b. 

Ühistegurite hulgast suurimat tähistatakse SÜT(a,b) (=Suurim 

ÜhisTegur) või gcd(a,b) (= Greatest Common Divisor) 

Näide 

Arvude 36 ja 60 teguriteks on 1, 2, 3, 4, 6, 12. 

Suurim ühistegur on SÜT(36,60) = gcd(36,60) = 12. 

Suurim ühistegur on alati olemas, sest iga kahe arvu 

ühistegurite hulk on mittetühi. 

Analoogiliselt defineeritakse mitme arvu a1,a2,...,an ühistegur 

ja nende arvude suurim ühistegur. 


Ühistegurita arvud 





Definitsioon 



Naturaalarve, mille suurim ühistegur on 1, nimetatakse ühistegurita 

arvudeks. 

Näiteks 

16 ja 25 on ühistegurita, 

99 ja 100 on ühistegurita 

jne. 

Jagades naturaalarvud a ja b nende suurima ühisteguriga, 

jäävad järele ühistegurita arvud: 

 

gcd 

a 

gcd(a,b) , 

 

b 

gcd(a,b) 

= 1 

Iga kaks naturaalarvu a ja b saab esitada kujul a = a ′ d ja 

b = b ′ d, kus d = gcd(a,b) ning a ′ ja b ′ on ühistegurita. 







Definitsioon 




arvudeks. 

Näiteks 



jne. 



 

gcd 

a 

gcd(a,b) , 

 

b 

gcd(a,b) 

= 1 









Definitsioon 




arvudeks. 

Näiteks 



jne. 



 

gcd 

a 

gcd(a,b) , 

 

b 

gcd(a,b) 

= 1 








Ühistegur kanoonilise kuju järgi 

Kui 

ja 

siis 

Järeldus 

gcd(a,b) = p min(α1,β1) 

1 

Definitsioon 



a = p α1 

1 pα2 

2 ···pαk 

k 

b = p β1 

1 pβ2 

2 ···pβk 

k 

p min(α2,β2) 

2 ···p min(αk,βk) 

k 

gcd(a,b) jagub arvude a ja b iga ühisteguriga. 






Ühistegur kanoonilise kuju järgi 

Kui 

ja 

siis 

Järeldus 

gcd(a,b) = p min(α1,β1) 

1 

Definitsioon 



a = p α1 

1 pα2 

2 ···pαk 

k 

b = p β1 

1 pβ2 

2 ···pβk 

k 

p min(α2,β2) 

2 ···p min(αk,βk) 

k 

gcd(a,b) jagub arvude a ja b iga ühisteguriga. 






Alternatiivne definitsioon 

Definitsioon 

Definitsioon 



Naturaalarvude a ja b suurim ühistegur gcd(a,b) on selline 

naturaalarv, mis jagub kõigi nende arvude ühisteguritega. 

Selline lähenemine võimaldab ühisteguri mõistet laiendada ka 

sellistele hulkadele, kus on määratud jaguvus, aga mitte 

järjestus (nt polünoomid, Gaussi täisarvud jne). 

Keerulisemaks muutub suurima ühisteguri olemasolu 

tõestamine: kõigi ühisteguritega jaguva ühisteguri leidumine 

pole sellise definitsiooni korral nii vahetult selge. 




Jaguvus 

Algarvud 







Definitsioon 







Definitsioon 








Suurima ühisteguri homogeensus 


Iga naturaalarvu n korral 

Tõestus. 

Definitsioon 



gcd(na,nb) = n · gcd(a,b) 

Olgu a = p α1 

1 ···pα k 

k ja b = p β1 

1 ···pβ k 

k ning nende suurim ühistegur 

gcd(a,b) = p γ1 

1 ···pγ k 

k , kus γi = min(αi,βi). Kuin = p σ1 

1 ···pσ k 

k , siis 

gcd(na,nb) = p min(α1+σ1,β1+σ1) 

1 

···p min(αk +σk ,βk +σk ) 

k 

= 

= p min(α1,β1) 

1 p σ1 

1 ···pmin(α k ,βk ) 

k p σk k = 

= p σ1 

1 ···pσ k 

k pγ1 

1 ···pγ k 

k 

= n · gcd(a,b) 

m.o.t.t. 






Definitsioon 



Suurima ühisteguri homogeensus (1) 

Järeldus 

Kui c on arvude a ja b ühistegur, siis 

 

gcd 

a b 

, 

c c 

= gcd(a,b) 

c 

Tõestus. 

 

c · gcd 

a b 

, 

c c 

= gcd(a,b) 

m.o.t.t. 






Ühistegurita arvude omadused 


Definitsioon 



Kui gcd(a,b) = 1, siis iga naturaalarvu c korral 

Tõestuse idee. 

gcd(ac,b) = gcd(c,b). 

1 arvu gcd(ac,b) iga tegur on ka arvu gcd(c,b) 

tegur 

2 arvu gcd(c,b) iga tegur on ka arvu gcd(ac,b) 

tegur 

Järelikult ühtib arvude ac ja b ühistegurite hulk 

arvude c ja b ühistegurite hulgaga. m.o.t.t. 


Järeldusi 





Definitsioon 



1 Kui gcd(a,c) = 1 ja gcd(b,c) = 1, siis gcd(ab,c) = 1 

2 Kui a|bc ja gcd(a,b) = 1, siis a|c 

3 Kui a|c, b|c ja gcd(a,b) = 1, siis ab|c 

Näide: leida gcd(560,315) 

gcd(560,315) = gcd(5 · 112,5 · 63) = 

= 5 · gcd(112,63) = 

= 5 · gcd(2 4 · 7,63) = 

= 5 · gcd(7,63) 

= 5 · 7 = 35 


Järeldusi 





Definitsioon 



1 Kui gcd(a,c) = 1 ja gcd(b,c) = 1, siis gcd(ab,c) = 1 

2 Kui a|bc ja gcd(a,b) = 1, siis a|c 

3 Kui a|c, b|c ja gcd(a,b) = 1, siis ab|c 


gcd(560,315) = gcd(5 · 112,5 · 63) = 

= 5 · gcd(112,63) = 

= 5 · gcd(2 4 · 7,63) = 

= 5 · gcd(7,63) 

= 5 · 7 = 35 




Jaguvus 

Algarvud 







Definitsioon 







Definitsioon 









Definitsioon 



Algoritm kahe arvu suurima ühisteguri arvutamiseks 

Sisend: Naturaalarvud a ja b, eeldame, et a > b 

Väljund: Arvude a ja b suurim ühiskordne 

while b > 0 

do 

od 

1 r := a mod b % a jagamisel b-ga tekkiv jääk 

2 a := b 

3 b := r 

return(a) 







Definitsioon 



a b 

2322 654 

654 360 

360 294 

294 66 

66 30 

30 6 

6 0 







Definitsioon 



a b 

2322 654 

654 360 

360 294 

294 66 

66 30 

30 6 

6 0 







Definitsioon 



a b 

2322 654 

654 360 

360 294 

294 66 

66 30 

30 6 

6 0 







Definitsioon 



a b 

2322 654 

654 360 

360 294 

294 66 

66 30 

30 6 

6 0 







Definitsioon 



a b 

2322 654 

654 360 

360 294 

294 66 

66 30 

30 6 

6 0 







Definitsioon 



a b 

2322 654 

654 360 

360 294 

294 66 

66 30 

30 6 

6 0 







Definitsioon 



a b 

2322 654 

654 360 

360 294 

294 66 

66 30 

30 6 

6 0 







Definitsioon 



a b 

2322 654 

654 360 

360 294 

294 66 

66 30 

30 6 

6 0 






Olulised küsimused vastata: 

Kas algoritm lõpetab alati töö? 

Definitsioon 



Kas algoritm annab alati vastuseks suurima ühisteguri? 

Milline on algoritmi efektiivsus? 






Eukleidese algoritmi peatumine 

Definitsioon 



Igal sammul asendatakse arvupaar (a,b) paariga (b,r), kus r 

on jääk, mis tekib a jagamisel b-ga. 

Järelikult r < b. 

Samme korrates väheneb vaadeldava arvupaari teine 

komponent ning saab varem või hiljem nulliks. 






Eukleidese algoritmi korrektsus 


Definitsioon 



Kui r on jääk, mis tekib arvu a jagamisel arvuga b, siis 

gcd(a,b) = gcd(b,r) 

Tõestus. Võrdusest a = bq + r järeldub, et 

1 kui d|a ja d|b, siis d|r 

2 kui d|b ja d|r, siis d|a 

Järelikult on arvude a ja b ühistegurite hulk sama mis 

arvude b ja r ühistegurite hulk. 

Viimasel sammul saame arvud r ja 0, nende suurim 

ühistegur on r . m.o.t.t. 






Eukleidese algoritmi keerukus 


Definitsioon 



Arvude a ja b (kus a > b) suurima ühisteguri leidmiseks kulub 

Eukleidese algoritmi puhul ülimalt 

sammu. 

1 + log 2 a + log 2 b 

Tõestus. Ühe sammuga asendatakse arvupaar (a,b) paariga (b,r). Seejuures 

r 

sammul väheneb arvude korrutis vähemalt 2 korda. 

Kui pärast k sammu on korrutis veel positiivne, siis peab kehtima 

ab/2 k > 1, millest 

k log 2(ab) = log 2 a + log 2 b 

m.o.t.t. 






Definitsioon 



Eukleidese algoritmi töö algebraliselt 

a = bq1 + r1 

b = r1q2 + r2 

r1 avaldub b ja a kaudu 

r2 avaldub r1 ja b kaudu 

r1 = r2q3 + r3 

············ ············ 

rk−3 = rk−2qk−1 + rk−1 

rk−2 = rk−1qk + rk 

rk−1 = rkqk+1 

r3 avaldub r2 ja r1 kaudu 

rk−1 avaldub rk−2 ja rk−3 kaudu 

rk avaldub rk−1 ja rk−2 kaudu 

Avaldame eelviimasest seosest rk ja asendame saadud avaldises 

järk-järgult rk−1,rk−2,... eelnevate seoste põhjal. 

Järelikult rk avaldub a ja b lineaarkombinatsioonina. (Täisarvuliste 

kordajatega!) 






Definitsioon 



Suurim ühistegur lineaarkombinatsioonina 


Naturaalarvude a ja b suurima ühisteguri saab avaldada kujul 

kus s ja t on täisarvud. 

Näiteks: a = 360 ja b = 294 

gcd(a,b) = as + bt 

gcd(a,b) = 294 · (−11) + 360 · 9 = −11a + 9b 






Definitsioon 



Lineaarne diofantiline võrrand (EA rakendus) 

Järeldus teoreemist 6.6.3 

Täisarvuliste kordajatega võrrandil 

ax + by = c 

leiduvad täisarvulised lahendid parajasti siis, kui gcd(a,b)|c. 

Lahendusmeetod: Eukleidese algoritmi abil leida kordajad s ja t, nii 

et sa + tb = gcd(a,b) ning seejärel arvutada võrrandi 

lahendid 

cs 

x = 

y = 

gcd(a,b) 

ct 

gcd(a,b) 






Lineaarne diofantiline võrrand (2) 

Näide: 92x + 17y = 3 

Eukleidese algoritmst: 

a b Seos 

92 17 

17 7 92 = 5 · 17 + 7 

7 3 17 = 2 · 7 + 3 

3 1 7 = 2 · 3 + 1 

1 0 

Definitsioon 



Vastavad teisendused: 

1 = 7 − 2 · 3 

gcd(92,7)|3, seega võrrandi lahenditeks sobivad väärtused 

x = 

y = 

= 7 − 2 · (17 − 7 · 2) = (−2) · 17 + 5 · 7 = 

= (−2) · 17 + 5 · (92 − 5 · 17) = 5 · 92 + (−27) · 17 

3 · 5 

= 3 · 5 = 15 

gcd(92,17) 

3 · (−27) 

= −3 · 27 = −81 

gcd(92,17) 







Definitsioon 



Näide: 5x + 3y = 2 → lahendeid võib olla mitu 

Kuna 1 = 2 · 5 + 3 · 3, siis esimene lahend 

on: 

x = 2 · 2 = 4 

y = −3 · 2 = −6 

gcd(5,3) = 1 

Näide: 15x + 9y = 8 → lahendid puuduvad 

Kuna gcd(15,9) = 3, siis saab võrrandi teisendada kujule 

3(5x + 3y) = 8. 

Kuna 1 = (−10) · 5 + 17 · 3, siis teine 

lahend on: 

x = −10 · 2 = −20 

y = 17 · 2 = 34 

Võrrandi vasak pool jagub 3-ga ja parem pool ei jagu, järelikult see võrdus ei saa 

kehtida ühegi x ja y väärtuste korral. 







Definitsioon 



Näide: 5x + 3y = 2 → lahendeid võib olla mitu 

Kuna 1 = 2 · 5 + 3 · 3, siis esimene lahend 

on: 

x = 2 · 2 = 4 

y = −3 · 2 = −6 

gcd(5,3) = 1 

Näide: 15x + 9y = 8 → lahendid puuduvad 

Kuna gcd(15,9) = 3, siis saab võrrandi teisendada kujule 

3(5x + 3y) = 8. 

Kuna 1 = (−10) · 5 + 17 · 3, siis teine 

lahend on: 

x = −10 · 2 = −20 

y = 17 · 2 = 34 

Võrrandi vasak pool jagub 3-ga ja parem pool ei jagu, järelikult see võrdus ei saa 

kehtida ühegi x ja y väärtuste korral. 


Veel üks EA rakendus 

Aritmeetika põhiteoreem 





Definitsioon 



Iga positiivne täisarv n on üheselt esitatav algarvude korrutisena: 

m 

n = p1 ...pm = ∏ pk, p1 ··· pm 

k=1 

Tõestus. Eeldame vastuväiteliselt, et mingil arvul on kaks lahutust 

algteguriteks: 

n = p1 ...pm = q1 ...qk, p1 ··· pm ja q1 ··· qk 

Eeldame, et p1 < q1. Kuna p1 ja q1 on algarvud, siis gcd(p1,q1) = 1. 

Seega annab EA täisarvud s ja t, nii et sp1 + tq1 = 1. Järelikult 

sp1q2 ...qk + tq1q2 ...qk = q2 ...qk 

Seega jagab p1 mõlemaid vasaku poole avaldisi ja q2 ...qk/p1 on 

täisarv, mis on vastuolus eeldusega p1 < q1. See tähendab, et 

p1 = q1. 

Induktiivselt saame sama võttega tõestada, et p2 = q2, p3 = q3, etc 

m.o.t.t. 


Vähim ühiskordne 

Definitsioon 





Definitsioon 



Naturaalarvude a ja b ühiskordseks nimetatakse iga naturaalarvu c, 

mis jagub nii a-ga kui ka b-ga, teisete sõnadega c|a ja c|b. 

Naturaalarvude a ja b vähimat ühiskordset tähistatakse VÜK(a,b) 

(=Vähim ÜhisKordne) või lcm(a,b) (= Least Common Multiple) 

lcm(6,4) = 12 lcm(8,1) = 8 lcm(24,25) = 600 






Definitsioon 



Vähim ühiskordne kanoonilise kuju järgi 

Kui 

ja 

siis 

Järeldus 

gcd(a,b)lcm(a,b) = ab 

Tõestus. 

lcm(a,b) = p max(α1,β1) 

1 

a = p α1 

1 pα2 

2 ···pα k 

k 

b = p β1 

1 pβ2 

2 ···pβ k 

k 

p max(α2,β2) 

gcd(a,b) · lcm(a,b) = p min(α1,β1) 

1 

2 

···p max(α k ,β k ) 

k 

···p min(α k ,β k ) 

k 

= p min(α1,β1)+max(α1,β1) 

1 

= p α1+β1 

1 ···p αk +βk k = ab 


1 ···p max(αk ,βk ) 

k = 

···p min(αk ,βk )+max(αk ,βk ) 

k 

= 

m.o.t.t. 






Definitsioon 



Vähim ühiskordne kanoonilise kuju järgi 

Kui 

ja 

siis 

Järeldus 

gcd(a,b)lcm(a,b) = ab 

Tõestus. 

lcm(a,b) = p max(α1,β1) 

1 

a = p α1 

1 pα2 

2 ···pα k 

k 

b = p β1 

1 pβ2 

2 ···pβ k 

k 


gcd(a,b) · lcm(a,b) = p min(α1,β1) 

1 

2 

···p max(α k ,β k ) 

k 

···p min(α k ,β k ) 

k 

= p min(α1,β1)+max(α1,β1) 

1 

= p α1+β1 

1 ···p αk +βk k = ab 


1 ···p max(αk ,βk ) 

k = 

···p min(αk ,βk )+max(αk ,βk ) 

k 

= 

m.o.t.t. 






Definitsioon 



Suurim ühistegur ja väikseim ühiskordne 


Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne on duaalsed mõisted. 

Seose gcd(a,b) · lcm(a,b) = ab tõttu kandubvad mitmed suurima 

ühisteguri omadused vähimale ühiskordsele. 

Vähima ühisteguri leidmiseks sobib Eukleidese algoritm. 

Arvude a ja b vähim ühiskordne on nende arvude iga ühiskordse tegur. 

Tõestus. 

Olgu k arvude a ja b mingi ühiskordne. Suurima ühisteguri homogeensusest järeldub 

ab · gcd 

k 

a 

, k 

b 

 

= gcd(kb,ka) = k · gcd(b,a). 

Seega 

 

k k 

 

ab · gcd , · lcm(a,b) = k · gcd(a,b) · lcm(a,b) = kab. 

a b 

Järelikult gcd k 

a , k 

b · lcm(a,b) = k ehk lcm(a,b) on k tegur. m.o.t.t. 






Definitsioon 



Suurim ühistegur ja väikseim ühiskordne 


Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne on duaalsed mõisted. 

Seose gcd(a,b) · lcm(a,b) = ab tõttu kandubvad mitmed suurima 

ühisteguri omadused vähimale ühiskordsele. 

Vähima ühisteguri leidmiseks sobib Eukleidese algoritm. 

Arvude a ja b vähim ühiskordne on nende arvude iga ühiskordse tegur. 

Tõestus. 

Olgu k arvude a ja b mingi ühiskordne. Suurima ühisteguri homogeensusest järeldub 

ab · gcd 

k 

a 

, k 

b 

 

= gcd(kb,ka) = k · gcd(b,a). 

Seega 

 

k k 

 

ab · gcd , · lcm(a,b) = k · gcd(a,b) · lcm(a,b) = kab. 

a b 

Järelikult gcd k 

a , k 

b · lcm(a,b) = k ehk lcm(a,b) on k tegur. m.o.t.t. 






Vähima ühiskordse homogeensus 


Definitsioon 



Iga naturaalarvu n korral lcm(na,nb) = n · lcm(a,b). 

Tõestus. Suurima ühisteguri ja vähima ühiskordse seosest saame 

lcm(na,nb) · gcd(na,nb) = n 2 ab. Teisendades seda seost suurima 

ühisteguri homogeensust arvestades, saame 

lcm(na,nb) · n · gcd(a,b) = n 2 ab ning sellest omakorda 

lcm(na,nb) · gcd(a,b) = nab 

Võttes arvesse, et suurima ühisteguri ja vähima ühiskordse seosest 

järeldub ka seos lcm(a,b) = ab/gcd(a,b), jõuame tulemuseni 

lcm(na,nb) = 

Järeldus 

 

ac Kui c|a ja c|b, siis lcm , b 

c = lcm(a,b) 

c . 

nab 

= n · lcm(a,b) 

gcd(a,b) 

m.o.t.t. 






Vähima ühiskordse homogeensus 


Definitsioon 



Iga naturaalarvu n korral lcm(na,nb) = n · lcm(a,b). 

Tõestus. Suurima ühisteguri ja vähima ühiskordse seosest saame 

lcm(na,nb) · gcd(na,nb) = n 2 ab. Teisendades seda seost suurima 

ühisteguri homogeensust arvestades, saame 

lcm(na,nb) · n · gcd(a,b) = n 2 ab ning sellest omakorda 

lcm(na,nb) · gcd(a,b) = nab 

Võttes arvesse, et suurima ühisteguri ja vähima ühiskordse seosest 

järeldub ka seos lcm(a,b) = ab/gcd(a,b), jõuame tulemuseni 

lcm(na,nb) = 

Järeldus 

 

ac Kui c|a ja c|b, siis lcm , b 

c = lcm(a,b) 

c . 

nab 

= n · lcm(a,b) 

gcd(a,b) 

m.o.t.t. 


Kongruentsid 

Definitsioon 





Täisarvud a ja b on kongruentsed mooduli m > 0 järgi, kui nad 

annavad jagamisel m-ga sama jäägi. Tähistus a ≡ b (mod m). 

Alternatiivne definitsioon: a ≡ b (mod m) parajasti siis, kui 

m|(b − a). Kongruents on ekvivalentsiseos: 

Refleksiivsus: a ≡ a (mod m) 

Sümmeetria: a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m) 

Transitiivsus: a ≡ b (mod m) ja b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m) 

[0] [1] 

[2] 

[3] [4] 






Kongruentsi omadusi 

Kui a ≡ b (mod m) ja d|m, siis a ≡ b (mod d) 

Kui a ≡ b (mod m1),a ≡ b (mod m2),...,a ≡ b (mod mk), siis 

a ≡ b (mod lcm(m1,m2,...,mk)) 

Kui a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m), siis a + c ≡ b + d (mod m) 

Kui a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m), siis ac ≡ bd (mod m) 

Kui a ≡ b (mod m), siis suvalise täisarvu k korral ak ≡ bk (mod m) 

Kui a ≡ b (mod m) ja c ≡ d (mod m), siis a − c ≡ b − d (mod m) 

Kui a ≡ b (mod m), siis suvaliste täisarvude u ja v korral 

a + um ≡ b + vm (mod m) 

Kui ka ≡ kb (mod m) ja gcd(k,m) = 1, siis a ≡ b (mod m) 

a ≡ b (mod m) parajasti siis, kui suvalise naturaalarvu k korral 

ak ≡ bk (mod mk) 






















































































































































Näiteid kongruentside kasutamisest 

Näide 1: Leida a = 1395 4 · 675 3 + 12 · 17 · 22 jagamisel 7-ga tekkiv jääk 

Kuna 1395 ≡ 2 (mod 7), 675 ≡ 3 (mod 7), 12 ≡ 5 (mod 7), 17 ≡ 3 (mod 7) ja 

22 ≡ 1 (mod 7), siis 

a ≡ 2 4 · 3 3 + 5 · 3 · 1 (mod 7) 

Kuna 2 4 = 16 ≡ 2 (mod 7), 3 3 = 27 ≡ 6 (mod 7) ja 5 · 3 · 1 = 15 ≡ 1 (mod 7), siis 

a ≡ 2 · 6 + 1 = 13 ≡ 6 (mod 7) 







Näide 2: Leida a = 53 · 47 · 51 · 43 jagamisel 56-ga tekkiv jääk 

A. Kuna 53 · 47 = 2491 ≡ 27 (mod 56) ja 51 · 43 = 2193 ≡ 9 (mod 56), 

siis 

a ≡ 27 · 9 = 243 ≡ 19 (mod 56) 

B. Kuna 53 ≡ −3 (mod 56), 47 ≡ −9 (mod 56), 51 ≡ −5 (mod 56) ja 

43 ≡ −13 (mod 56), siis 

a ≡ (−3) · (−9) · (−5) · (−13) = 1755 ≡ 19 (mod 56) 







Näide 3: Leida arvu 45 69 jagamisel 89-ga tekkiv jääk 

Kasutame nn ruututõstmismeetodit: 

Kuna 69 = 64 + 4 + 1, siis 

45 ≡ 45 (mod 89) 

45 2 = 2025 ≡ 67 (mod 89) 

45 4 = (45 2 ) 2 ≡ 67 2 = 4489 ≡ 39 (mod 89) 

45 8 = (45 4 ) 2 ≡ 39 2 = 1521 ≡ 8 (mod 89) 

45 16 = (45 8 ) 2 ≡ 8 2 = 64 ≡ 64 (mod 89) 

45 32 = (45 16 ) 2 ≡ 64 2 = 4096 ≡ 2 (mod 89) 

45 64 = (45 32 ) 2 ≡ 2 2 = 4 ≡ 4 (mod 89) 

45 69 = 45 64 · 45 4 · 45 1 ≡ 4 · 39 · 45 ≡ 7020 ≡ 78 (mod 89) 







Näide 4: Leida jääk, mis tekib arvu 3 4565 jagamisel 13ga 

Fermat’ teoreemi põhjal 3 12 ≡ 1 (mod 13). Seepärast jagame astendaja 4565 arvuga 

12 ja leiame jäägi: 4565 = 380 · 12 + 5. Järelikult 

3 4565 = (3 12 ) 380 3 5 ≡ 1 380 3 5 = 81 · 3 ≡ 3 · 3 = 9 (mod 13) 







Olgu arv n = ak · 10 k + ak−1 · 10 k−1 + ... + a1 · 10 + a0, kus 

ai ∈ {0,1,...,9} on arvu kümnendkohad. 

Teoreem: Arv n jagub 11-ga parajasti siis, kui 11-ga jagub tema 

paarispositsioonide ristsumma ja paaritute positsioonide ristsummma vahet: 

11|(a0 + a2 + ...) − (a1 + a3 + ...) 

Tõestus. 

Kuna 10 ≡ −1 (mod 11), siis iga i korral 10 i ≡ (−1) i (mod 11). Järelikult 

n ≡ ak(−1) k + ak−1(−1) k−1 + ... − a1 + a0 = 

= (a0 + a2 + ...) − (a1 + a3 + ...) (mod 11) m.o.t.t. 

Näide 5: 34425730438 jagub 11-ga 

Tõepoolest, kuna 11-ga jagub järgmine avaldis 

(8 + 4 + 3 + 5 + 4 + 3) − (3 + 0 + 7 + 2 + 4) = 27 − 16 = 11 






Arvusüsteem "nädalapäevad" 

Liitmine: 

+○ P E T K N R L 

P P E T K N R L 

E E T K N R L P 

T T K N R L P E 

K K N R L P E T 

N N R L P E T K 

R R L P E T K N 

L L P E T K N R 

Korrutamine: 

⊙ P E T K N R L 

P P P P P P P P 

E P E T K N R L 

T P T N L E K R 

K P K L T R E N 

N P N E R T L K 

R P R K E L N T 

L P L R N K T E 







Liitmine: 









Kommutatiivsus: 

T + R = R + T T · R = R · T 

Korrutamine: 















Liitmine: 









Korrutamine: 









Assotsiatiivsus: 

(E + K) + R = E + (K + R) (E · K) · R = E · (K · R) 







Liitmine: 









Lahutamine on liitmise pöördtehe: 

N − K = (E + K) − K = E 

Korrutamine: 















Liitmine: 









P on nullelement: 

K + P = K K · P = P 

Korrutamine: 















Liitmine: 









E on ühik: 

K · E = K 

Korrutamine: 














Moodularitmeetika alusel m 

Näited 

Arvud on 0,1,...,m − 1, kusjuures a kõiki arve, mis annavad 

m-iga jagades jäägi a. 

Tehted on defineeritud 

a + b = c parajasti siis, kui a + b ≡ c (mod m) 

a · b = c parajasti siis, kui a · b ≡ c (mod m) 

"nädalapäevade" aritmeetika, moodul 7 

Boole’ algebra, moodul 2 






Jagamine moodularitmeetikas 

Arvude a ja b jagatis on selline x, et b · x = a, s.o. a/b = x 

Näiteks "nädalapäevade aritmeetikas": 

E/T = N ja T /E = T . 

Arvuga P ei saa jagada, v.a. P/P, 

mile väärtuseks on iga arv. 

Jagatis a/b on defineeritud iga b = 0, 

kui arvusüsteemi moodul on algarv 

















E/T = N ja T /E = T . 





















E/T = N ja T /E = T . 





















E/T = N ja T /E = T . 


















Jagamine, kui moodul on algarv 


Kui m on algarv ja x < m, siis arvud 

on paarikaupa erinevad 

Järeldus 

x · 0,x · 1,...,x · m − 1 

Tõestus. Oletame väitevastaselt, et arvud x · i ja x · j, kus i < j, annavad 

jagamisel m-iga sama jäägi. Siis peab kehtima seos m|(j − i)x, mis ei 

ole aga võimalik, kuna j − i < m ja gcd(m,x) = 1. Seega x · i = x · j 

m.o.t.t. 

Kui moodul m on algarv, siis on moodularitmeetika jagamine x = a/b määratud 

üheselt iga b = 0 korral. 






Jagamine, kui moodul ei ole algarv 

Jagatis ei ole üheselt ei ole 

määratud, näiteks: 

1 = 2/2 = 3 

⊙ 0 1 2 3 

0 0 0 0 0 

1 0 1 2 3 

2 0 2 0 2 

3 0 3 2 1 






Kuidas arvutada jagatist x = a/b algarvulise mooduli p järgi? 

Kaks sammu: 

1 Arvutada y = 1/b 

2 Arvutada x = y · a 

Kuidas arvutada y = 1/b ehk leida y, nii et b · y = 1 ehk leida y, nii 

et by = 1. 

Selleks: 

1 Arvutada Eukleidese algoritmi abil gcd(p,b) = ... = 1 

2 Leida eelmisest seosest kordajad s ja t, nii et ps + bt = 1 

3 if t p then t := t mod p fi 

4 return(t) % Omadus: t = 1/b 






Mooduli järgi jagamine 

Näide: leida 53/2 mooduli 234 527 järgi 

Leiame kõigepelt 1/2, milleks arvutame nimetaja ja mooduli 

suurima ühisteguri: 

gcd(234527,2) = gcd(2,1) = 1 

Jääk avaldub mooduli ja nimetaja kaudu järgmiselt: 

Seega 1/2 = 117264 

1 = 2(−117263) + 234527 ehk 

− 117263 · 2 ≡ 117264 (mod 234527) 

Tulemus on x = 53 · 117264 = 117290, sest 

x = 53 · 117264 ≡ 117290 (mod 234527) 






Lineaarvõrrandite lahendamine 

Lahendada võrrand 7x + 3 = 0 mooduli 47 järgi 

Lahend on kujul x = −3/7 

Arvutame kõigepealt Eukleidese algoritmiga suurima ühisteguri 

gcd(47,7) = gcd(7,5) = gcd(5,2) = gcd(2,1) = 1, 

mis annab seosed 

1 = 5 − 2 · 2 2 = 7 − 5 5 = 47 − 6 · 7 

Leiame jäägi sõltuvuse teguritest 47 ja 7: 

1 = 5 − 2 · 2 = 

= (47 − 6 · 7) − 2 · (7 − 5) = 

= 47 − 8 · 7 + 2 · 5 = 

= 47 − 8 · 7 + 2 · (47 − 6 · 7) = 

= 3 · 47 − 20 · 7 

Jätkub järgmisel slaidil ... 






Lineaarvõrrandite lahendamine (2) 

Lahendada võrrand 7x + 3 = 0 mooduli 47 järgi 

Eelmine teisendus näitab, et −20 · 7 ≡ 1 (mod 47) ehk 27 · 7 ≡ 1 (mod 47) 

Seega 1/7 = −20 = 27 

Võrrandi lahend on x = −3 · 27 = 13 

Viimane seos tuleneb kongruentsist 44 ≡ −3 (mod 47), mistõttu 

x = 44 · 27 = 1188 ≡ 13 (mod 47) 






Võrrandisüsteemi lahendamine elimineerimismeetodil 

Näide 

Lahendada võrrandisüsteem mooduli 127 järgi: 

12x + 31y = 2 

2x + 89y = 23 

Elimineerimismeetodi kohaselt korrutades teist võrrandit −6-ga ja liites võrrandid 

saame 

2 − 6 · 23 

y = 

31 − 6 · 89 

Kuna 6 · 23 = 138 ≡ 11 (mod 127) ja 6 · 89 = 534 ≡ 26 (mod 127) saab eelmise valemi 

teisendada kujule: 

2 − 11 −9 

y = = 

31 − 26 5 

Pannes teise võrrandisse selle y väärtuse saab avaldada x ning teisendada seda 

arvestusega, et 5 · 23 = 115 ≡ −12 (mod 127) ja 9 · 89 = 801 ≡ 39 (mod 127): 

x = 

23 − 89y 

2 

= 23 · 5 − 899 

10 

= −12 + 39 

10 

= 27 

10 






Võrrandisüsteemi lahendamine elimineerimismeetodil (2) 

Eelmine näide jätkub 

Arvutame mooduli 127 järgi: x = 27/10 

y = −9/5 

Selleks arvutame Eukleidese algoritmiga nimetajate ja mooduli suurimad ühistegurid: 

gcd(127,5) = gcd(5,2) = gcd(2,1) = 1 

gcd(127,10) = gcd(10,7) = gcd(7,3) = gcd(3,1) = 1 

Neist tulemustest järelduvad vastavalt seosed: 

1 = 5 − 2 · 2 = 5 − 2(127 − 25 · 5) = (−2)127 + 51 · 5 

1 = 7 − 2 · 3 = 127 − 12 · 10 − 2(10 − 127 + 12 · 10) = 3 · 127 − 38 · 10 

Järelikult jagamine 5-ga on sama, mis korrutamine 51-ga ning jagamine 10-ga on 

sama, mis korrutamine −38-ga. Seega saame süsteemi lahendi 

x = 27/10 = −27 · 38 = −1026 = 117 

y = −9/5 = −9 · 51 = −459 = 49 




Jaguvus 

Algarvud 







Definitsioon 

















Fermat’ teoreemist: Kui p on algarv ja täisarv 1 a < p, siis 

a p−1 ≡ 1 (mod p). 

Kontrollimaks, kas naturaalarv n on kordarv või algarv: 

Iga a = 2,3,...,n − 1 korral kontrollida, kas a n−1 ≡ 1 (mod n). 

Kui mõne a väärtuse puhul seos ei kehti, on n kordarv, muidu 

algarv. 

Kas 221 on algarv? 

2 220 = 2 11 20 ≡ 59 20 = 59 4 5 ≡ 152 5 = 

= 152 · 152 2 2 ≡ 152 · 120 2 ≡ 152 · 35 = 5320 ≡ 16 (mod 221) 

Järelikult on 221 kordarv. Tõepoolest 221 = 13 · 17 









Fermat’ teoreemist: Kui p on algarv ja täisarv 1 a < p, siis 

a p−1 ≡ 1 (mod p). 

Kontrollimaks, kas naturaalarv n on kordarv või algarv: 

Iga a = 2,3,...,n − 1 korral kontrollida, kas a n−1 ≡ 1 (mod n). 

Kui mõne a väärtuse puhul seos ei kehti, on n kordarv, muidu 

algarv. 

Kas 221 on algarv? 

2 220 = 2 11 20 ≡ 59 20 = 59 4 5 ≡ 152 5 = 

= 152 · 152 2 2 ≡ 152 · 120 2 ≡ 152 · 35 = 5320 ≡ 16 (mod 221) 

Järelikult on 221 kordarv. Tõepoolest 221 = 13 · 17 






Probleemid Fermat’ testiga 



Vaja on arvutada suuri astmeid ruututõstmismeetod 

Vaja on arvutada suurte arvudega moodularitmeetika 

Arv a võib osutuda pseudoalgarvuks valida a juhuslikult 

ning arvutada korduvalt 

Arv a võib osutuda Carmichaeli arvuks kasutada 

efektiivsemaid meetodeid, nt Miller-Rabini testi 






Täiendatud Fermat’ test 



Sisend: Testitav täisarv n ja parameeter k – korduste arv 

Väljund "n on kordarv" või "n on tõenäoliselt algarv" 

for i := 0 step 1 to k 

do 

od 

1 Valida juhuslikult täisarv a < n 

2 if a n−1 ≡ 1 (mod n) return("p on kordarv"); exit 

return("p on tõenäoliselt algarv") 

Näide, n = 221, juhuslikult valitud A väärtused on 38 ja 26 

a n−1 = 38 220 ≡ 1 (mod 221) 38 on pseudoalgarv 

a n−1 = 26 220 ≡ 169 ≡ 1 (mod 221) 221 on kordarv 

Ei tööta, kui n on Carmichaeli arv: 561,1105,1729,2465,2821,6601,8911,... 






Täiendatud Fermat’ test 



Sisend: Testitav täisarv n ja parameeter k – korduste arv 


for i := 0 step 1 to k 

do 

od 

1 Valida juhuslikult täisarv a < n 

2 if a n−1 ≡ 1 (mod n) return("p on kordarv"); exit 

return("p on tõenäoliselt algarv") 

Näide, n = 221, juhuslikult valitud A väärtused on 38 ja 26 

a n−1 = 38 220 ≡ 1 (mod 221) 38 on pseudoalgarv 

a n−1 = 26 220 ≡ 169 ≡ 1 (mod 221) 221 on kordarv 

Ei tööta, kui n on Carmichaeli arv: 561,1105,1729,2465,2821,6601,8911,... 




Jaguvus 

Algarvud 







Definitsioon 
















Idee, kuidas ületada probleemi Carmichaeli arvudega 

Olgu n (paaritu) arv, mille algarvulisust tahetakse kontrollida 

Valida juhuslikult arv a vahemikust 0 a n − 1. 

Vaatleme avaldist a n − a = a(a n−1 − 1) ja seni kuni võimalik 

lahutame seda rekursiivselt tegurites vastavalt seosele 

x 2 − 1 = (x − 1)(x + 1) 

Kui avaldis a n − a ei jagu n-ga, siis ei jagu selle arvuga ükski 

tegur. 

Kui vähemalt üks tegur jagub, siis on tõenäoliselt tegemist 

algarvuga. Tõenäosuse suurendamiseks tuleks katset korrata 

mingi teise juhusliku arvuga a. 


Näide n = 221 korral 





Lahutame teguriteks avaldise: 

a 221 − a = a(a 220 − 1) = 



= a(a 110 − 1)(a 110 + 1) = 

= a(a 55 − 1)(a 55 + 1)(a 110 + 1) 

Kui a = 174, siis 

174 110 = (174 2 ) 55 ≡ (220) 55 = 220 · (220 2 ) 27 ≡ 220 · 1 27 ≡ 220 ≡ −1 (mod 221). 

Seega 221 on algarv või pseudoalgarv alusel 174. 

Kui a = 137, siis 221 |a,221 |(a 55 − 1),221 |(a 55 + 1),221 |(a 110 + 1). Seega on 

221 kordarv 









Sisend: Testitav paaritu täisarv n > 3 ja parameeter k – korduste arv 


Tegurdada n − 1 = 2 s · d, kus d on paaritu 

LOOP: for i := 0 step 1 to k 

{ 

} 

1 Valida juhuslikult täisarv a ∈ {2,3,...,n − 1}; 

2 x := a d mod n; 

3 if x = 1 or x = 1 then { next LOOP; } 

4 for r := 1 step 1 to s − 1 

{ 

1 x := x2 mod n 

2 if x = 1 then { return("n on kordarv"); exit; } 

3 if x = n − 1 then { next LOOP; } 

} 

5 return("n on kordarv"); exit; 

return("p on tõenäoliselt algarv"); 

Algoritmi keerukus on O(k log 3 2 n) 






Näide n = 561 (Carmichaeli arv) 

Lahutame teguriteks avaldise: 

a 561 − a = a(a 560 − 1) = 

= a(a 280 − 1)(a 280 + 1) = 



= a(a 140 − 1)(a 140 + 1)(a 280 + 1) = 

= a(a 70 − 1)(a 70 + 1)(a 140 + 1)(a 280 + 1) = 

= a(a 35 − 1)(a 35 + 1)(a 70 + 1)(a 140 + 1)(a 280 + 1) 

Kuna a = 2 korral 

561 |(a 35 − 1) 561 |(a 35 + 1) 561 |(a 70 + 1) 561 |(a 140 + 1) 561 |(a 280 + 1), 

seega on 561 kordarv

ARVUTEOORIA - Cs.ioc.ee

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?