You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
1. Determinante<br />
Determinanta je preslikava iz prostora n × n matrik v prostor realnih števil.<br />
Operacije z determinantami:<br />
- seštevanje: Dve determinanti lahko seštejemo, če se razlikujeta le v eni vrstici ali<br />
enem stolpcu. To vrstico (stolpec) prepišemo, ostale seštejemo.<br />
- množenje s številom: Determinanto pomnožimo s številom tako, da z njim<br />
pomnožimo eno vrstico ali en stolpec.<br />
- zamenjava: Če zamenjamo dve vrstici ali dva stolpca se predznak determinanti<br />
spremeni.<br />
Računanje vrednosti determinante<br />
•<br />
a<br />
c<br />
b<br />
= ad − bc<br />
d<br />
∗<br />
• ∗ ∗ ∗ = produkti naprej - produkti nazaj<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
• Determinanto prevedemo na zgornje trikotno:<br />
- vrstici (stolpcu) prištejemo s številom pomnoženo vrstico (stolpec),<br />
- zamenjamo vrstici (stolpca) in spremenimo predznak.<br />
a<br />
11<br />
0<br />
a<br />
22<br />
M 0 O = a11<br />
⋅ a22<br />
⋅L⋅<br />
a<br />
M O O<br />
0<br />
L<br />
L<br />
0<br />
a<br />
nn<br />
• Determinanto razvijemo po vrstici ali stolpcu<br />
a L L L a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
M<br />
k1<br />
M<br />
n1<br />
L<br />
L<br />
a<br />
ki<br />
L<br />
L<br />
L<br />
a<br />
a<br />
1n<br />
M<br />
kn<br />
M<br />
nn<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( −1)<br />
k + i<br />
a<br />
ki<br />
Δ<br />
Cramerjeva metoda za reševanje <strong>si</strong>stemov linearnih enačb:<br />
v v<br />
Sistem zapišemo v matrični obliki A ⋅ x = b . Matrika A j je matrika A v kateri smo j -ti<br />
stolpec zamenjali z b v . Potem je<br />
Aj<br />
x j = .<br />
A<br />
nn<br />
ki
Ilustracija lastnosti determinant na primerih:<br />
1<br />
2<br />
3<br />
( − 2)<br />
1<br />
2<br />
3<br />
−1<br />
7<br />
5<br />
⋅ 2<br />
−1<br />
7<br />
5<br />
1<br />
3<br />
NALOGE:<br />
4<br />
1 + 2<br />
0<br />
−1<br />
4<br />
0<br />
7<br />
5<br />
1<br />
3<br />
4<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1 = − 3<br />
2<br />
− 4<br />
− 3<br />
1<br />
=<br />
− 2<br />
−1<br />
5<br />
7<br />
2<br />
3<br />
4<br />
1<br />
0<br />
4<br />
0<br />
1<br />
=<br />
2<br />
7<br />
5<br />
1<br />
2<br />
3<br />
− 8<br />
1<br />
0<br />
− 5<br />
1. Za naslednjo determinanto zapiši poddeterminanto 13 25 ,Δ<br />
5 −1<br />
4<br />
2<br />
7<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
3<br />
0<br />
1<br />
2<br />
4<br />
1<br />
7<br />
1<br />
6<br />
5<br />
2<br />
6<br />
5<br />
0<br />
1<br />
1<br />
4<br />
6<br />
2. Izračunaj naslednji determinanti z razvojem po vrstici ali stolpcu<br />
2 2 0 1<br />
2 2 0 1<br />
1<br />
3<br />
4<br />
1<br />
− 5<br />
10<br />
0<br />
0<br />
2<br />
− 1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
3<br />
4<br />
4<br />
1<br />
0<br />
1<br />
− 5<br />
10<br />
3<br />
0<br />
5<br />
− 1<br />
3. Izračunaj naslednjo determinanto s prevedbo na zgornje trikotno.<br />
1 2 1 3 −1<br />
2<br />
3<br />
−1<br />
4<br />
4<br />
7<br />
1<br />
5<br />
3<br />
1<br />
3<br />
6<br />
5<br />
8<br />
− 4<br />
10<br />
4<br />
− 2<br />
1<br />
− 5<br />
0<br />
1<br />
Δ in kofaktorja A 31 , A52<br />
!
4. Reši s pomočjo Cramerjeve metode:<br />
a)<br />
3<br />
4<br />
5<br />
8<br />
3<br />
2<br />
0<br />
2<br />
3<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
z<br />
y<br />
x<br />
t<br />
z<br />
t<br />
y<br />
x<br />
t<br />
x<br />
b)<br />
0<br />
7<br />
3<br />
6<br />
0<br />
2<br />
3<br />
3<br />
0<br />
4<br />
2<br />
0<br />
3<br />
2<br />
=<br />
−<br />
+<br />
=<br />
−<br />
+<br />
+<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
−<br />
+<br />
z<br />
y<br />
x<br />
t<br />
z<br />
y<br />
x<br />
t<br />
z<br />
y<br />
x<br />
t<br />
z<br />
y<br />
x<br />
c)<br />
4<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
7<br />
3<br />
2<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
5<br />
3<br />
5<br />
3<br />
1<br />
5<br />
4<br />
1<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
−<br />
+<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
REŠITVE:<br />
1.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
5<br />
0<br />
7<br />
0<br />
6<br />
1<br />
2<br />
5<br />
1<br />
0<br />
4<br />
13 =<br />
Δ<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
5<br />
4<br />
0<br />
7<br />
6<br />
2<br />
1<br />
2<br />
7<br />
0<br />
1<br />
5<br />
25<br />
−<br />
=<br />
Δ<br />
2<br />
2<br />
)<br />
1<br />
(<br />
1<br />
3<br />
31<br />
=<br />
⋅<br />
−<br />
=<br />
+<br />
A 3<br />
3<br />
)<br />
1<br />
(<br />
2<br />
5<br />
52<br />
−<br />
=<br />
⋅<br />
−<br />
=<br />
+<br />
A<br />
2. 48, 18<br />
3. 255<br />
4. a) 2<br />
,<br />
1<br />
,<br />
0<br />
,<br />
1 =<br />
=<br />
=<br />
−<br />
= t<br />
z<br />
y<br />
x<br />
b) 0<br />
=<br />
=<br />
=<br />
= t<br />
z<br />
y<br />
x<br />
c) 2<br />
,<br />
0<br />
,<br />
1<br />
,<br />
0<br />
,<br />
1 4<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
= x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x
2. Matrike<br />
Operacije z matrikami:<br />
- seštevanje: Dve matriki seštejemo tako, da seštejemo istoležne elemente.<br />
- množenje s številom: Matriko pomnožimo s številom tako, da z njim pomnožimo<br />
vse elemente matrike.<br />
- transponiranje: Element<br />
zamenjata.<br />
a ij postane element a ji . Vloga vrstice in stolpca se<br />
- množenje matrik: Naj bo C = AB . Potem je<br />
matrike A in j -tega stolpca matrike B .<br />
c ij skalarni produkt i -te vrstice<br />
Množenje matrik ni komutativno, torej v splošnem AB ≠ BA.<br />
T T<br />
Za transponiranje in množenje matrik velja enakost ( ) B A<br />
T<br />
AB = .<br />
Inverzna matrika matrike A je taka matrika, da velja AA = A A = E<br />
− − 1 1<br />
. Inverzna<br />
matrika obstaja samo pri kvadratnih matrikah z A ≠ 0 . Izračunamo jo lahko na dva<br />
načina:<br />
1. z matriko kofaktorjev :<br />
- izračun determinante;<br />
- izračun matrike kofaktorjev;<br />
- transponiranje matrike kofaktorjev;<br />
- deljenje z vrednostjo determinante.<br />
2. z elementarnimi transformacijami: Matriko A razširimo z enotsko matriko.<br />
A E z elementarnimi transformacijami na<br />
Preuredimo razširjeno matriko [ ]<br />
−1<br />
vrsticah in dobimo [ A ]<br />
E .<br />
Formula za izračunavanje inverzne matrike pri matrikah reda 2.<br />
⎡a<br />
A = ⎢<br />
⎣c<br />
b⎤<br />
⎥ ⇒ A<br />
d ⎦<br />
−1<br />
1 ⎡ d<br />
=<br />
ad − bc<br />
⎢<br />
⎣−<br />
c<br />
− b⎤<br />
a<br />
⎥<br />
⎦<br />
Matrične enačbe rešujemo podobno kot navadne enačbe, paziti pa moramo na<br />
nekomutativnost množenja in množenje z inverzno matriko namesto deljenja.<br />
Rang matrike je velikost največje neničelne poddeterminante. Določimo ga tako, da<br />
matriko z elementarnimi transformacijami pretvorimo v stopničasto obliko (vsaka<br />
vrstica začne v kasnejšem stolpcu). Potem je rang matrike enak številu neničelnih<br />
vrstic.
NALOGE:<br />
1. Dani sta matriki<br />
⎡3<br />
2 1⎤<br />
⎡1<br />
A =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
0 0 1<br />
⎥<br />
in B =<br />
⎢<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
1 2 4⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
Izračunaj matriko 2 A − B .<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
0⎥⎦<br />
2. Dani sta matriki<br />
⎡1<br />
1 0 ⎤ ⎡1<br />
3 1 ⎤<br />
A =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
3 3 −1<br />
⎥<br />
in B =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
1 3 −1<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
4 1 2 ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
2 1 0 ⎥⎦<br />
Določi matriko X tako, da bo veljalo B + 2 X = 3A<br />
!<br />
3. Izračunaj produkta AB in BA, če je<br />
⎡1<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1⎤<br />
⎡ 4<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
in B =<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 4<br />
3⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
!<br />
1⎥⎦<br />
4. Na primeru matrik<br />
⎡ 1<br />
A = ⎢<br />
⎣−1<br />
2<br />
1<br />
⎡ 1<br />
3⎤<br />
0<br />
⎥ in B =<br />
⎢<br />
⎢<br />
−1<br />
⎦<br />
⎢⎣<br />
2<br />
1 ⎤<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
−1⎥⎦<br />
T T<br />
preveri, da velja za transpozicijo produkta pravilo ( AB ) = B A !<br />
⎡1<br />
1⎤<br />
5. Naj bo M = ⎢ ⎥ . Poišči vse matrike N, za katere je MN = 0!<br />
⎣1<br />
1⎦<br />
Namig: Poišči pogoje za poljubno matriko.<br />
⎡1<br />
0⎤<br />
⎡0<br />
1⎤<br />
⎡ 1 1 ⎤<br />
6. Poišči kvadrate matrik A = ⎢ ⎥ , B =<br />
⎣0<br />
1<br />
⎢ ⎥ in C =<br />
⎦ ⎣0<br />
0<br />
⎢ ⎥ !<br />
⎦ ⎣−1<br />
−1⎦<br />
⎡ 1 1⎤<br />
⎡−<br />
2 2⎤<br />
7. Pokaži, da matriki A = ⎢ ⎥ in B =<br />
⎣−<br />
2 2<br />
⎢ ⎥ komutirata!<br />
⎦ ⎣−<br />
4 0⎦<br />
2<br />
⎡ 1 1⎤<br />
8. Za polinom p ( x)<br />
= x − 2x<br />
+ 2 in matriko M = ⎢ ⎥ pokaži, da je p ( M ) = 0 .<br />
⎣−1<br />
1⎦<br />
⎡1<br />
1⎤<br />
⎡1<br />
n⎤<br />
9. S popolno indukcijo dokaži, da za A = ⎢ ⎥ velja A =<br />
⎣0<br />
1<br />
⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣0<br />
1⎦<br />
n<br />
!<br />
T
⎡2<br />
1⎤<br />
10. Dani matriki A = ⎢ ⎥ poišči inverzno matriko!<br />
⎣5<br />
2⎦<br />
11. Izračunaj<br />
−1<br />
A za<br />
⎡2<br />
2 3⎤<br />
A =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
1 1 0<br />
⎥<br />
!<br />
⎢⎣<br />
1 2 1⎥⎦<br />
12. Reši matrično enačbo XA = B za<br />
⎡1<br />
A = ⎢<br />
⎣5<br />
3 ⎤<br />
− 2<br />
⎥ in B = [ 17<br />
⎦<br />
34]<br />
.<br />
13. Reši matrično enačbo A ⋅ X ⋅ B = C , če so<br />
⎡2<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
4<br />
⎢⎣<br />
5<br />
− 3<br />
− 5<br />
− 7<br />
1⎤<br />
⎡9<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
, B =<br />
⎢<br />
⎢<br />
1<br />
3⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
1<br />
7<br />
1<br />
1<br />
6⎤<br />
⎡ 2<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
in C =<br />
⎢<br />
⎢<br />
18<br />
1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
23<br />
0<br />
12<br />
15<br />
− 2⎤<br />
9<br />
⎥<br />
⎥<br />
.<br />
11 ⎥⎦<br />
14. S pomočjo nakazanega razbitja na bloke reši<br />
⎡1 ⎢<br />
⎢<br />
1<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
− 2⎤⎡<br />
x1<br />
⎤ ⎡0⎤<br />
1<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥⎢<br />
x2<br />
⎥ = ⎢<br />
2<br />
⎥ .<br />
1 ⎥⎢x<br />
⎥ 3 ⎢4⎥<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
1 ⎦⎣x<br />
4 ⎦ ⎣2⎦<br />
15. Določi rang matrike<br />
16. Določi rang matrike<br />
⎡1<br />
4 3 2 1⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
0 1 −1<br />
− 2 2<br />
A =<br />
⎥ !<br />
⎢2<br />
9 5 2 4⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣2<br />
7 7 6 0⎦<br />
⎡1<br />
α −1<br />
2⎤<br />
A =<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
2 −1<br />
α 5<br />
⎥<br />
v odvisnosti od α !<br />
⎢⎣<br />
1 10 − 6 1⎥⎦<br />
17. S pomočjo elementarnih transformacij poišči inverzno matriko za<br />
⎡3<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
A =<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
1<br />
3<br />
1<br />
0<br />
2<br />
3<br />
2<br />
0<br />
1⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥ .<br />
0⎥<br />
⎥<br />
4⎦<br />
18. Reši <strong>si</strong>stema linearnih enačb s pomočjo inverzne matrike<br />
2x<br />
− y + z = 8<br />
a)<br />
x − 3y<br />
− 5z<br />
= 6<br />
3x<br />
+ y − 7z<br />
= −4
2x<br />
− y + z = 1<br />
b) x + 2y<br />
− z = 2<br />
x − y + 2z<br />
= 0<br />
19. Poišči vse tiste matrike X, ki hkrati ustrezajo naslednjim pogojem:<br />
⎡ 1 1⎤<br />
a) komutirajo z matriko A = ⎢ ⎥ ,<br />
⎣−<br />
2 2⎦<br />
b) x 22 = 2 ,<br />
c) det ( X ) = 8 .<br />
Namig: Poišči pogoje za poljubno matriko.<br />
20. Reši matrično enačbo AXB + CXB = D , kjer je<br />
⎡5<br />
A = ⎢<br />
⎣3<br />
1⎤<br />
⎥,<br />
1⎦<br />
⎡1 C = ⎢<br />
⎣1<br />
−1⎤<br />
⎥,<br />
3 ⎦<br />
⎡2 B =<br />
⎢<br />
⎢<br />
1<br />
⎢⎣<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
−1⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
,<br />
1 ⎥⎦<br />
REŠITVE:<br />
1.<br />
⎡ 5<br />
⎢<br />
⎢<br />
− 2<br />
⎢⎣<br />
2<br />
4<br />
− 2<br />
3<br />
1⎤<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
8⎥⎦<br />
2. Izrazimo X iz enačbe in dobimo<br />
3.<br />
⎡1<br />
D = ⎢<br />
⎣1<br />
1<br />
1<br />
1⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡1<br />
0 0 ⎤<br />
3 1<br />
X = A − B =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
4 3 −1<br />
⎥<br />
.<br />
2 2<br />
⎢⎣<br />
5 1 3 ⎥⎦<br />
⎡−<br />
3<br />
AB =<br />
⎢<br />
⎢<br />
6<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
7<br />
8<br />
11<br />
2⎤<br />
⎡7<br />
4<br />
⎥<br />
⎥<br />
in BA =<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
4⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
6<br />
11<br />
− 6<br />
6<br />
9⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
. Zaradi nekomutativnosti množenja matrik sta<br />
8⎥⎦<br />
produkta različna.<br />
T<br />
⎡1 −1⎤<br />
T ⎡ 5 2⎤<br />
⎡5 − 2⎤<br />
T T ⎡1<br />
−1<br />
2 ⎤ ⎡ − ⎤<br />
4. ( AB ) = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ in<br />
⎢ ⎥ 5 2<br />
B A =<br />
=<br />
⎣−<br />
2 1⎦<br />
⎣2<br />
1<br />
⎢ ⎥⎢<br />
2 1<br />
⎥ ⎢ ⎥ .<br />
⎦<br />
⎣1<br />
2 −1⎦<br />
⎢ ⎥<br />
⎣2<br />
1 ⎦<br />
⎣3<br />
0 ⎦<br />
5. Naj bo<br />
⎡a<br />
N = ⎢<br />
⎣c<br />
b⎤<br />
d<br />
⎥ . Potem iz<br />
⎦<br />
⎡a<br />
+ c<br />
MN = ⎢<br />
⎣a<br />
+ c<br />
b + d ⎤<br />
⎥ = 0 dobimo pogoja a = −c<br />
in<br />
b + d ⎦<br />
⎡− c<br />
b = −d<br />
. Torej je N = ⎢<br />
⎣ c<br />
d⎤<br />
d<br />
⎥ za poljubna c, d ∈ ℜ .<br />
⎦
Pri matrikah torej iz MN = 0 ne sledi ( M = 0 ) ∨ ( N = 0)<br />
.<br />
2 ⎡1<br />
0⎤<br />
2 ⎡0<br />
0⎤<br />
2 ⎡0<br />
0⎤<br />
6. A = ⎢ ⎥ , B =<br />
⎣0<br />
1<br />
⎢ ⎥ , C =<br />
⎦ ⎣0<br />
0<br />
⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣0<br />
0⎦<br />
7. Izračunamo AB in BA , ter ju primerjamo.<br />
⎡−<br />
6<br />
AB = ⎢<br />
⎣−<br />
4<br />
2 ⎤ ⎡−<br />
6<br />
− 4<br />
⎥ in BA = ⎢<br />
⎦ ⎣−<br />
4<br />
2 ⎤<br />
− 4<br />
⎥ , torej je AB = BA .<br />
⎦<br />
2<br />
⎡ 1 1⎤⎡<br />
1 1⎤<br />
⎡ 1 1⎤<br />
⎡1<br />
0⎤<br />
⎡0<br />
0⎤<br />
8. Izračunamo p ( M ) = M − 2M<br />
+ 2E<br />
= ⎢ ⎥⎢<br />
⎥ − 2⎢<br />
⎥ + 2⎢<br />
⎥ = ⎢ ⎥ .<br />
⎣−1<br />
1⎦⎣−<br />
1 1⎦<br />
⎣−1<br />
1⎦<br />
⎣0<br />
1⎦<br />
⎣0<br />
0⎦<br />
1<br />
n+<br />
1 n ⎡1<br />
n⎤<br />
⎡1<br />
1⎤<br />
⎡ 1 n + 1⎤<br />
9. A = A;<br />
A = A ⋅ A = ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .<br />
⎣0<br />
1⎦<br />
⎣0<br />
1⎦<br />
⎣0<br />
1 ⎦<br />
−1<br />
⎡−<br />
2 1 ⎤<br />
10. A = ⎢ ⎥<br />
⎣ 5 − 2⎦<br />
11.<br />
A<br />
−1<br />
⎡ 1<br />
1<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
−1<br />
3<br />
⎢⎣<br />
1<br />
4<br />
−1<br />
− 2<br />
− 3⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
0 ⎥⎦<br />
12. Enačbo XA = B na desni (nekomutativnost!) pomnožimo z<br />
−1<br />
X = B ⋅ A = [ 17<br />
1 ⎡2<br />
34]<br />
17<br />
⎢<br />
⎣5<br />
3 ⎤<br />
= [ 12<br />
−1<br />
⎥<br />
⎦<br />
1]<br />
.<br />
13. Enačbo AXB = C zaradi nekomutativnosti pomnožimo na levi z<br />
⎡1<br />
−1<br />
−1<br />
Tako dobimo X = A ⋅C<br />
⋅ B =<br />
⎢<br />
⎢<br />
1<br />
⎢⎣<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
.<br />
1⎥⎦<br />
−1<br />
A in dobimo<br />
−1<br />
A in na desni z<br />
−1<br />
B .<br />
⎡A<br />
14. Pomnožimo ⎢<br />
⎣0<br />
B⎤⎡<br />
X ⎤ ⎡D⎤<br />
⎡ AX + BY ⎤ ⎡D⎤<br />
⎥⎢<br />
⎥ =<br />
C<br />
⎢ ⎥ in dobimo =<br />
⎦⎣Y<br />
⎦ ⎣F<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . Sledi AX + BY = D in<br />
⎦<br />
⎣ CY ⎦ ⎣F<br />
⎦<br />
CY = F . Iz enačb izrazimo<br />
−1 Y = C F,<br />
−1<br />
X = A ( D − BY ) . Dobimo<br />
⎡ 2 ⎤<br />
Y = ⎢ ⎥ in<br />
⎣−<br />
2⎦<br />
⎡ ⎤<br />
⎢<br />
−<br />
⎥<br />
= ⎢ 5 ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ 2 ⎦<br />
2<br />
11<br />
11<br />
X . Torej je x 1 = − ,<br />
2<br />
5<br />
x2<br />
= ,<br />
2<br />
x3<br />
= 2,<br />
x4<br />
= −2<br />
.
⎡1<br />
4 3 2<br />
⎢<br />
15. ⎢<br />
0 1 −1<br />
− 2<br />
A =<br />
⎢2<br />
9 5 2<br />
⎢<br />
⎣2<br />
7 7 6<br />
Torej je r ( A)<br />
= 2 .<br />
1⎤<br />
⎡1<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ≈ ⎢<br />
0<br />
4⎥<br />
⎢0<br />
⎥ ⎢<br />
0⎦<br />
⎣0<br />
4<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
3<br />
−1<br />
−1<br />
1<br />
2<br />
− 2<br />
− 2<br />
2<br />
1 ⎤ ⎡1<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ≈ ⎢<br />
0<br />
2 ⎥ ⎢0<br />
⎥ ⎢<br />
− 2⎦<br />
⎣0<br />
4<br />
1<br />
0<br />
0<br />
3<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
2<br />
− 2<br />
⎡1<br />
16. A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
2<br />
⎢⎣<br />
1<br />
α<br />
−1<br />
10<br />
−1<br />
α<br />
− 6<br />
2⎤<br />
⎡1<br />
5<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
≈<br />
⎢<br />
2<br />
1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
1<br />
2<br />
5<br />
1<br />
−1<br />
α<br />
− 6<br />
α ⎤ ⎡1<br />
−1<br />
⎥<br />
≈<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
10⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
−1<br />
α + 2<br />
− 5<br />
α ⎤<br />
−1<br />
− 2α<br />
⎥<br />
⎥<br />
≈<br />
10 −α<br />
⎥⎦<br />
⎡1<br />
2 −1<br />
α ⎤<br />
≈<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
0 1 α + 2 −1<br />
− 2α<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
0 0 α − 3 9 − 3α<br />
⎥⎦<br />
Torej je r ( A)<br />
= 3 za α ≠ 3 in r ( A)<br />
= 2 za α = 3.<br />
17.<br />
A<br />
−1<br />
⎡1<br />
⎢3<br />
⎢<br />
⎢0<br />
= ⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢0<br />
⎣<br />
0<br />
2<br />
3<br />
1<br />
−<br />
3<br />
0<br />
−<br />
1<br />
3<br />
−1<br />
1<br />
0<br />
1 ⎤<br />
−<br />
12⎥<br />
1 ⎥<br />
− ⎥<br />
2 ⎥<br />
1 ⎥<br />
4 ⎥<br />
1 ⎥<br />
⎥<br />
4 ⎦<br />
18. a) x = 2 , y = −3,<br />
z = 1<br />
b) x = 5 6,<br />
y = 1 2,<br />
z = −1<br />
6<br />
⎡a<br />
19. Vzemimo X = ⎢<br />
⎣c<br />
b⎤<br />
⎥.<br />
Zaradi b) je<br />
d ⎦<br />
.<br />
2 ⎥ ⎡a<br />
X = ⎢<br />
⎣c<br />
b⎤<br />
Komutiranje pomeni, da mora biti<br />
⎦<br />
AX = XA.<br />
Sledi a = 2 − b in c = −2b<br />
. Torej je<br />
⎡2<br />
− b<br />
X = ⎢<br />
⎣−<br />
2b<br />
b⎤<br />
.<br />
2<br />
⎥ Zaradi c) je<br />
⎦<br />
2 2 4 8<br />
2<br />
X = b − b + = . Dobimo b 1 = 2 in b 2 = −1.<br />
Torej sta matriki, ki zadoščata<br />
⎡ 0<br />
pogojem X 1 = ⎢<br />
⎣−<br />
4<br />
2⎤<br />
2<br />
⎥ in X 2<br />
⎦<br />
⎡3 = ⎢<br />
⎣2<br />
−1⎤<br />
2<br />
⎥ .<br />
⎦<br />
20. Na levi najprej izpostavimo XB in dobimo ( A + C)<br />
XB = D . Na levi pomnožimo z<br />
( ) 1 −<br />
+ C<br />
A in na desni z<br />
−1<br />
B . Dobimo = ( A + C)<br />
0<br />
0<br />
1⎤<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎥<br />
0⎦<br />
⎡ 1 1 ⎤<br />
⎢<br />
0 −<br />
−1<br />
−1<br />
⎥<br />
X DB = 6 6<br />
⎢ 1 1 ⎥ .<br />
⎢0<br />
− ⎥<br />
⎣ 12 12⎦
3. Sistemi linearnih enačb<br />
Sistem linearnih enačb zapišemo v matrični obliki AX = B , kjer je A matrika<br />
koeficientov, X vektor neznank in B vektor konstant z desne strani enačb.<br />
~<br />
Definiramo razširjeno matriko A = [ A B]<br />
. Sistem je rešljiv natanko takrat, ko je<br />
~<br />
r(<br />
A)<br />
= r(<br />
A)<br />
. Sistem je enolično rešljiv, če je r ( A)<br />
enak številu neznank in<br />
parametrično rešljiv, če je r ( A)<br />
manjši od števila neznank. Pri parametično<br />
rešljivem <strong>si</strong>stemu neznanke razdelimo na bazične in parametre ter bazične neznanke<br />
izrazimo s parametri.<br />
Homogen <strong>si</strong>stem AX = 0 je vedno rešljiv. Če je r ( A)<br />
enak številu neznank ima<br />
<strong>si</strong>stem samo trivialno rešitev X = 0 , če pa je r ( A)<br />
manjši od števila neznank, ima<br />
<strong>si</strong>stem parametrično rešitev.<br />
Reši <strong>si</strong>stem linearnih enačb<br />
2x<br />
+ y − 3z<br />
= 2<br />
4x<br />
+ 2y<br />
− 6z<br />
= 3<br />
~ ⎡2<br />
1 − 3 2⎤<br />
⎡2<br />
1 − 3 2 ⎤<br />
Razširjena matrika je A = ⎢<br />
⎥ ≈ ⎢<br />
⎥ .<br />
⎣4<br />
2 − 6 3⎦<br />
⎣0<br />
0 0 −1⎦<br />
~<br />
Rang r ( A)<br />
= 1 (brez zadnjega stolpca) in r ( A)<br />
= 2 . Ker sta ranga različna, <strong>si</strong>stem ni<br />
rešljiv.<br />
Kakšna bi morala biti desna stran druge enačbe, da bi bil <strong>si</strong>stem rešljiv?<br />
Sistem bo rešljiv, ko bosta ranga enaka. Da bo druga vrstica preoblikovane matrike iz<br />
samih ničel, mora biti desna stran enaka 4.<br />
~ ⎡2<br />
1 − 3 2⎤<br />
⎡2 1 − 3 2⎤<br />
A = ⎢<br />
⎥ ≈ ⎢<br />
⎥ .<br />
⎣4<br />
2 − 6 4⎦<br />
⎣0<br />
0 0 0⎦<br />
Ranga sta enaka 1, torej je <strong>si</strong>stem rešljiv. Število neznank je 3, zato je <strong>si</strong>stem<br />
parametrično rešljiv. Če za bazično neznanko vzamemo y , je rešitev y = 2 − 2x<br />
+ 3z<br />
,<br />
za poljubna x, z ∈ ℜ .<br />
NALOGE:<br />
1. Reši <strong>si</strong>stem linearnih enačb<br />
2x<br />
− y + z = 8<br />
x − 3y<br />
− 5z<br />
= 6<br />
3x<br />
+ y − 7z<br />
= −4
2. Reši <strong>si</strong>stem linearnih enačb<br />
2x<br />
+ 5y<br />
+ z + 3w<br />
= 2<br />
4x<br />
+ 6y<br />
+ 3z<br />
+ 5w<br />
= 4<br />
4x<br />
+ 14y<br />
+ z + 7w<br />
= 4<br />
2x<br />
− 3y<br />
+ 3z<br />
+ 2w<br />
= 7<br />
3. Analiziraj rešljivost <strong>si</strong>stema lineranih enačb<br />
x + 2y<br />
+ 3z<br />
= 1<br />
3x<br />
+ 3y<br />
− z = a<br />
− x + y + bz = −3<br />
v odvisnosti od vrednosti parametrov a in b!<br />
4. Reši homogen <strong>si</strong>stem lineranih enačb<br />
3x<br />
+ 2y<br />
+ 5z<br />
= 0<br />
6x<br />
+ 4y<br />
+ 7z<br />
= 0<br />
3x<br />
+ 2y<br />
− z = 0<br />
5. Določi a tako, da bo imel <strong>si</strong>stem netrivialno rešitev in jo zapiši.<br />
3x<br />
+ 2y<br />
+ 5z<br />
= 0<br />
6x<br />
+ 4y<br />
+ az = 0<br />
3x<br />
+ 3y<br />
− z = 0<br />
6. Reši <strong>si</strong>stem<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢1<br />
⎢<br />
⎣0<br />
0<br />
2<br />
− 4<br />
4<br />
8⎤<br />
⎡ 9 ⎤<br />
⎥ ⎡x⎤<br />
1<br />
⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢<br />
−1<br />
⋅ = ⎥<br />
⎥ ⎢<br />
y<br />
6 ⎥ ⎢ 11 ⎥<br />
⎥ ⎢⎣<br />
z⎥⎦<br />
⎢ ⎥<br />
2⎦<br />
⎣−<br />
2⎦<br />
7. Sistem<br />
x + 5t<br />
+ u + v = 2<br />
y + 2t<br />
+ 4v<br />
= 1<br />
z − t − 2u<br />
= 0<br />
preoblikuj tako, da bodo bazične neznanke t, u, z!<br />
REŠITVE:<br />
1.<br />
⎡2<br />
−1<br />
1 8 ⎤ ⎡1<br />
− 3 − 5 6 ⎤<br />
~<br />
A =<br />
⎢<br />
⎥<br />
≈<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
1 − 3 − 5 6<br />
⎥ ⎢<br />
0 5 11 − 4<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
3 1 − 7 − 4⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0 0 1 1 ⎥⎦<br />
~<br />
Ranga r ( A)<br />
= r(<br />
A)<br />
= 3,<br />
<strong>si</strong>stem je rešljiv. Število neznank je 3, torej imamo eno rešitev.<br />
x = 2 , y = −3<br />
, z = 1.
⎡ 2 ⎤<br />
Vektorski zapis rešitve X =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
− 3<br />
⎥<br />
.<br />
⎢⎣<br />
1 ⎥⎦<br />
~<br />
2. To je parametrično rešljiv <strong>si</strong>stem, ker r ( A)<br />
= r(<br />
A)<br />
= 3 in imamo 4 neznanke.<br />
9 27<br />
x = − z − ,<br />
8 8<br />
1 5<br />
y = z − ,<br />
4 4<br />
w = 5,<br />
z ∈ ℜ<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
⎡ 1<br />
~<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
3<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
−1<br />
b<br />
1 ⎤ ⎡1<br />
a<br />
⎥<br />
≈<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
− 3⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
2<br />
− 3<br />
0<br />
3<br />
−10<br />
b − 7<br />
1 ⎤<br />
a − 3<br />
⎥<br />
⎥<br />
.<br />
a − 5⎥⎦<br />
Glede na vrednosti a in b ločimo naslednje tri primere:<br />
b − 7 = 0 ⇔ b = 7<br />
a)<br />
a − 5 = 0 ⇔ a = 5<br />
b − 7 = 0 ⇔ b = 7<br />
b)<br />
a − 5 ≠ 0 ⇔ a ≠ 5<br />
b − 7 ≠ 0 ⇔ b ≠ 7<br />
c)<br />
a ∈ ℜ<br />
⇒<br />
⇒<br />
⇒<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
( A)<br />
= 2<br />
~ ( A)<br />
= 2<br />
( A)<br />
= 2<br />
~ ( A)<br />
= 3<br />
( A)<br />
= 3<br />
~ ( A)<br />
= 3<br />
⇒ <strong>si</strong>stem je parametrično rešljiv<br />
⇒ <strong>si</strong>stem ni rešljiv<br />
⇒ <strong>si</strong>stem je enolično rešljiv<br />
⎡3<br />
2 5 0⎤<br />
⎡3<br />
2 0 0⎤<br />
~<br />
A =<br />
⎢<br />
⎥<br />
≈<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
6 4 7 0<br />
⎥ ⎢<br />
0 0 1 0<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
3 2 −1<br />
0⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0 0 0 0⎥⎦<br />
~<br />
Ker je r ( A)<br />
= r(<br />
A)<br />
= 2 , ima poleg trivialne rešitve x = y = z = 0 tudi parametrično<br />
rešitev. Za parameter vzamemo x in dobimo rešitev<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
= ⎢−<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ 0 ⎦<br />
2<br />
x<br />
3<br />
X x , za x ∈ ℜ .<br />
⎡3<br />
~<br />
A =<br />
⎢<br />
⎢<br />
6<br />
⎢⎣<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
5<br />
a<br />
−1<br />
0⎤<br />
⎡3<br />
0<br />
⎥<br />
≈<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
0⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
2<br />
1<br />
0<br />
5<br />
− 6<br />
a −10<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
0⎥⎦<br />
⎡ ⎤<br />
⎢−<br />
z⎥<br />
Netrivialno rešitev imamo, ko je r ( A)<br />
< 3,<br />
torej a = 10 , X = ⎢ 6z ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ z ⎥<br />
⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
3<br />
17<br />
.
6.<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
z<br />
z<br />
z<br />
X<br />
2<br />
2<br />
1 8<br />
9<br />
, ℜ<br />
∈<br />
z<br />
7.<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
=<br />
0<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
4<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
5<br />
0<br />
0<br />
1<br />
~<br />
A Stolpce, ki pripadajo bazičnim neznankam premaknemo<br />
levo. Neznanke <strong>si</strong> potem sledijo v<br />
y<br />
x<br />
z<br />
u<br />
t ,<br />
,<br />
,<br />
,<br />
, .<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
≈<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
≈<br />
2<br />
1<br />
16<br />
2<br />
9<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0<br />
2<br />
1<br />
9<br />
2<br />
5<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
5<br />
~<br />
A<br />
v<br />
y<br />
x<br />
z<br />
v<br />
y<br />
x<br />
u<br />
v<br />
y<br />
t<br />
16<br />
2<br />
9<br />
2<br />
2<br />
1<br />
9<br />
2<br />
5<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
−<br />
=
Kombinatorika<br />
Osnovni izrek kombinatorike: Če je proces odločanja sestavljen iz več neodvisnih<br />
faz odločanja, se števila možnosti izbora v posameznih fazah množijo.<br />
Pravilo vsote: Če se pri izbiranju odločamo med dvema nezdružljivima množicama<br />
izborov, se število možnosti sešteje.<br />
Permutacije brez ponavljanja: n različnih elementov razporejamo na n mest,<br />
elementi se ne smejo ponavljati, vrstni red je pomemben: Pn = n!<br />
n ! = n ⋅ ( n −1)<br />
⋅L⋅<br />
2 ⋅1<br />
0!<br />
= 1<br />
Permutacije s ponavljanjem: n elementov, od katerih jih je k m m m , , , 1 2 K enakih,<br />
razporejamo na n mest, vrstni red je pomemben:<br />
m<br />
!<br />
1,<br />
m2<br />
, K,<br />
m n<br />
k Pn<br />
=<br />
m ! ⋅m<br />
! ⋅L⋅<br />
m !<br />
1<br />
2<br />
k<br />
Variacije brez ponavljanja: n različnih elementov razporejamo na r mest ( n ≥ r ),<br />
n!<br />
elementi se ne smejo ponavljati, vrstni red je pomemben: V<br />
( n r)!<br />
r<br />
n =<br />
−<br />
Variacije s ponavljanjem: n različnih elementov razporejamo na n mest, elementi<br />
p r r<br />
se lahko ponavljajo, vrstni red je pomemben: V = n<br />
Kombinacije: iz množice z n različnimi elementi izberemo podmnožico z r<br />
n n!<br />
elementi, vrstni red ni pomemben: C<br />
r r!<br />
( n r)!<br />
r ⎛ ⎞<br />
n = ⎜ ⎟ =<br />
⎝ ⎠ ⋅ −<br />
⎛n<br />
⎞ ⎛n<br />
⎞ ⎛n<br />
⎞ ⎛ n ⎞<br />
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 1 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = n<br />
⎝0<br />
⎠ ⎝n<br />
⎠ ⎝1<br />
⎠ ⎝n<br />
−1⎠<br />
Binomski izrek za razvoj potence dvočlenika:<br />
n ⎛n<br />
⎞ n 0 ⎛n<br />
⎞ n−1<br />
1 ⎛n<br />
⎞ n−2<br />
2 ⎛ n ⎞ 1 n<br />
a + b = ⎜ ⎟a<br />
b + ⎜ ⎟a<br />
b + ⎜ ⎟a<br />
b + L + ⎜ ⎟a<br />
b<br />
⎝0<br />
⎠ ⎝1<br />
⎠ ⎝2<br />
⎠<br />
⎝n<br />
−1⎠<br />
⎛ n ⎞<br />
V razvoju potence dvočlenika je k − ti člen enak: ⎜ ⎟a<br />
⎝k<br />
−1⎠<br />
−1<br />
0 n<br />
( ) + ⎜ ⎟a<br />
b<br />
NALOGE:<br />
1. Imamo množico { A , B,<br />
C,<br />
D}<br />
. Koliko je vseh možnih<br />
a) permutacij;<br />
b) variacij drugega reda brez ponavljanja;<br />
c) variacij drugega reda s ponavljanjem;<br />
d) kombinacij drugega reda.<br />
n<br />
n−k<br />
+ 1<br />
⎛n<br />
⎞<br />
⎝n<br />
⎠<br />
b<br />
k−1<br />
.
2. Koliko različnih vzorcev dobimo, če postavljamo v vrsto 4 modre in 6 rdečih krogel?<br />
3. Na koliko načinov lahko gostitelj razporedi za ravno mizo sedem žensk, če sta dve<br />
skregani in ne smeta sedeti skupaj?<br />
4. Na koliko načinov lahko gostitelj razporedi za okroglo mizo sedem žensk, če sta dve<br />
skregani in ne smeta sedeti skupaj?<br />
5. Na koliko načinov lahko razporedimo na polici 3 rdeče, 4 zelene in 2 črni knjigi, če:<br />
a) nimamo zahtev;<br />
b) rdeče na začetku;<br />
c) rdeče skupaj;<br />
d) istobarvne skupaj.<br />
6. Koliko možnosti mora (v najslabšem primeru) preizku<strong>si</strong>ti tat, če želi odkleniti ključavnico,<br />
ki jo odpre šifra z dvema črkama na žačetku in tremi številkami?<br />
7. Sestavljamo petmestna števila. Koliko je<br />
a) pravih (se ne začnejo z 0),<br />
b) pravih z različnimi števkami,<br />
c) pravih, ki imajo na prvih dveh mestih lihi števki,<br />
d) pravih z različnimi števkami, ki imajo na prvih dveh mestih lihi števki,<br />
e) pravih, ki imajo na prvih dveh mestih sodi števki,<br />
f) pravih z različnimi števkami, ki imajo na prvih dveh mestih sodi števki,<br />
g) pravih, ki so deljiva s 5,<br />
h) pravih z različnimi števkami, ki so deljiva s 5.<br />
2 2 2<br />
8. Reši enačbo V V + V = 20 !<br />
n−4<br />
+ n−3<br />
n−2<br />
9. Koliko elementov imaš na razpolago, če veš, da je z njim mogoče sestaviti 28 kombinacij<br />
drugega reda?<br />
10. Na koliko načinov lahko iz škatle, v katerih je 7 rdečih, 6 belih in 12 črnih krogel,<br />
izberemo 2 rdeči, 1 belo in 2 črni krogli?<br />
11. Odbor ima 15 članov, od tega so 4 ženske. Na koliko načinov lahko sestavimo tričlansko<br />
predsedstvo, če naj bo v njem vsaj ena ženska?<br />
12. Med 100 izdelki je 10 defektnih. Na koliko načinov lahko v vzorec, sestavljen iz 5<br />
izdelkov, izberemo 3 dobre in 2 defektna izdelka?<br />
13. Razvij binom ( ) 5<br />
2x + 3y<br />
!<br />
14. Izračunaj peti člen v razvoju binoma ( ) 5<br />
a + a<br />
REŠITVE:
1. a) 24<br />
b) 12<br />
c) 16<br />
d) 6<br />
10 !<br />
2. = 210<br />
4!<br />
⋅6!<br />
3. 7 ! − 2!<br />
⋅6!<br />
= 3.<br />
600<br />
4. 6 ! − 2!<br />
⋅5!<br />
= 480<br />
5. a) 9!<br />
b) 3⋅ ! 6!<br />
c) 3⋅ ! 7!<br />
d) 3! ⋅ 4!<br />
⋅2!<br />
⋅3!<br />
6. 25 ⋅ 25 ⋅ 25 ⋅10<br />
⋅10<br />
= 1.<br />
562.<br />
500<br />
7. a) 9 ⋅ 10 ⋅10<br />
⋅10<br />
⋅10<br />
= 90.<br />
000<br />
b) 9 ⋅ 9 ⋅8<br />
⋅ 7 ⋅ 6 = 27.<br />
216<br />
c) 5 ⋅ 5 ⋅10<br />
⋅10<br />
⋅10<br />
= 25.<br />
000<br />
d) 5 ⋅ 4 ⋅8<br />
⋅ 7 ⋅ 6 = 6.<br />
720<br />
e) 4 ⋅ 5 ⋅10<br />
⋅10<br />
⋅10<br />
= 20.<br />
000<br />
f) 4 ⋅ 4 ⋅8<br />
⋅ 7 ⋅ 6 = 5.<br />
376<br />
g) 9 ⋅ 10 ⋅10<br />
⋅10<br />
⋅ 2 = 18.<br />
000<br />
h) 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅1<br />
+ 8 ⋅8<br />
⋅ 7 ⋅ 6 ⋅1<br />
= 5.<br />
712<br />
( n − 4)!<br />
( n − 3)!<br />
( n − 2)!<br />
8. + + = 20<br />
( n − 6)!<br />
( n − 5)!<br />
( n − 4)!<br />
( n − 4)<br />
⋅ ( n − 5)<br />
+ ( n − 3)<br />
⋅ ( n − 4)<br />
+ ( n − 2)<br />
⋅ ( n − 3)<br />
= 20<br />
2<br />
n − 7n + 6 = 0 ⇒ ( n − 6)<br />
⋅ ( n −1)<br />
= 0 ⇒ n1<br />
= 6,<br />
n2<br />
= 1<br />
Zaradi definiranosti fakultete je n = 6.<br />
9.<br />
2<br />
Cn = 28 ⇒<br />
n!<br />
= 28<br />
2!<br />
⋅(<br />
n − 2)!<br />
⇒ n ⋅ ( n −1)<br />
= 56 ⇒<br />
2<br />
n − n − 56 = 0<br />
( n − 8)<br />
⋅ ( n + 7)<br />
= 0 ⇒ n1<br />
= 8,<br />
n2<br />
= −7<br />
Zaradi definiranosti fakultete je n = 8 .<br />
⎛7<br />
⎞ ⎛6<br />
⎞ ⎛12⎞<br />
10. ⎜ ⎟ ⋅⎜<br />
⎟ ⋅⎜<br />
⎟ = 8.<br />
316<br />
⎝2<br />
⎠ ⎝1<br />
⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
⎛4<br />
⎞ ⎛11⎞<br />
⎛4<br />
⎞ ⎛11⎞<br />
⎛4<br />
⎞ ⎛11⎞<br />
11. ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅⎜<br />
⎟ + ⎜ ⎟ ⋅⎜<br />
⎟ = 290<br />
⎝1<br />
⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2<br />
⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝3<br />
⎠ ⎝ 0 ⎠
12. 600<br />
.<br />
286<br />
.<br />
5<br />
2<br />
9<br />
10<br />
2<br />
3<br />
88<br />
89<br />
90<br />
!<br />
8<br />
!<br />
2<br />
!<br />
10<br />
!<br />
87<br />
!<br />
3<br />
!<br />
90<br />
2<br />
10<br />
3<br />
90<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
13. ( ) 5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
5<br />
243<br />
405<br />
1080<br />
720<br />
240<br />
32<br />
3<br />
2 y<br />
xy<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
x<br />
y<br />
x +<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
14.<br />
3<br />
1<br />
5<br />
1<br />
5<br />
5<br />
5<br />
1<br />
5<br />
5<br />
a<br />
a<br />
a =<br />
⋅<br />
⋅<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
.
5. Osnove verjetnostnega računa<br />
število ugodnih<br />
Definicija: P ( A)<br />
=<br />
število vseh<br />
Vrednosti: 0 ≤ P ( A)<br />
≤ 1<br />
Nemogoč dogodek: P ( N)<br />
= 0 .<br />
Gotov dogodek: P ( G)<br />
= 1.<br />
Verjetnost nasprotnega dogodka: P( A)<br />
= 1−<br />
P(<br />
A)<br />
.<br />
Vsota dogodkov A + B se zgodi, ko se zgodi A ali B .<br />
Produkt dogodkov A ⋅ B se zgodi, ko se zgodita A in B .<br />
Verjetnost vsote dogodkov:<br />
P(<br />
A + B)<br />
= P(<br />
A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
− P(<br />
AB)<br />
P(<br />
A + B + C)<br />
= P(<br />
A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
+ P(<br />
C)<br />
− P(<br />
AB)<br />
− P(<br />
AC)<br />
− P(<br />
BC)<br />
+ P(<br />
ABC)<br />
Verjetnost produkta dogodkov:<br />
Če sta A in B neodvisna dogodka, je P( AB)<br />
= P(<br />
A)<br />
⋅ P(<br />
B)<br />
.<br />
P(<br />
AB)<br />
Pogojna verjetnost: P ( A B)<br />
= P(<br />
B)<br />
> 0.<br />
P(<br />
B)<br />
Dvofazni posku<strong>si</strong> so sestavljeni iz dveh faz izbiranja. Elementarne dogodke v prvi<br />
fazi izbiranja imenujemo hipoteze in jih označimo z H i .<br />
Popolna verjetnost dogodka A :<br />
P( A)<br />
= P(<br />
A H1<br />
) ⋅ P(<br />
H1<br />
) + P(<br />
A H 2 ) ⋅ P(<br />
H 2 ) + L + P(<br />
A H n ) ⋅ P(<br />
H n )<br />
P(<br />
A H i ) ⋅ P(<br />
H i )<br />
Bayesov obrazec: P(<br />
H i A)<br />
=<br />
.<br />
P A<br />
( )<br />
Bernoullijeva formula: Verjetnost, da se dogodek A z verjetnostjo p v n posku<strong>si</strong>h<br />
zgodi natanko k − krat, je P<br />
⎛ n⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝k<br />
⎠<br />
binomska porazdelitev. Najverjetnejše število dogodkov je:<br />
np − q ∈ Z ⇒ k = np − q , k = np + p<br />
np − q ∉ Z<br />
kjer je ⎡ ⎤<br />
⇒<br />
k<br />
0<br />
0<br />
=<br />
⎡np − q⎤<br />
1<br />
x najmanjše celo število, ki je večje od x .<br />
k n−k<br />
( n;<br />
p,<br />
k)<br />
= p ( 1−<br />
p)<br />
. Tej porazdelitvi rečemo<br />
Pascalov obrazec: Verjetnost, da se dogodek A z verjetnostjo p v n − tem poskusu<br />
zgodi natanko k − tič, je<br />
P<br />
⎛ n −1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝k<br />
−1⎠<br />
k n−k<br />
= p ( 1−<br />
p)<br />
m<br />
Posplošen Bernoullijev obrazec: ( ) k k1<br />
.<br />
n!<br />
P n;<br />
p1,<br />
K,<br />
pm<br />
; k1,<br />
K,<br />
km<br />
= p1<br />
L pm<br />
.<br />
k ! Lk<br />
!<br />
1<br />
m
NALOGE:<br />
1. Loterija ima 5000 srečk, od tega jih 100 zadane. Izračunaj verjetnosti naslednjih dveh<br />
dogodkov:<br />
A – slučajno izbrana srečka zadene;<br />
B – od dveh slučajno izbranih srečk natanko ena zadene!<br />
2. V škatli so štiri kroglice, ki so oštevilčene z 1, 3, 8 in 9. Na slepo izbiramo po eno.<br />
Izračunaj verjetnost, da dobimo zapisano letnico 1983!<br />
a) kroglice ne vračamo<br />
b) kroglice vračamo<br />
3. Tombola ima 90 ploščic s številkami od 1 do 90. Na slepo izvlečemo eno ploščico.<br />
Kakšne so verjetnosti naslednjih dogodkov:<br />
A – število na ploščici je deljivo s 3;<br />
B – število na ploščici je deljivo s 5;<br />
C – število na ploščici je deljivo s 3 ali s 5.<br />
4. V škatli imamo 5 belih, 6 rdečih in 9 črnih (<strong>si</strong>cer pa enakih) krogel. Hkrati na slepo<br />
potegnemo tri krogle iz škatle. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov:<br />
A – vse tri krogle so bele;<br />
B – ena krogla je rdeča, dve pa črni;<br />
C – nobena krogla ni bela.<br />
5. Med 50 izdelki so 4 pokvarjeni. Na slepo izberemo v vzorec (istočasno) štiri izdelke.<br />
Kolikšna je verjetnost, da sta v izbranem vzorcu natanko dva izdelka pokvarjena?<br />
6. Loterija je dala v prodajo M + N srečk, od katerih jih zadane natanko N. Kolikšna je<br />
verjetnost, da med k kupljenimi srečkami zadane natanko q srečk?<br />
7. V škatli imamo 5 belih in 4 črne krogle; na slepo trikrat potegnemo po eno kroglo in jo<br />
vrnemo v škatlo. Kolikšna je verjetnost, da so vse tri krogle črne?<br />
8. Kolikšna je verjetnost, da pri metu<br />
A – 5 kock pade pet različnih vrednosti;<br />
B – 12 kock vsako število pik pade po dvakrat?<br />
9. Med 14 elemeti je 10 defektnih. Na slepo izberemo tri elemente. Kolikšna je verjetnost, da<br />
je med njimi vsaj en defekten?<br />
10. Verjetnost, da prvi strelec zadene tarčo, je ( Z ) 0,<br />
6<br />
P 1 = , za drugega pa P ( Z 2 ) = 0,<br />
5 .<br />
Izračunaj verjetnosti dogodkov:<br />
A – prvi strelec zgreši;<br />
B – oba strelca zadeneta;<br />
C – tarča je zadeta (vsaj enkrat);<br />
D – tarča ni zadeta;<br />
E – tarča je zadeta natanko enkrat!<br />
Pri tej in sorodnih nalog predpostavljamo, da sta dogodka Z 1 in Z 2 neodvisna!
11. Naj bodo A, B in C med seboj neodvisni dogodki in P ( A)<br />
= 1 2 , P ( B)<br />
= 1 3,<br />
P ( C)<br />
= 2 3 .<br />
Izračunaj verjetnosti dogodkov AB , A + B in A BC<br />
!<br />
12. Kolikšna je verjetnost, da na dveh kockah v prvem metu dobimo vsoto 9 ali – če se to ni<br />
zgodilo – v ponovljenem metu vsoto 7?<br />
13. Petdesetkrat ustrelimo proti tarči, verjenost zadetka pri posameznem strelu je P ( Z ) = 0,<br />
08<br />
in se ne spreminja. Kolikšna je verjetnost dogodka A, da je v teh 50 strelih tarča vsaj<br />
enkrat zadeta?<br />
14. Kolikšna mora biti verjetnost zadetka pri posameznem strelu, da lahko pri petih strelih z<br />
verjetnostjo večjo od 0,99 pričakujemo vsaj en zadetek?<br />
15. V škatli je 5 belih in 10 rdečih kroglic. Na slepo štirikrat potegnemo po eno kroglico in jo<br />
vsakič vrnemo v škatlo. Kolikšna je verjetnost, da se šele v četrtem poskusu pokaže rdeča<br />
kroglica?<br />
16. Dva igralca mečeta kovanec drug za drugim. Zmaga tisti, pri katerem se prej pojavi grb,<br />
kolikšna je verjetnost, da zmaga igralec, ki je igro začel?<br />
17. Nepismenemu človeku damo listke s črkami A, N, A, N, A, S in ga pro<strong>si</strong>mo, naj jih<br />
postavi v vrsto. Kolikšna je verjetnost, da nastane beseda ANANAS?<br />
18. V posodi imamo 4 bele, 2 rdeči in 3 modre krogle. Na slepo izbiramo po eno kroglo,<br />
dokler jih ne zmanjka. Izvlečene krogle odlagamo v vrsto. Izračunaj verjetnost dogodka,<br />
da bodo v končnem »vzorčku« krogle enake barve stale skupaj!<br />
19. Med 14 jabolki je 11 črvivih. Na slepo izberemo 2 izmed jabolk. Kolikšna je verjetnost,<br />
da je vsaj eno črvivo?<br />
20. Sočasno vržemo dve kocki. Kolikšna je verjetnost dogodka, da vsaj na eni pade šestica?<br />
21. Tri naprave delujejo neodvisno druga od druge. Verjetnosti, da jih v letu dni ne bo treba<br />
9 2 3<br />
popravljati, znašajo po vrsti , in . Določi verjetnost dogodka, da bo v letu dni vsaj<br />
11 3 4<br />
ena delovala brez okvare!<br />
22. Lovec strelja na li<strong>si</strong>co z razdalje 25 metrov, verjetnost, da jo zadane, je 0,60. Če zgreši,<br />
mu li<strong>si</strong>ca uide na razdaljo 50 metrov, preden lahko strelja nanjo. Izračunaj verjetnost, da je<br />
li<strong>si</strong>ca (s prvim ali drugim strelom) zadeta, če je pri teh oddaljenostih verjetnost za zadetek<br />
obratno sorazmerna kvadratu razdalje!<br />
23. Iz škatle s 3 belimi in 7 rdečimi kroglami vlečemo po eno krglo in izvlečenih krogel ne<br />
vračamo. Izračunaj verjetnost dogodkov:<br />
A – izvlečemo štiri rdeče krogle zapored;<br />
B – izvlečemo najprej 2 beli, nato 2 rdeči krogli.<br />
24. Kolikšna je verjetnost, da je pri istočasnem metu dveh poštenih igralnih kock padla vsaj<br />
ena trojka, če vemo, da je bila vsota pik na obeh kockah enaka 6?
25. Trikrat zapored vržemo pošteno igralno kocko. Kolikšna je verjetnost dogodka, da prvič<br />
pade sodo število pik, drugič šestica in tretjič manj kot 5 pik?<br />
26. Izdelke istega tipa izdelujeta dve tovarni, prva 60 % in druga 40 % od celotne<br />
proizvodnje. Med izdelki prve tovarne je 60 % izdelkov prve in 40 % izdelkov druge<br />
kvalitete; med izdelki druge tovarne je prvovrstnih 80 %, ostali so druge kvalitete. Naj<br />
pomeni A dogodek, da je na slepo izbran izdelek izdelan v prvi tovarni, B pa dogodek, da<br />
je na slepo izbran izdelek prve kvalitete. Izračunaj verjetnosti dogodkov:<br />
A , B,<br />
A,<br />
B,<br />
AB,<br />
AB,<br />
AB,<br />
AB<br />
, A / B,<br />
A / B,<br />
B / A,<br />
B / A in vsakega od njih podrobno opiši<br />
z besedami! Koliko je prvovrstnih izdelkov?<br />
27. Podjetje kandidira za posel na dveh neodvisnih natečajih. Na prvem dobi posel z<br />
verjetnostjo 40% na drugem pa z 50%. Verjetnost, da ima dobiček, če dobi posel samo na<br />
prvem natečaju, je 60%, da ima dobiček, če dobi posel samo na drugem natečaju, je 55%,<br />
če dobi oba posla, pa 90%. Kakšna je verjetnost, da ima dobiček? Če ima dobiček, kakšna<br />
je verjetnost, da je dobil posel samo na prvem natečaju?<br />
28. Imamo tri enake škatle; v prvi 2 črni in 1 belo kroglico, v drugi 3 bele in 2 črni, v tretji 1<br />
belo in 3 črne kroglice. Na slepo sežemo v eno od škatel in na slepo izvlečemo eno<br />
kroglico. Kolikšna je verjetnost, da je ta kroglica črna?<br />
29. Iz škatle, v kateri je 5 belih in 7 črnih krogel, predenemo na slepo dve krogli v žaro z 2<br />
belima in 5 črnimi kroglami, nato pa iz te na slepo izvlečemo eno kroglo. Kolikšna je<br />
verjetnost, da je ta krogla črna?<br />
30. Na izpit iz matematike je prišlo 50 študentov, od katerih jih je 38 preštudiralo poglavje o<br />
verjetnostnem računu. Na izpitu je tudi ena naloga iz verjetnostnega računa. Verjetnost, da<br />
to nalogo privede do pravilnega rezultata študent, ki je poglavje preštudiral, je 0,90;<br />
verjetnost, da ima pravilen rezultat študent, ki tega poglavja ni preštudiral, pa je 0,15<br />
(prepisovanje, »trenutni navdih« ipd.). Izračunaj verjetnost, da naključno izbrani študent<br />
pravilno reši nalogo? Kakšna je verjetnost, da študent, ki pravilno reši nalogo, snovi ni<br />
preštudiral?<br />
31. Janezovi uspehi pri skoku v daljino so močno odvisni od vremena. Če je lepo vreme,<br />
zmaga na državnem prvenstvu z verjetnostjo 0,75, če pa dežuje, je verjetnost za zmago<br />
samo 0,50. V Celju, kjer je povprečno ena tretjina septemberskih dni deževnih, je 25.<br />
septembra osvojil naslov državnega prvaka. Kolikšna je verjetnost, da je 25. septembra v<br />
Celju deževalo?<br />
32. Izmed števil 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 na slepo izberemo dve števili. Izračunaj verjetnost<br />
dogodka, da sta obe števili lihi, če je njuna vsota sodo število!<br />
33. Desetkrat zaporedoma vržemo kovanec. Kolikšna je verjetnost, da grb:<br />
A - pade natanko dvakrat;<br />
B - ne pade več kot dvakrat;<br />
C - pade vsaj dvakrat?<br />
34. Pri metanju kovanca je šestindvajsetkrat zaporedoma padel grb. Kolikšna je verjetnost, da<br />
pade grb v sedemindvajsetem poskusu?
35. V žari je enako število belih in črnih krogel. Osemkrat zaporedoma izvlečemo (na slepo)<br />
po eno kroglo in jo spet vrnemo v žaro. Kolikšna je verjetnost, da smo pri tem šestkrat<br />
izvlekli črno kroglo?<br />
36. Kateri dogodek ima večjo verjetnost:<br />
A – štirje grbi pri sedmih metih kovanca ali;<br />
B – šest grbov pri devetih metih?<br />
37. Podjetje ima štiri tovornjake, okvare posameznega tovornjaka so neodvisne od okvar<br />
ostalih tovornjakov. Verjetnost, da se v določenem časovnem intervalu posamezen<br />
tovornjak pokvari, znaša 0,04. Kolikšna je verjetnost dogodka,<br />
A – da se pokvarijo v<strong>si</strong> štirje tovornjaki;<br />
B – da se ne pokvari vsaj en tovornjak;<br />
C – da se pokvari vsaj en tovornjak?<br />
38. Katero število grbov je najbolj verjetno, če vržemo kovanec<br />
a) tridesetkrat;<br />
b) petintridesetkrat?<br />
1<br />
39. Kolikokrat moramo vreči kocko, da bo z verjetnostjo vsaj vsaj enkrat padla šestica?<br />
2<br />
40. V škatli imamo 4 bele, 4 črne in 2 rdeči krogli. Šestkrat na slepo izvlečemo po eno kroglo<br />
in jo vsakič vrnemo v škatlo. Kolikšna je verjetnost, da se pri tem po dvakrat pojavi krogla<br />
posamezne barve?<br />
41. Vojak, ki zadeva z verjetnostjo 0,45, ima na razpolago 10 nabojev. Za pozitivno oceno<br />
potrebuje šest zadetkov. Kolikšna je verjetnost, da to normo doseže z zadnjim nabojem?<br />
REŠITVE:<br />
100<br />
=<br />
5.<br />
000<br />
⎛100⎞<br />
⎛4.<br />
900⎞<br />
⎜ ⎟ ⋅⎜<br />
⎟<br />
1 1<br />
=<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
= 0,<br />
0392 ≅ 0,<br />
⎛5.<br />
000⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
1. P ( A)<br />
= 0,<br />
02<br />
P<br />
( B)<br />
04<br />
1 1<br />
P A = = ≅<br />
4!<br />
24<br />
1<br />
b) P ( A)<br />
= ≅ 0,<br />
004<br />
4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4<br />
2. a) ( ) 0,<br />
042<br />
30<br />
=<br />
90<br />
18<br />
= = 0,<br />
90<br />
3. P ( A)<br />
= 0,<br />
3<br />
P<br />
( B)<br />
2
( C)<br />
= P(<br />
A + B)<br />
= P(<br />
A)<br />
+ P(<br />
B)<br />
− P(<br />
AB)<br />
= + − = = 0,<br />
46<br />
P<br />
⎛5⎞<br />
⎜ ⎟<br />
3<br />
4. P ( A)<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
= 0,<br />
0088<br />
⎛20<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⎛6<br />
⎞ ⎛9<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⋅⎜<br />
⎟<br />
1 2<br />
P ( B)<br />
=<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
= 0,<br />
189<br />
⎛20<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⎛15⎞<br />
⎜ ⎟<br />
3<br />
P ( B)<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
= 0,<br />
399<br />
⎛20<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⎛46<br />
⎞ ⎛4<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⋅⎜<br />
⎟<br />
2 2<br />
5. P ( A)<br />
=<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
= 0,<br />
027<br />
⎛50⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 4 ⎠<br />
6.<br />
⎛ N ⎞ ⎛ M ⎞<br />
⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟<br />
⎝ q ⎠ ⎝k<br />
− q<br />
P ( A)<br />
=<br />
⎠<br />
⎛ N + M ⎞<br />
⎜<br />
⎝ k<br />
⎟<br />
⎠<br />
4 ⋅ 4 ⋅ 4<br />
9 ⋅9<br />
⋅9<br />
7. P ( A)<br />
= ≅ 0,<br />
088<br />
8.<br />
6 ⋅ 5⋅<br />
4 ⋅3<br />
⋅ 2<br />
P ( A)<br />
=<br />
≅ 0,<br />
093<br />
5<br />
6<br />
12!<br />
P B<br />
2,<br />
2,<br />
2,<br />
2,<br />
2,<br />
2<br />
6<br />
P12<br />
( 2!<br />
)<br />
= =<br />
p 12<br />
12<br />
V 6<br />
≅ 0,<br />
( ) 0034<br />
6<br />
9. A K nobeden defekten<br />
⎛4<br />
⎞<br />
P<br />
A = 1− P A<br />
⎜ ⎟<br />
3<br />
= 1−<br />
⎝ ⎠<br />
≅ 0,<br />
⎛14⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
( ) ( ) 989<br />
30<br />
90<br />
18<br />
90<br />
6<br />
90<br />
42<br />
90
10. P ( A)<br />
= P(<br />
Z1<br />
) = 1− P(<br />
Z1<br />
) = 0,<br />
4<br />
P ( B)<br />
= P(<br />
Z1<br />
Z 2 ) = P(<br />
Z1<br />
) P(<br />
Z 2 ) = 0,<br />
3 Upoštevamo neodvisnost!<br />
P C = P Z + Z ) = P Z + P Z − P Z P Z = 0,<br />
( ) ( 1 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 8<br />
( D)<br />
= P(<br />
Z1<br />
Z 2 ) = ( 1− P(<br />
Z1<br />
) ) ⋅ ( 1−<br />
P(<br />
Z 2 ) ) = 0,<br />
2 P D<br />
( E)<br />
= P(<br />
Z Z + Z Z ) = P Z Z ) + P(<br />
Z Z ) − P(<br />
Z Z Z Z ) = 0,<br />
5<br />
P ali ( ) = 1 − P(<br />
C)<br />
= 0,<br />
2<br />
P<br />
11. P ( AB)<br />
1<br />
2<br />
1 1 1<br />
= ⋅ =<br />
2 3 6<br />
1 1 1 2<br />
P ( A + B)<br />
= + − =<br />
2 3 6 3<br />
1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 1<br />
P ( ABC<br />
) = ⋅⎜1<br />
− ⎟ ⋅ ⎜1−<br />
⎟ =<br />
2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 9<br />
12. A – vsota devet v prvem metu;<br />
B – vsota sedem v drugem metu;<br />
4 32 6 7<br />
P ( A + AB)<br />
= + ⋅ =<br />
36 36 36 27<br />
13. A K noben zadetek<br />
P<br />
1<br />
2<br />
( 1 2<br />
1 2<br />
1 2 1 2<br />
50<br />
( A)<br />
= 1−<br />
P(<br />
A)<br />
= 1−<br />
P(<br />
ZZZ<br />
... Z ) = 1−<br />
( P(<br />
Z ) = 1−<br />
1−<br />
P(<br />
Z )<br />
5<br />
⇒<br />
14. ( ) ( ) 5<br />
P A = 1−<br />
1−<br />
p > 0,<br />
99 p > 1−<br />
1−<br />
0,<br />
99 p > 0,<br />
602<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
15. P ( A)<br />
= P(<br />
BBBR)<br />
= P(<br />
B)<br />
P(<br />
B)<br />
P(<br />
B)<br />
P(<br />
R)<br />
= ⋅ = ≅ 0,<br />
025<br />
1 3<br />
50<br />
50<br />
( ) = 1(<br />
1−<br />
0,<br />
08)<br />
≅ 0,<br />
985<br />
⇒<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
16. P(<br />
A)<br />
= P(<br />
G)<br />
+ P(<br />
ŠŠG)<br />
+ P(<br />
ŠŠŠŠG)<br />
+ P(<br />
ŠŠŠŠŠŠG)<br />
+ ... =<br />
2<br />
4<br />
6<br />
1<br />
= , 5 + 0,<br />
5 ⋅ 0,<br />
5 + 0,<br />
5 ⋅ 0,<br />
5 + 0,<br />
5 ⋅ 0,<br />
5 + ... = 0,<br />
5⋅<br />
1−<br />
0,<br />
5<br />
0 2<br />
6!<br />
2!<br />
3!<br />
2,<br />
3<br />
17. m = 1,<br />
n = P = = 60,<br />
P(<br />
A)<br />
6<br />
4,<br />
2,<br />
3 9!<br />
3<br />
18. n = P9<br />
= = 1260 m = P = 3!<br />
= 6<br />
4!<br />
⋅2!<br />
⋅3!<br />
6<br />
P ( A)<br />
= ≅ 0,<br />
005<br />
1260<br />
⎛11⎞<br />
⎛3⎞<br />
⎛11⎞<br />
⎜ ⎟ ⋅⎜<br />
⎟ + ⎜ ⎟<br />
1 1 2 88<br />
19. P<br />
( A)<br />
=<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
= = & 0,<br />
967<br />
⎛14⎞<br />
91<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
=<br />
1<br />
60<br />
2<br />
81<br />
=<br />
2<br />
3
20. P ( A)<br />
5 5<br />
= 1 − ⋅ =<br />
6 6<br />
2<br />
11<br />
1<br />
3<br />
11<br />
36<br />
1<br />
4<br />
21. P ( A)<br />
= 1− ⋅ ⋅ ≅ 0,<br />
985<br />
22. 25 0,<br />
60 = p ;<br />
50 je dvakrat večje od 25, zaradi kvadratne zveze je p 50 štirikrat manjše od p 25 , torej<br />
50 0,<br />
15 = p .<br />
P A = p + − p ⋅ p<br />
( ) ( ) = 0,<br />
60 + 0,<br />
40 ⋅ 0,<br />
15 = 0,<br />
66<br />
25<br />
1 25 50<br />
23. P(<br />
A)<br />
= P(<br />
R1<br />
R2R3<br />
R4<br />
) = P(<br />
R1<br />
) P(<br />
R2<br />
R1<br />
) P(<br />
R3<br />
R1R2<br />
) P(<br />
R4<br />
7 6 5 4<br />
R1R2<br />
R3<br />
) = ⋅ ⋅ ⋅ = 0,<br />
16<br />
10 9 8 7<br />
P B = P B B R R = P B P B B P R B B P R B B R = 0,<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 05<br />
1<br />
2<br />
24. A – vsaj ena trojka, B – vsota 6 pik<br />
1<br />
P<br />
( )<br />
( AB)<br />
1<br />
P A B = =<br />
36<br />
=<br />
P(<br />
B)<br />
5 5<br />
36<br />
3<br />
4<br />
25. A 1 – sodo število pik (v prvem poskusu);<br />
A 2 – šestica (v drugem poskusu);<br />
A 3 – manj kot 5 pik (v tretjem poskusu).<br />
Neodvisni dogodki:<br />
3<br />
P A = P A1<br />
A2<br />
A3<br />
= P A1<br />
P A2<br />
P A3<br />
=<br />
6<br />
1<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ ⋅ = 0,<br />
05<br />
26.<br />
B B<br />
A 0,36 0,24 0,60<br />
A 0,32 0,08 0,40<br />
0,68 0,32 1,00<br />
Vrstni red računanja:<br />
1. P ( A)<br />
, P ( A)<br />
poznamo;<br />
2. vse štiri produkte;<br />
3. vsoti po stolpcih ( P ( B)<br />
, P ( B ) );<br />
4. pogojne verjetnosti po obrazcu.<br />
Prvovrstnih izdelkov je 68%.<br />
2<br />
1<br />
3<br />
27. H1 - samo prvi posel, H 2 - samo drugi posel, 3 H - oba posla, H 4 - noben posel<br />
P ( H1<br />
) = 0,<br />
4⋅<br />
0,<br />
5 = 0,<br />
2<br />
P ( H 2 ) = 0,<br />
6⋅<br />
0,<br />
5 = 0,<br />
3 P ( H 3 ) = 0,<br />
4⋅<br />
0,<br />
5 = 0,<br />
2<br />
P<br />
( H 4 ) = 0,<br />
6⋅<br />
0,<br />
5 =<br />
0,<br />
3<br />
1<br />
6<br />
1<br />
4<br />
6<br />
2<br />
4<br />
1<br />
2<br />
3
A - ima dobiček<br />
P ( A H1<br />
) = 0,<br />
6 P ( A H 2 ) = 0,<br />
55 ( 3 ) 0,<br />
9 = H A P 0 ) ( P A H 4 =<br />
P ( A)<br />
= 0,<br />
2⋅<br />
0,<br />
6 + 0,<br />
3⋅<br />
0,<br />
55 + 0,<br />
2⋅<br />
09 + 0,<br />
3⋅<br />
0 =<br />
P<br />
( H A)<br />
1<br />
P<br />
=<br />
( A H ) ⋅ P(<br />
H )<br />
1<br />
P(<br />
A)<br />
1<br />
=<br />
0,<br />
6<br />
⋅<br />
0,<br />
2<br />
0,<br />
465<br />
=<br />
0,<br />
258<br />
0,<br />
465<br />
28. H1 - prva škatla, H 2 - druga škatla, H 3 - tretja škatla<br />
1 1 1<br />
P ( H1<br />
) = , P ( H 2 ) = , P ( H 3 ) =<br />
3 3 3<br />
2 ( 1 )<br />
3<br />
= H Č<br />
2<br />
P , ( 2 )<br />
5<br />
= H Č<br />
3<br />
P , ( 3 )<br />
4<br />
= H Č P<br />
P<br />
1 2 1 2 1 3 109<br />
( Č)<br />
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = = 0,<br />
605<br />
3<br />
3<br />
3<br />
5<br />
3<br />
4<br />
180<br />
29. H1 - 2 črni, H 2 - 1 črna in 1 bela, H 3 - 2 beli<br />
21<br />
( 1 )<br />
66<br />
= H<br />
35<br />
P , ( 2 )<br />
66<br />
= H<br />
10<br />
P , ( 3 )<br />
66<br />
= H P<br />
7<br />
6<br />
5<br />
P ( Č H1<br />
) = , P ( Č H 2 ) = , P ( Č H 3 ) =<br />
9<br />
9<br />
9<br />
P ( Č)<br />
= 0,<br />
685<br />
30. 1<br />
H - je študiral, H 2 - ni študiral, A – pravilno reši<br />
38<br />
P ( H1<br />
) = = 0,<br />
76<br />
50<br />
P ( A H1<br />
) = 0,<br />
90<br />
12<br />
P ( H 2 ) = = 0,<br />
24<br />
P ( A H 2 ) = 0,<br />
15<br />
50<br />
a) P ( A)<br />
= 0 , 76 ⋅ 0,<br />
90 + 0,<br />
24 ⋅ 0,<br />
15 = 0,<br />
72<br />
b) P ( H 2<br />
P(<br />
A H 2 ) 0,<br />
24 ⋅ 0,<br />
15<br />
A)<br />
= = ≅ 0,<br />
05<br />
P(<br />
A)<br />
0,<br />
72<br />
31. 1<br />
H - lepo vreme, H 2 - dežuje, A – zmaga<br />
2<br />
( 1 )<br />
3<br />
= H<br />
3<br />
P P ( A H1<br />
) = 0,<br />
75 =<br />
4<br />
1<br />
1<br />
P ( H 2 ) =<br />
P ( A H 2 ) = 0,<br />
50 =<br />
3<br />
2<br />
P(<br />
H 2 ) ⋅ P(<br />
A H 2 ) 1<br />
P ( H 2 A)<br />
=<br />
=<br />
P A<br />
( ) 4<br />
32. A – obe števili lihi, B – vsota izvlečenih števil je sodo število<br />
P<br />
( )<br />
( A ∩ B)<br />
P A B =<br />
P B<br />
( )
B – izvlečemo dve sodi ali dve lihi števili<br />
⎛5<br />
⎞ ⎛4<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟<br />
⎝2<br />
⎠ ⎝2<br />
P (B)<br />
=<br />
⎠<br />
⎛9<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝2<br />
⎠<br />
Dogodek A je način dogodka B, zato je<br />
⎛5<br />
⎞<br />
⎛5<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
( ) ( ) ⎝2<br />
∩ = =<br />
⎠<br />
2<br />
P A B P A in zato P ( A B)<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
≅ 0,<br />
625 .<br />
⎛9<br />
⎞<br />
⎛5<br />
⎞ ⎛4<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟<br />
⎝2<br />
⎠<br />
⎝2<br />
⎠ ⎝2<br />
⎠<br />
33. P ( A)<br />
= P 10;<br />
, 2 =<br />
≅ 0,<br />
044<br />
P<br />
P<br />
( B)<br />
2 8<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛10⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝<br />
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
= P⎜10;<br />
, 0⎟<br />
+ P⎜10;<br />
, 1⎟<br />
+ P⎜10;<br />
, 2⎟<br />
= ... ≅ 0,<br />
0547<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
= 1−<br />
P⎜10;<br />
, 0⎟<br />
− P⎜10;<br />
, 1⎟<br />
= ... ≅ 0,<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
( C)<br />
989<br />
1<br />
34. Verjetnost, da pade grb v sedemindvajsetem poskusu je , saj so posku<strong>si</strong> neodvisni.<br />
2<br />
⎛8<br />
⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
P A = ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝6<br />
⎠⎝<br />
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
6<br />
28<br />
256<br />
35. ( ) = ≅ 0,<br />
109<br />
2<br />
36. A − štirje grbi v sedmih metih B − šest grbov v devetih metih<br />
P A ≅ 0, 273 > P B ≅ 0,<br />
( ) ( ) 164<br />
−6<br />
37. P ( A)<br />
= P(<br />
4;<br />
0,<br />
04;<br />
4)<br />
= ... = 2,<br />
56 ⋅10<br />
P(<br />
B)<br />
= 1−<br />
P(<br />
A)<br />
= 0,<br />
99999744<br />
P(<br />
C)<br />
= 1−<br />
P(<br />
4;<br />
0,<br />
96;<br />
4)<br />
≅ 0,<br />
151<br />
1 1<br />
38. a) np − q = 30 ⋅ − = 14,<br />
5<br />
2 2<br />
to ni celo število, k 0 = ⎡14, 5⎤<br />
= 15 ;<br />
1 1<br />
b) np − q = 35 ⋅ − = 17<br />
2 2<br />
celo število, 0 17 = k in 18 ' 0 = k .<br />
P<br />
A<br />
⎛ 1<br />
P⎜n<br />
⎝ 6<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0<br />
⎛n<br />
⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 5 ⎞<br />
⎜ ⎟⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0<br />
⎠⎝<br />
6 ⎠ ⎝ 6 ⎠<br />
39. ( ) = 1−<br />
; ; 0 = 1−<br />
≥ ;<br />
n<br />
1<br />
2
⎛ 5 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 6 ⎠<br />
n<br />
≤<br />
1<br />
2<br />
⇒<br />
n log<br />
5<br />
6<br />
≤<br />
Potrebni so vsaj štirje meti.<br />
1<br />
log<br />
2<br />
6!<br />
⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
2!<br />
2!<br />
2!<br />
⎝10<br />
⎠ ⎝10<br />
⎠ ⎝10<br />
⎠<br />
⇒<br />
40. P ( A)<br />
=<br />
≅ 0,<br />
0922<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
log<br />
n ≥<br />
2<br />
≅<br />
5<br />
log<br />
6<br />
3,<br />
80<br />
⎛ n −1⎞<br />
k n−k<br />
⎛9⎞<br />
6 4<br />
41. P<br />
( A)<br />
= ⎜ ⎟ p ( 1−<br />
p)<br />
= ⎜ ⎟ ⋅ 0,<br />
45 ⋅ 0,<br />
55 ≅ 0,<br />
0957<br />
⎝k<br />
−1⎠<br />
⎝5⎠