KOMBINATOORIKA - Cs.ioc.ee
KOMBINATOORIKA - Cs.ioc.ee
KOMBINATOORIKA - Cs.ioc.ee
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
<strong>KOMBINATOORIKA</strong><br />
T<strong>ee</strong>ma 3<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Loengu kava<br />
1 Tähistusi<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
2 Kombinatoorsed objektid<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
3 M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Liitmisr<strong>ee</strong>gel<br />
Korrutamisr<strong>ee</strong>gel<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod<br />
Dirichlet’ printsiip<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Mõned tähistused<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Lõplik naturaalarvude hulk<br />
[n] tähistagu naturaalarvude alamhulka {1,...,n}<br />
n-hulk ja k-alamhulk<br />
Nimetame n-hulgaks hulka, mille elementide arv on n. Alamhulka<br />
B ⊆ A nimetame hulga A k-alamhulgaks, kui |B| = k<br />
Iversoni sulud<br />
(tulnud matemaatikasse programm<strong>ee</strong>rimisk<strong>ee</strong>lst APL)<br />
<br />
1, kui predikaat P on tõene;<br />
[P] :=<br />
0, kui predikaat P on väär.<br />
Kenneth E. Iverson<br />
(1920–2004)<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Mõned tähistused<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Lõplik naturaalarvude hulk<br />
[n] tähistagu naturaalarvude alamhulka {1,...,n}<br />
n-hulk ja k-alamhulk<br />
Nimetame n-hulgaks hulka, mille elementide arv on n. Alamhulka<br />
B ⊆ A nimetame hulga A k-alamhulgaks, kui |B| = k<br />
Iversoni sulud<br />
(tulnud matemaatikasse programm<strong>ee</strong>rimisk<strong>ee</strong>lst APL)<br />
<br />
1, kui predikaat P on tõene;<br />
[P] :=<br />
0, kui predikaat P on väär.<br />
Kenneth E. Iverson<br />
(1920–2004)<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Näide: lõpliku hulga võimsus<br />
Olgu U universaalne hulk siis lõpliku hulga X võimsus on arvutatav<br />
elementide loendamise t<strong>ee</strong>l:<br />
|X | = ∑ 1 =<br />
x∈X<br />
= ∑ [x ∈ X ] =<br />
x∈U<br />
= ∑[x ∈ X ]<br />
x<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Järgmine punkt<br />
1 Tähistusi<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
2 Kombinatoorsed objektid<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
3 M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Liitmisr<strong>ee</strong>gel<br />
Korrutamisr<strong>ee</strong>gel<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod<br />
Dirichlet’ printsiip<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Järjend<br />
Definitsioon<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
n-hulga elementidest moodustatud järjestatud k-kohalist loendit<br />
nimetatakse järjendiks (ka k-järjendiks). Kaht järjendit loetakse<br />
võrdseks, kui nende pikkused ja vastavatel positsioonidel olevad<br />
elemendid on samad.<br />
Järjendit nimetatakse <strong>ee</strong>sti k. ka ennikuks või kort<strong>ee</strong>žiks (ingl. k.tuple).<br />
Hulga A elementidest moodustatud järjendit nimetatakse ka stringiks<br />
tähestikus A.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Järjendite arv<br />
Teor<strong>ee</strong>m 1.5.1<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
n-hulga k-järjendite arv on n k<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Tõestus. Järjendi esimese liikme valikuks on n erinevat<br />
võimalust, teise elemendi valikuks on n võimalust jne.<br />
S<strong>ee</strong>ga on k-järjendit võimalik koostada kokku<br />
n · n · ... · n = n k erineval viisil.<br />
Näiteks kahekohalisi järjendeid hulgast [3] on 9 tükki:<br />
11,12,13,21,22,23,31,32,33<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Järjendite arv (2)<br />
Teor<strong>ee</strong>m 1.5.2<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Kui järjendi moodustamisel valitakse selle esimene liige k1 erineva<br />
elemendi hulgast, teine element k2 erineva elemendi hulgast jne<br />
ning n-is liige kn erineva elemendi hulgast, siis on võimalike<br />
järjendite arv k1 · k2 · ... · kn.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Järgmine punkt<br />
1 Tähistusi<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
2 Kombinatoorsed objektid<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
3 M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Liitmisr<strong>ee</strong>gel<br />
Korrutamisr<strong>ee</strong>gel<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod<br />
Dirichlet’ printsiip<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Permutatsioonid<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Lõpliku hulga elementide ümberjärjestamist nimetatakse<br />
permut<strong>ee</strong>rimiseks ning selle tulemusena saadavaid järjendeid<br />
permutatsioonideks.<br />
Definitsioon<br />
n-hulga A = {a1,...an} permutatsiooniks (vahel ka<br />
n-permutatsiooniks) nimetatakse üks-ühest kujutust π : [n] → A.<br />
Põhihulga A kõigi permutatsioonide hulka tähistame sümboliga ΠA<br />
ning permutatsioonide arvu sümboliga Pn = |ΠA|. Hulga [n]<br />
permutatsioonide hulka tähistatakse sümboliga Sn, st<br />
Sn = {π(1)...π(n)|π ∈ Π [n]}.<br />
Näiteks: S3 = {123,132,213,231,312,321}.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Permutatsioonide arv<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Kuna permutatsioonis esineb hulga iga element täpselt ühel korral,<br />
siis n-permutatsiooni esimest elementi saab valida n erineval viisil,<br />
teist elementi n − 1 erineval viisil jne. S<strong>ee</strong>ga on n-hulga A kõigi<br />
permutatsioonide arv Pn = n · (n − 1)···1 = n!. S<strong>ee</strong>ga kehtib<br />
Teor<strong>ee</strong>m 1.6.1<br />
n objekti permutatsioonide arv on n!.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjestatud alamhulgad<br />
Definitsioon<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
n-hulga A k-permutatsiooniks nimetatakse hulga A mistahes<br />
k-alamhulga täielikku lineaarset järjestust a1 ···ak, kus<br />
a1 ∈ A,··· ,ak ∈ A.<br />
Näiteks<br />
Hulga [3] kõik 2-permutatsioonid on 12,13,21,23,31,32 ning<br />
1-permutatsioonid 1,2,3.<br />
Variatsioonid<br />
k-permutatsioone nimetatakse kirjanduses ka variatsioonideks (v.k -<br />
razmeweni); variatsioonide arvu tähistusi: V k n , A k n<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjestatud alamhulgad<br />
Definitsioon<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
n-hulga A k-permutatsiooniks nimetatakse hulga A mistahes<br />
k-alamhulga täielikku lineaarset järjestust a1 ···ak, kus<br />
a1 ∈ A,··· ,ak ∈ A.<br />
Näiteks<br />
Hulga [3] kõik 2-permutatsioonid on 12,13,21,23,31,32 ning<br />
1-permutatsioonid 1,2,3.<br />
Variatsioonid<br />
k-permutatsioone nimetatakse kirjanduses ka variatsioonideks (v.k -<br />
razmeweni); variatsioonide arvu tähistusi: V k n , A k n<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
k-permutatsioonide arv<br />
Teor<strong>ee</strong>m 1.7.1<br />
n-hulga k-permutatsioonide arv on<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
n!<br />
= n(n − 1)···(n − k + 1)<br />
(n − k)!<br />
Tõestus. Analoogiliselt Teor<strong>ee</strong>miga 1.6.1, esimese liikme<br />
valikuks on n erinevat võimalust, teise elemendi<br />
valikuks on n − 1 võimalust jne. kuni k-nda liikme<br />
valikuks n − k + 1 võimalust. m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Järgmine punkt<br />
1 Tähistusi<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
2 Kombinatoorsed objektid<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
3 M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Liitmisr<strong>ee</strong>gel<br />
Korrutamisr<strong>ee</strong>gel<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod<br />
Dirichlet’ printsiip<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Kombinatsioonid<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Käesolevas kursuses nimetame kombinatsiooniks (või ka<br />
k-kombinatsiooniks) hulga A iga k-alamhulka. Tähistame<br />
k-kombinatsioonide hulka sümboliga A<br />
k ning kõigi selliste<br />
, kus n = |A|.<br />
kombinatsioonide arvu sümboliga n<br />
k<br />
Näiteks<br />
Hulga [3] kõik 2-kombinatsioonid moodustavad hulga [3]<br />
2<br />
Kombinatsioonid loetakse võrdseteks, kui neisse kuuluvad samad<br />
elemendid sõltumata järjekorrast.<br />
Näiteks<br />
2-kombinatsioonid 12 = 21, kuid 13 = 23 = 123.<br />
= {12,13,23}.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Kombinatsioonid<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Käesolevas kursuses nimetame kombinatsiooniks (või ka<br />
k-kombinatsiooniks) hulga A iga k-alamhulka. Tähistame<br />
k-kombinatsioonide hulka sümboliga A<br />
k ning kõigi selliste<br />
, kus n = |A|.<br />
kombinatsioonide arvu sümboliga n<br />
k<br />
Näiteks<br />
Hulga [3] kõik 2-kombinatsioonid moodustavad hulga [3]<br />
2<br />
Kombinatsioonid loetakse võrdseteks, kui neisse kuuluvad samad<br />
elemendid sõltumata järjekorrast.<br />
Näiteks<br />
2-kombinatsioonid 12 = 21, kuid 13 = 23 = 123.<br />
= {12,13,23}.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Kombinatsioonide arv<br />
Teor<strong>ee</strong>m 1.8.1<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
<br />
n n!<br />
=<br />
k k!(n − k)!<br />
Tõestus. n-hulga k-kombinatsiooni võib vaadelda<br />
k-permutatsioonina, kuid pidades silmas, et samadest<br />
elementidest koosnevad kombinatsioonid on võrsed,<br />
elementide järjestusest sõltumata. S<strong>ee</strong>ga on<br />
k-kombinatsioone k! korda vähem kui<br />
k-permutatsioone, sest nii paljudel erinevatel viisidel<br />
saab k-hulga elemente ümber paigutada e.<br />
permut<strong>ee</strong>rida. m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Binoomkordajad<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
Kombinatsioonide arvu tähistavat sümbolit n<br />
k nimetatakse<br />
binoomkordajaks.<br />
Binoomkordaja tähisena kasutatakse kirjanduses ka sümboleid<br />
C n k ,C(n,k), nCk, n Ck.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Binoomi teor<strong>ee</strong>m<br />
Teor<strong>ee</strong>m 3.1.1<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Iga täisarvu n 0 korral<br />
(a + b) n =<br />
n<br />
∑<br />
k=0<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
<br />
n<br />
a<br />
k<br />
k b n−k<br />
Tõestus. Avades binoomis (a + b) n = (a + b)(a + b)···(a + b) sulud<br />
saame tulemuseks üksliikmete Cka k b n−k summa. Iga<br />
üksliikme moodustamiseks tuleb igast tegurist (a + b)<br />
valida kas a või b ning selliseid üksliikmeid tekib parajasti<br />
nii palju kui mitmel juhul on valitud a. S<strong>ee</strong>ga on kordaja<br />
Ck väärtuseks k-alamhulkade arv n-hulgas. m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Binoomkordajate omadusi<br />
1 ∑ n k=0 k<br />
2 ∑ n k=0 (−1)k n<br />
k<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
n<br />
= 2n (n-hulga alamhulkade arv);<br />
<br />
= 0 (paaris- ja paaritu võimsusega alamhulkade<br />
arvud on võrdsed).<br />
Tõestus. Valime binoomi teor<strong>ee</strong>mis a = b = 1:<br />
n <br />
n n<br />
=<br />
k ∑ k<br />
∑<br />
k=0<br />
n<br />
∑<br />
k=0<br />
k=0<br />
<br />
1 k 1 n−k = (1 + 1) n = 2 n<br />
Valime binoomi teor<strong>ee</strong>mis a = −1 ja b = 1:<br />
n<br />
(−1) k<br />
n <br />
n n<br />
=<br />
k ∑ k<br />
k=0<br />
<br />
(−1) k 1 n−k = (−1 + 1) n = 0<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
V<strong>ee</strong>l binoomkordajate omadusi (Teor<strong>ee</strong>m 1.8.2 (a))<br />
3<br />
n n<br />
k = n−k ;<br />
Tõestus. Seos on lihtne järeldus Teor<strong>ee</strong>mist 1.8.1 :<br />
n<br />
k<br />
<br />
=<br />
n!<br />
k!(n − k)! =<br />
n<br />
n − k<br />
<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
V<strong>ee</strong>l binoomkordajate omadusi (Teor<strong>ee</strong>m 1.8.2 (b))<br />
4 kui n,k > 0, siis n−1<br />
k−1<br />
Paneme tähele, et<br />
+ n−1<br />
k<br />
= n<br />
k<br />
.<br />
1 1 k + n − k<br />
+ =<br />
n − k k k(n − k) =<br />
n<br />
k(n − k) .<br />
Korrutades seda võrrandit avaldisega (n − 1)! ja jagades avaldisega<br />
(k − 1)!(n − k − 1)! saame<br />
(n − 1)!<br />
(k − 1)!(n − k)(n − k − 1)! +<br />
(n − 1)!<br />
k(k − 1)!(n − k − 1)! =<br />
n(n − 1)!<br />
k(k − 1)!(n − k)(n − k − 1)!<br />
Sellest saab lihtsustamise tulemusl valemi, mis on samaväärne tõestatava<br />
soesega :<br />
(n − 1)!<br />
(k − 1)!(n − k)! +<br />
(n − 1)!<br />
k!(n − k − 1)! =<br />
n!<br />
k!(n − k)!<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Pascali kolmnurk<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
n<br />
0<br />
n<br />
0<br />
1<br />
n<br />
1<br />
n<br />
2<br />
n<br />
3<br />
n<br />
4<br />
n<br />
5<br />
n<br />
6<br />
1 1 1<br />
2 1 2 1<br />
3 1 3 3 1<br />
4 1 4 6 4 1<br />
5 1 5 10 10 5 1<br />
6 1 6 15 20 15 6 1<br />
Blaise Pascal<br />
(1623–1662)<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Pascali kolmnurk<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
1<br />
1 1<br />
1 2 1<br />
1 3 3 1<br />
1 4 6 4 1<br />
1 5 10 10<br />
1 6 15 20 15<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
5 1<br />
6 1 Blaise Pascal<br />
(1623–1662)<br />
Pascali kolmnurk sümm<strong>ee</strong>triline vertikaaltelje suhtes.<br />
Pascali kolmnurgas võrdub iga arv kahe tema kohal asuva kahe arvu<br />
summaga.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Pascali kolmnurk<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
1<br />
1 1<br />
1 2 1<br />
1 3 3 1<br />
1 4 6 4 1<br />
1 5 10 10<br />
1 6 15 20 15<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
5 1<br />
6 1 Blaise Pascal<br />
(1623–1662)<br />
Pascali kolmnurk sümm<strong>ee</strong>triline vertikaaltelje suhtes.<br />
Pascali kolmnurgas võrdub iga arv kahe tema kohal asuva kahe arvu<br />
summaga.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Järgmine punkt<br />
1 Tähistusi<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
2 Kombinatoorsed objektid<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
3 M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Liitmisr<strong>ee</strong>gel<br />
Korrutamisr<strong>ee</strong>gel<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod<br />
Dirichlet’ printsiip<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Induktsioon<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Tähistagu A(z) fakti, et naturaalarvulist param<strong>ee</strong>trit sisaldav väide<br />
A kehtib vähemalt selle param<strong>ee</strong>tri väärtuse z ∈ N korral<br />
Matemaatilise induktsiooni r<strong>ee</strong>gel:<br />
A(0) ∀x(A(x) ⇒ A(x + 1))<br />
∀xA(x)<br />
. . . ja üldisemal kujul e tugev induktsiooni r<strong>ee</strong>gel:<br />
∀z(∀y(y < z ⇒ (A(y) ⇒ A(z)))<br />
∀xA(x)<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Induktsioon<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Tähistagu A(z) fakti, et naturaalarvulist param<strong>ee</strong>trit sisaldav väide<br />
A kehtib vähemalt selle param<strong>ee</strong>tri väärtuse z ∈ N korral<br />
Matemaatilise induktsiooni r<strong>ee</strong>gel:<br />
A(0) ∀x(A(x) ⇒ A(x + 1))<br />
∀xA(x)<br />
. . . ja üldisemal kujul e tugev induktsiooni r<strong>ee</strong>gel:<br />
∀z(∀y(y < z ⇒ (A(y) ⇒ A(z)))<br />
∀xA(x)<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsiooni kasutamise näide (1)<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Koosnegu šokolaaditahvel m × n ruudust. Tõestada, et tahvlit<br />
mööda jooni murdmise t<strong>ee</strong>l tükeldades tuleb teha mn − 1 murdmist<br />
Baas Kui tahvli mõõtmed on 1 × 1, saab teha 0 murdmist.<br />
Samm Eeldame, et väide kehtib iga tahvli korral, millel on vähem<br />
kui k ruutu.<br />
Võteme k ruuduga tahvli ning murrame pooleks, nii et<br />
ühele jääb c ja teisele d ruutu, sega c < k, d < k ja<br />
c + d = k. Kahe tekkinud tüki jaoks kehtib (tugev)<br />
induktsiooni <strong>ee</strong>ldus. Tükeldades mõlemad tahvli osad<br />
lõpuni on murdmiste arv kokku<br />
1 + (c − 1) + (d − 1) = c + d − 1 = k − 1<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l induktsiooni kasutamisest,<br />
s<strong>ee</strong>kord VÄÄRAST KASUTAMISEST!<br />
Kui tasandil olevad n sirget pole paarikaupa parall<strong>ee</strong>lsed, siis<br />
läbivad n<strong>ee</strong>d sirged kõik ühte punkti.<br />
Tõestus. Väide kehtib ühe ja kahe sirge korral. Näitame, et väite<br />
kehtimisest n − 1 sirge korral järeldub kehtivmine n sirge<br />
korral.<br />
Olgu meil n sirget a,b,c,d,.... Jätame sellest hulgast<br />
välja sirge c. Järele jäänud n − 1 sirgest peavad<br />
induktsiooni <strong>ee</strong>lduse põhjal läbima kõik punkti P.<br />
S<strong>ee</strong>tõttu on P sirgete a ja b lõikepunkt.<br />
Paneme nüüd sirge c tagasi ja jätame välja sirge d. Jällegi<br />
saame n − 1 sirget, mille ühine punkt olgu Q, mis on<br />
samuti sirgete a ja b lõikepunkt. Järelikult Q = P. Seda<br />
ühist punkti läbivad kõik sirged, ka sirged c ja d. m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l induktsiooni kasutamisest,<br />
s<strong>ee</strong>kord VÄÄRAST KASUTAMISEST!<br />
Kui tasandil olevad n sirget pole paarikaupa parall<strong>ee</strong>lsed, siis<br />
läbivad n<strong>ee</strong>d sirged kõik ühte punkti.<br />
Tõestus. Väide kehtib ühe ja kahe sirge korral. Näitame, et väite<br />
kehtimisest n − 1 sirge korral järeldub kehtivmine n sirge<br />
korral.<br />
Mis on selles tõestuses valesti ?<br />
välja sirge c. Järele jäänud n − 1 sirgest peavad<br />
induktsiooni <strong>ee</strong>lduse põhjal läbima kõik punkti P.<br />
S<strong>ee</strong>tõttu on P sirgete a ja b lõikepunkt.<br />
Paneme nüüd sirge c tagasi ja jätame välja sirge d. Jällegi<br />
saame n − 1 sirget, mille ühine punkt olgu Q, mis on<br />
samuti sirgete a ja b lõikepunkt. Järelikult Q = P. Seda<br />
ühist punkti läbivad kõik sirged, ka sirged c ja d. m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l induktsiooni kasutamisest,<br />
s<strong>ee</strong>kord VÄÄRAST KASUTAMISEST!<br />
"Tõestus" kasutab <strong>ee</strong>ldust, et sirgeid on vähemalt 4. Me<br />
kontrollisime ainult juhte n = 1 ja n = 2. Juhul n = 3 on väide<br />
väär ja on väär ka kõigi järgnevate väärtuste korral.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l induktsiooni kasutamisest,<br />
s<strong>ee</strong>kord VÄÄRAST KASUTAMISEST!<br />
"Tõestus" kasutab <strong>ee</strong>ldust, et sirgeid on vähemalt 4. Me<br />
kontrollisime ainult juhte n = 1 ja n = 2. Juhul n = 3 on väide<br />
väär ja on väär ka kõigi järgnevate väärtuste korral.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l induktsiooni kasutamisest,<br />
s<strong>ee</strong>kord VÄÄRAST KASUTAMISEST!<br />
"Tõestus" kasutab <strong>ee</strong>ldust, et sirgeid on vähemalt 4. Me<br />
kontrollisime ainult juhte n = 1 ja n = 2. Juhul n = 3 on väide<br />
väär ja on väär ka kõigi järgnevate väärtuste korral.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Tüüpiline induktsiooni kasutamise näide<br />
Näidata, et<br />
n<br />
∑<br />
<br />
j<br />
=<br />
k<br />
<br />
n + 1<br />
k + 1<br />
j=k<br />
Baas. Kui n = k, siis k k+1 k = k+1 = 1<br />
Samm. Oletame, et väide kehtib n korral ning näitame, et siis kehtib s<strong>ee</strong> ka<br />
n + 1 korral:<br />
n+1<br />
<br />
j<br />
∑<br />
j=k k<br />
=<br />
=<br />
n <br />
j n + 1 n + 1 n + 1<br />
∑ + = + =<br />
j=k k k k + 1 k<br />
<br />
n + 2<br />
k + 1<br />
Viimane võrdus tuleneb binoomkordajate omadusest (teor<strong>ee</strong>m 1.8.2<br />
(b), Pascali kolmnurge element võrdub kahe vahetult tema kohal<br />
asetseva elemendi summaga.) m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Järgmine punkt<br />
1 Tähistusi<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
2 Kombinatoorsed objektid<br />
Järjendid<br />
Permutatsioonid<br />
Kombinatsioonid<br />
3 M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Liitmisr<strong>ee</strong>gel<br />
Korrutamisr<strong>ee</strong>gel<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod<br />
Dirichlet’ printsiip<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Liitmisr<strong>ee</strong>gel<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Olgu antud m paarikaupa lõikumatut hulka S1,S2,...,Sm, milles on<br />
vastavalt n1,n2,...,nm elementi. Ühe elemendi valimiseks kõigist<br />
neist hulkadest kokku on n1 + n2 + ... + nm võimalust.<br />
Liitmisr<strong>ee</strong>gli hulgateor<strong>ee</strong>tiline variant:<br />
Lõplike paarikaupa lõikumatute hulkade S1,S2,...,Sm korral<br />
|S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sm| = |S1| + |S2| + ··· + |Sm|.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Liitmisr<strong>ee</strong>gel<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Olgu antud m paarikaupa lõikumatut hulka S1,S2,...,Sm, milles on<br />
vastavalt n1,n2,...,nm elementi. Ühe elemendi valimiseks kõigist<br />
neist hulkadest kokku on n1 + n2 + ... + nm võimalust.<br />
Liitmisr<strong>ee</strong>gli hulgateor<strong>ee</strong>tiline variant:<br />
Lõplike paarikaupa lõikumatute hulkade S1,S2,...,Sm korral<br />
|S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sm| = |S1| + |S2| + ··· + |Sm|.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Liitmisr<strong>ee</strong>gli kasutamise näide ( alternatiivne tõestus<br />
Teor<strong>ee</strong>mile 1.8.2 (b))<br />
n<br />
k<br />
<br />
= 0, kui k < 0 või n < k ja kõigil ülejäänud juhtudel<br />
n−1<br />
+ + [n = k = 0]<br />
n n−1<br />
k = k−1<br />
k<br />
Tõestus. Olgu põhihulgaks n-hulk A. Igast elementi a ∈ A sisaldavast<br />
k-kombinatsioonist saame selle <strong>ee</strong>maldamisega (n − 1)-elemendilise<br />
põhihulga (k − 1)-kombinatsiooni. Iga elementi a mittesisaldav<br />
k-kombinatsioon on automaatselt ka (n − 1)-elemendilise põhihulga<br />
k-kombinatsioon.<br />
Kuna n<strong>ee</strong>d variandid on teineteist välistavad (ei ole võimalik, et<br />
mingi kombinatsioon kuulub mõlemasse alamhulka) ja katavad kõik<br />
võimalused (ei ole võimalik, et mingi kombinatsioon ei kuulu<br />
kumbagi alamhulka), siis saamegi liitmisr<strong>ee</strong>gli põhjal, et<br />
n<br />
n−1 n−1 k = k−1 + k . Tõestuse lõpule viimiseks tuleb sellele valemile<br />
lisada v<strong>ee</strong>l algtingimus 0 0 = 1 m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Korrutamisr<strong>ee</strong>gel<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Olgu antud m hulka S1,S2,...,Sm, milles on vastavalt<br />
n1,n2,...,nm elementi. Kort<strong>ee</strong>ži 〈s1,s2,...,sm〉 moodustamiseks,<br />
kus igast hulgast on võetud täpselt üks element (s.t. si ∈ Si iga<br />
i = 1,2,...,m korral), on kokku n1n2 ···nm võimalust.<br />
Korrutamisr<strong>ee</strong>gli hulgateor<strong>ee</strong>tiline variant:<br />
Lõplike hulkade S1,S2,...,Sm korral<br />
|S1 × S2 × ... × Sm| = |S1| · |S2| · ... · |Sm|.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Korrutamisr<strong>ee</strong>gel<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Olgu antud m hulka S1,S2,...,Sm, milles on vastavalt<br />
n1,n2,...,nm elementi. Kort<strong>ee</strong>ži 〈s1,s2,...,sm〉 moodustamiseks,<br />
kus igast hulgast on võetud täpselt üks element (s.t. si ∈ Si iga<br />
i = 1,2,...,m korral), on kokku n1n2 ···nm võimalust.<br />
Korrutamisr<strong>ee</strong>gli hulgateor<strong>ee</strong>tiline variant:<br />
Lõplike hulkade S1,S2,...,Sm korral<br />
|S1 × S2 × ... × Sm| = |S1| · |S2| · ... · |Sm|.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Kordumistega permutatsioonid<br />
Definitsioon<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n-permutatsioone, milles elementi ai esineb ni korda, i ∈ [k] ja<br />
n1 + n2 + ... + nk = n, nimetatakse kordumistega<br />
permutatsioonideks. Tähistame selliste kordustega<br />
<br />
.<br />
permutatsioonide arvu sümboliga n<br />
n1,...,nk<br />
Näide: tähestikus S = {A,B} moodustatud sõnad, milles on 3 A-d<br />
ja 2 B-d.<br />
Kokku on selliseid sõnu 10 tükki:<br />
AAABB ABABA<br />
AABAB BAABA<br />
ABAAB ABBAA<br />
BAAAB BABAA<br />
AABBA BBAAA<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Korrutamisr<strong>ee</strong>gli kasutamise näide<br />
"Raamatupidaja r<strong>ee</strong>gel":<br />
n1+...+nk<br />
n1,...,nk<br />
n<br />
= =<br />
n1,...,nk<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n!<br />
n1!·...·nk!<br />
Tõestus. Elementi a1 saab paiguta n positsioonile n <br />
viisil. Ülejäänud<br />
n1<br />
elementide paigutamiseks on jäänud vabaks n − n1 positsiooni.<br />
S<strong>ee</strong>ga a2 paigutamiseks on n−n1 võimalust ning s<strong>ee</strong>järel on alles<br />
n2<br />
n − n1 − n2 vaba positsiooni. ... Analoogiliselt jätkates ning<br />
arvestades korrutamisr<strong>ee</strong>glit, saame:<br />
<br />
n n n − n1 n − n1 − ··· − nk−2 nk<br />
= · ...<br />
· =<br />
n1,...,nk n1 n2<br />
nk−1<br />
nk<br />
n!<br />
=<br />
n1!(n − n1)! ·<br />
(n − n1)!<br />
n2!(n − n1 − n2)! · ... · (nk−1 + nk)!<br />
·<br />
nk−1!nk!<br />
nk!<br />
nk!0! =<br />
n!<br />
n1! · ... · nk! .<br />
Märkus. Eelmises tõestuses on punaselt esitatud liikmed saadud<br />
lihtsustamise tulemusena, mida võimaldab seos n1 + n2 + ... + nk = n.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika<br />
m.o.t.t.
Multinoomkordaja<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Sümbol n<br />
tähistab matemaatikas multinoomkordajat, st<br />
n1,...,nk<br />
multinoomi (x1 + ··· + xk) n arenduses (sulgude avamise tulemusena<br />
saadava) üksliikme (monoomi) x n1<br />
1<br />
Näide<br />
x n2<br />
2<br />
...x nk<br />
k kordaja.<br />
(a+b+c) 3 = a 3 +b 3 +c 3 +3a 2 b+3a 2 c +3b 2 a+3b 2 c +3c 2 a+3c 2 b+6abc<br />
Liikme a2c = a2b0c 1 kordaja on 3 3! 6<br />
2,0,1 = 2!0!1! = 2·1·1 = 3<br />
Liikme abc = a1b1c 1 kordaja on 3 3! 6<br />
1,1,1 = 1!1!1! = 1·1·1 = 6<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod (ingl inclusion-exclusion principle)<br />
Teor<strong>ee</strong>m<br />
Kahe lõpliku hulga puhul: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|<br />
Tõestus. Väide tuleneb võrrandist<br />
∑[x ∈ A] + [x ∈ B] − [x ∈ A ∪ B] − [x ∈ A ∩ B] = 0<br />
x<br />
S<strong>ee</strong> summa on null, kuna iga x korral on null ka<br />
funktsioon<br />
f (x) = [x ∈ A] + [x ∈ B] − [x ∈ A ∪ B] − [x ∈ A ∩ B]:<br />
[x ∈ A] [x ∈ B] [x ∈ A ∪ B] [x ∈ A ∩ B] f (x)<br />
0 0 0 0 0<br />
0 1 1 0 0<br />
1 0 1 0 0<br />
1 1 1 1 0<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Näide<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Rühma 100 üliõpilasest deklar<strong>ee</strong>ris 70 teor<strong>ee</strong>tilise füüsika kursuse ja<br />
65 diskr<strong>ee</strong>tse matemaatika. Mitu tudengit valis mõlemad<br />
õppeained?<br />
Valemi<br />
põhjal<br />
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|<br />
100 = 70 + 65 − x<br />
x = 35<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod enam kui kahe tunnuse korral<br />
Kolme tunnuse puhul:<br />
|A ∪ B ∪ C| =<br />
n > i tunnuse puhul:<br />
= |A| + |B|+|C| − |B ∩ C| − |C ∩ A| − |A ∩ B| + |A ∩ B ∩ C|<br />
|A1 ∪ ··· ∪ An| =<br />
= ∑ i<br />
Sama kompaktsemalt:<br />
|Ai|−∑ |Ai ∩ Aj| + ··· + (−1)<br />
i
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod enam kui kahe tunnuse korral<br />
Kolme tunnuse puhul:<br />
|A ∪ B ∪ C| =<br />
n > i tunnuse puhul:<br />
= |A| + |B|+|C| − |B ∩ C| − |C ∩ A| − |A ∩ B| + |A ∩ B ∩ C|<br />
|A1 ∪ ··· ∪ An| =<br />
= ∑ i<br />
Sama kompaktsemalt:<br />
|Ai|−∑ |Ai ∩ Aj| + ··· + (−1)<br />
i
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod enam kui kahe tunnuse korral<br />
Kolme tunnuse puhul:<br />
|A ∪ B ∪ C| =<br />
n > i tunnuse puhul:<br />
= |A| + |B|+|C| − |B ∩ C| − |C ∩ A| − |A ∩ B| + |A ∩ B ∩ C|<br />
|A1 ∪ ··· ∪ An| =<br />
= ∑ i<br />
Sama kompaktsemalt:<br />
|Ai|−∑ |Ai ∩ Aj| + ··· + (−1)<br />
i
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod sümm<strong>ee</strong>trilisel juhul<br />
Definitsioon<br />
Hulkade kogumit A1,...,An nimetame sümm<strong>ee</strong>triliseks, kui iga kahe<br />
võrdvõimsa indeksite hulga I ,J ⊆ [n] korral | <br />
i∈I Ai| = | <br />
j∈J Aj|.<br />
Tähistame ak := | <br />
i∈I Ai|.<br />
Olgu [n]<br />
n<br />
k hulga [n] k-elemendiliste alamhulkade hulk ning k<br />
Sellisel juhul<br />
∑ (−1)<br />
/0=I ⊆[n]<br />
|I |−1 | <br />
Ai | = ∑ ∑<br />
i∈I<br />
1kn<br />
I ∈( [n]<br />
(−1)<br />
k )<br />
|I |−1 | <br />
Ai | =<br />
i∈I<br />
= ∑<br />
∑<br />
1kn<br />
I ∈( [n]<br />
(−1)<br />
k )<br />
k−1 ak =<br />
= ∑ (−1)<br />
1kn<br />
k−1 ak ∑ 1 =<br />
[n]<br />
I ∈(<br />
= ∑<br />
1kn<br />
(−1) k−1 ak<br />
k )<br />
:= | [n]<br />
k<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika<br />
n<br />
k<br />
<br />
|.
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod sümm<strong>ee</strong>trilisel juhul (jätkub)<br />
Eelmise teisenduse põhjal kehtib järgmine<br />
Teor<strong>ee</strong>m L1<br />
Hulkade sümm<strong>ee</strong>trilise kogumi A1,...,An korral on<br />
elimin<strong>ee</strong>rimism<strong>ee</strong>tod kujul<br />
| <br />
<br />
n<br />
k<br />
i∈[n]<br />
Ai| = ∑ (−1)<br />
1kn<br />
k−1 ak<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Korratused (ingl. – derangements, v.k. – bespordki)<br />
Korratus (ka nihe, v.k. smewenie) on püsipunktideta<br />
permutatsioon, s. o. elementide ümberjärjestamise tulemus, mille<br />
korral ükski element ei jää oma senisele paigale:<br />
Definitsioon<br />
Korratuseks nimetame n-hulga A = {a1,a2,...,an} permutatsiooni<br />
π, mille jaoks π(i) = ai ühegi i ∈ [n] korral. Tähistame n-korratuste<br />
arvu sümboliga dn.<br />
Näiteks: Hulgas S3 on korratused {231,312}, s<strong>ee</strong>ga d3 = 2.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
n-korratuste arv (1)<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Moodustame hulga A = {a1,...,an} permutatsioonide hulga<br />
ΠA alamhulgad A1,...An (ühe püsipunktiga permutatsioonide<br />
hulgad), nii et iga i ∈ [n] korral:<br />
Ai = {π|π ∈ ΠA, π(i) = ai}.<br />
Iga k-alamhulga I ⊆ [n] korral avaldub nende alamhulkade<br />
ühisosa (permutatsioonid püsipunktidega hulgast I ) kujul<br />
<br />
Ai = {π|π ∈ ΠA, π(i) = ai, i ∈ I }<br />
i∈I<br />
Järelikult moodustavad hulgad Ai sümm<strong>ee</strong>trilise kogumi, sest<br />
| <br />
Ai| = (n − |I |)! = (n − k)!<br />
i∈I<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
n-korratuste arv (1)<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Moodustame hulga A = {a1,...,an} permutatsioonide hulga<br />
ΠA alamhulgad A1,...An (ühe püsipunktiga permutatsioonide<br />
hulgad), nii et iga i ∈ [n] korral:<br />
Ai = {π|π ∈ ΠA, π(i) = ai}.<br />
Iga k-alamhulga I ⊆ [n] korral avaldub nende alamhulkade<br />
ühisosa (permutatsioonid püsipunktidega hulgast I ) kujul<br />
<br />
Ai = {π|π ∈ ΠA, π(i) = ai, i ∈ I }<br />
i∈I<br />
Järelikult moodustavad hulgad Ai sümm<strong>ee</strong>trilise kogumi, sest<br />
| <br />
Ai| = (n − |I |)! = (n − k)!<br />
i∈I<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n-korratuste arv (1a): <strong>ee</strong>lmisel slaidil defin<strong>ee</strong>ritud hulkade näide<br />
Hulga S4 elemendid<br />
1234 1243 1423 4123<br />
1324 1342 1432 4132<br />
2134 2143 2413 4213<br />
2314 2341 2431 4231<br />
3124 3142 3412 4312<br />
3214 3241 3421 4321<br />
Ühisosad<br />
Alamhulgad Ai , i = 1,2,3,4<br />
A1 = {1234,1324,1243,1342,1423,1432}<br />
A2 = {1234,3214,1243,3241,4213,4231}<br />
A3 = {1234,2134,1432,2431,4132,4231}<br />
A4 = {1234,1324,2134,2314,3124,3214}<br />
A1 ∩ A2 ∩ A3 = A1 ∩ A2 ∩ A4 = A1 ∩ A3 ∩ A4 = A2 ∩ A3 ∩ A4 = {1234}<br />
A1 ∩ A2 = {1234,1243} A1 ∩ A4 = {1234,1324} A2 ∩ A4 = {1234,3214}<br />
A1 ∩ A3 = {1234,1432} A2 ∩ A3 = {1234,4231} A3 ∩ A4 = {1234,2134}<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
n-korratuste arv (2)<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Rakendades Teor<strong>ee</strong>mi L1 saame nende permutatsioonide arvu,<br />
kus vähemalt üks element säilitab oma positsiooni:<br />
| <br />
<br />
n<br />
=<br />
k<br />
i<br />
Ai| = ∑ (−1)<br />
1kn<br />
k−1 (n − k)!<br />
= ∑ (−1)<br />
1kn<br />
k−1 n!<br />
(n − k)!<br />
k!(n − k)! =<br />
(−1)<br />
= n! ∑<br />
1kn<br />
k−1<br />
k!<br />
Lahutades permutatsioonide arvust saadud summa saamegi, et<br />
Korratuste arv:<br />
(−1)<br />
dn = n! ∑<br />
0kn<br />
k<br />
k!<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
n-korratuste arv (2)<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Rakendades Teor<strong>ee</strong>mi L1 saame nende permutatsioonide arvu,<br />
kus vähemalt üks element säilitab oma positsiooni:<br />
| <br />
<br />
n<br />
=<br />
k<br />
i<br />
Ai| = ∑ (−1)<br />
1kn<br />
k−1 (n − k)!<br />
= ∑ (−1)<br />
1kn<br />
k−1 n!<br />
(n − k)!<br />
k!(n − k)! =<br />
(−1)<br />
= n! ∑<br />
1kn<br />
k−1<br />
k!<br />
Lahutades permutatsioonide arvust saadud summa saamegi, et<br />
Korratuste arv:<br />
(−1)<br />
dn = n! ∑<br />
0kn<br />
k<br />
k!<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n-korratuste arv (2a): korratused hulgal S4<br />
Näide: S4 \ (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4)<br />
2143 3142 4123<br />
2341 3412 4312<br />
2413 3421 2413<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
n-korratuste arv (3)<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Eelmise valemi põhjal:<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
dn = n!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1<br />
− + − ··· +<br />
2 6 24 (n − 1)!<br />
(−1)n<br />
+ )<br />
n!<br />
dn−1 = (n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1<br />
− + − ··· +<br />
2 6 24 (n − 1)! )<br />
viimasest saame arvuga n korrutades:<br />
ndn−1 = n(n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1<br />
− + − ··· +<br />
2 6 24 (n − 1)! )<br />
Arvestades, et n! = n(n − 1)! ning lahutades viimase võrrandi<br />
slaidi esimesest saame rekurrentse seose korratuste arvu<br />
leidmiseks:<br />
dn − ndn−1 = n! (−1)n<br />
= (−1)n<br />
n!<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
n-korratuste arv (3)<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Eelmise valemi põhjal:<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
dn = n!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1<br />
− + − ··· +<br />
2 6 24 (n − 1)!<br />
(−1)n<br />
+ )<br />
n!<br />
dn−1 = (n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1<br />
− + − ··· +<br />
2 6 24 (n − 1)! )<br />
viimasest saame arvuga n korrutades:<br />
ndn−1 = n(n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1<br />
− + − ··· +<br />
2 6 24 (n − 1)! )<br />
Arvestades, et n! = n(n − 1)! ning lahutades viimase võrrandi<br />
slaidi esimesest saame rekurrentse seose korratuste arvu<br />
leidmiseks:<br />
dn − ndn−1 = n! (−1)n<br />
= (−1)n<br />
n!<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
n-korratuste arv (3)<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Eelmise valemi põhjal:<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
dn = n!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1<br />
− + − ··· +<br />
2 6 24 (n − 1)!<br />
(−1)n<br />
+ )<br />
n!<br />
dn−1 = (n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1<br />
− + − ··· +<br />
2 6 24 (n − 1)! )<br />
viimasest saame arvuga n korrutades:<br />
ndn−1 = n(n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1<br />
− + − ··· +<br />
2 6 24 (n − 1)! )<br />
Arvestades, et n! = n(n − 1)! ning lahutades viimase võrrandi<br />
slaidi esimesest saame rekurrentse seose korratuste arvu<br />
leidmiseks:<br />
dn − ndn−1 = n! (−1)n<br />
= (−1)n<br />
n!<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Subfaktoriaalid<br />
Definitsioon<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n-korratuste arvu dn nimetatakse arvu n subfaktoriaaliks ning<br />
tähistatakse sümboliga !n<br />
Esimesi väärtusi:<br />
dn =!n<br />
!1 = 0 !7 = 1 854<br />
!2 = 1 !8 = 14 833<br />
!3 = 2 !9 = 133 496<br />
!4 = 9 10 = 1 334 961<br />
!5 = 44 !11 = 14 684 570<br />
!6 = 265 ...<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Subfaktoriaalid<br />
Definitsioon<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n-korratuste arvu dn nimetatakse arvu n subfaktoriaaliks ning<br />
tähistatakse sümboliga !n<br />
Esimesi väärtusi:<br />
dn =!n<br />
!1 = 0 !7 = 1 854<br />
!2 = 1 !8 = 14 833<br />
!3 = 2 !9 = 133 496<br />
!4 = 9 10 = 1 334 961<br />
!5 = 44 !11 = 14 684 570<br />
!6 = 265 ...<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Subfaktoriaalid<br />
Definitsioon<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n-korratuste arvu dn nimetatakse arvu n subfaktoriaaliks ning<br />
tähistatakse sümboliga !n<br />
Esimesi väärtusi:<br />
dn =!n<br />
!1 = 0 !7 = 1 854<br />
!2 = 1 !8 = 14 833<br />
!3 = 2 !9 = 133 496<br />
!4 = 9 10 = 1 334 961<br />
!5 = 44 !11 = 14 684 570<br />
!6 = 265 ...<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l üks valem subfaktoriaali arvutamiseks<br />
Kuna arvu e = 2,71828182846... pöördväärtus on arvutatav rea<br />
summana järgmiselt<br />
siis saame<br />
Kokkuvõttes<br />
1<br />
= lim<br />
e n→∞<br />
<br />
1<br />
1 + 1<br />
n<br />
!n = dn ≈ n! ∑ k0<br />
n = ∑ k0<br />
(−1) k<br />
k!<br />
(−1) k<br />
k!<br />
= n!<br />
e<br />
Iga n 1 võrdub arvu n subfaktoriaal lähima täisarvuga arvule n!/e<br />
ehk<br />
<br />
n!<br />
<br />
!n = + 0,5 = int(n!/e + 0,5)<br />
e<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Dirichlet’ printsiip<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Printsiip on tuntud mitmete nimetsute all:<br />
tuvipesaprintsiip (pigeon-hole principle)<br />
laekaprintsiip (drawer principle)<br />
Dirichlet’ sahtliprintsiip (Dirichlet’s box<br />
principle)<br />
Dirichlet’ printsiip<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Johann Dirichlet<br />
(1805–1859)<br />
Originaalis (1834) oli Schubfachprinzip – sahtliprintsiip, laekaprintsiip<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Dirichlet’ printsiip<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Kui n hulka sisaldavad kokku üle n<br />
elemendi, siis leidub nende seas vähemalt<br />
üks, milles on rohkem kui üks element.<br />
Ülesanne 1<br />
Kas Eestis leidub 2 inimest, kellel on peas<br />
täselt sama arv juuksekarvu?<br />
Ülesanne 2<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Ruudukujulist märklauda, mille külje pikkus on 70 cm, on tabanud<br />
50 lasku. Näidata, et vähemalt kaks tabamust on teineteisele<br />
lähemal kui 15 cm.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Dirichlet’ printsiip<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Kui n hulka sisaldavad kokku üle n<br />
elemendi, siis leidub nende seas vähemalt<br />
üks, milles on rohkem kui üks element.<br />
Ülesanne 1<br />
Kas Eestis leidub 2 inimest, kellel on peas<br />
täselt sama arv juuksekarvu?<br />
Ülesanne 2<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Ruudukujulist märklauda, mille külje pikkus on 70 cm, on tabanud<br />
50 lasku. Näidata, et vähemalt kaks tabamust on teineteisele<br />
lähemal kui 15 cm.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Dirichlet’ printsiip<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Kui n hulka sisaldavad kokku üle n<br />
elemendi, siis leidub nende seas vähemalt<br />
üks, milles on rohkem kui üks element.<br />
Ülesanne 1<br />
Kas Eestis leidub 2 inimest, kellel on peas<br />
täselt sama arv juuksekarvu?<br />
Ülesanne 2<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Ruudukujulist märklauda, mille külje pikkus on 70 cm, on tabanud<br />
50 lasku. Näidata, et vähemalt kaks tabamust on teineteisele<br />
lähemal kui 15 cm.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid<br />
Definitsioon<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Funktsiooni G nimetatakse jada 〈g0,g1,g2,...〉 gener<strong>ee</strong>rivaks<br />
funktsiooniks, kui<br />
Lihtsad näited<br />
G(x) = g0 + g1x + g2x 2 + g3x 3 + ··· =<br />
∞<br />
∑<br />
n=0<br />
〈0,0,0,0,...〉 ←→ 0 + 0x + 0x 2 + 0x 3 + ··· = 0<br />
gnx n<br />
〈1,0,0,0,...〉 ←→ 1 + 0x + 0x 2 + 0x 3 + ··· = 1<br />
〈2,3,1,0,...〉 ←→ 2 + 3x + 1x 2 + 0x 3 + ··· = 2 + 3x + 1x 2<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide näiteid (1)<br />
〈1,1,1,1,...〉 ←→ 1 + x + x 2 + x 3 + ··· = 1<br />
1−x<br />
S = 1 + x + x 2 + x 3 + ···<br />
xS = x + x 2 + x 3 + ···<br />
Lahutame esimese võrrandi teisest:<br />
(1 − x)S = 1 ehk S = 1<br />
1 − x<br />
NB! Võrdus kehtib vaid juhul kui −1 < x < 1.<br />
Õnneks meile piisab, kui leidub vähemalt üks x väärtus, mille korral<br />
rida koondub!<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide näiteid (1)<br />
〈1,1,1,1,...〉 ←→ 1 + x + x 2 + x 3 + ··· = 1<br />
1−x<br />
S = 1 + x + x 2 + x 3 + ···<br />
xS = x + x 2 + x 3 + ···<br />
Lahutame esimese võrrandi teisest:<br />
(1 − x)S = 1 ehk S = 1<br />
1 − x<br />
NB! Võrdus kehtib vaid juhul kui −1 < x < 1.<br />
Õnneks meile piisab, kui leidub vähemalt üks x väärtus, mille korral<br />
rida koondub!<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide näiteid (2)<br />
〈a,ab,ab 2 ,ab 3 ,...〉 ←→ a + abx + ab 2 x 2 + ab 3 x 3 + ··· = a<br />
1−bx<br />
Analoogiliselt <strong>ee</strong>lmisega:<br />
S = a + abx + ab 2 x 2 + ab 3 x 3 + ···<br />
bxS = abx + ab 2 x 2 + ab 3 x 3 + ···<br />
Lahutame esimese võrrandi teisest:<br />
(1 − bx)S = a ehk S = a<br />
1 − bx<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide näiteid (3)<br />
Valides <strong>ee</strong>lmises näites a = 0,5 ja b = 1, saame<br />
0,5 + 0,5x + 0,5x 2 + 0,5x 3 + ··· = 0,5<br />
1 − x<br />
Valides a = 0,5 ja b = −1, saame<br />
0,5 − 0,5x + 0,5x 2 − 0,5x 3 + ··· = 0,5<br />
1 + x<br />
Liites võrrandid (1) ja (2), saame gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni jadale<br />
〈1,0,1,0,1,0,...〉:<br />
1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 0,5 0,5<br />
+<br />
1 − x 1 + x =<br />
1<br />
1<br />
=<br />
(1 − x)(1 + x) 1 − x 2<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika<br />
(1)<br />
(2)
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide näiteid (3)<br />
Valides <strong>ee</strong>lmises näites a = 0,5 ja b = 1, saame<br />
0,5 + 0,5x + 0,5x 2 + 0,5x 3 + ··· = 0,5<br />
1 − x<br />
Valides a = 0,5 ja b = −1, saame<br />
0,5 − 0,5x + 0,5x 2 − 0,5x 3 + ··· = 0,5<br />
1 + x<br />
Liites võrrandid (1) ja (2), saame gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni jadale<br />
〈1,0,1,0,1,0,...〉:<br />
1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 0,5 0,5<br />
+<br />
1 − x 1 + x =<br />
1<br />
1<br />
=<br />
(1 − x)(1 + x) 1 − x 2<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika<br />
(1)<br />
(2)
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide näiteid (3)<br />
Valides <strong>ee</strong>lmises näites a = 0,5 ja b = 1, saame<br />
0,5 + 0,5x + 0,5x 2 + 0,5x 3 + ··· = 0,5<br />
1 − x<br />
Valides a = 0,5 ja b = −1, saame<br />
0,5 − 0,5x + 0,5x 2 − 0,5x 3 + ··· = 0,5<br />
1 + x<br />
Liites võrrandid (1) ja (2), saame gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni jadale<br />
〈1,0,1,0,1,0,...〉:<br />
1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 0,5 0,5<br />
+<br />
1 − x 1 + x =<br />
1<br />
1<br />
=<br />
(1 − x)(1 + x) 1 − x 2<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika<br />
(1)<br />
(2)
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine<br />
1. Skal<strong>ee</strong>rimisr<strong>ee</strong>gel<br />
Kui<br />
siis<br />
iga c ∈ R.<br />
Tõestus.<br />
〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x),<br />
〈cf0,cf1,cf2,...〉 ←→ c · F (x)<br />
〈cf0,cf1,cf2,...〉 ←→ cf0 + cf1x + cf2x 2 + ··· =<br />
= c(f0 + f1x + f2x 2 + ···) =<br />
= cF (x)<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (2)<br />
2. Liitmisr<strong>ee</strong>gel<br />
Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x) ja 〈g0,g1,g2,...〉 ←→ G(x),siis<br />
Tõestus.<br />
〈f0 + g0,f1 + g1,f2 + g2,...〉 ←→ F (x) + G(x).<br />
〈f0 + g0, f1 + g1, f2 + g2, ...〉 ←→<br />
=<br />
∞<br />
∑<br />
n=0<br />
<br />
∞<br />
∑ fnx<br />
n=0<br />
n<br />
<br />
∞<br />
+ ∑ gnx<br />
n=0<br />
n<br />
<br />
= F (x) + G(x)<br />
(fn + gn)x n =<br />
=<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (3)<br />
3. Nihker<strong>ee</strong>gel<br />
Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x), siis<br />
Tõestus.<br />
〈0,0,...,0 ,f0,f1,f2,...〉 ←→ x k · F (x).<br />
<br />
k nulli<br />
〈0,0,...,0,f0,f1,f2,...〉 ←→ f0x k + f1x k+1 + f2x k+2 + ... =<br />
= x k (f0 + f1x + f2x 2 + ···) =<br />
= x k · F (x)<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (4)<br />
4. Diferents<strong>ee</strong>rimisr<strong>ee</strong>gel<br />
Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x),siis<br />
Tõestus.<br />
〈f1,2f2,3f3,...〉 ←→ F ′ (x).<br />
〈f1,2f2,3f3,...〉 ←→ f1 + 2f2x + 3f3x 2 + ... =<br />
= d<br />
dx (f0 + f1x + f2x 2 + f3x 3 + ···) =<br />
= d<br />
F (x)<br />
dx<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (4)<br />
Näide<br />
〈1,1,1,1,...〉 ←→ 1<br />
1 − x<br />
〈1,2,3,4,...〉 ←→ d 1<br />
dx 1 − x =<br />
1<br />
(1 − x) 2<br />
1 x<br />
〈0,1,2,3,...〉 ←→ x · =<br />
(1 − x) 2 (1 − x) 2<br />
〈1,4,9,16,...〉 ←→ d x 1 + x<br />
=<br />
dx (1 − x) 2 (1 − x) 3<br />
1 + x x(1 + x)<br />
〈0,1,4,9,...〉 ←→ x · =<br />
(1 − x) 3 (1 − x) 3<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (5)<br />
5. Integr<strong>ee</strong>rimisr<strong>ee</strong>gel<br />
Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x),siis<br />
Tõestus.<br />
〈0,f0, 1 1 1<br />
f1, f2,<br />
2 3 4 f3,...〉 ←→<br />
x<br />
F (z)dz.<br />
0<br />
〈0,f0, 1 1 1<br />
f1, f2,<br />
2 3 4 f3,...〉 ←→ f0x + 1<br />
2 f1x 2 + 1<br />
3 f2x 3 + 1<br />
4 f3x 4 + ... =<br />
x<br />
= (f0 + f1z + f2z<br />
0<br />
2 + f3z 3 + ···)dz =<br />
x<br />
= F (z)dz<br />
0<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (5)<br />
5. Integr<strong>ee</strong>rimisr<strong>ee</strong>gel<br />
Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x),siis<br />
Näide<br />
〈0,f0, 1 1 1<br />
f1, f2,<br />
2 3 4 f3,...〉 ←→<br />
〈1,1,1,1...〉 ←→ 1<br />
1−x<br />
〈0,1, 1 1<br />
2 , 3 ,...〉 ←→ x<br />
0<br />
x<br />
F (z)dz.<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1−z dz = −ln(1 − x) = ln (1−x)<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (6)<br />
6. Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel (korrutis)<br />
Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x) and 〈g0,g1,g2,...〉 ←→ G(x), siis<br />
〈h0,h1,h2,...〉 ←→ F (x) · G(x),<br />
kus hn = f0gn + f1gn−1 + f2gn−2 + ··· + fng0.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (6)<br />
6. Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel (korrutis)<br />
Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x) and 〈g0,g1,g2,...〉 ←→ G(x), siis<br />
〈h0,h1,h2,...〉 ←→ F (x) · G(x),<br />
kus hn = f0gn + f1gn−1 + f2gn−2 + ··· + fng0.<br />
Tõestus.<br />
F (x) · G(x) = (f0 + f1x + f2x 2 + ...)(g0 + g1x + g2x 2 + ...)<br />
= f0g0 + (f0g1 + f1g0)x + (f0g2 + f1g1 + f2g0)x 2 + ...<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (6)<br />
6. Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel (korrutis)<br />
Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x) and 〈g0,g1,g2,...〉 ←→ G(x), siis<br />
〈h0,h1,h2,...〉 ←→ F (x) · G(x),<br />
kus hn = f0gn + f1gn−1 + f2gn−2 + ··· + fng0.<br />
Sama astendajaga tegurite korrutised asuvad järgmises tabelis kaasdiagonaalil:<br />
b0x 0 b1x 1 b2x 2 b3x 3 a0x<br />
...<br />
0 a0b0x 0 a0b1x 1 a0b2x 2 a0b3x 3 a1x<br />
...<br />
1 a1b0x 1 a1b1x 2 a1b2x 3 a2x<br />
...<br />
2 a2b0x 2 a2x 3 a3x<br />
...<br />
3 a3b0x 3 ...<br />
. ...<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide ja jadade teisendamine (6)<br />
6. Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel (korrutis)<br />
Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x) and 〈g0,g1,g2,...〉 ←→ G(x), siis<br />
〈h0,h1,h2,...〉 ←→ F (x) · G(x),<br />
kus hn = f0gn + f1gn−1 + f2gn−2 + ··· + fng0.<br />
Näide<br />
S<strong>ee</strong>ga<br />
〈1,1,1,1...〉 · 〈0,1, 1 1<br />
, ,...〉 =<br />
2 3<br />
= 〈1·0, 1·0 + 1·1, 1·0 + 1·1 + 1· 1<br />
2<br />
= 〈0, 1, 1 + 1<br />
2<br />
1 1<br />
, 1·0 + 1·1 + 1· + 1·<br />
2 3 ,···〉<br />
1 1<br />
, 1 + +<br />
2 3 ,···〉 = 〈0, H1, H2, H3,···〉<br />
∑ Hkx<br />
k0<br />
k =<br />
1<br />
(1 − x) ln<br />
1<br />
(1 − x) .<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid loendamiseks<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n-hulha alamhulki gener<strong>ee</strong>riv funktsioon An(x) = (1 + x) n<br />
Binoomi teor<strong>ee</strong>mist:<br />
<br />
n n n n<br />
<br />
, , ,..., ,0,0,0,... ←→<br />
0 1 2 n<br />
<br />
n n n<br />
←→ + x + x<br />
0 1 2<br />
2 <br />
n<br />
..., x<br />
n<br />
n = (1 + x) n<br />
S<strong>ee</strong> tähendab, et kordaja x k <strong>ee</strong>s näitab mitmel erineval viisil saab valida k<br />
erinevat elementi n-hulgast.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid loendamiseks<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n-hulha alamhulki gener<strong>ee</strong>riv funktsioon An(x) = (1 + x) n<br />
Binoomi teor<strong>ee</strong>mist:<br />
<br />
n n n n<br />
<br />
, , ,..., ,0,0,0,... ←→<br />
0 1 2 n<br />
<br />
n n n<br />
←→ + x + x<br />
0 1 2<br />
2 <br />
n<br />
..., x<br />
n<br />
n = (1 + x) n<br />
S<strong>ee</strong> tähendab, et kordaja x k <strong>ee</strong>s näitab mitmel erineval viisil saab valida k<br />
erinevat elementi n-hulgast.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Kahe hulga elementide loendamine<br />
Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kui Am(x) ja Bn(x) on vastavalt (üksteisest sõltumatute) hulkade A ja B alamhulki<br />
gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid, siis ühendi A ∪ B alamhulki gener<strong>ee</strong>riv funktsioon on<br />
konvolutsioon Am(x) · Bn(x).<br />
Näiteks: A = {a} ←→ A1(x) = 1 + x<br />
Hulgast A saab valida<br />
tühja alamhulga 1 viisil;<br />
üh<strong>ee</strong>lemendilise alamhulga 1 viisil;<br />
kah<strong>ee</strong>lemendilise alamhulga 0 viisil;<br />
jne.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Kahe hulga elementide loendamine<br />
Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kui Am(x) ja Bn(x) on vastavalt (üksteisest sõltumatute) hulkade A ja B alamhulki<br />
gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid, siis ühendi A ∪ B alamhulki gener<strong>ee</strong>riv funktsioon on<br />
konvolutsioon Am(x) · Bn(x).<br />
Näiteks: A = {a} ←→ A1(x) = 1 + x ja B = {b} ←→ B1(x) = 1 + x<br />
A ∪ B = {a,b} ←→ A1(x) · B1(x) = (1 + x)(1 + x) = (1 + x) 2 =<br />
Hulgast A ∪ B saab valida<br />
tühja alamhulga 1 viisil;<br />
üh<strong>ee</strong>lemendilise alamhulga 2 viisil;<br />
kah<strong>ee</strong>lemendilise alamhulga 1 viisil;<br />
kolm<strong>ee</strong>lemendilise alamhulga 0 viisil;<br />
jne.<br />
= 1 + 2x + x 2<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Kahe hulga elementide loendamine<br />
Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kui Am(x) ja Bn(x) on vastavalt (üksteisest sõltumatute) hulkade A ja B alamhulki<br />
gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid, siis ühendi A ∪ B alamhulki gener<strong>ee</strong>riv funktsioon on<br />
konvolutsioon Am(x) · Bn(x).<br />
Tõestus üldjuhul. Selleks, et valida n elementi hulgast A ∪ B, tuleb kõigepealt valida<br />
j elementi hulgast A ning n − j elementi hulgast B, kus j ∈ {0,1,2,...,n}.<br />
Summ<strong>ee</strong>rides üle kõigi võimalike j väärtuste, saame kõigi võimaluste arvu n elemendi<br />
valimiseks hulgast A ∪ B. Selle sum<strong>ee</strong>rimise tulemuseks on<br />
a0bn + a1bn−1 + a2bn−2 + ··· + anb0,<br />
Mis on parajasti x n kordaja funktsiooni A(x) · B(x) reaks arenduses. m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Chu-Vandermonde samasus<br />
n n n n <br />
N = 0 , 1 , 2 ,..., n ,0,0,0,... ←→ (1 + x) n ja<br />
s s s s <br />
S = 0 , 1 , 2 ,......, s ,0,0,0,... ←→ (1 + x) s<br />
Konvolutsiooon<br />
kus<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
H = N · S = 〈h0,h1,h2,...,hk,...〉 ←→ (1 + x) n+s ,<br />
k <br />
n s n s n s<br />
n s n s<br />
hk = +<br />
+<br />
+ ... + =<br />
0 k 1 k − 1 2 k − 2 k 0 ∑<br />
i=0 i k − i<br />
Gener<strong>ee</strong>rivate funktsioonide korrutis:<br />
(1 + x) n · (1 + x) s = (1 + x) n+s n+s <br />
n + s<br />
= ∑ x<br />
k=0 k<br />
k<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Chu-Vandermonde samasus<br />
n n n n <br />
N = 0 , 1 , 2 ,..., n ,0,0,0,... ←→ (1 + x) n ja<br />
s s s s <br />
S = 0 , 1 , 2 ,......, s ,0,0,0,... ←→ (1 + x) s<br />
Tulemus:<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
k <br />
n + s n s<br />
=<br />
k ∑<br />
i=0 i k − i<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Chu-Vandermonde samasus<br />
n n n n <br />
N = 0 , 1 , 2 ,..., n ,0,0,0,... ←→ (1 + x) n ja<br />
s s s s <br />
S = 0 , 1 , 2 ,......, s ,0,0,0,... ←→ (1 + x) s<br />
Näiteks:<br />
Tulemus:<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
k <br />
n + s n s<br />
=<br />
k ∑<br />
i=0 i k − i<br />
<br />
7 5 + 2 5 2 5 2 5 2 5 2<br />
= = + + + =<br />
3 3 0 3 1 2 2 1 3 0<br />
= 1 · 0 + 5 · 1 + 10 · 2 + 10 · 1 = 35<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kordustega valimi (kordustega kombinatsioonide)<br />
moodustamine<br />
Olgu antud hulk A = {a} ja moodustame selle hulga<br />
elementide koopiate hulga järgmisel viisil:<br />
1 Võtame hulgast A elemendi, t<strong>ee</strong>me sellest koopia ning<br />
paneme originaali tagasi ja koopia paigutame hulka C ,<br />
2 kordame <strong>ee</strong>lmist sammu vajaliku arvu kordi<br />
Gener<strong>ee</strong>riv funktsioon kordustega valimi (koopiate hulga) loendamiseks<br />
S<strong>ee</strong> funktsioon näitab, et ...<br />
A(x) = (1 − x) −1 == 1<br />
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + ··· .<br />
tühja valimit saab moodustada 1 viisil;<br />
üh<strong>ee</strong>lemendilist valimit saab moodustada 1 viisil;<br />
kah<strong>ee</strong>lemendilist valimit saab moodustada 1 viisil;<br />
jne.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kui valim moodustatakse mitme hulga baasil, kehtib sama konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel, mis<br />
alamhulkade moodustamise korral:<br />
Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel<br />
Kui A(x) ja B(x) on vastavalt (üksteisest sõltumatute) hulkade A ja B kordustega<br />
valimeid gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid, siis ühendi A ∪ B kordustega valimeid gener<strong>ee</strong>riv<br />
funktsioon on konvolutsioon A(x) · B(x).<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kui valim moodustatakse mitme hulga baasil, kehtib sama konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel, mis<br />
alamhulkade moodustamise korral:<br />
Konvolutsioonir<strong>ee</strong>gel<br />
Kui A(x) ja B(x) on vastavalt (üksteisest sõltumatute) hulkade A ja B kordustega<br />
valimeid gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid, siis ühendi A ∪ B kordustega valimeid gener<strong>ee</strong>riv<br />
funktsioon on konvolutsioon A(x) · B(x).<br />
Näiteks: A = {a} ←→ A(x) = (1 − x) −1 ja B = {b} ←→ A(x) = (1 − x) −1<br />
A ∪ B = {a,b} ←→ A(x) · A(x) = A 2 (x) = (1 − x) −2<br />
Kordaja funktsiooni A(x) · B(x) reaks arenduse liikme x k <strong>ee</strong>s näitab, mitmel viisil saab<br />
moodustada erinevaid valimeid, milles on k liiget.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kordustega valimite moodustamine piirangute korral<br />
Piirangud muudavad gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kuju<br />
Valitakse paarisarv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1<br />
1 − x 2<br />
Valitakse nullist suurem paarisarv kordi:<br />
A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x<br />
1 − x 2<br />
Valitakse viiekordne arv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1<br />
1 − x 5<br />
Valitakse lõplik arv kordi (maksimaalselt 4 korda):<br />
A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 =<br />
Valitakse lõplik arv kordi (0 või 1 korda):<br />
A(x) = 1 + x<br />
1 − x5<br />
1 − x<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kordustega valimite moodustamine piirangute korral<br />
Piirangud muudavad gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kuju<br />
Valitakse paarisarv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1<br />
1 − x 2<br />
Valitakse nullist suurem paarisarv kordi:<br />
A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x<br />
1 − x 2<br />
Valitakse viiekordne arv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1<br />
1 − x 5<br />
Valitakse lõplik arv kordi (maksimaalselt 4 korda):<br />
A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 =<br />
Valitakse lõplik arv kordi (0 või 1 korda):<br />
A(x) = 1 + x<br />
1 − x5<br />
1 − x<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kordustega valimite moodustamine piirangute korral<br />
Piirangud muudavad gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kuju<br />
Valitakse paarisarv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1<br />
1 − x 2<br />
Valitakse nullist suurem paarisarv kordi:<br />
A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x<br />
1 − x 2<br />
Valitakse viiekordne arv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1<br />
1 − x 5<br />
Valitakse lõplik arv kordi (maksimaalselt 4 korda):<br />
A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 =<br />
Valitakse lõplik arv kordi (0 või 1 korda):<br />
A(x) = 1 + x<br />
1 − x5<br />
1 − x<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kordustega valimite moodustamine piirangute korral<br />
Piirangud muudavad gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kuju<br />
Valitakse paarisarv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1<br />
1 − x 2<br />
Valitakse nullist suurem paarisarv kordi:<br />
A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x<br />
1 − x 2<br />
Valitakse viiekordne arv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1<br />
1 − x 5<br />
Valitakse lõplik arv kordi (maksimaalselt 4 korda):<br />
A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 =<br />
Valitakse lõplik arv kordi (0 või 1 korda):<br />
A(x) = 1 + x<br />
1 − x5<br />
1 − x<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Kordustega valimite moodustamine piirangute korral<br />
Piirangud muudavad gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kuju<br />
Valitakse paarisarv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1<br />
1 − x 2<br />
Valitakse nullist suurem paarisarv kordi:<br />
A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x<br />
1 − x 2<br />
Valitakse viiekordne arv kordi:<br />
A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1<br />
1 − x 5<br />
Valitakse lõplik arv kordi (maksimaalselt 4 korda):<br />
A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 =<br />
Valitakse lõplik arv kordi (0 või 1 korda):<br />
A(x) = 1 + x<br />
1 − x5<br />
1 − x<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Mitu naturaalarvulist lahendit on võrrandil x1 + x2 = n?<br />
Muutuja x1 väärtuseks võib olla iga naturaalarv, st selle muutja väärtuste hulga<br />
gener<strong>ee</strong>riv funktsioon on A(x) = 1 + x + x2 + x3 + ··· = 1<br />
1−x ;<br />
Sama mis üh<strong>ee</strong>lemendilisest hulgast korduv valik: nt arvule 7 vastab seitsmel<br />
korral elemendi võtmine hulgast A = {1} ning s<strong>ee</strong>järel kõigi võetud elementide<br />
kokkuliitmine.<br />
Sama muutuja x2 korral;<br />
Kõigi võimalike arvupaaride (x1,x2) loendamiseks sobib funktsioon<br />
H(x) = A(x) · A(x), mille liikme x n kordaja ongi otsitav lahendite arv:<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Mitu naturaalarvulist lahendit on võrrandil x1 + x2 = n?<br />
Muutuja x1 väärtuseks võib olla iga naturaalarv, st selle muutja väärtuste hulga<br />
gener<strong>ee</strong>riv funktsioon on A(x) = 1 + x + x2 + x3 + ··· = 1<br />
1−x ;<br />
Sama mis üh<strong>ee</strong>lemendilisest hulgast korduv valik: nt arvule 7 vastab seitsmel<br />
korral elemendi võtmine hulgast A = {1} ning s<strong>ee</strong>järel kõigi võetud elementide<br />
kokkuliitmine.<br />
Sama muutuja x2 korral;<br />
Kõigi võimalike arvupaaride (x1,x2) loendamiseks sobib funktsioon<br />
H(x) = A(x) · A(x), mille liikme x n kordaja ongi otsitav lahendite arv:<br />
H(x) = (1 + x + x 2 + x 3 + ···)(1 + x + x 2 + x 3 + ···) =<br />
= 1 · (1 + x + x 2 + x 3 + ···) + x(1 + x + x 2 + x 3 + ···) +<br />
+x 2 (1 + x + x 2 + x 3 + ···) + x 3 (1 + x + x 2 + x 3 + ···) + ··· =<br />
= 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ··· + (n + 1)x n 1<br />
+ ··· =<br />
(1 − x) 2<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Mitu naturaalarvulist lahendit on võrrandil x1 + x2 = n?<br />
Muutuja x1 väärtuseks võib olla iga naturaalarv, st selle muutja väärtuste hulga<br />
gener<strong>ee</strong>riv funktsioon on A(x) = 1 + x + x2 + x3 + ··· = 1<br />
1−x ;<br />
Sama mis üh<strong>ee</strong>lemendilisest hulgast korduv valik: nt arvule 7 vastab seitsmel<br />
korral elemendi võtmine hulgast A = {1} ning s<strong>ee</strong>järel kõigi võetud elementide<br />
kokkuliitmine.<br />
Sama muutuja x2 korral;<br />
Kõigi võimalike arvupaaride (x1,x2) loendamiseks sobib funktsioon<br />
H(x) = A(x) · A(x), mille liikme x n kordaja ongi otsitav lahendite arv:<br />
Tõepoolest, selle võrrandil ongi n + 1 lahendit:<br />
0 + n = n<br />
1 + (n − 1) = n<br />
2 + (n − 2) = n<br />
··· ···<br />
n + 0 = n<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Võrrand x1 + x2 + ··· + xk = n<br />
Teor<strong>ee</strong>m 3.4.2.<br />
n objekti saab paigutada k kasti n+k−1<br />
n<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
erineval viisil.<br />
Tõestus. Paigutuste arv on võrdne võrrandi x1 + x2 + ··· + xk = n lahendite<br />
arvuga, mille annab gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni<br />
G(x) = 1/(1 − x) k = (1 − x) −k elemendi x n kordaja.<br />
M<strong>ee</strong>nutuseks analüüsi kursusest: Maclaurini rida (Taylori rida punkti a = 0 ümbruses):<br />
.<br />
f (x) = f (0) + f ′ (0)x + f ′′ (0)<br />
2! x2 + f ′′′ (0)<br />
x<br />
3!<br />
3 + ··· + f (n) (0)<br />
x<br />
n!<br />
n + ···<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Võrrand x1 + x2 + ··· + xk = n<br />
Teor<strong>ee</strong>m 3.4.2.<br />
n objekti saab paigutada k kasti n+k−1<br />
n<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
erineval viisil.<br />
Tõestus. Paigutuste arv on võrdne võrrandi x1 + x2 + ··· + xk = n lahendite<br />
arvuga, mille annab gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni<br />
G(x) = 1/(1 − x) k = (1 − x) −k elemendi x n kordaja.<br />
M<strong>ee</strong>nutuseks analüüsi kursusest: Maclaurini rida (Taylori rida punkti a = 0 ümbruses):<br />
.<br />
f (x) = f (0) + f ′ (0)x + f ′′ (0)<br />
2! x2 + f ′′′ (0)<br />
x<br />
3!<br />
3 + ··· + f (n) (0)<br />
x<br />
n!<br />
n + ···<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Võrrand x1 + x2 + ··· + xk = n (2)<br />
Tõestus jätkub ...<br />
Leiame G(x) = (1 − x) −k tuletised:<br />
G ′ (x) = k(1 − x) −(k+1)<br />
G ′′ (x) = k(k + 1)(1 − x) −(k+2)<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
G ′′′ (x) = k(k + 1)(k + 2)(1 − x) −(k+3)<br />
G (n) (x) = k(k + 1)···(k + n − 1)(1 − x) −(k+n)<br />
Gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni elemendi x n kordaja on siis:<br />
G (n) (0)<br />
n!<br />
= k(k + 1)···(k + n − 1)<br />
= (k + n − 1)!<br />
=<br />
=<br />
n!<br />
(k − 1)!n! =<br />
<br />
n + k − 1<br />
n<br />
m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
n objekti paigutamine k kasti, igas kastis vähemalt üks<br />
objekt.<br />
Teor<strong>ee</strong>m<br />
Võrrandi x1 + x2 + ··· + xk <br />
= n positiivsete naturaalarvuliste<br />
.<br />
lahendite arv on n−1<br />
k−1<br />
Tõestuse id<strong>ee</strong>. Ühte kasti paigutavate objektide võimalikku arvu<br />
(xi > 0) esitab gener<strong>ee</strong>riv funktsioon<br />
C(x) = x + x 2 + x 3 + ··· = x(1 + x + x 2 + ···) = x<br />
1 − x<br />
Analoogiliselt <strong>ee</strong>lmise teor<strong>ee</strong>miga esitab otsitavat suurust gener<strong>ee</strong>riva<br />
funktsiooni<br />
H(X ) = C k (x) =<br />
k x<br />
(1 − x) k<br />
elemendi x n kordaja. m.o.t.t.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Näide: 100 eurot<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Mitmel viisil saab 100 eurot vahetada väiksemateks pangatähtedeks?<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid 5-, 10-, 20- or 50-euroste pangatähtede valikuks:<br />
Gener<strong>ee</strong>riv funktsioon ülesandele<br />
A(x) = x 0 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1<br />
1 − x5 B(x) = x 0 + x 10 + x 20 + x 30 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x10 C(x) = x 0 + x 20 + x 40 + x 60 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x20 D(x) = x 0 + x 50 + x 100 + x 150 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x50 P(x) = A(x)B(x)C(x)D(x) =<br />
1<br />
(1 − x 5 )(1 − x 10 )(1 − x 20 )(1 − x 50 )<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Näide: 100 eurot<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Mitmel viisil saab 100 eurot vahetada väiksemateks pangatähtedeks?<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid 5-, 10-, 20- or 50-euroste pangatähtede valikuks:<br />
Gener<strong>ee</strong>riv funktsioon ülesandele<br />
A(x) = x 0 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1<br />
1 − x5 B(x) = x 0 + x 10 + x 20 + x 30 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x10 C(x) = x 0 + x 20 + x 40 + x 60 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x20 D(x) = x 0 + x 50 + x 100 + x 150 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x50 P(x) = A(x)B(x)C(x)D(x) =<br />
1<br />
(1 − x 5 )(1 − x 10 )(1 − x 20 )(1 − x 50 )<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Näide: 100 eurot<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
Mitmel viisil saab 100 eurot vahetada väiksemateks pangatähtedeks?<br />
Gener<strong>ee</strong>rivad funktsioonid 5-, 10-, 20- or 50-euroste pangatähtede valikuks:<br />
Gener<strong>ee</strong>riv funktsioon ülesandele<br />
A(x) = x 0 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1<br />
1 − x5 B(x) = x 0 + x 10 + x 20 + x 30 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x10 C(x) = x 0 + x 20 + x 40 + x 60 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x20 D(x) = x 0 + x 50 + x 100 + x 150 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x50 P(x) = A(x)B(x)C(x)D(x) =<br />
1<br />
(1 − x 5 )(1 − x 10 )(1 − x 20 )(1 − x 50 )<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Näide: 100 eurot (2)<br />
1. Tähelepanek:<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
(1 − x 5 )(1 + x 5 + ··· + x 45 + 2x 50 + 2x 55 + ··· + 2x 95 + 3x 100 + 3x 105 + ··· + 3x 145 + 4x 150 + ···) =<br />
S<strong>ee</strong>ga:<br />
1 + x 5 + ··· + x 45 + 2x 50 + 2x 55 + ··· + 2x 95 + 3x 100 + 3x 105 + ··· + 3x 145 + 4x 150 ··· −<br />
− x 5 − ··· − x 45 − x 50 − 2x 55 − ··· − 2x 95 − 2x 100 − 3x 105 − ··· − 3x 145 − 3x 150 − 4x 155 − ··· =<br />
= 1 + x 50 + x 100 + x 150 + x 200 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x50 F (x) = A(x)D(x) =<br />
1<br />
(1 − x5 )(1 − x50 ) = <br />
k<br />
∑ + 1 x<br />
k0 10<br />
5k = ∑ fkx<br />
k0<br />
5k<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Näide: 100 eurot (2)<br />
1. Tähelepanek:<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
(1 − x 5 )(1 + x 5 + ··· + x 45 + 2x 50 + 2x 55 + ··· + 2x 95 + 3x 100 + 3x 105 + ··· + 3x 145 + 4x 150 + ···) =<br />
S<strong>ee</strong>ga:<br />
1 + x 5 + ··· + x 45 + 2x 50 + 2x 55 + ··· + 2x 95 + 3x 100 + 3x 105 + ··· + 3x 145 + 4x 150 ··· −<br />
− x 5 − ··· − x 45 − x 50 − 2x 55 − ··· − 2x 95 − 2x 100 − 3x 105 − ··· − 3x 145 − 3x 150 − 4x 155 − ··· =<br />
= 1 + x 50 + x 100 + x 150 + x 200 1<br />
+ ··· =<br />
1 − x50 F (x) = A(x)D(x) =<br />
2. Analoogiliselt:<br />
G(x) = B(x)C(x) =<br />
1<br />
(1 − x5 )(1 − x50 ) = <br />
k<br />
∑ + 1 x<br />
k0 10<br />
5k = ∑ fkx<br />
k0<br />
5k<br />
1<br />
(1 − x10 )(1 − x20 ) = <br />
k<br />
∑ + 1 x<br />
k0 2<br />
10k = ∑ gkx<br />
k0<br />
10k<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Näide: 100 eurot (3)<br />
Konvolutsioon:<br />
Astme x 100 kordaja:<br />
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
P(x) = F (x)G(x) = ∑ cnx<br />
k0<br />
5n<br />
c20 = f0g10 + f2g9 + f4g8 + ··· + f20g0<br />
10<br />
= ∑ f2kg10−k<br />
k=0<br />
10 <br />
2k 10 − k<br />
= ∑ + 1<br />
+ 1<br />
k=0 10<br />
2<br />
10 <br />
k + 5 12 − k<br />
= ∑<br />
k=0 5 2<br />
= 1(6 + 5 + 5 + 4 + 4) + 2(3 + 3 + 2 + 2 + 1) + 3 · 1 =<br />
= 24 + 22 + 3 = 49<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l üks näide gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kasutamisest (1)<br />
Mitmel viisil saab jaotada 8 kompvekki 3 lapse vahel, nii et ükski<br />
laps ei saaks vähem kui 2 ega rohkem kui 4 kompvekki?<br />
Vaja on leida võrrandi x1 + x2 + x3 = 8 lahendite arv tingimusel, et<br />
xi ∈ {2,3,4} iga i = 1,2,3 korral. Järelikult on tarvis leida x 8 kordaja<br />
avaldises<br />
(x 2 + x 3 + x 4 ) 3 = x 6 + 3x 7 + 6x 8 + 7x 9 + 6x 10 + 3x 11 + x 12<br />
S<strong>ee</strong>ga on vastus, et kompvekke saab jaotada 6 erineval viisil.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l üks näide gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kasutamisest (1) – jätk<br />
x 8 kordaja leidmine avaldist (x 2 + x 3 + x 4 ) 3 avamata.<br />
Multinoomi valemist (a + b + c) n = ∑k,l,m<br />
n <br />
k,l,m ak bl cm , kus k + l + m = n.<br />
Võttes n = 3, a = x 2 , b = x 3 ja c = x 4 , saame selle ümber kirjutada kui<br />
(x 2 + x 3 + x 4 ) 3 <br />
3<br />
= ∑<br />
x<br />
k+l+m=3 k,l,m<br />
2k+3l+4m .<br />
x 8 kordaja (e 8 kompveki jaotamise võimaluste arv) on siis<br />
<br />
3<br />
3<br />
C8 = ∑<br />
= 2 =<br />
k+l+m=3 k,l,m 0,1,2<br />
2k+3l+4m=8<br />
2 · 3!<br />
= 3! = 6.<br />
0! · 1! · 2!<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l üks näide gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kasutamisest (2)<br />
Urnis on punaseid, siniseid ja musti palle, iga värvi vähemalt 10<br />
tükki. Mitmel viisil saab valida urnust 10 palli, nii et punaseid oleks<br />
paarisarv, siniseid paaritu arv ning musti vähemalt 5 tükki?<br />
Vaja on leida võrrandi x1 + x2 + x3 = 10 lahendite arv tingimustel, et<br />
x1 on paarisarv, gen. funktsion A(x) = 1 + x 2 + x 4 + ··· = 1<br />
1−x 2<br />
x2 on paaritu arv, gen. funktsion B(x) = x + x 3 + x 5 + ··· = x<br />
1−x 2<br />
x3 > 4, gen. funktsion C(x) = x 5 + x 6 + x 7 + ··· = x5<br />
1−x<br />
Järelikult on tarvis leida x 10 kordaja avaldises A(x)B(x)C(x). Sulgude<br />
avamisega saab näidata, et s<strong>ee</strong> arv on 6.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l üks näide gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kasutamisest (3)<br />
Mitmel viisil saab vaagnat täita puuviljadega, nii et õunu oleks paarisarv, banaanide<br />
arv oleks 5 kordne, apelsine oleks kuni neli ja pirne kuni üks<br />
Näiteks, kui vaagnal oleks kokku 6 puuvilja, oleks sellised 7 valikuvõimalust:<br />
Õunad 6 4 4 2 2 0 0<br />
Banaanid 0 0 0 0 0 5 5<br />
Apelsinid 0 2 1 4 3 1 0<br />
Prinid 0 0 1 0 1 0 1<br />
Õunte, banaanide, apelsinide ja pirnide valimiseks sobiksid vastavalt gener<strong>ee</strong>rivad<br />
funktsioonid:<br />
A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1<br />
1 − x 2<br />
B(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1<br />
1 − x 5<br />
O(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 =<br />
P(x) = 1 + x<br />
1 − x5<br />
1 − x<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika
Tähistusi<br />
Kombinatoorsed objektid<br />
M<strong>ee</strong>todid ja arvutusvõtted<br />
Induktsioon<br />
Ülesannete lahendamise m<strong>ee</strong>todeid<br />
V<strong>ee</strong>l üks näide gener<strong>ee</strong>riva funktsiooni kasutamisest (4)<br />
Ülesande lahendus jätkub ...<br />
Vastavalt konvolutsioonir<strong>ee</strong>glile esitab vaagna täitmise võimalusi<br />
gener<strong>ee</strong>riv funktsioon:<br />
A(x)B(x)O(x)P(x) =<br />
=<br />
1<br />
·<br />
1 − x 2<br />
1<br />
=<br />
(1 − x) 2<br />
5 1 1 − x<br />
· · (1 + x) =<br />
1 − x 5 1 − x<br />
= 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ...<br />
S<strong>ee</strong>ga vastus: n puuvilja saab antud tingimustel valida n + 1 viisil.<br />
Jaan Penjam, email: jaan@cs.<strong>ioc</strong>.<strong>ee</strong> Diskr<strong>ee</strong>tne Matemaatika II: Kombinatoorika