KOMBINATOORIKA - Cs.ioc.ee

Tähistusi 

Kombinatoorsed objektid 

Meetodid ja arvutusvõtted 

KOMBINATOORIKA 

Teema 3 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika

Loengu kava 

1 Tähistusi 

Tähistusi 



2 Kombinatoorsed objektid 

Järjendid 

Permutatsioonid 

Kombinatsioonid 

3 Meetodid ja arvutusvõtted 

Induktsioon 

Ülesannete lahendamise meetodeid 

Liitmisreegel 

Korrutamisreegel 

Elimineerimismeetod 

Dirichlet’ printsiip 

Genereerivad funktsioonid 


Mõned tähistused 

Tähistusi 



Lõplik naturaalarvude hulk 

[n] tähistagu naturaalarvude alamhulka {1,...,n} 

n-hulk ja k-alamhulk 

Nimetame n-hulgaks hulka, mille elementide arv on n. Alamhulka 

B ⊆ A nimetame hulga A k-alamhulgaks, kui |B| = k 

Iversoni sulud 

(tulnud matemaatikasse programmeerimiskeelst APL) 

 

1, kui predikaat P on tõene; 

[P] := 

0, kui predikaat P on väär. 

Kenneth E. Iverson 

(1920–2004) 


Mõned tähistused 

Tähistusi 



Lõplik naturaalarvude hulk 

[n] tähistagu naturaalarvude alamhulka {1,...,n} 

n-hulk ja k-alamhulk 

Nimetame n-hulgaks hulka, mille elementide arv on n. Alamhulka 

B ⊆ A nimetame hulga A k-alamhulgaks, kui |B| = k 

Iversoni sulud 

(tulnud matemaatikasse programmeerimiskeelst APL) 

 

1, kui predikaat P on tõene; 

[P] := 

0, kui predikaat P on väär. 

Kenneth E. Iverson 

(1920–2004) 


Tähistusi 



Näide: lõpliku hulga võimsus 

Olgu U universaalne hulk siis lõpliku hulga X võimsus on arvutatav 

elementide loendamise teel: 

|X | = ∑ 1 = 

x∈X 

= ∑ [x ∈ X ] = 

x∈U 

= ∑[x ∈ X ] 

x 


Järgmine punkt 

1 Tähistusi 

Tähistusi 




Järjendid 




Induktsioon 







Järjendid 




Järjend 

Definitsioon 

Tähistusi 



Järjendid 



n-hulga elementidest moodustatud järjestatud k-kohalist loendit 

nimetatakse järjendiks (ka k-järjendiks). Kaht järjendit loetakse 

võrdseks, kui nende pikkused ja vastavatel positsioonidel olevad 

elemendid on samad. 

Järjendit nimetatakse eesti k. ka ennikuks või korteežiks (ingl. k.tuple). 

Hulga A elementidest moodustatud järjendit nimetatakse ka stringiks 

tähestikus A. 


Järjendite arv 

Teoreem 1.5.1 

Tähistusi 



n-hulga k-järjendite arv on n k 

Järjendid 



Tõestus. Järjendi esimese liikme valikuks on n erinevat 

võimalust, teise elemendi valikuks on n võimalust jne. 

Seega on k-järjendit võimalik koostada kokku 

n · n · ... · n = n k erineval viisil. 

Näiteks kahekohalisi järjendeid hulgast [3] on 9 tükki: 

11,12,13,21,22,23,31,32,33 


Järjendite arv (2) 


Tähistusi 



Järjendid 



Kui järjendi moodustamisel valitakse selle esimene liige k1 erineva 

elemendi hulgast, teine element k2 erineva elemendi hulgast jne 

ning n-is liige kn erineva elemendi hulgast, siis on võimalike 

järjendite arv k1 · k2 · ... · kn. 



1 Tähistusi 

Tähistusi 




Järjendid 




Induktsioon 







Järjendid 





Tähistusi 



Järjendid 



Lõpliku hulga elementide ümberjärjestamist nimetatakse 

permuteerimiseks ning selle tulemusena saadavaid järjendeid 

permutatsioonideks. 

Definitsioon 

n-hulga A = {a1,...an} permutatsiooniks (vahel ka 

n-permutatsiooniks) nimetatakse üks-ühest kujutust π : [n] → A. 

Põhihulga A kõigi permutatsioonide hulka tähistame sümboliga ΠA 

ning permutatsioonide arvu sümboliga Pn = |ΠA|. Hulga [n] 

permutatsioonide hulka tähistatakse sümboliga Sn, st 

Sn = {π(1)...π(n)|π ∈ Π [n]}. 

Näiteks: S3 = {123,132,213,231,312,321}. 


Permutatsioonide arv 

Tähistusi 



Järjendid 



Kuna permutatsioonis esineb hulga iga element täpselt ühel korral, 

siis n-permutatsiooni esimest elementi saab valida n erineval viisil, 

teist elementi n − 1 erineval viisil jne. Seega on n-hulga A kõigi 

permutatsioonide arv Pn = n · (n − 1)···1 = n!. Seega kehtib 


n objekti permutatsioonide arv on n!. 


Tähistusi 



Järjestatud alamhulgad 

Definitsioon 

Järjendid 



n-hulga A k-permutatsiooniks nimetatakse hulga A mistahes 

k-alamhulga täielikku lineaarset järjestust a1 ···ak, kus 

a1 ∈ A,··· ,ak ∈ A. 

Näiteks 

Hulga [3] kõik 2-permutatsioonid on 12,13,21,23,31,32 ning 

1-permutatsioonid 1,2,3. 

Variatsioonid 

k-permutatsioone nimetatakse kirjanduses ka variatsioonideks (v.k - 

razmeweni); variatsioonide arvu tähistusi: V k n , A k n 


Tähistusi 



Järjestatud alamhulgad 

Definitsioon 

Järjendid 



n-hulga A k-permutatsiooniks nimetatakse hulga A mistahes 

k-alamhulga täielikku lineaarset järjestust a1 ···ak, kus 

a1 ∈ A,··· ,ak ∈ A. 

Näiteks 

Hulga [3] kõik 2-permutatsioonid on 12,13,21,23,31,32 ning 

1-permutatsioonid 1,2,3. 

Variatsioonid 

k-permutatsioone nimetatakse kirjanduses ka variatsioonideks (v.k - 

razmeweni); variatsioonide arvu tähistusi: V k n , A k n 


Tähistusi 



k-permutatsioonide arv 


n-hulga k-permutatsioonide arv on 

Järjendid 



n! 

= n(n − 1)···(n − k + 1) 

(n − k)! 

Tõestus. Analoogiliselt Teoreemiga 1.6.1, esimese liikme 

valikuks on n erinevat võimalust, teise elemendi 

valikuks on n − 1 võimalust jne. kuni k-nda liikme 

valikuks n − k + 1 võimalust. m.o.t.t. 



1 Tähistusi 

Tähistusi 




Järjendid 




Induktsioon 







Järjendid 





Tähistusi 



Järjendid 



Käesolevas kursuses nimetame kombinatsiooniks (või ka 

k-kombinatsiooniks) hulga A iga k-alamhulka. Tähistame 

k-kombinatsioonide hulka sümboliga A 

k ning kõigi selliste 

, kus n = |A|. 

kombinatsioonide arvu sümboliga n 

k 

Näiteks 

Hulga [3] kõik 2-kombinatsioonid moodustavad hulga [3] 

2 

Kombinatsioonid loetakse võrdseteks, kui neisse kuuluvad samad 

elemendid sõltumata järjekorrast. 

Näiteks 

2-kombinatsioonid 12 = 21, kuid 13 = 23 = 123. 

= {12,13,23}. 



Tähistusi 



Järjendid 



Käesolevas kursuses nimetame kombinatsiooniks (või ka 

k-kombinatsiooniks) hulga A iga k-alamhulka. Tähistame 

k-kombinatsioonide hulka sümboliga A 

k ning kõigi selliste 

, kus n = |A|. 

kombinatsioonide arvu sümboliga n 

k 

Näiteks 

Hulga [3] kõik 2-kombinatsioonid moodustavad hulga [3] 

2 

Kombinatsioonid loetakse võrdseteks, kui neisse kuuluvad samad 

elemendid sõltumata järjekorrast. 

Näiteks 

2-kombinatsioonid 12 = 21, kuid 13 = 23 = 123. 

= {12,13,23}. 


Tähistusi 



Kombinatsioonide arv 


Järjendid 



 

n n! 

= 

k k!(n − k)! 

Tõestus. n-hulga k-kombinatsiooni võib vaadelda 

k-permutatsioonina, kuid pidades silmas, et samadest 

elementidest koosnevad kombinatsioonid on võrsed, 

elementide järjestusest sõltumata. Seega on 

k-kombinatsioone k! korda vähem kui 

k-permutatsioone, sest nii paljudel erinevatel viisidel 

saab k-hulga elemente ümber paigutada e. 

permuteerida. m.o.t.t. 


Binoomkordajad 

Tähistusi 



Järjendid 



Kombinatsioonide arvu tähistavat sümbolit n 

k nimetatakse 

binoomkordajaks. 

Binoomkordaja tähisena kasutatakse kirjanduses ka sümboleid 

C n k ,C(n,k), nCk, n Ck. 


Binoomi teoreem 


Tähistusi 



Iga täisarvu n 0 korral 

(a + b) n = 

n 

∑ 

k=0 

Järjendid 



 

n 

a 

k 

k b n−k 

Tõestus. Avades binoomis (a + b) n = (a + b)(a + b)···(a + b) sulud 

saame tulemuseks üksliikmete Cka k b n−k summa. Iga 

üksliikme moodustamiseks tuleb igast tegurist (a + b) 

valida kas a või b ning selliseid üksliikmeid tekib parajasti 

nii palju kui mitmel juhul on valitud a. Seega on kordaja 

Ck väärtuseks k-alamhulkade arv n-hulgas. m.o.t.t. 


Tähistusi 



Binoomkordajate omadusi 

1 ∑ n k=0 k 

2 ∑ n k=0 (−1)k n 

k 

Järjendid 



n 

= 2n (n-hulga alamhulkade arv); 

 

= 0 (paaris- ja paaritu võimsusega alamhulkade 

arvud on võrdsed). 

Tõestus. Valime binoomi teoreemis a = b = 1: 

n 

n n 

= 

k ∑ k 

∑ 

k=0 

n 

∑ 

k=0 

k=0 

 

1 k 1 n−k = (1 + 1) n = 2 n 

Valime binoomi teoreemis a = −1 ja b = 1: 

n 

(−1) k 

n 

n n 

= 

k ∑ k 

k=0 

 

(−1) k 1 n−k = (−1 + 1) n = 0 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Järjendid 



Veel binoomkordajate omadusi (Teoreem 1.8.2 (a)) 

3 

n n 

k = n−k ; 

Tõestus. Seos on lihtne järeldus Teoreemist 1.8.1 : 

n 

k 

 

= 

n! 

k!(n − k)! = 

n 

n − k 

 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Järjendid 



Veel binoomkordajate omadusi (Teoreem 1.8.2 (b)) 

4 kui n,k > 0, siis n−1 

k−1 

Paneme tähele, et 

+ n−1 

k 

= n 

k 

. 

1 1 k + n − k 

+ = 

n − k k k(n − k) = 

n 

k(n − k) . 

Korrutades seda võrrandit avaldisega (n − 1)! ja jagades avaldisega 

(k − 1)!(n − k − 1)! saame 

(n − 1)! 

(k − 1)!(n − k)(n − k − 1)! + 

(n − 1)! 

k(k − 1)!(n − k − 1)! = 

n(n − 1)! 

k(k − 1)!(n − k)(n − k − 1)! 

Sellest saab lihtsustamise tulemusl valemi, mis on samaväärne tõestatava 

soesega : 

(n − 1)! 

(k − 1)!(n − k)! + 

(n − 1)! 

k!(n − k − 1)! = 

n! 

k!(n − k)! 

m.o.t.t. 


Pascali kolmnurk 

Tähistusi 



Järjendid 



n 

0 

n 

0 

1 

n 

1 

n 

2 

n 

3 

n 

4 

n 

5 

n 

6 

1 1 1 

2 1 2 1 

3 1 3 3 1 

4 1 4 6 4 1 

5 1 5 10 10 5 1 

6 1 6 15 20 15 6 1 

Blaise Pascal 

(1623–1662) 



Tähistusi 



1 

1 1 

1 2 1 

1 3 3 1 

1 4 6 4 1 

1 5 10 10 

1 6 15 20 15 

Järjendid 



5 1 

6 1 Blaise Pascal 

(1623–1662) 

Pascali kolmnurk sümmeetriline vertikaaltelje suhtes. 

Pascali kolmnurgas võrdub iga arv kahe tema kohal asuva kahe arvu 

summaga. 



Tähistusi 



1 

1 1 

1 2 1 

1 3 3 1 

1 4 6 4 1 

1 5 10 10 

1 6 15 20 15 

Järjendid 



5 1 

6 1 Blaise Pascal 

(1623–1662) 

Pascali kolmnurk sümmeetriline vertikaaltelje suhtes. 

Pascali kolmnurgas võrdub iga arv kahe tema kohal asuva kahe arvu 

summaga. 



1 Tähistusi 

Tähistusi 




Järjendid 




Induktsioon 







Induktsioon 



Induktsioon 

Tähistusi 



Induktsioon 


Tähistagu A(z) fakti, et naturaalarvulist parameetrit sisaldav väide 

A kehtib vähemalt selle parameetri väärtuse z ∈ N korral 

Matemaatilise induktsiooni reegel: 

A(0) ∀x(A(x) ⇒ A(x + 1)) 

∀xA(x) 

. . . ja üldisemal kujul e tugev induktsiooni reegel: 

∀z(∀y(y < z ⇒ (A(y) ⇒ A(z))) 

∀xA(x) 


Induktsioon 

Tähistusi 



Induktsioon 


Tähistagu A(z) fakti, et naturaalarvulist parameetrit sisaldav väide 

A kehtib vähemalt selle parameetri väärtuse z ∈ N korral 

Matemaatilise induktsiooni reegel: 

A(0) ∀x(A(x) ⇒ A(x + 1)) 

∀xA(x) 

. . . ja üldisemal kujul e tugev induktsiooni reegel: 

∀z(∀y(y < z ⇒ (A(y) ⇒ A(z))) 

∀xA(x) 


Tähistusi 



Induktsiooni kasutamise näide (1) 

Induktsioon 


Koosnegu šokolaaditahvel m × n ruudust. Tõestada, et tahvlit 

mööda jooni murdmise teel tükeldades tuleb teha mn − 1 murdmist 

Baas Kui tahvli mõõtmed on 1 × 1, saab teha 0 murdmist. 

Samm Eeldame, et väide kehtib iga tahvli korral, millel on vähem 

kui k ruutu. 

Võteme k ruuduga tahvli ning murrame pooleks, nii et 

ühele jääb c ja teisele d ruutu, sega c < k, d < k ja 

c + d = k. Kahe tekkinud tüki jaoks kehtib (tugev) 

induktsiooni eeldus. Tükeldades mõlemad tahvli osad 

lõpuni on murdmiste arv kokku 

1 + (c − 1) + (d − 1) = c + d − 1 = k − 1 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 


Veel induktsiooni kasutamisest, 

seekord VÄÄRAST KASUTAMISEST! 

Kui tasandil olevad n sirget pole paarikaupa paralleelsed, siis 

läbivad need sirged kõik ühte punkti. 

Tõestus. Väide kehtib ühe ja kahe sirge korral. Näitame, et väite 

kehtimisest n − 1 sirge korral järeldub kehtivmine n sirge 

korral. 

Olgu meil n sirget a,b,c,d,.... Jätame sellest hulgast 

välja sirge c. Järele jäänud n − 1 sirgest peavad 

induktsiooni eelduse põhjal läbima kõik punkti P. 

Seetõttu on P sirgete a ja b lõikepunkt. 

Paneme nüüd sirge c tagasi ja jätame välja sirge d. Jällegi 

saame n − 1 sirget, mille ühine punkt olgu Q, mis on 

samuti sirgete a ja b lõikepunkt. Järelikult Q = P. Seda 

ühist punkti läbivad kõik sirged, ka sirged c ja d. m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 




Kui tasandil olevad n sirget pole paarikaupa paralleelsed, siis 

läbivad need sirged kõik ühte punkti. 

Tõestus. Väide kehtib ühe ja kahe sirge korral. Näitame, et väite 

kehtimisest n − 1 sirge korral järeldub kehtivmine n sirge 

korral. 

Mis on selles tõestuses valesti ? 

välja sirge c. Järele jäänud n − 1 sirgest peavad 

induktsiooni eelduse põhjal läbima kõik punkti P. 

Seetõttu on P sirgete a ja b lõikepunkt. 

Paneme nüüd sirge c tagasi ja jätame välja sirge d. Jällegi 

saame n − 1 sirget, mille ühine punkt olgu Q, mis on 

samuti sirgete a ja b lõikepunkt. Järelikult Q = P. Seda 

ühist punkti läbivad kõik sirged, ka sirged c ja d. m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 




"Tõestus" kasutab eeldust, et sirgeid on vähemalt 4. Me 

kontrollisime ainult juhte n = 1 ja n = 2. Juhul n = 3 on väide 

väär ja on väär ka kõigi järgnevate väärtuste korral. 


Tähistusi 



Induktsioon 








Tähistusi 



Induktsioon 








Tähistusi 



Induktsioon 


Tüüpiline induktsiooni kasutamise näide 

Näidata, et 

n 

∑ 

 

j 

= 

k 

 

n + 1 

k + 1 

j=k 

Baas. Kui n = k, siis k k+1 k = k+1 = 1 

Samm. Oletame, et väide kehtib n korral ning näitame, et siis kehtib see ka 

n + 1 korral: 

n+1 

 

j 

∑ 

j=k k 

= 

= 

n 

j n + 1 n + 1 n + 1 

∑ + = + = 

j=k k k k + 1 k 

 

n + 2 

k + 1 

Viimane võrdus tuleneb binoomkordajate omadusest (teoreem 1.8.2 

(b), Pascali kolmnurge element võrdub kahe vahetult tema kohal 

asetseva elemendi summaga.) m.o.t.t. 



1 Tähistusi 

Tähistusi 




Järjendid 




Induktsioon 







Induktsioon 




Tähistusi 



Induktsioon 


Olgu antud m paarikaupa lõikumatut hulka S1,S2,...,Sm, milles on 

vastavalt n1,n2,...,nm elementi. Ühe elemendi valimiseks kõigist 

neist hulkadest kokku on n1 + n2 + ... + nm võimalust. 

Liitmisreegli hulgateoreetiline variant: 

Lõplike paarikaupa lõikumatute hulkade S1,S2,...,Sm korral 

|S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sm| = |S1| + |S2| + ··· + |Sm|. 



Tähistusi 



Induktsioon 


Olgu antud m paarikaupa lõikumatut hulka S1,S2,...,Sm, milles on 

vastavalt n1,n2,...,nm elementi. Ühe elemendi valimiseks kõigist 

neist hulkadest kokku on n1 + n2 + ... + nm võimalust. 

Liitmisreegli hulgateoreetiline variant: 

Lõplike paarikaupa lõikumatute hulkade S1,S2,...,Sm korral 

|S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sm| = |S1| + |S2| + ··· + |Sm|. 


Tähistusi 



Induktsioon 


Liitmisreegli kasutamise näide ( alternatiivne tõestus 

Teoreemile 1.8.2 (b)) 

n 

k 

 

= 0, kui k < 0 või n < k ja kõigil ülejäänud juhtudel 

n−1 

+ + [n = k = 0] 

n n−1 

k = k−1 

k 

Tõestus. Olgu põhihulgaks n-hulk A. Igast elementi a ∈ A sisaldavast 

k-kombinatsioonist saame selle eemaldamisega (n − 1)-elemendilise 

põhihulga (k − 1)-kombinatsiooni. Iga elementi a mittesisaldav 

k-kombinatsioon on automaatselt ka (n − 1)-elemendilise põhihulga 

k-kombinatsioon. 

Kuna need variandid on teineteist välistavad (ei ole võimalik, et 

mingi kombinatsioon kuulub mõlemasse alamhulka) ja katavad kõik 

võimalused (ei ole võimalik, et mingi kombinatsioon ei kuulu 

kumbagi alamhulka), siis saamegi liitmisreegli põhjal, et 

n 

n−1 n−1 k = k−1 + k . Tõestuse lõpule viimiseks tuleb sellele valemile 

lisada veel algtingimus 0 0 = 1 m.o.t.t. 



Tähistusi 



Induktsioon 


Olgu antud m hulka S1,S2,...,Sm, milles on vastavalt 

n1,n2,...,nm elementi. Korteeži 〈s1,s2,...,sm〉 moodustamiseks, 

kus igast hulgast on võetud täpselt üks element (s.t. si ∈ Si iga 

i = 1,2,...,m korral), on kokku n1n2 ···nm võimalust. 

Korrutamisreegli hulgateoreetiline variant: 

Lõplike hulkade S1,S2,...,Sm korral 

|S1 × S2 × ... × Sm| = |S1| · |S2| · ... · |Sm|. 



Tähistusi 



Induktsioon 


Olgu antud m hulka S1,S2,...,Sm, milles on vastavalt 

n1,n2,...,nm elementi. Korteeži 〈s1,s2,...,sm〉 moodustamiseks, 

kus igast hulgast on võetud täpselt üks element (s.t. si ∈ Si iga 

i = 1,2,...,m korral), on kokku n1n2 ···nm võimalust. 

Korrutamisreegli hulgateoreetiline variant: 

Lõplike hulkade S1,S2,...,Sm korral 

|S1 × S2 × ... × Sm| = |S1| · |S2| · ... · |Sm|. 


Tähistusi 



Kordumistega permutatsioonid 

Definitsioon 

Induktsioon 


n-permutatsioone, milles elementi ai esineb ni korda, i ∈ [k] ja 

n1 + n2 + ... + nk = n, nimetatakse kordumistega 

permutatsioonideks. Tähistame selliste kordustega 

 

. 

permutatsioonide arvu sümboliga n 

n1,...,nk 

Näide: tähestikus S = {A,B} moodustatud sõnad, milles on 3 A-d 

ja 2 B-d. 

Kokku on selliseid sõnu 10 tükki: 

AAABB ABABA 

AABAB BAABA 

ABAAB ABBAA 

BAAAB BABAA 

AABBA BBAAA 


Tähistusi 



Korrutamisreegli kasutamise näide 

"Raamatupidaja reegel": 

n1+...+nk 

n1,...,nk 

n 

= = 

n1,...,nk 

Induktsioon 


n! 

n1!·...·nk! 

Tõestus. Elementi a1 saab paiguta n positsioonile n 

viisil. Ülejäänud 

n1 

elementide paigutamiseks on jäänud vabaks n − n1 positsiooni. 

Seega a2 paigutamiseks on n−n1 võimalust ning seejärel on alles 

n2 

n − n1 − n2 vaba positsiooni. ... Analoogiliselt jätkates ning 

arvestades korrutamisreeglit, saame: 

 

n n n − n1 n − n1 − ··· − nk−2 nk 

= · ... 

· = 

n1,...,nk n1 n2 

nk−1 

nk 

n! 

= 

n1!(n − n1)! · 

(n − n1)! 

n2!(n − n1 − n2)! · ... · (nk−1 + nk)! 

· 

nk−1!nk! 

nk! 

nk!0! = 

n! 

n1! · ... · nk! . 

Märkus. Eelmises tõestuses on punaselt esitatud liikmed saadud 

lihtsustamise tulemusena, mida võimaldab seos n1 + n2 + ... + nk = n. 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 

m.o.t.t.

Multinoomkordaja 

Tähistusi 



Induktsioon 


Sümbol n 

tähistab matemaatikas multinoomkordajat, st 

n1,...,nk 

multinoomi (x1 + ··· + xk) n arenduses (sulgude avamise tulemusena 

saadava) üksliikme (monoomi) x n1 

1 

Näide 

x n2 

2 

...x nk 

k kordaja. 

(a+b+c) 3 = a 3 +b 3 +c 3 +3a 2 b+3a 2 c +3b 2 a+3b 2 c +3c 2 a+3c 2 b+6abc 

Liikme a2c = a2b0c 1 kordaja on 3 3! 6 

2,0,1 = 2!0!1! = 2·1·1 = 3 

Liikme abc = a1b1c 1 kordaja on 3 3! 6 

1,1,1 = 1!1!1! = 1·1·1 = 6 


Tähistusi 



Induktsioon 


Elimineerimismeetod (ingl inclusion-exclusion principle) 

Teoreem 

Kahe lõpliku hulga puhul: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| 

Tõestus. Väide tuleneb võrrandist 

∑[x ∈ A] + [x ∈ B] − [x ∈ A ∪ B] − [x ∈ A ∩ B] = 0 

x 

See summa on null, kuna iga x korral on null ka 

funktsioon 

f (x) = [x ∈ A] + [x ∈ B] − [x ∈ A ∪ B] − [x ∈ A ∩ B]: 

[x ∈ A] [x ∈ B] [x ∈ A ∪ B] [x ∈ A ∩ B] f (x) 

0 0 0 0 0 

0 1 1 0 0 

1 0 1 0 0 

1 1 1 1 0 


Näide 

Tähistusi 



Induktsioon 


Rühma 100 üliõpilasest deklareeris 70 teoreetilise füüsika kursuse ja 

65 diskreetse matemaatika. Mitu tudengit valis mõlemad 

õppeained? 

Valemi 

põhjal 

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| 

100 = 70 + 65 − x 

x = 35 


Tähistusi 



Induktsioon 


Elimineerimismeetod enam kui kahe tunnuse korral 

Kolme tunnuse puhul: 

|A ∪ B ∪ C| = 

n > i tunnuse puhul: 

= |A| + |B|+|C| − |B ∩ C| − |C ∩ A| − |A ∩ B| + |A ∩ B ∩ C| 

|A1 ∪ ··· ∪ An| = 

= ∑ i 

Sama kompaktsemalt: 

|Ai|−∑ |Ai ∩ Aj| + ··· + (−1) 

i

Tähistusi 



Induktsioon 




|A ∪ B ∪ C| = 


= |A| + |B|+|C| − |B ∩ C| − |C ∩ A| − |A ∩ B| + |A ∩ B ∩ C| 

|A1 ∪ ··· ∪ An| = 

= ∑ i 


|Ai|−∑ |Ai ∩ Aj| + ··· + (−1) 

i

Tähistusi 



Induktsioon 




|A ∪ B ∪ C| = 


= |A| + |B|+|C| − |B ∩ C| − |C ∩ A| − |A ∩ B| + |A ∩ B ∩ C| 

|A1 ∪ ··· ∪ An| = 

= ∑ i 


|Ai|−∑ |Ai ∩ Aj| + ··· + (−1) 

i

Tähistusi 



Induktsioon 


Elimineerimismeetod sümmeetrilisel juhul 

Definitsioon 

Hulkade kogumit A1,...,An nimetame sümmeetriliseks, kui iga kahe 

võrdvõimsa indeksite hulga I ,J ⊆ [n] korral | 

i∈I Ai| = | 

j∈J Aj|. 

Tähistame ak := | 

i∈I Ai|. 

Olgu [n] 

n 

k hulga [n] k-elemendiliste alamhulkade hulk ning k 

Sellisel juhul 

∑ (−1) 

/0=I ⊆[n] 

|I |−1 | 

Ai | = ∑ ∑ 

i∈I 

1kn 

I ∈( [n] 

(−1) 

k ) 

|I |−1 | 

Ai | = 

i∈I 

= ∑ 

∑ 

1kn 

I ∈( [n] 

(−1) 

k ) 

k−1 ak = 

= ∑ (−1) 

1kn 

k−1 ak ∑ 1 = 

[n] 

I ∈( 

= ∑ 

1kn 

(−1) k−1 ak 

k ) 

:= | [n] 

k 


n 

k 

 

|.

Tähistusi 



Induktsioon 


Elimineerimismeetod sümmeetrilisel juhul (jätkub) 

Eelmise teisenduse põhjal kehtib järgmine 

Teoreem L1 

Hulkade sümmeetrilise kogumi A1,...,An korral on 

elimineerimismeetod kujul 

| 

 

n 

k 

i∈[n] 

Ai| = ∑ (−1) 

1kn 

k−1 ak 


Tähistusi 



Induktsioon 


Korratused (ingl. – derangements, v.k. – bespordki) 

Korratus (ka nihe, v.k. smewenie) on püsipunktideta 

permutatsioon, s. o. elementide ümberjärjestamise tulemus, mille 

korral ükski element ei jää oma senisele paigale: 

Definitsioon 

Korratuseks nimetame n-hulga A = {a1,a2,...,an} permutatsiooni 

π, mille jaoks π(i) = ai ühegi i ∈ [n] korral. Tähistame n-korratuste 

arvu sümboliga dn. 

Näiteks: Hulgas S3 on korratused {231,312}, seega d3 = 2. 


n-korratuste arv (1) 

Tähistusi 



Induktsioon 


Moodustame hulga A = {a1,...,an} permutatsioonide hulga 

ΠA alamhulgad A1,...An (ühe püsipunktiga permutatsioonide 

hulgad), nii et iga i ∈ [n] korral: 

Ai = {π|π ∈ ΠA, π(i) = ai}. 

Iga k-alamhulga I ⊆ [n] korral avaldub nende alamhulkade 

ühisosa (permutatsioonid püsipunktidega hulgast I ) kujul 

 

Ai = {π|π ∈ ΠA, π(i) = ai, i ∈ I } 

i∈I 

Järelikult moodustavad hulgad Ai sümmeetrilise kogumi, sest 

| 

Ai| = (n − |I |)! = (n − k)! 

i∈I 



Tähistusi 



Induktsioon 


Moodustame hulga A = {a1,...,an} permutatsioonide hulga 

ΠA alamhulgad A1,...An (ühe püsipunktiga permutatsioonide 

hulgad), nii et iga i ∈ [n] korral: 

Ai = {π|π ∈ ΠA, π(i) = ai}. 

Iga k-alamhulga I ⊆ [n] korral avaldub nende alamhulkade 

ühisosa (permutatsioonid püsipunktidega hulgast I ) kujul 

 

Ai = {π|π ∈ ΠA, π(i) = ai, i ∈ I } 

i∈I 

Järelikult moodustavad hulgad Ai sümmeetrilise kogumi, sest 

| 

Ai| = (n − |I |)! = (n − k)! 

i∈I 


Tähistusi 



Induktsioon 


n-korratuste arv (1a): eelmisel slaidil defineeritud hulkade näide 

Hulga S4 elemendid 

1234 1243 1423 4123 

1324 1342 1432 4132 

2134 2143 2413 4213 

2314 2341 2431 4231 

3124 3142 3412 4312 

3214 3241 3421 4321 

Ühisosad 

Alamhulgad Ai , i = 1,2,3,4 

A1 = {1234,1324,1243,1342,1423,1432} 

A2 = {1234,3214,1243,3241,4213,4231} 

A3 = {1234,2134,1432,2431,4132,4231} 

A4 = {1234,1324,2134,2314,3124,3214} 

A1 ∩ A2 ∩ A3 = A1 ∩ A2 ∩ A4 = A1 ∩ A3 ∩ A4 = A2 ∩ A3 ∩ A4 = {1234} 

A1 ∩ A2 = {1234,1243} A1 ∩ A4 = {1234,1324} A2 ∩ A4 = {1234,3214} 

A1 ∩ A3 = {1234,1432} A2 ∩ A3 = {1234,4231} A3 ∩ A4 = {1234,2134} 



Tähistusi 



Induktsioon 


Rakendades Teoreemi L1 saame nende permutatsioonide arvu, 

kus vähemalt üks element säilitab oma positsiooni: 

| 

 

n 

= 

k 

i 

Ai| = ∑ (−1) 

1kn 

k−1 (n − k)! 

= ∑ (−1) 

1kn 

k−1 n! 

(n − k)! 

k!(n − k)! = 

(−1) 

= n! ∑ 

1kn 

k−1 

k! 

Lahutades permutatsioonide arvust saadud summa saamegi, et 

Korratuste arv: 

(−1) 

dn = n! ∑ 

0kn 

k 

k! 



Tähistusi 



Induktsioon 


Rakendades Teoreemi L1 saame nende permutatsioonide arvu, 

kus vähemalt üks element säilitab oma positsiooni: 

| 

 

n 

= 

k 

i 

Ai| = ∑ (−1) 

1kn 

k−1 (n − k)! 

= ∑ (−1) 

1kn 

k−1 n! 

(n − k)! 

k!(n − k)! = 

(−1) 

= n! ∑ 

1kn 

k−1 

k! 

Lahutades permutatsioonide arvust saadud summa saamegi, et 

Korratuste arv: 

(−1) 

dn = n! ∑ 

0kn 

k 

k! 


Tähistusi 



Induktsioon 


n-korratuste arv (2a): korratused hulgal S4 

Näide: S4 \ (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4) 

2143 3142 4123 

2341 3412 4312 

2413 3421 2413 



Tähistusi 



Eelmise valemi põhjal: 

Induktsioon 


dn = n!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1 

− + − ··· + 

2 6 24 (n − 1)! 

(−1)n 

+ ) 

n! 

dn−1 = (n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1 

− + − ··· + 

2 6 24 (n − 1)! ) 

viimasest saame arvuga n korrutades: 

ndn−1 = n(n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1 

− + − ··· + 

2 6 24 (n − 1)! ) 

Arvestades, et n! = n(n − 1)! ning lahutades viimase võrrandi 

slaidi esimesest saame rekurrentse seose korratuste arvu 

leidmiseks: 

dn − ndn−1 = n! (−1)n 

= (−1)n 

n! 



Tähistusi 




Induktsioon 


dn = n!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1 

− + − ··· + 

2 6 24 (n − 1)! 

(−1)n 

+ ) 

n! 

dn−1 = (n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1 

− + − ··· + 

2 6 24 (n − 1)! ) 


ndn−1 = n(n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1 

− + − ··· + 

2 6 24 (n − 1)! ) 



leidmiseks: 

dn − ndn−1 = n! (−1)n 

= (−1)n 

n! 



Tähistusi 




Induktsioon 


dn = n!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1 

− + − ··· + 

2 6 24 (n − 1)! 

(−1)n 

+ ) 

n! 

dn−1 = (n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1 

− + − ··· + 

2 6 24 (n − 1)! ) 


ndn−1 = n(n − 1)!(1 − 1 + 1 1 1 (−1)n−1 

− + − ··· + 

2 6 24 (n − 1)! ) 



leidmiseks: 

dn − ndn−1 = n! (−1)n 

= (−1)n 

n! 


Subfaktoriaalid 

Definitsioon 

Tähistusi 



Induktsioon 


n-korratuste arvu dn nimetatakse arvu n subfaktoriaaliks ning 

tähistatakse sümboliga !n 

Esimesi väärtusi: 

dn =!n 

!1 = 0 !7 = 1 854 

!2 = 1 !8 = 14 833 

!3 = 2 !9 = 133 496 

!4 = 9 10 = 1 334 961 

!5 = 44 !11 = 14 684 570 

!6 = 265 ... 



Definitsioon 

Tähistusi 



Induktsioon 





dn =!n 

!1 = 0 !7 = 1 854 

!2 = 1 !8 = 14 833 

!3 = 2 !9 = 133 496 

!4 = 9 10 = 1 334 961 

!5 = 44 !11 = 14 684 570 

!6 = 265 ... 



Definitsioon 

Tähistusi 



Induktsioon 





dn =!n 

!1 = 0 !7 = 1 854 

!2 = 1 !8 = 14 833 

!3 = 2 !9 = 133 496 

!4 = 9 10 = 1 334 961 

!5 = 44 !11 = 14 684 570 

!6 = 265 ... 


Tähistusi 



Induktsioon 


Veel üks valem subfaktoriaali arvutamiseks 

Kuna arvu e = 2,71828182846... pöördväärtus on arvutatav rea 

summana järgmiselt 

siis saame 

Kokkuvõttes 

1 

= lim 

e n→∞ 

 

1 

1 + 1 

n 

!n = dn ≈ n! ∑ k0 

n = ∑ k0 

(−1) k 

k! 

(−1) k 

k! 

= n! 

e 

Iga n 1 võrdub arvu n subfaktoriaal lähima täisarvuga arvule n!/e 

ehk 

 

n! 

 

!n = + 0,5 = int(n!/e + 0,5) 

e 



Tähistusi 



Printsiip on tuntud mitmete nimetsute all: 

tuvipesaprintsiip (pigeon-hole principle) 

laekaprintsiip (drawer principle) 

Dirichlet’ sahtliprintsiip (Dirichlet’s box 

principle) 


Induktsioon 


Johann Dirichlet 

(1805–1859) 

Originaalis (1834) oli Schubfachprinzip – sahtliprintsiip, laekaprintsiip 



Tähistusi 



Kui n hulka sisaldavad kokku üle n 

elemendi, siis leidub nende seas vähemalt 

üks, milles on rohkem kui üks element. 

Ülesanne 1 

Kas Eestis leidub 2 inimest, kellel on peas 

täselt sama arv juuksekarvu? 

Ülesanne 2 

Induktsioon 


Ruudukujulist märklauda, mille külje pikkus on 70 cm, on tabanud 

50 lasku. Näidata, et vähemalt kaks tabamust on teineteisele 

lähemal kui 15 cm. 



Tähistusi 






Ülesanne 1 



Ülesanne 2 

Induktsioon 







Tähistusi 






Ülesanne 1 



Ülesanne 2 

Induktsioon 






Tähistusi 




Definitsioon 

Induktsioon 


Funktsiooni G nimetatakse jada 〈g0,g1,g2,...〉 genereerivaks 

funktsiooniks, kui 

Lihtsad näited 

G(x) = g0 + g1x + g2x 2 + g3x 3 + ··· = 

∞ 

∑ 

n=0 

〈0,0,0,0,...〉 ←→ 0 + 0x + 0x 2 + 0x 3 + ··· = 0 

gnx n 

〈1,0,0,0,...〉 ←→ 1 + 0x + 0x 2 + 0x 3 + ··· = 1 

〈2,3,1,0,...〉 ←→ 2 + 3x + 1x 2 + 0x 3 + ··· = 2 + 3x + 1x 2 


Tähistusi 



Induktsioon 


Veel genereerivate funktsioonide näiteid (1) 

〈1,1,1,1,...〉 ←→ 1 + x + x 2 + x 3 + ··· = 1 

1−x 

S = 1 + x + x 2 + x 3 + ··· 

xS = x + x 2 + x 3 + ··· 

Lahutame esimese võrrandi teisest: 

(1 − x)S = 1 ehk S = 1 

1 − x 

NB! Võrdus kehtib vaid juhul kui −1 < x < 1. 

Õnneks meile piisab, kui leidub vähemalt üks x väärtus, mille korral 

rida koondub! 


Tähistusi 



Induktsioon 



〈1,1,1,1,...〉 ←→ 1 + x + x 2 + x 3 + ··· = 1 

1−x 

S = 1 + x + x 2 + x 3 + ··· 

xS = x + x 2 + x 3 + ··· 


(1 − x)S = 1 ehk S = 1 

1 − x 

NB! Võrdus kehtib vaid juhul kui −1 < x < 1. 

Õnneks meile piisab, kui leidub vähemalt üks x väärtus, mille korral 

rida koondub! 


Tähistusi 



Induktsioon 



〈a,ab,ab 2 ,ab 3 ,...〉 ←→ a + abx + ab 2 x 2 + ab 3 x 3 + ··· = a 

1−bx 

Analoogiliselt eelmisega: 

S = a + abx + ab 2 x 2 + ab 3 x 3 + ··· 

bxS = abx + ab 2 x 2 + ab 3 x 3 + ··· 


(1 − bx)S = a ehk S = a 

1 − bx 


Tähistusi 



Induktsioon 



Valides eelmises näites a = 0,5 ja b = 1, saame 

0,5 + 0,5x + 0,5x 2 + 0,5x 3 + ··· = 0,5 

1 − x 

Valides a = 0,5 ja b = −1, saame 

0,5 − 0,5x + 0,5x 2 − 0,5x 3 + ··· = 0,5 

1 + x 

Liites võrrandid (1) ja (2), saame genereeriva funktsiooni jadale 

〈1,0,1,0,1,0,...〉: 

1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 0,5 0,5 

+ 

1 − x 1 + x = 

1 

1 

= 

(1 − x)(1 + x) 1 − x 2 


(1) 

(2)

Tähistusi 



Induktsioon 




0,5 + 0,5x + 0,5x 2 + 0,5x 3 + ··· = 0,5 

1 − x 


0,5 − 0,5x + 0,5x 2 − 0,5x 3 + ··· = 0,5 

1 + x 


〈1,0,1,0,1,0,...〉: 

1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 0,5 0,5 

+ 

1 − x 1 + x = 

1 

1 

= 

(1 − x)(1 + x) 1 − x 2 


(1) 

(2)

Tähistusi 



Induktsioon 




0,5 + 0,5x + 0,5x 2 + 0,5x 3 + ··· = 0,5 

1 − x 


0,5 − 0,5x + 0,5x 2 − 0,5x 3 + ··· = 0,5 

1 + x 


〈1,0,1,0,1,0,...〉: 

1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 0,5 0,5 

+ 

1 − x 1 + x = 

1 

1 

= 

(1 − x)(1 + x) 1 − x 2 


(1) 

(2)

Tähistusi 



Induktsioon 


Genereerivate funktsioonide ja jadade teisendamine 

1. Skaleerimisreegel 

Kui 

siis 

iga c ∈ R. 

Tõestus. 

〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x), 

〈cf0,cf1,cf2,...〉 ←→ c · F (x) 

〈cf0,cf1,cf2,...〉 ←→ cf0 + cf1x + cf2x 2 + ··· = 

= c(f0 + f1x + f2x 2 + ···) = 

= cF (x) 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 


Genereerivate funktsioonide ja jadade teisendamine (2) 

2. Liitmisreegel 

Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x) ja 〈g0,g1,g2,...〉 ←→ G(x),siis 

Tõestus. 

〈f0 + g0,f1 + g1,f2 + g2,...〉 ←→ F (x) + G(x). 

〈f0 + g0, f1 + g1, f2 + g2, ...〉 ←→ 

= 

∞ 

∑ 

n=0 

 

∞ 

∑ fnx 

n=0 

n 

 

∞ 

+ ∑ gnx 

n=0 

n 

 

= F (x) + G(x) 

(fn + gn)x n = 

= 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 



3. Nihkereegel 

Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x), siis 

Tõestus. 

〈0,0,...,0 ,f0,f1,f2,...〉 ←→ x k · F (x). 

 

k nulli 

〈0,0,...,0,f0,f1,f2,...〉 ←→ f0x k + f1x k+1 + f2x k+2 + ... = 

= x k (f0 + f1x + f2x 2 + ···) = 

= x k · F (x) 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 



4. Diferentseerimisreegel 

Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x),siis 

Tõestus. 

〈f1,2f2,3f3,...〉 ←→ F ′ (x). 

〈f1,2f2,3f3,...〉 ←→ f1 + 2f2x + 3f3x 2 + ... = 

= d 

dx (f0 + f1x + f2x 2 + f3x 3 + ···) = 

= d 

F (x) 

dx 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 



Näide 

〈1,1,1,1,...〉 ←→ 1 

1 − x 

〈1,2,3,4,...〉 ←→ d 1 

dx 1 − x = 

1 

(1 − x) 2 

1 x 

〈0,1,2,3,...〉 ←→ x · = 

(1 − x) 2 (1 − x) 2 

〈1,4,9,16,...〉 ←→ d x 1 + x 

= 

dx (1 − x) 2 (1 − x) 3 

1 + x x(1 + x) 

〈0,1,4,9,...〉 ←→ x · = 

(1 − x) 3 (1 − x) 3 


Tähistusi 



Induktsioon 



5. Integreerimisreegel 

Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x),siis 

Tõestus. 

〈0,f0, 1 1 1 

f1, f2, 

2 3 4 f3,...〉 ←→ 

x 

F (z)dz. 

0 

〈0,f0, 1 1 1 

f1, f2, 

2 3 4 f3,...〉 ←→ f0x + 1 

2 f1x 2 + 1 

3 f2x 3 + 1 

4 f3x 4 + ... = 

x 

= (f0 + f1z + f2z 

0 

2 + f3z 3 + ···)dz = 

x 

= F (z)dz 

0 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 



5. Integreerimisreegel 

Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x),siis 

Näide 

〈0,f0, 1 1 1 

f1, f2, 

2 3 4 f3,...〉 ←→ 

〈1,1,1,1...〉 ←→ 1 

1−x 

〈0,1, 1 1 

2 , 3 ,...〉 ←→ x 

0 

x 

F (z)dz. 

0 

1 

1 

1−z dz = −ln(1 − x) = ln (1−x) 


Tähistusi 



Induktsioon 



6. Konvolutsioonireegel (korrutis) 

Kui 〈f0,f1,f2,...〉 ←→ F (x) and 〈g0,g1,g2,...〉 ←→ G(x), siis 

〈h0,h1,h2,...〉 ←→ F (x) · G(x), 

kus hn = f0gn + f1gn−1 + f2gn−2 + ··· + fng0. 


Tähistusi 



Induktsioon 





〈h0,h1,h2,...〉 ←→ F (x) · G(x), 


Tõestus. 

F (x) · G(x) = (f0 + f1x + f2x 2 + ...)(g0 + g1x + g2x 2 + ...) 

= f0g0 + (f0g1 + f1g0)x + (f0g2 + f1g1 + f2g0)x 2 + ... 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 





〈h0,h1,h2,...〉 ←→ F (x) · G(x), 


Sama astendajaga tegurite korrutised asuvad järgmises tabelis kaasdiagonaalil: 

b0x 0 b1x 1 b2x 2 b3x 3 a0x 

... 

0 a0b0x 0 a0b1x 1 a0b2x 2 a0b3x 3 a1x 

... 

1 a1b0x 1 a1b1x 2 a1b2x 3 a2x 

... 

2 a2b0x 2 a2x 3 a3x 

... 

3 a3b0x 3 ... 

. ... 


Tähistusi 



Induktsioon 





〈h0,h1,h2,...〉 ←→ F (x) · G(x), 


Näide 

Seega 

〈1,1,1,1...〉 · 〈0,1, 1 1 

, ,...〉 = 

2 3 

= 〈1·0, 1·0 + 1·1, 1·0 + 1·1 + 1· 1 

2 

= 〈0, 1, 1 + 1 

2 

1 1 

, 1·0 + 1·1 + 1· + 1· 

2 3 ,···〉 

1 1 

, 1 + + 

2 3 ,···〉 = 〈0, H1, H2, H3,···〉 

∑ Hkx 

k0 

k = 

1 

(1 − x) ln 

1 

(1 − x) . 


Tähistusi 



Genereerivad funktsioonid loendamiseks 

Induktsioon 


n-hulha alamhulki genereeriv funktsioon An(x) = (1 + x) n 

Binoomi teoreemist: 

 

n n n n 

 

, , ,..., ,0,0,0,... ←→ 

0 1 2 n 

 

n n n 

←→ + x + x 

0 1 2 

2 

n 

..., x 

n 

n = (1 + x) n 

See tähendab, et kordaja x k ees näitab mitmel erineval viisil saab valida k 

erinevat elementi n-hulgast. 


Tähistusi 



Genereerivad funktsioonid loendamiseks 

Induktsioon 


n-hulha alamhulki genereeriv funktsioon An(x) = (1 + x) n 

Binoomi teoreemist: 

 

n n n n 

 

, , ,..., ,0,0,0,... ←→ 

0 1 2 n 

 

n n n 

←→ + x + x 

0 1 2 

2 

n 

..., x 

n 

n = (1 + x) n 

See tähendab, et kordaja x k ees näitab mitmel erineval viisil saab valida k 

erinevat elementi n-hulgast. 


Tähistusi 



Kahe hulga elementide loendamine 

Konvolutsioonireegel 

Induktsioon 


Kui Am(x) ja Bn(x) on vastavalt (üksteisest sõltumatute) hulkade A ja B alamhulki 

genereerivad funktsioonid, siis ühendi A ∪ B alamhulki genereeriv funktsioon on 

konvolutsioon Am(x) · Bn(x). 

Näiteks: A = {a} ←→ A1(x) = 1 + x 

Hulgast A saab valida 

tühja alamhulga 1 viisil; 

üheelemendilise alamhulga 1 viisil; 

kaheelemendilise alamhulga 0 viisil; 

jne. 


Tähistusi 





Induktsioon 





Näiteks: A = {a} ←→ A1(x) = 1 + x ja B = {b} ←→ B1(x) = 1 + x 

A ∪ B = {a,b} ←→ A1(x) · B1(x) = (1 + x)(1 + x) = (1 + x) 2 = 

Hulgast A ∪ B saab valida 

tühja alamhulga 1 viisil; 

üheelemendilise alamhulga 2 viisil; 

kaheelemendilise alamhulga 1 viisil; 

kolmeelemendilise alamhulga 0 viisil; 

jne. 

= 1 + 2x + x 2 


Tähistusi 





Induktsioon 





Tõestus üldjuhul. Selleks, et valida n elementi hulgast A ∪ B, tuleb kõigepealt valida 

j elementi hulgast A ning n − j elementi hulgast B, kus j ∈ {0,1,2,...,n}. 

Summeerides üle kõigi võimalike j väärtuste, saame kõigi võimaluste arvu n elemendi 

valimiseks hulgast A ∪ B. Selle sumeerimise tulemuseks on 

a0bn + a1bn−1 + a2bn−2 + ··· + anb0, 

Mis on parajasti x n kordaja funktsiooni A(x) · B(x) reaks arenduses. m.o.t.t. 


Tähistusi 



Chu-Vandermonde samasus 

n n n n 

N = 0 , 1 , 2 ,..., n ,0,0,0,... ←→ (1 + x) n ja 

s s s s 

S = 0 , 1 , 2 ,......, s ,0,0,0,... ←→ (1 + x) s 

Konvolutsiooon 

kus 

Induktsioon 


H = N · S = 〈h0,h1,h2,...,hk,...〉 ←→ (1 + x) n+s , 

k 

n s n s n s 

n s n s 

hk = + 

+ 

+ ... + = 

0 k 1 k − 1 2 k − 2 k 0 ∑ 

i=0 i k − i 

Genereerivate funktsioonide korrutis: 

(1 + x) n · (1 + x) s = (1 + x) n+s n+s 

n + s 

= ∑ x 

k=0 k 

k 


Tähistusi 




n n n n 

N = 0 , 1 , 2 ,..., n ,0,0,0,... ←→ (1 + x) n ja 

s s s s 

S = 0 , 1 , 2 ,......, s ,0,0,0,... ←→ (1 + x) s 

Tulemus: 

Induktsioon 


k 

n + s n s 

= 

k ∑ 

i=0 i k − i 


Tähistusi 




n n n n 

N = 0 , 1 , 2 ,..., n ,0,0,0,... ←→ (1 + x) n ja 

s s s s 

S = 0 , 1 , 2 ,......, s ,0,0,0,... ←→ (1 + x) s 

Näiteks: 

Tulemus: 

Induktsioon 


k 

n + s n s 

= 

k ∑ 

i=0 i k − i 

 

7 5 + 2 5 2 5 2 5 2 5 2 

= = + + + = 

3 3 0 3 1 2 2 1 3 0 

= 1 · 0 + 5 · 1 + 10 · 2 + 10 · 1 = 35 


Tähistusi 



Induktsioon 


Kordustega valimi (kordustega kombinatsioonide) 

moodustamine 

Olgu antud hulk A = {a} ja moodustame selle hulga 

elementide koopiate hulga järgmisel viisil: 

1 Võtame hulgast A elemendi, teeme sellest koopia ning 

paneme originaali tagasi ja koopia paigutame hulka C , 

2 kordame eelmist sammu vajaliku arvu kordi 

Genereeriv funktsioon kordustega valimi (koopiate hulga) loendamiseks 

See funktsioon näitab, et ... 

A(x) = (1 − x) −1 == 1 

1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + ··· . 

tühja valimit saab moodustada 1 viisil; 

üheelemendilist valimit saab moodustada 1 viisil; 

kaheelemendilist valimit saab moodustada 1 viisil; 

jne. 



Tähistusi 



Induktsioon 


Kui valim moodustatakse mitme hulga baasil, kehtib sama konvolutsioonireegel, mis 

alamhulkade moodustamise korral: 


Kui A(x) ja B(x) on vastavalt (üksteisest sõltumatute) hulkade A ja B kordustega 

valimeid genereerivad funktsioonid, siis ühendi A ∪ B kordustega valimeid genereeriv 

funktsioon on konvolutsioon A(x) · B(x). 



Tähistusi 



Induktsioon 


Kui valim moodustatakse mitme hulga baasil, kehtib sama konvolutsioonireegel, mis 

alamhulkade moodustamise korral: 


Kui A(x) ja B(x) on vastavalt (üksteisest sõltumatute) hulkade A ja B kordustega 

valimeid genereerivad funktsioonid, siis ühendi A ∪ B kordustega valimeid genereeriv 

funktsioon on konvolutsioon A(x) · B(x). 

Näiteks: A = {a} ←→ A(x) = (1 − x) −1 ja B = {b} ←→ A(x) = (1 − x) −1 

A ∪ B = {a,b} ←→ A(x) · A(x) = A 2 (x) = (1 − x) −2 

Kordaja funktsiooni A(x) · B(x) reaks arenduse liikme x k ees näitab, mitmel viisil saab 

moodustada erinevaid valimeid, milles on k liiget. 


Tähistusi 



Induktsioon 


Kordustega valimite moodustamine piirangute korral 

Piirangud muudavad genereeriva funktsiooni kuju 

Valitakse paarisarv kordi: 

A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1 

1 − x 2 

Valitakse nullist suurem paarisarv kordi: 

A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x 

1 − x 2 

Valitakse viiekordne arv kordi: 

A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1 

1 − x 5 

Valitakse lõplik arv kordi (maksimaalselt 4 korda): 

A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 

Valitakse lõplik arv kordi (0 või 1 korda): 

A(x) = 1 + x 

1 − x5 

1 − x 


Tähistusi 



Induktsioon 





A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1 

1 − x 2 


A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x 

1 − x 2 


A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1 

1 − x 5 


A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 


A(x) = 1 + x 

1 − x5 

1 − x 


Tähistusi 



Induktsioon 





A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1 

1 − x 2 


A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x 

1 − x 2 


A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1 

1 − x 5 


A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 


A(x) = 1 + x 

1 − x5 

1 − x 


Tähistusi 



Induktsioon 





A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1 

1 − x 2 


A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x 

1 − x 2 


A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1 

1 − x 5 


A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 


A(x) = 1 + x 

1 − x5 

1 − x 


Tähistusi 



Induktsioon 





A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1 

1 − x 2 


A(x) = x 2 + x 4 + x 6 + ··· = x 

1 − x 2 


A(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1 

1 − x 5 


A(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 


A(x) = 1 + x 

1 − x5 

1 − x 


Tähistusi 



Induktsioon 


Mitu naturaalarvulist lahendit on võrrandil x1 + x2 = n? 

Muutuja x1 väärtuseks võib olla iga naturaalarv, st selle muutja väärtuste hulga 

genereeriv funktsioon on A(x) = 1 + x + x2 + x3 + ··· = 1 

1−x ; 

Sama mis üheelemendilisest hulgast korduv valik: nt arvule 7 vastab seitsmel 

korral elemendi võtmine hulgast A = {1} ning seejärel kõigi võetud elementide 

kokkuliitmine. 

Sama muutuja x2 korral; 

Kõigi võimalike arvupaaride (x1,x2) loendamiseks sobib funktsioon 

H(x) = A(x) · A(x), mille liikme x n kordaja ongi otsitav lahendite arv: 


Tähistusi 



Induktsioon 





1−x ; 







H(x) = (1 + x + x 2 + x 3 + ···)(1 + x + x 2 + x 3 + ···) = 

= 1 · (1 + x + x 2 + x 3 + ···) + x(1 + x + x 2 + x 3 + ···) + 

+x 2 (1 + x + x 2 + x 3 + ···) + x 3 (1 + x + x 2 + x 3 + ···) + ··· = 

= 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ··· + (n + 1)x n 1 

+ ··· = 

(1 − x) 2 


Tähistusi 



Induktsioon 





1−x ; 







Tõepoolest, selle võrrandil ongi n + 1 lahendit: 

0 + n = n 

1 + (n − 1) = n 

2 + (n − 2) = n 

··· ··· 

n + 0 = n 


Tähistusi 



Võrrand x1 + x2 + ··· + xk = n 

Teoreem 3.4.2. 

n objekti saab paigutada k kasti n+k−1 

n 

Induktsioon 


erineval viisil. 

Tõestus. Paigutuste arv on võrdne võrrandi x1 + x2 + ··· + xk = n lahendite 

arvuga, mille annab genereeriva funktsiooni 

G(x) = 1/(1 − x) k = (1 − x) −k elemendi x n kordaja. 

Meenutuseks analüüsi kursusest: Maclaurini rida (Taylori rida punkti a = 0 ümbruses): 

. 

f (x) = f (0) + f ′ (0)x + f ′′ (0) 

2! x2 + f ′′′ (0) 

x 

3! 

3 + ··· + f (n) (0) 

x 

n! 

n + ··· 


Tähistusi 



Võrrand x1 + x2 + ··· + xk = n 

Teoreem 3.4.2. 

n objekti saab paigutada k kasti n+k−1 

n 

Induktsioon 


erineval viisil. 

Tõestus. Paigutuste arv on võrdne võrrandi x1 + x2 + ··· + xk = n lahendite 

arvuga, mille annab genereeriva funktsiooni 

G(x) = 1/(1 − x) k = (1 − x) −k elemendi x n kordaja. 

Meenutuseks analüüsi kursusest: Maclaurini rida (Taylori rida punkti a = 0 ümbruses): 

. 

f (x) = f (0) + f ′ (0)x + f ′′ (0) 

2! x2 + f ′′′ (0) 

x 

3! 

3 + ··· + f (n) (0) 

x 

n! 

n + ··· 


Tähistusi 



Võrrand x1 + x2 + ··· + xk = n (2) 

Tõestus jätkub ... 

Leiame G(x) = (1 − x) −k tuletised: 

G ′ (x) = k(1 − x) −(k+1) 

G ′′ (x) = k(k + 1)(1 − x) −(k+2) 

Induktsioon 


G ′′′ (x) = k(k + 1)(k + 2)(1 − x) −(k+3) 

G (n) (x) = k(k + 1)···(k + n − 1)(1 − x) −(k+n) 

Genereeriva funktsiooni elemendi x n kordaja on siis: 

G (n) (0) 

n! 

= k(k + 1)···(k + n − 1) 

= (k + n − 1)! 

= 

= 

n! 

(k − 1)!n! = 

 

n + k − 1 

n 

m.o.t.t. 


Tähistusi 



Induktsioon 


n objekti paigutamine k kasti, igas kastis vähemalt üks 

objekt. 

Teoreem 

Võrrandi x1 + x2 + ··· + xk 

= n positiivsete naturaalarvuliste 

. 

lahendite arv on n−1 

k−1 

Tõestuse idee. Ühte kasti paigutavate objektide võimalikku arvu 

(xi > 0) esitab genereeriv funktsioon 

C(x) = x + x 2 + x 3 + ··· = x(1 + x + x 2 + ···) = x 

1 − x 

Analoogiliselt eelmise teoreemiga esitab otsitavat suurust genereeriva 

funktsiooni 

H(X ) = C k (x) = 

k x 

(1 − x) k 

elemendi x n kordaja. m.o.t.t. 


Näide: 100 eurot 

Tähistusi 



Induktsioon 


Mitmel viisil saab 100 eurot vahetada väiksemateks pangatähtedeks? 

Genereerivad funktsioonid 5-, 10-, 20- or 50-euroste pangatähtede valikuks: 

Genereeriv funktsioon ülesandele 

A(x) = x 0 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1 

1 − x5 B(x) = x 0 + x 10 + x 20 + x 30 1 

+ ··· = 

1 − x10 C(x) = x 0 + x 20 + x 40 + x 60 1 

+ ··· = 

1 − x20 D(x) = x 0 + x 50 + x 100 + x 150 1 

+ ··· = 

1 − x50 P(x) = A(x)B(x)C(x)D(x) = 

1 

(1 − x 5 )(1 − x 10 )(1 − x 20 )(1 − x 50 ) 



Tähistusi 



Induktsioon 





A(x) = x 0 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1 

1 − x5 B(x) = x 0 + x 10 + x 20 + x 30 1 

+ ··· = 

1 − x10 C(x) = x 0 + x 20 + x 40 + x 60 1 

+ ··· = 

1 − x20 D(x) = x 0 + x 50 + x 100 + x 150 1 

+ ··· = 

1 − x50 P(x) = A(x)B(x)C(x)D(x) = 

1 

(1 − x 5 )(1 − x 10 )(1 − x 20 )(1 − x 50 ) 



Tähistusi 



Induktsioon 





A(x) = x 0 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1 

1 − x5 B(x) = x 0 + x 10 + x 20 + x 30 1 

+ ··· = 

1 − x10 C(x) = x 0 + x 20 + x 40 + x 60 1 

+ ··· = 

1 − x20 D(x) = x 0 + x 50 + x 100 + x 150 1 

+ ··· = 

1 − x50 P(x) = A(x)B(x)C(x)D(x) = 

1 

(1 − x 5 )(1 − x 10 )(1 − x 20 )(1 − x 50 ) 


Näide: 100 eurot (2) 

1. Tähelepanek: 

Tähistusi 



Induktsioon 


(1 − x 5 )(1 + x 5 + ··· + x 45 + 2x 50 + 2x 55 + ··· + 2x 95 + 3x 100 + 3x 105 + ··· + 3x 145 + 4x 150 + ···) = 

Seega: 

1 + x 5 + ··· + x 45 + 2x 50 + 2x 55 + ··· + 2x 95 + 3x 100 + 3x 105 + ··· + 3x 145 + 4x 150 ··· − 

− x 5 − ··· − x 45 − x 50 − 2x 55 − ··· − 2x 95 − 2x 100 − 3x 105 − ··· − 3x 145 − 3x 150 − 4x 155 − ··· = 

= 1 + x 50 + x 100 + x 150 + x 200 1 

+ ··· = 

1 − x50 F (x) = A(x)D(x) = 

1 

(1 − x5 )(1 − x50 ) = 

k 

∑ + 1 x 

k0 10 

5k = ∑ fkx 

k0 

5k 



1. Tähelepanek: 

Tähistusi 



Induktsioon 


(1 − x 5 )(1 + x 5 + ··· + x 45 + 2x 50 + 2x 55 + ··· + 2x 95 + 3x 100 + 3x 105 + ··· + 3x 145 + 4x 150 + ···) = 

Seega: 

1 + x 5 + ··· + x 45 + 2x 50 + 2x 55 + ··· + 2x 95 + 3x 100 + 3x 105 + ··· + 3x 145 + 4x 150 ··· − 

− x 5 − ··· − x 45 − x 50 − 2x 55 − ··· − 2x 95 − 2x 100 − 3x 105 − ··· − 3x 145 − 3x 150 − 4x 155 − ··· = 

= 1 + x 50 + x 100 + x 150 + x 200 1 

+ ··· = 

1 − x50 F (x) = A(x)D(x) = 

2. Analoogiliselt: 

G(x) = B(x)C(x) = 

1 

(1 − x5 )(1 − x50 ) = 

k 

∑ + 1 x 

k0 10 

5k = ∑ fkx 

k0 

5k 

1 

(1 − x10 )(1 − x20 ) = 

k 

∑ + 1 x 

k0 2 

10k = ∑ gkx 

k0 

10k 



Konvolutsioon: 

Astme x 100 kordaja: 

Tähistusi 



Induktsioon 


P(x) = F (x)G(x) = ∑ cnx 

k0 

5n 

c20 = f0g10 + f2g9 + f4g8 + ··· + f20g0 

10 

= ∑ f2kg10−k 

k=0 

10 

2k 10 − k 

= ∑ + 1 

+ 1 

k=0 10 

2 

10 

k + 5 12 − k 

= ∑ 

k=0 5 2 

= 1(6 + 5 + 5 + 4 + 4) + 2(3 + 3 + 2 + 2 + 1) + 3 · 1 = 

= 24 + 22 + 3 = 49 


Tähistusi 



Induktsioon 


Veel üks näide genereeriva funktsiooni kasutamisest (1) 

Mitmel viisil saab jaotada 8 kompvekki 3 lapse vahel, nii et ükski 

laps ei saaks vähem kui 2 ega rohkem kui 4 kompvekki? 

Vaja on leida võrrandi x1 + x2 + x3 = 8 lahendite arv tingimusel, et 

xi ∈ {2,3,4} iga i = 1,2,3 korral. Järelikult on tarvis leida x 8 kordaja 

avaldises 

(x 2 + x 3 + x 4 ) 3 = x 6 + 3x 7 + 6x 8 + 7x 9 + 6x 10 + 3x 11 + x 12 

Seega on vastus, et kompvekke saab jaotada 6 erineval viisil. 


Tähistusi 



Induktsioon 


Veel üks näide genereeriva funktsiooni kasutamisest (1) – jätk 

x 8 kordaja leidmine avaldist (x 2 + x 3 + x 4 ) 3 avamata. 

Multinoomi valemist (a + b + c) n = ∑k,l,m 

n 

k,l,m ak bl cm , kus k + l + m = n. 

Võttes n = 3, a = x 2 , b = x 3 ja c = x 4 , saame selle ümber kirjutada kui 

(x 2 + x 3 + x 4 ) 3 

3 

= ∑ 

x 

k+l+m=3 k,l,m 

2k+3l+4m . 

x 8 kordaja (e 8 kompveki jaotamise võimaluste arv) on siis 

 

3 

3 

C8 = ∑ 

= 2 = 

k+l+m=3 k,l,m 0,1,2 

2k+3l+4m=8 

2 · 3! 

= 3! = 6. 

0! · 1! · 2! 


Tähistusi 



Induktsioon 



Urnis on punaseid, siniseid ja musti palle, iga värvi vähemalt 10 

tükki. Mitmel viisil saab valida urnust 10 palli, nii et punaseid oleks 

paarisarv, siniseid paaritu arv ning musti vähemalt 5 tükki? 

Vaja on leida võrrandi x1 + x2 + x3 = 10 lahendite arv tingimustel, et 

x1 on paarisarv, gen. funktsion A(x) = 1 + x 2 + x 4 + ··· = 1 

1−x 2 

x2 on paaritu arv, gen. funktsion B(x) = x + x 3 + x 5 + ··· = x 

1−x 2 

x3 > 4, gen. funktsion C(x) = x 5 + x 6 + x 7 + ··· = x5 

1−x 

Järelikult on tarvis leida x 10 kordaja avaldises A(x)B(x)C(x). Sulgude 

avamisega saab näidata, et see arv on 6. 


Tähistusi 



Induktsioon 



Mitmel viisil saab vaagnat täita puuviljadega, nii et õunu oleks paarisarv, banaanide 

arv oleks 5 kordne, apelsine oleks kuni neli ja pirne kuni üks 

Näiteks, kui vaagnal oleks kokku 6 puuvilja, oleks sellised 7 valikuvõimalust: 

Õunad 6 4 4 2 2 0 0 

Banaanid 0 0 0 0 0 5 5 

Apelsinid 0 2 1 4 3 1 0 

Prinid 0 0 1 0 1 0 1 

Õunte, banaanide, apelsinide ja pirnide valimiseks sobiksid vastavalt genereerivad 

funktsioonid: 

A(x) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ··· = 1 

1 − x 2 

B(x) = 1 + x 5 + x 10 + x 15 + ··· = 1 

1 − x 5 

O(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 

P(x) = 1 + x 

1 − x5 

1 − x 


Tähistusi 



Induktsioon 



Ülesande lahendus jätkub ... 

Vastavalt konvolutsioonireeglile esitab vaagna täitmise võimalusi 

genereeriv funktsioon: 

A(x)B(x)O(x)P(x) = 

= 

1 

· 

1 − x 2 

1 

= 

(1 − x) 2 

5 1 1 − x 

· · (1 + x) = 

1 − x 5 1 − x 

= 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ... 

Seega vastus: n puuvilja saab antud tingimustel valida n + 1 viisil.

KOMBINATOORIKA - Cs.ioc.ee

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?