Gradivo 1.kolokvij - Shrani.si

1. Determinante
Determinanta je preslikava iz prostora n × n matrik v prostor realnih števil.
Operacije z determinantami:
- seštevanje: Dve determinanti lahko seštejemo, če se razlikujeta le v eni vrstici ali
enem stolpcu. To vrstico (stolpec) prepišemo, ostale seštejemo.
- množenje s številom: Determinanto pomnožimo s številom tako, da z njim
pomnožimo eno vrstico ali en stolpec.
- zamenjava: Če zamenjamo dve vrstici ali dva stolpca se predznak determinanti
spremeni.
Računanje vrednosti determinante
•
a
c
b
= ad − bc
d
∗
• ∗ ∗ ∗ = produkti naprej - produkti nazaj
∗
∗
∗
∗
∗
• Determinanto prevedemo na zgornje trikotno:
- vrstici (stolpcu) prištejemo s številom pomnoženo vrstico (stolpec),
- zamenjamo vrstici (stolpca) in spremenimo predznak.
a
11
0
a
22
M 0 O = a11
⋅ a22
⋅L⋅
a
M O O
0
L
L
0
a
nn
• Determinanto razvijemo po vrstici ali stolpcu
a L L L a
a
a
11
M
k1
M
n1
L
L
a
ki
L
L
L
a
a
1n
M
kn
M
nn
=
n
∑
i=
1
( −1)
k + i
a
ki
Δ
Cramerjeva metoda za reševanje sistemov linearnih enačb:
v v
Sistem zapišemo v matrični obliki A ⋅ x = b . Matrika A j je matrika A v kateri smo j -ti
stolpec zamenjali z b v . Potem je
Aj
x j = .
A
nn
ki

Ilustracija lastnosti determinant na primerih:
1
2
3
( − 2)
1
2
3
−1
7
5
⋅ 2
−1
7
5
1
3
NALOGE:
4
1 + 2
0
−1
4
0
7
5
1
3
4
1
0
1
1 = − 3
2
− 4
− 3
1
=
− 2
−1
5
7
2
3
4
1
0
4
0
1
=
2
7
5
1
2
3
− 8
1
0
− 5
1. Za naslednjo determinanto zapiši poddeterminanto 13 25 ,Δ
5 −1
4
2
7
2
0
1
0
3
0
1
2
4
1
7
1
6
5
2
6
5
0
1
1
4
6
2. Izračunaj naslednji determinanti z razvojem po vrstici ali stolpcu
2 2 0 1
2 2 0 1
1
3
4
1
− 5
10
0
0
2
− 1
0
1
1
3
4
4
1
0
1
− 5
10
3
0
5
− 1
3. Izračunaj naslednjo determinanto s prevedbo na zgornje trikotno.
1 2 1 3 −1
2
3
−1
4
4
7
1
5
3
1
3
6
5
8
− 4
10
4
− 2
1
− 5
0
1
Δ in kofaktorja A 31 , A52
!

4. Reši s pomočjo Cramerjeve metode:
a)
3
4
5
8
3
2
0
2
3
=
+
+
=
+
=
−
+
−
−
=
−
z
y
x
t
z
t
y
x
t
x
b)
0
7
3
6
0
2
3
3
0
4
2
0
3
2
=
−
+
=
−
+
+
=
−
−
−
=
−
−
+
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
c)
4
3
4
3
2
2
2
7
3
2
4
4
2
2
3
2
1
5
3
5
3
1
5
4
1
4
3
2
1
=
+
+
=
+
=
+
+
−
=
+
+
=
+
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
REŠITVE:
1.
1
2
3
2
1
5
0
7
0
6
1
2
5
1
0
4
13 =
Δ
2
1
3
2
5
4
0
7
6
2
1
2
7
0
1
5
25
−
=
Δ
2
2
)
1
(
1
3
31
=
⋅
−
=
+
A 3
3
)
1
(
2
5
52
−
=
⋅
−
=
+
A
2. 48, 18
3. 255
4. a) 2
,
1
,
0
,
1 =
=
=
−
= t
z
y
x
b) 0
=
=
=
= t
z
y
x
c) 2
,
0
,
1
,
0
,
1 4
4
3
2
1
=
=
=
=
= x
x
x
x
x

2. Matrike
Operacije z matrikami:
- seštevanje: Dve matriki seštejemo tako, da seštejemo istoležne elemente.
- množenje s številom: Matriko pomnožimo s številom tako, da z njim pomnožimo
vse elemente matrike.
- transponiranje: Element
zamenjata.
a ij postane element a ji . Vloga vrstice in stolpca se
- množenje matrik: Naj bo C = AB . Potem je
matrike A in j -tega stolpca matrike B .
c ij skalarni produkt i -te vrstice
Množenje matrik ni komutativno, torej v splošnem AB ≠ BA.
T T
Za transponiranje in množenje matrik velja enakost ( ) B A
T
AB = .
Inverzna matrika matrike A je taka matrika, da velja AA = A A = E
− − 1 1
. Inverzna
matrika obstaja samo pri kvadratnih matrikah z A ≠ 0 . Izračunamo jo lahko na dva
načina:
1. z matriko kofaktorjev :
- izračun determinante;
- izračun matrike kofaktorjev;
- transponiranje matrike kofaktorjev;
- deljenje z vrednostjo determinante.
2. z elementarnimi transformacijami: Matriko A razširimo z enotsko matriko.
A E z elementarnimi transformacijami na
Preuredimo razširjeno matriko [ ]
−1
vrsticah in dobimo [ A ]
E .
Formula za izračunavanje inverzne matrike pri matrikah reda 2.
⎡a
A = ⎢
⎣c
b⎤
⎥ ⇒ A
d ⎦
−1
1 ⎡ d
=
ad − bc
⎢
⎣−
c
− b⎤
a
⎥
⎦
Matrične enačbe rešujemo podobno kot navadne enačbe, paziti pa moramo na
nekomutativnost množenja in množenje z inverzno matriko namesto deljenja.
Rang matrike je velikost največje neničelne poddeterminante. Določimo ga tako, da
matriko z elementarnimi transformacijami pretvorimo v stopničasto obliko (vsaka
vrstica začne v kasnejšem stolpcu). Potem je rang matrike enak številu neničelnih
vrstic.

NALOGE:
1. Dani sta matriki
⎡3
2 1⎤
⎡1
A =
⎢ ⎥
⎢
0 0 1
⎥
in B =
⎢
⎢
2
⎢⎣
1 2 4⎥⎦
⎢⎣
0
Izračunaj matriko 2 A − B .
0
2
1
1⎤
0
⎥
⎥
0⎥⎦
2. Dani sta matriki
⎡1
1 0 ⎤ ⎡1
3 1 ⎤
A =
⎢ ⎥
⎢
3 3 −1
⎥
in B =
⎢ ⎥
⎢
1 3 −1
⎥
⎢⎣
4 1 2 ⎥⎦
⎢⎣
2 1 0 ⎥⎦
Določi matriko X tako, da bo veljalo B + 2 X = 3A
!
3. Izračunaj produkta AB in BA, če je
⎡1
A =
⎢
⎢
2
⎢⎣
1
2
1
2
1⎤
⎡ 4
2
⎥
⎥
in B =
⎢
⎢
− 4
3⎥⎦
⎢⎣
1
1
2
2
1⎤
0
⎥
⎥
!
1⎥⎦
4. Na primeru matrik
⎡ 1
A = ⎢
⎣−1
2
1
⎡ 1
3⎤
0
⎥ in B =
⎢
⎢
−1
⎦
⎢⎣
2
1 ⎤
2
⎥
⎥
−1⎥⎦
T T
preveri, da velja za transpozicijo produkta pravilo ( AB ) = B A !
⎡1
1⎤
5. Naj bo M = ⎢ ⎥ . Poišči vse matrike N, za katere je MN = 0!
⎣1
1⎦
Namig: Poišči pogoje za poljubno matriko.
⎡1
0⎤
⎡0
1⎤
⎡ 1 1 ⎤
6. Poišči kvadrate matrik A = ⎢ ⎥ , B =
⎣0
1
⎢ ⎥ in C =
⎦ ⎣0
0
⎢ ⎥ !
⎦ ⎣−1
−1⎦
⎡ 1 1⎤
⎡−
2 2⎤
7. Pokaži, da matriki A = ⎢ ⎥ in B =
⎣−
2 2
⎢ ⎥ komutirata!
⎦ ⎣−
4 0⎦
2
⎡ 1 1⎤
8. Za polinom p ( x)
= x − 2x
+ 2 in matriko M = ⎢ ⎥ pokaži, da je p ( M ) = 0 .
⎣−1
1⎦
⎡1
1⎤
⎡1
n⎤
9. S popolno indukcijo dokaži, da za A = ⎢ ⎥ velja A =
⎣0
1
⎢ ⎥
⎦ ⎣0
1⎦
n
!
T

⎡2
1⎤
10. Dani matriki A = ⎢ ⎥ poišči inverzno matriko!
⎣5
2⎦
11. Izračunaj
−1
A za
⎡2
2 3⎤
A =
⎢ ⎥
⎢
1 1 0
⎥
!
⎢⎣
1 2 1⎥⎦
12. Reši matrično enačbo XA = B za
⎡1
A = ⎢
⎣5
3 ⎤
− 2
⎥ in B = [ 17
⎦
34]
.
13. Reši matrično enačbo A ⋅ X ⋅ B = C , če so
⎡2
A =
⎢
⎢
4
⎢⎣
5
− 3
− 5
− 7
1⎤
⎡9
2
⎥
⎥
, B =
⎢
⎢
1
3⎥⎦
⎢⎣
1
7
1
1
6⎤
⎡ 2
2
⎥
⎥
in C =
⎢
⎢
18
1⎥⎦
⎢⎣
23
0
12
15
− 2⎤
9
⎥
⎥
.
11 ⎥⎦
14. S pomočjo nakazanega razbitja na bloke reši
⎡1 ⎢
⎢
1
⎢0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
2
1
3
2
− 2⎤⎡
x1
⎤ ⎡0⎤
1
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎢
x2
⎥ = ⎢
2
⎥ .
1 ⎥⎢x
⎥ 3 ⎢4⎥
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
1 ⎦⎣x
4 ⎦ ⎣2⎦
15. Določi rang matrike
16. Določi rang matrike
⎡1
4 3 2 1⎤
⎢
⎥
⎢
0 1 −1
− 2 2
A =
⎥ !
⎢2
9 5 2 4⎥
⎢
⎥
⎣2
7 7 6 0⎦
⎡1
α −1
2⎤
A =
⎢
⎥
⎢
2 −1
α 5
⎥
v odvisnosti od α !
⎢⎣
1 10 − 6 1⎥⎦
17. S pomočjo elementarnih transformacij poišči inverzno matriko za
⎡3
⎢
⎢
0
A =
⎢0
⎢
⎣0
1
3
1
0
2
3
2
0
1⎤
3
⎥
⎥ .
0⎥
⎥
4⎦
18. Reši sistema linearnih enačb s pomočjo inverzne matrike
2x
− y + z = 8
a)
x − 3y
− 5z
= 6
3x
+ y − 7z
= −4

2x
− y + z = 1
b) x + 2y
− z = 2
x − y + 2z
= 0
19. Poišči vse tiste matrike X, ki hkrati ustrezajo naslednjim pogojem:
⎡ 1 1⎤
a) komutirajo z matriko A = ⎢ ⎥ ,
⎣−
2 2⎦
b) x 22 = 2 ,
c) det ( X ) = 8 .
Namig: Poišči pogoje za poljubno matriko.
20. Reši matrično enačbo AXB + CXB = D , kjer je
⎡5
A = ⎢
⎣3
1⎤
⎥,
1⎦
⎡1 C = ⎢
⎣1
−1⎤
⎥,
3 ⎦
⎡2 B =
⎢
⎢
1
⎢⎣
2
1
0
1
−1⎤
0
⎥
⎥
,
1 ⎥⎦
REŠITVE:
1.
⎡ 5
⎢
⎢
− 2
⎢⎣
2
4
− 2
3
1⎤
2
⎥
⎥
8⎥⎦
2. Izrazimo X iz enačbe in dobimo
3.
⎡1
D = ⎢
⎣1
1
1
1⎤
1
⎥
⎦
⎡1
0 0 ⎤
3 1
X = A − B =
⎢ ⎥
⎢
4 3 −1
⎥
.
2 2
⎢⎣
5 1 3 ⎥⎦
⎡−
3
AB =
⎢
⎢
6
⎢⎣
−1
7
8
11
2⎤
⎡7
4
⎥
⎥
in BA =
⎢
⎢
0
4⎥⎦
⎢⎣
6
11
− 6
6
9⎤
0
⎥
⎥
. Zaradi nekomutativnosti množenja matrik sta
8⎥⎦
produkta različna.
T
⎡1 −1⎤
T ⎡ 5 2⎤
⎡5 − 2⎤
T T ⎡1
−1
2 ⎤ ⎡ − ⎤
4. ( AB ) = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ in
⎢ ⎥ 5 2
B A =
=
⎣−
2 1⎦
⎣2
1
⎢ ⎥⎢
2 1
⎥ ⎢ ⎥ .
⎦
⎣1
2 −1⎦
⎢ ⎥
⎣2
1 ⎦
⎣3
0 ⎦
5. Naj bo
⎡a
N = ⎢
⎣c
b⎤
d
⎥ . Potem iz
⎦
⎡a
+ c
MN = ⎢
⎣a
+ c
b + d ⎤
⎥ = 0 dobimo pogoja a = −c
in
b + d ⎦
⎡− c
b = −d
. Torej je N = ⎢
⎣ c
d⎤
d
⎥ za poljubna c, d ∈ ℜ .
⎦

Pri matrikah torej iz MN = 0 ne sledi ( M = 0 ) ∨ ( N = 0)
.
2 ⎡1
0⎤
2 ⎡0
0⎤
2 ⎡0
0⎤
6. A = ⎢ ⎥ , B =
⎣0
1
⎢ ⎥ , C =
⎦ ⎣0
0
⎢ ⎥
⎦ ⎣0
0⎦
7. Izračunamo AB in BA , ter ju primerjamo.
⎡−
6
AB = ⎢
⎣−
4
2 ⎤ ⎡−
6
− 4
⎥ in BA = ⎢
⎦ ⎣−
4
2 ⎤
− 4
⎥ , torej je AB = BA .
⎦
2
⎡ 1 1⎤⎡
1 1⎤
⎡ 1 1⎤
⎡1
0⎤
⎡0
0⎤
8. Izračunamo p ( M ) = M − 2M
+ 2E
= ⎢ ⎥⎢
⎥ − 2⎢
⎥ + 2⎢
⎥ = ⎢ ⎥ .
⎣−1
1⎦⎣−
1 1⎦
⎣−1
1⎦
⎣0
1⎦
⎣0
0⎦
1
n+
1 n ⎡1
n⎤
⎡1
1⎤
⎡ 1 n + 1⎤
9. A = A;
A = A ⋅ A = ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .
⎣0
1⎦
⎣0
1⎦
⎣0
1 ⎦
−1
⎡−
2 1 ⎤
10. A = ⎢ ⎥
⎣ 5 − 2⎦
11.
A
−1
⎡ 1
1
=
⎢
⎢
−1
3
⎢⎣
1
4
−1
− 2
− 3⎤
3
⎥
⎥
0 ⎥⎦
12. Enačbo XA = B na desni (nekomutativnost!) pomnožimo z
−1
X = B ⋅ A = [ 17
1 ⎡2
34]
17
⎢
⎣5
3 ⎤
= [ 12
−1
⎥
⎦
1]
.
13. Enačbo AXB = C zaradi nekomutativnosti pomnožimo na levi z
⎡1
−1
−1
Tako dobimo X = A ⋅C
⋅ B =
⎢
⎢
1
⎢⎣
2
1
2
3
1⎤
3
⎥
⎥
.
1⎥⎦
−1
A in dobimo
−1
A in na desni z
−1
B .
⎡A
14. Pomnožimo ⎢
⎣0
B⎤⎡
X ⎤ ⎡D⎤
⎡ AX + BY ⎤ ⎡D⎤
⎥⎢
⎥ =
C
⎢ ⎥ in dobimo =
⎦⎣Y
⎦ ⎣F
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . Sledi AX + BY = D in
⎦
⎣ CY ⎦ ⎣F
⎦
CY = F . Iz enačb izrazimo
−1 Y = C F,
−1
X = A ( D − BY ) . Dobimo
⎡ 2 ⎤
Y = ⎢ ⎥ in
⎣−
2⎦
⎡ ⎤
⎢
−
⎥
= ⎢ 5 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦
2
11
11
X . Torej je x 1 = − ,
2
5
x2
= ,
2
x3
= 2,
x4
= −2
.

⎡1
4 3 2
⎢
15. ⎢
0 1 −1
− 2
A =
⎢2
9 5 2
⎢
⎣2
7 7 6
Torej je r ( A)
= 2 .
1⎤
⎡1
2
⎥ ⎢
⎥ ≈ ⎢
0
4⎥
⎢0
⎥ ⎢
0⎦
⎣0
4
1
1
−1
3
−1
−1
1
2
− 2
− 2
2
1 ⎤ ⎡1
2
⎥ ⎢
⎥ ≈ ⎢
0
2 ⎥ ⎢0
⎥ ⎢
− 2⎦
⎣0
4
1
0
0
3
−1
0
0
2
− 2
⎡1
16. A =
⎢
⎢
2
⎢⎣
1
α
−1
10
−1
α
− 6
2⎤
⎡1
5
⎥ ⎢
⎥
≈
⎢
2
1⎥⎦
⎢⎣
1
2
5
1
−1
α
− 6
α ⎤ ⎡1
−1
⎥
≈
⎢
⎥ ⎢
0
10⎥⎦
⎢⎣
0
2
1
−1
−1
α + 2
− 5
α ⎤
−1
− 2α
⎥
⎥
≈
10 −α
⎥⎦
⎡1
2 −1
α ⎤
≈
⎢
⎥
⎢
0 1 α + 2 −1
− 2α
⎥
⎢⎣
0 0 α − 3 9 − 3α
⎥⎦
Torej je r ( A)
= 3 za α ≠ 3 in r ( A)
= 2 za α = 3.
17.
A
−1
⎡1
⎢3
⎢
⎢0
= ⎢
⎢
0
⎢
⎢
⎢0
⎣
0
2
3
1
−
3
0
−
1
3
−1
1
0
1 ⎤
−
12⎥
1 ⎥
− ⎥
2 ⎥
1 ⎥
4 ⎥
1 ⎥
⎥
4 ⎦
18. a) x = 2 , y = −3,
z = 1
b) x = 5 6,
y = 1 2,
z = −1
6
⎡a
19. Vzemimo X = ⎢
⎣c
b⎤
⎥.
Zaradi b) je
d ⎦
.
2 ⎥ ⎡a
X = ⎢
⎣c
b⎤
Komutiranje pomeni, da mora biti
⎦
AX = XA.
Sledi a = 2 − b in c = −2b
. Torej je
⎡2
− b
X = ⎢
⎣−
2b
b⎤
.
2
⎥ Zaradi c) je
⎦
2 2 4 8
2
X = b − b + = . Dobimo b 1 = 2 in b 2 = −1.
Torej sta matriki, ki zadoščata
⎡ 0
pogojem X 1 = ⎢
⎣−
4
2⎤
2
⎥ in X 2
⎦
⎡3 = ⎢
⎣2
−1⎤
2
⎥ .
⎦
20. Na levi najprej izpostavimo XB in dobimo ( A + C)
XB = D . Na levi pomnožimo z
( ) 1 −
+ C
A in na desni z
−1
B . Dobimo = ( A + C)
0
0
1⎤
2
⎥
⎥
0⎥
⎥
0⎦
⎡ 1 1 ⎤
⎢
0 −
−1
−1
⎥
X DB = 6 6
⎢ 1 1 ⎥ .
⎢0
− ⎥
⎣ 12 12⎦

3. Sistemi linearnih enačb
Sistem linearnih enačb zapišemo v matrični obliki AX = B , kjer je A matrika
koeficientov, X vektor neznank in B vektor konstant z desne strani enačb.
~
Definiramo razširjeno matriko A = [ A B]
. Sistem je rešljiv natanko takrat, ko je
~
r(
A)
= r(
A)
. Sistem je enolično rešljiv, če je r ( A)
enak številu neznank in
parametrično rešljiv, če je r ( A)
manjši od števila neznank. Pri parametično
rešljivem sistemu neznanke razdelimo na bazične in parametre ter bazične neznanke
izrazimo s parametri.
Homogen sistem AX = 0 je vedno rešljiv. Če je r ( A)
enak številu neznank ima
sistem samo trivialno rešitev X = 0 , če pa je r ( A)
manjši od števila neznank, ima
sistem parametrično rešitev.
Reši sistem linearnih enačb
2x
+ y − 3z
= 2
4x
+ 2y
− 6z
= 3
~ ⎡2
1 − 3 2⎤
⎡2
1 − 3 2 ⎤
Razširjena matrika je A = ⎢
⎥ ≈ ⎢
⎥ .
⎣4
2 − 6 3⎦
⎣0
0 0 −1⎦
~
Rang r ( A)
= 1 (brez zadnjega stolpca) in r ( A)
= 2 . Ker sta ranga različna, sistem ni
rešljiv.
Kakšna bi morala biti desna stran druge enačbe, da bi bil sistem rešljiv?
Sistem bo rešljiv, ko bosta ranga enaka. Da bo druga vrstica preoblikovane matrike iz
samih ničel, mora biti desna stran enaka 4.
~ ⎡2
1 − 3 2⎤
⎡2 1 − 3 2⎤
A = ⎢
⎥ ≈ ⎢
⎥ .
⎣4
2 − 6 4⎦
⎣0
0 0 0⎦
Ranga sta enaka 1, torej je sistem rešljiv. Število neznank je 3, zato je sistem
parametrično rešljiv. Če za bazično neznanko vzamemo y , je rešitev y = 2 − 2x
+ 3z
,
za poljubna x, z ∈ ℜ .
NALOGE:
1. Reši sistem linearnih enačb
2x
− y + z = 8
x − 3y
− 5z
= 6
3x
+ y − 7z
= −4

2. Reši sistem linearnih enačb
2x
+ 5y
+ z + 3w
= 2
4x
+ 6y
+ 3z
+ 5w
= 4
4x
+ 14y
+ z + 7w
= 4
2x
− 3y
+ 3z
+ 2w
= 7
3. Analiziraj rešljivost sistema lineranih enačb
x + 2y
+ 3z
= 1
3x
+ 3y
− z = a
− x + y + bz = −3
v odvisnosti od vrednosti parametrov a in b!
4. Reši homogen sistem lineranih enačb
3x
+ 2y
+ 5z
= 0
6x
+ 4y
+ 7z
= 0
3x
+ 2y
− z = 0
5. Določi a tako, da bo imel sistem netrivialno rešitev in jo zapiši.
3x
+ 2y
+ 5z
= 0
6x
+ 4y
+ az = 0
3x
+ 3y
− z = 0
6. Reši sistem
⎡1
⎢
⎢
0
⎢1
⎢
⎣0
0
2
− 4
4
8⎤
⎡ 9 ⎤
⎥ ⎡x⎤
1
⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
−1
⋅ = ⎥
⎥ ⎢
y
6 ⎥ ⎢ 11 ⎥
⎥ ⎢⎣
z⎥⎦
⎢ ⎥
2⎦
⎣−
2⎦
7. Sistem
x + 5t
+ u + v = 2
y + 2t
+ 4v
= 1
z − t − 2u
= 0
preoblikuj tako, da bodo bazične neznanke t, u, z!
REŠITVE:
1.
⎡2
−1
1 8 ⎤ ⎡1
− 3 − 5 6 ⎤
~
A =
⎢
⎥
≈
⎢
⎥
⎢
1 − 3 − 5 6
⎥ ⎢
0 5 11 − 4
⎥
⎢⎣
3 1 − 7 − 4⎥⎦
⎢⎣
0 0 1 1 ⎥⎦
~
Ranga r ( A)
= r(
A)
= 3,
sistem je rešljiv. Število neznank je 3, torej imamo eno rešitev.
x = 2 , y = −3
, z = 1.

⎡ 2 ⎤
Vektorski zapis rešitve X =
⎢ ⎥
⎢
− 3
⎥
.
⎢⎣
1 ⎥⎦
~
2. To je parametrično rešljiv sistem, ker r ( A)
= r(
A)
= 3 in imamo 4 neznanke.
9 27
x = − z − ,
8 8
1 5
y = z − ,
4 4
w = 5,
z ∈ ℜ
3.
4.
5.
⎡ 1
~
A =
⎢
⎢
3
⎢⎣
−1
2
3
1
3
−1
b
1 ⎤ ⎡1
a
⎥
≈
⎢
⎥ ⎢
0
− 3⎥⎦
⎢⎣
0
2
− 3
0
3
−10
b − 7
1 ⎤
a − 3
⎥
⎥
.
a − 5⎥⎦
Glede na vrednosti a in b ločimo naslednje tri primere:
b − 7 = 0 ⇔ b = 7
a)
a − 5 = 0 ⇔ a = 5
b − 7 = 0 ⇔ b = 7
b)
a − 5 ≠ 0 ⇔ a ≠ 5
b − 7 ≠ 0 ⇔ b ≠ 7
c)
a ∈ ℜ
⇒
⇒
⇒
r
r
r
r
r
r
( A)
= 2
~ ( A)
= 2
( A)
= 2
~ ( A)
= 3
( A)
= 3
~ ( A)
= 3
⇒ sistem je parametrično rešljiv
⇒ sistem ni rešljiv
⇒ sistem je enolično rešljiv
⎡3
2 5 0⎤
⎡3
2 0 0⎤
~
A =
⎢
⎥
≈
⎢ ⎥
⎢
6 4 7 0
⎥ ⎢
0 0 1 0
⎥
⎢⎣
3 2 −1
0⎥⎦
⎢⎣
0 0 0 0⎥⎦
~
Ker je r ( A)
= r(
A)
= 2 , ima poleg trivialne rešitve x = y = z = 0 tudi parametrično
rešitev. Za parameter vzamemo x in dobimo rešitev
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢−
⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦
2
x
3
X x , za x ∈ ℜ .
⎡3
~
A =
⎢
⎢
6
⎢⎣
3
2
4
3
5
a
−1
0⎤
⎡3
0
⎥
≈
⎢
⎥ ⎢
0
0⎥⎦
⎢⎣
0
2
1
0
5
− 6
a −10
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥⎦
⎡ ⎤
⎢−
z⎥
Netrivialno rešitev imamo, ko je r ( A)
< 3,
torej a = 10 , X = ⎢ 6z ⎥
⎢ ⎥
⎢ z ⎥
⎢⎣
⎥⎦
3
17
.

6.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
z
z
z
X
2
2
1 8
9
, ℜ
∈
z
7.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
0
0
2
1
1
0
0
1
4
0
2
0
1
0
2
1
1
5
0
0
1
~
A Stolpce, ki pripadajo bazičnim neznankam premaknemo
levo. Neznanke si potem sledijo v
y
x
z
u
t ,
,
,
,
, .
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
≈
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
≈
2
1
16
2
9
2
1
0
0
2
1
9
2
5
1
0
1
0
2
1
2
2
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
2
1
1
4
1
0
0
0
2
2
1
0
1
0
1
5
~
A
v
y
x
z
v
y
x
u
v
y
t
16
2
9
2
2
1
9
2
5
2
1
2
2
1
2
1
−
−
−
=
−
+
−
−
=
−
−
=

Kombinatorika
Osnovni izrek kombinatorike: Če je proces odločanja sestavljen iz več neodvisnih
faz odločanja, se števila možnosti izbora v posameznih fazah množijo.
Pravilo vsote: Če se pri izbiranju odločamo med dvema nezdružljivima množicama
izborov, se število možnosti sešteje.
Permutacije brez ponavljanja: n različnih elementov razporejamo na n mest,
elementi se ne smejo ponavljati, vrstni red je pomemben: Pn = n!
n ! = n ⋅ ( n −1)
⋅L⋅
2 ⋅1
0!
= 1
Permutacije s ponavljanjem: n elementov, od katerih jih je k m m m , , , 1 2 K enakih,
razporejamo na n mest, vrstni red je pomemben:
m
!
1,
m2
, K,
m n
k Pn
=
m ! ⋅m
! ⋅L⋅
m !
1
2
k
Variacije brez ponavljanja: n različnih elementov razporejamo na r mest ( n ≥ r ),
n!
elementi se ne smejo ponavljati, vrstni red je pomemben: V
( n r)!
r
n =
−
Variacije s ponavljanjem: n različnih elementov razporejamo na n mest, elementi
p r r
se lahko ponavljajo, vrstni red je pomemben: V = n
Kombinacije: iz množice z n različnimi elementi izberemo podmnožico z r
n n!
elementi, vrstni red ni pomemben: C
r r!
( n r)!
r ⎛ ⎞
n = ⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ ⋅ −
⎛n
⎞ ⎛n
⎞ ⎛n
⎞ ⎛ n ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 1 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = n
⎝0
⎠ ⎝n
⎠ ⎝1
⎠ ⎝n
−1⎠
Binomski izrek za razvoj potence dvočlenika:
n ⎛n
⎞ n 0 ⎛n
⎞ n−1
1 ⎛n
⎞ n−2
2 ⎛ n ⎞ 1 n
a + b = ⎜ ⎟a
b + ⎜ ⎟a
b + ⎜ ⎟a
b + L + ⎜ ⎟a
b
⎝0
⎠ ⎝1
⎠ ⎝2
⎠
⎝n
−1⎠
⎛ n ⎞
V razvoju potence dvočlenika je k − ti člen enak: ⎜ ⎟a
⎝k
−1⎠
−1
0 n
( ) + ⎜ ⎟a
b
NALOGE:
1. Imamo množico { A , B,
C,
D}
. Koliko je vseh možnih
a) permutacij;
b) variacij drugega reda brez ponavljanja;
c) variacij drugega reda s ponavljanjem;
d) kombinacij drugega reda.
n
n−k
+ 1
⎛n
⎞
⎝n
⎠
b
k−1
.

2. Koliko različnih vzorcev dobimo, če postavljamo v vrsto 4 modre in 6 rdečih krogel?
3. Na koliko načinov lahko gostitelj razporedi za ravno mizo sedem žensk, če sta dve
skregani in ne smeta sedeti skupaj?
4. Na koliko načinov lahko gostitelj razporedi za okroglo mizo sedem žensk, če sta dve
skregani in ne smeta sedeti skupaj?
5. Na koliko načinov lahko razporedimo na polici 3 rdeče, 4 zelene in 2 črni knjigi, če:
a) nimamo zahtev;
b) rdeče na začetku;
c) rdeče skupaj;
d) istobarvne skupaj.
6. Koliko možnosti mora (v najslabšem primeru) preizkusiti tat, če želi odkleniti ključavnico,
ki jo odpre šifra z dvema črkama na žačetku in tremi številkami?
7. Sestavljamo petmestna števila. Koliko je
a) pravih (se ne začnejo z 0),
b) pravih z različnimi števkami,
c) pravih, ki imajo na prvih dveh mestih lihi števki,
d) pravih z različnimi števkami, ki imajo na prvih dveh mestih lihi števki,
e) pravih, ki imajo na prvih dveh mestih sodi števki,
f) pravih z različnimi števkami, ki imajo na prvih dveh mestih sodi števki,
g) pravih, ki so deljiva s 5,
h) pravih z različnimi števkami, ki so deljiva s 5.
2 2 2
8. Reši enačbo V V + V = 20 !
n−4
+ n−3
n−2
9. Koliko elementov imaš na razpolago, če veš, da je z njim mogoče sestaviti 28 kombinacij
drugega reda?
10. Na koliko načinov lahko iz škatle, v katerih je 7 rdečih, 6 belih in 12 črnih krogel,
izberemo 2 rdeči, 1 belo in 2 črni krogli?
11. Odbor ima 15 članov, od tega so 4 ženske. Na koliko načinov lahko sestavimo tričlansko
predsedstvo, če naj bo v njem vsaj ena ženska?
12. Med 100 izdelki je 10 defektnih. Na koliko načinov lahko v vzorec, sestavljen iz 5
izdelkov, izberemo 3 dobre in 2 defektna izdelka?
13. Razvij binom ( ) 5
2x + 3y
!
14. Izračunaj peti člen v razvoju binoma ( ) 5
a + a
REŠITVE:

1. a) 24
b) 12
c) 16
d) 6
10 !
2. = 210
4!
⋅6!
3. 7 ! − 2!
⋅6!
= 3.
600
4. 6 ! − 2!
⋅5!
= 480
5. a) 9!
b) 3⋅ ! 6!
c) 3⋅ ! 7!
d) 3! ⋅ 4!
⋅2!
⋅3!
6. 25 ⋅ 25 ⋅ 25 ⋅10
⋅10
= 1.
562.
500
7. a) 9 ⋅ 10 ⋅10
⋅10
⋅10
= 90.
000
b) 9 ⋅ 9 ⋅8
⋅ 7 ⋅ 6 = 27.
216
c) 5 ⋅ 5 ⋅10
⋅10
⋅10
= 25.
000
d) 5 ⋅ 4 ⋅8
⋅ 7 ⋅ 6 = 6.
720
e) 4 ⋅ 5 ⋅10
⋅10
⋅10
= 20.
000
f) 4 ⋅ 4 ⋅8
⋅ 7 ⋅ 6 = 5.
376
g) 9 ⋅ 10 ⋅10
⋅10
⋅ 2 = 18.
000
h) 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅1
+ 8 ⋅8
⋅ 7 ⋅ 6 ⋅1
= 5.
712
( n − 4)!
( n − 3)!
( n − 2)!
8. + + = 20
( n − 6)!
( n − 5)!
( n − 4)!
( n − 4)
⋅ ( n − 5)
+ ( n − 3)
⋅ ( n − 4)
+ ( n − 2)
⋅ ( n − 3)
= 20
2
n − 7n + 6 = 0 ⇒ ( n − 6)
⋅ ( n −1)
= 0 ⇒ n1
= 6,
n2
= 1
Zaradi definiranosti fakultete je n = 6.
9.
2
Cn = 28 ⇒
n!
= 28
2!
⋅(
n − 2)!
⇒ n ⋅ ( n −1)
= 56 ⇒
2
n − n − 56 = 0
( n − 8)
⋅ ( n + 7)
= 0 ⇒ n1
= 8,
n2
= −7
Zaradi definiranosti fakultete je n = 8 .
⎛7
⎞ ⎛6
⎞ ⎛12⎞
10. ⎜ ⎟ ⋅⎜
⎟ ⋅⎜
⎟ = 8.
316
⎝2
⎠ ⎝1
⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛4
⎞ ⎛11⎞
⎛4
⎞ ⎛11⎞
⎛4
⎞ ⎛11⎞
11. ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅⎜
⎟ + ⎜ ⎟ ⋅⎜
⎟ = 290
⎝1
⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2
⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝3
⎠ ⎝ 0 ⎠

12. 600
.
286
.
5
2
9
10
2
3
88
89
90
!
8
!
2
!
10
!
87
!
3
!
90
2
10
3
90
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13. ( ) 5
4
3
2
2
3
4
5
5
243
405
1080
720
240
32
3
2 y
xy
y
x
y
x
y
x
x
y
x +
+
+
+
+
=
+
14.
3
1
5
1
5
5
5
1
5
5
a
a
a =
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
.

5. Osnove verjetnostnega računa
število ugodnih
Definicija: P ( A)
=
število vseh
Vrednosti: 0 ≤ P ( A)
≤ 1
Nemogoč dogodek: P ( N)
= 0 .
Gotov dogodek: P ( G)
= 1.
Verjetnost nasprotnega dogodka: P( A)
= 1−
P(
A)
.
Vsota dogodkov A + B se zgodi, ko se zgodi A ali B .
Produkt dogodkov A ⋅ B se zgodi, ko se zgodita A in B .
Verjetnost vsote dogodkov:
P(
A + B)
= P(
A)
+ P(
B)
− P(
AB)
P(
A + B + C)
= P(
A)
+ P(
B)
+ P(
C)
− P(
AB)
− P(
AC)
− P(
BC)
+ P(
ABC)
Verjetnost produkta dogodkov:
Če sta A in B neodvisna dogodka, je P( AB)
= P(
A)
⋅ P(
B)
.
P(
AB)
Pogojna verjetnost: P ( A B)
= P(
B)
> 0.
P(
B)
Dvofazni poskusi so sestavljeni iz dveh faz izbiranja. Elementarne dogodke v prvi
fazi izbiranja imenujemo hipoteze in jih označimo z H i .
Popolna verjetnost dogodka A :
P( A)
= P(
A H1
) ⋅ P(
H1
) + P(
A H 2 ) ⋅ P(
H 2 ) + L + P(
A H n ) ⋅ P(
H n )
P(
A H i ) ⋅ P(
H i )
Bayesov obrazec: P(
H i A)
=
.
P A
( )
Bernoullijeva formula: Verjetnost, da se dogodek A z verjetnostjo p v n poskusih
zgodi natanko k − krat, je P
⎛ n⎞
⎜ ⎟
⎝k
⎠
binomska porazdelitev. Najverjetnejše število dogodkov je:
np − q ∈ Z ⇒ k = np − q , k = np + p
np − q ∉ Z
kjer je ⎡ ⎤
⇒
k
0
0
=
⎡np − q⎤
1
x najmanjše celo število, ki je večje od x .
k n−k
( n;
p,
k)
= p ( 1−
p)
. Tej porazdelitvi rečemo
Pascalov obrazec: Verjetnost, da se dogodek A z verjetnostjo p v n − tem poskusu
zgodi natanko k − tič, je
P
⎛ n −1⎞
⎜ ⎟
⎝k
−1⎠
k n−k
= p ( 1−
p)
m
Posplošen Bernoullijev obrazec: ( ) k k1
.
n!
P n;
p1,
K,
pm
; k1,
K,
km
= p1
L pm
.
k ! Lk
!
1
m

NALOGE:
1. Loterija ima 5000 srečk, od tega jih 100 zadane. Izračunaj verjetnosti naslednjih dveh
dogodkov:
A – slučajno izbrana srečka zadene;
B – od dveh slučajno izbranih srečk natanko ena zadene!
2. V škatli so štiri kroglice, ki so oštevilčene z 1, 3, 8 in 9. Na slepo izbiramo po eno.
Izračunaj verjetnost, da dobimo zapisano letnico 1983!
a) kroglice ne vračamo
b) kroglice vračamo
3. Tombola ima 90 ploščic s številkami od 1 do 90. Na slepo izvlečemo eno ploščico.
Kakšne so verjetnosti naslednjih dogodkov:
A – število na ploščici je deljivo s 3;
B – število na ploščici je deljivo s 5;
C – število na ploščici je deljivo s 3 ali s 5.
4. V škatli imamo 5 belih, 6 rdečih in 9 črnih (sicer pa enakih) krogel. Hkrati na slepo
potegnemo tri krogle iz škatle. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov:
A – vse tri krogle so bele;
B – ena krogla je rdeča, dve pa črni;
C – nobena krogla ni bela.
5. Med 50 izdelki so 4 pokvarjeni. Na slepo izberemo v vzorec (istočasno) štiri izdelke.
Kolikšna je verjetnost, da sta v izbranem vzorcu natanko dva izdelka pokvarjena?
6. Loterija je dala v prodajo M + N srečk, od katerih jih zadane natanko N. Kolikšna je
verjetnost, da med k kupljenimi srečkami zadane natanko q srečk?
7. V škatli imamo 5 belih in 4 črne krogle; na slepo trikrat potegnemo po eno kroglo in jo
vrnemo v škatlo. Kolikšna je verjetnost, da so vse tri krogle črne?
8. Kolikšna je verjetnost, da pri metu
A – 5 kock pade pet različnih vrednosti;
B – 12 kock vsako število pik pade po dvakrat?
9. Med 14 elemeti je 10 defektnih. Na slepo izberemo tri elemente. Kolikšna je verjetnost, da
je med njimi vsaj en defekten?
10. Verjetnost, da prvi strelec zadene tarčo, je ( Z ) 0,
6
P 1 = , za drugega pa P ( Z 2 ) = 0,
5 .
Izračunaj verjetnosti dogodkov:
A – prvi strelec zgreši;
B – oba strelca zadeneta;
C – tarča je zadeta (vsaj enkrat);
D – tarča ni zadeta;
E – tarča je zadeta natanko enkrat!
Pri tej in sorodnih nalog predpostavljamo, da sta dogodka Z 1 in Z 2 neodvisna!

11. Naj bodo A, B in C med seboj neodvisni dogodki in P ( A)
= 1 2 , P ( B)
= 1 3,
P ( C)
= 2 3 .
Izračunaj verjetnosti dogodkov AB , A + B in A BC
!
12. Kolikšna je verjetnost, da na dveh kockah v prvem metu dobimo vsoto 9 ali – če se to ni
zgodilo – v ponovljenem metu vsoto 7?
13. Petdesetkrat ustrelimo proti tarči, verjenost zadetka pri posameznem strelu je P ( Z ) = 0,
08
in se ne spreminja. Kolikšna je verjetnost dogodka A, da je v teh 50 strelih tarča vsaj
enkrat zadeta?
14. Kolikšna mora biti verjetnost zadetka pri posameznem strelu, da lahko pri petih strelih z
verjetnostjo večjo od 0,99 pričakujemo vsaj en zadetek?
15. V škatli je 5 belih in 10 rdečih kroglic. Na slepo štirikrat potegnemo po eno kroglico in jo
vsakič vrnemo v škatlo. Kolikšna je verjetnost, da se šele v četrtem poskusu pokaže rdeča
kroglica?
16. Dva igralca mečeta kovanec drug za drugim. Zmaga tisti, pri katerem se prej pojavi grb,
kolikšna je verjetnost, da zmaga igralec, ki je igro začel?
17. Nepismenemu človeku damo listke s črkami A, N, A, N, A, S in ga prosimo, naj jih
postavi v vrsto. Kolikšna je verjetnost, da nastane beseda ANANAS?
18. V posodi imamo 4 bele, 2 rdeči in 3 modre krogle. Na slepo izbiramo po eno kroglo,
dokler jih ne zmanjka. Izvlečene krogle odlagamo v vrsto. Izračunaj verjetnost dogodka,
da bodo v končnem »vzorčku« krogle enake barve stale skupaj!
19. Med 14 jabolki je 11 črvivih. Na slepo izberemo 2 izmed jabolk. Kolikšna je verjetnost,
da je vsaj eno črvivo?
20. Sočasno vržemo dve kocki. Kolikšna je verjetnost dogodka, da vsaj na eni pade šestica?
21. Tri naprave delujejo neodvisno druga od druge. Verjetnosti, da jih v letu dni ne bo treba
9 2 3
popravljati, znašajo po vrsti , in . Določi verjetnost dogodka, da bo v letu dni vsaj
11 3 4
ena delovala brez okvare!
22. Lovec strelja na lisico z razdalje 25 metrov, verjetnost, da jo zadane, je 0,60. Če zgreši,
mu lisica uide na razdaljo 50 metrov, preden lahko strelja nanjo. Izračunaj verjetnost, da je
lisica (s prvim ali drugim strelom) zadeta, če je pri teh oddaljenostih verjetnost za zadetek
obratno sorazmerna kvadratu razdalje!
23. Iz škatle s 3 belimi in 7 rdečimi kroglami vlečemo po eno krglo in izvlečenih krogel ne
vračamo. Izračunaj verjetnost dogodkov:
A – izvlečemo štiri rdeče krogle zapored;
B – izvlečemo najprej 2 beli, nato 2 rdeči krogli.
24. Kolikšna je verjetnost, da je pri istočasnem metu dveh poštenih igralnih kock padla vsaj
ena trojka, če vemo, da je bila vsota pik na obeh kockah enaka 6?

25. Trikrat zapored vržemo pošteno igralno kocko. Kolikšna je verjetnost dogodka, da prvič
pade sodo število pik, drugič šestica in tretjič manj kot 5 pik?
26. Izdelke istega tipa izdelujeta dve tovarni, prva 60 % in druga 40 % od celotne
proizvodnje. Med izdelki prve tovarne je 60 % izdelkov prve in 40 % izdelkov druge
kvalitete; med izdelki druge tovarne je prvovrstnih 80 %, ostali so druge kvalitete. Naj
pomeni A dogodek, da je na slepo izbran izdelek izdelan v prvi tovarni, B pa dogodek, da
je na slepo izbran izdelek prve kvalitete. Izračunaj verjetnosti dogodkov:
A , B,
A,
B,
AB,
AB,
AB,
AB
, A / B,
A / B,
B / A,
B / A in vsakega od njih podrobno opiši
z besedami! Koliko je prvovrstnih izdelkov?
27. Podjetje kandidira za posel na dveh neodvisnih natečajih. Na prvem dobi posel z
verjetnostjo 40% na drugem pa z 50%. Verjetnost, da ima dobiček, če dobi posel samo na
prvem natečaju, je 60%, da ima dobiček, če dobi posel samo na drugem natečaju, je 55%,
če dobi oba posla, pa 90%. Kakšna je verjetnost, da ima dobiček? Če ima dobiček, kakšna
je verjetnost, da je dobil posel samo na prvem natečaju?
28. Imamo tri enake škatle; v prvi 2 črni in 1 belo kroglico, v drugi 3 bele in 2 črni, v tretji 1
belo in 3 črne kroglice. Na slepo sežemo v eno od škatel in na slepo izvlečemo eno
kroglico. Kolikšna je verjetnost, da je ta kroglica črna?
29. Iz škatle, v kateri je 5 belih in 7 črnih krogel, predenemo na slepo dve krogli v žaro z 2
belima in 5 črnimi kroglami, nato pa iz te na slepo izvlečemo eno kroglo. Kolikšna je
verjetnost, da je ta krogla črna?
30. Na izpit iz matematike je prišlo 50 študentov, od katerih jih je 38 preštudiralo poglavje o
verjetnostnem računu. Na izpitu je tudi ena naloga iz verjetnostnega računa. Verjetnost, da
to nalogo privede do pravilnega rezultata študent, ki je poglavje preštudiral, je 0,90;
verjetnost, da ima pravilen rezultat študent, ki tega poglavja ni preštudiral, pa je 0,15
(prepisovanje, »trenutni navdih« ipd.). Izračunaj verjetnost, da naključno izbrani študent
pravilno reši nalogo? Kakšna je verjetnost, da študent, ki pravilno reši nalogo, snovi ni
preštudiral?
31. Janezovi uspehi pri skoku v daljino so močno odvisni od vremena. Če je lepo vreme,
zmaga na državnem prvenstvu z verjetnostjo 0,75, če pa dežuje, je verjetnost za zmago
samo 0,50. V Celju, kjer je povprečno ena tretjina septemberskih dni deževnih, je 25.
septembra osvojil naslov državnega prvaka. Kolikšna je verjetnost, da je 25. septembra v
Celju deževalo?
32. Izmed števil 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 na slepo izberemo dve števili. Izračunaj verjetnost
dogodka, da sta obe števili lihi, če je njuna vsota sodo število!
33. Desetkrat zaporedoma vržemo kovanec. Kolikšna je verjetnost, da grb:
A - pade natanko dvakrat;
B - ne pade več kot dvakrat;
C - pade vsaj dvakrat?
34. Pri metanju kovanca je šestindvajsetkrat zaporedoma padel grb. Kolikšna je verjetnost, da
pade grb v sedemindvajsetem poskusu?

35. V žari je enako število belih in črnih krogel. Osemkrat zaporedoma izvlečemo (na slepo)
po eno kroglo in jo spet vrnemo v žaro. Kolikšna je verjetnost, da smo pri tem šestkrat
izvlekli črno kroglo?
36. Kateri dogodek ima večjo verjetnost:
A – štirje grbi pri sedmih metih kovanca ali;
B – šest grbov pri devetih metih?
37. Podjetje ima štiri tovornjake, okvare posameznega tovornjaka so neodvisne od okvar
ostalih tovornjakov. Verjetnost, da se v določenem časovnem intervalu posamezen
tovornjak pokvari, znaša 0,04. Kolikšna je verjetnost dogodka,
A – da se pokvarijo vsi štirje tovornjaki;
B – da se ne pokvari vsaj en tovornjak;
C – da se pokvari vsaj en tovornjak?
38. Katero število grbov je najbolj verjetno, če vržemo kovanec
a) tridesetkrat;
b) petintridesetkrat?
1
39. Kolikokrat moramo vreči kocko, da bo z verjetnostjo vsaj vsaj enkrat padla šestica?
2
40. V škatli imamo 4 bele, 4 črne in 2 rdeči krogli. Šestkrat na slepo izvlečemo po eno kroglo
in jo vsakič vrnemo v škatlo. Kolikšna je verjetnost, da se pri tem po dvakrat pojavi krogla
posamezne barve?
41. Vojak, ki zadeva z verjetnostjo 0,45, ima na razpolago 10 nabojev. Za pozitivno oceno
potrebuje šest zadetkov. Kolikšna je verjetnost, da to normo doseže z zadnjim nabojem?
REŠITVE:
100
=
5.
000
⎛100⎞
⎛4.
900⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜
⎟
1 1
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 0,
0392 ≅ 0,
⎛5.
000⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
1. P ( A)
= 0,
02
P
( B)
04
1 1
P A = = ≅
4!
24
1
b) P ( A)
= ≅ 0,
004
4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4
2. a) ( ) 0,
042
30
=
90
18
= = 0,
90
3. P ( A)
= 0,
3
P
( B)
2

( C)
= P(
A + B)
= P(
A)
+ P(
B)
− P(
AB)
= + − = = 0,
46
P
⎛5⎞
⎜ ⎟
3
4. P ( A)
=
⎝ ⎠
= 0,
0088
⎛20
⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎛6
⎞ ⎛9
⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜
⎟
1 2
P ( B)
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 0,
189
⎛20
⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎛15⎞
⎜ ⎟
3
P ( B)
=
⎝ ⎠
= 0,
399
⎛20
⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎛46
⎞ ⎛4
⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜
⎟
2 2
5. P ( A)
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 0,
027
⎛50⎞
⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
6.
⎛ N ⎞ ⎛ M ⎞
⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ q ⎠ ⎝k
− q
P ( A)
=
⎠
⎛ N + M ⎞
⎜
⎝ k
⎟
⎠
4 ⋅ 4 ⋅ 4
9 ⋅9
⋅9
7. P ( A)
= ≅ 0,
088
8.
6 ⋅ 5⋅
4 ⋅3
⋅ 2
P ( A)
=
≅ 0,
093
5
6
12!
P B
2,
2,
2,
2,
2,
2
6
P12
( 2!
)
= =
p 12
12
V 6
≅ 0,
( ) 0034
6
9. A K nobeden defekten
⎛4
⎞
P
A = 1− P A
⎜ ⎟
3
= 1−
⎝ ⎠
≅ 0,
⎛14⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
( ) ( ) 989
30
90
18
90
6
90
42
90

10. P ( A)
= P(
Z1
) = 1− P(
Z1
) = 0,
4
P ( B)
= P(
Z1
Z 2 ) = P(
Z1
) P(
Z 2 ) = 0,
3 Upoštevamo neodvisnost!
P C = P Z + Z ) = P Z + P Z − P Z P Z = 0,
( ) ( 1 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 8
( D)
= P(
Z1
Z 2 ) = ( 1− P(
Z1
) ) ⋅ ( 1−
P(
Z 2 ) ) = 0,
2 P D
( E)
= P(
Z Z + Z Z ) = P Z Z ) + P(
Z Z ) − P(
Z Z Z Z ) = 0,
5
P ali ( ) = 1 − P(
C)
= 0,
2
P
11. P ( AB)
1
2
1 1 1
= ⋅ =
2 3 6
1 1 1 2
P ( A + B)
= + − =
2 3 6 3
1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 1
P ( ABC
) = ⋅⎜1
− ⎟ ⋅ ⎜1−
⎟ =
2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 9
12. A – vsota devet v prvem metu;
B – vsota sedem v drugem metu;
4 32 6 7
P ( A + AB)
= + ⋅ =
36 36 36 27
13. A K noben zadetek
P
1
2
( 1 2
1 2
1 2 1 2
50
( A)
= 1−
P(
A)
= 1−
P(
ZZZ
... Z ) = 1−
( P(
Z ) = 1−
1−
P(
Z )
5
⇒
14. ( ) ( ) 5
P A = 1−
1−
p > 0,
99 p > 1−
1−
0,
99 p > 0,
602
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
15. P ( A)
= P(
BBBR)
= P(
B)
P(
B)
P(
B)
P(
R)
= ⋅ = ≅ 0,
025
1 3
50
50
( ) = 1(
1−
0,
08)
≅ 0,
985
⇒
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
16. P(
A)
= P(
G)
+ P(
ŠŠG)
+ P(
ŠŠŠŠG)
+ P(
ŠŠŠŠŠŠG)
+ ... =
2
4
6
1
= , 5 + 0,
5 ⋅ 0,
5 + 0,
5 ⋅ 0,
5 + 0,
5 ⋅ 0,
5 + ... = 0,
5⋅
1−
0,
5
0 2
6!
2!
3!
2,
3
17. m = 1,
n = P = = 60,
P(
A)
6
4,
2,
3 9!
3
18. n = P9
= = 1260 m = P = 3!
= 6
4!
⋅2!
⋅3!
6
P ( A)
= ≅ 0,
005
1260
⎛11⎞
⎛3⎞
⎛11⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜
⎟ + ⎜ ⎟
1 1 2 88
19. P
( A)
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= = & 0,
967
⎛14⎞
91
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
=
1
60
2
81
=
2
3

20. P ( A)
5 5
= 1 − ⋅ =
6 6
2
11
1
3
11
36
1
4
21. P ( A)
= 1− ⋅ ⋅ ≅ 0,
985
22. 25 0,
60 = p ;
50 je dvakrat večje od 25, zaradi kvadratne zveze je p 50 štirikrat manjše od p 25 , torej
50 0,
15 = p .
P A = p + − p ⋅ p
( ) ( ) = 0,
60 + 0,
40 ⋅ 0,
15 = 0,
66
25
1 25 50
23. P(
A)
= P(
R1
R2R3
R4
) = P(
R1
) P(
R2
R1
) P(
R3
R1R2
) P(
R4
7 6 5 4
R1R2
R3
) = ⋅ ⋅ ⋅ = 0,
16
10 9 8 7
P B = P B B R R = P B P B B P R B B P R B B R = 0,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 05
1
2
24. A – vsaj ena trojka, B – vsota 6 pik
1
P
( )
( AB)
1
P A B = =
36
=
P(
B)
5 5
36
3
4
25. A 1 – sodo število pik (v prvem poskusu);
A 2 – šestica (v drugem poskusu);
A 3 – manj kot 5 pik (v tretjem poskusu).
Neodvisni dogodki:
3
P A = P A1
A2
A3
= P A1
P A2
P A3
=
6
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ ⋅ = 0,
05
26.
B B
A 0,36 0,24 0,60
A 0,32 0,08 0,40
0,68 0,32 1,00
Vrstni red računanja:
1. P ( A)
, P ( A)
poznamo;
2. vse štiri produkte;
3. vsoti po stolpcih ( P ( B)
, P ( B ) );
4. pogojne verjetnosti po obrazcu.
Prvovrstnih izdelkov je 68%.
2
1
3
27. H1 - samo prvi posel, H 2 - samo drugi posel, 3 H - oba posla, H 4 - noben posel
P ( H1
) = 0,
4⋅
0,
5 = 0,
2
P ( H 2 ) = 0,
6⋅
0,
5 = 0,
3 P ( H 3 ) = 0,
4⋅
0,
5 = 0,
2
P
( H 4 ) = 0,
6⋅
0,
5 =
0,
3
1
6
1
4
6
2
4
1
2
3

A - ima dobiček
P ( A H1
) = 0,
6 P ( A H 2 ) = 0,
55 ( 3 ) 0,
9 = H A P 0 ) ( P A H 4 =
P ( A)
= 0,
2⋅
0,
6 + 0,
3⋅
0,
55 + 0,
2⋅
09 + 0,
3⋅
0 =
P
( H A)
1
P
=
( A H ) ⋅ P(
H )
1
P(
A)
1
=
0,
6
⋅
0,
2
0,
465
=
0,
258
0,
465
28. H1 - prva škatla, H 2 - druga škatla, H 3 - tretja škatla
1 1 1
P ( H1
) = , P ( H 2 ) = , P ( H 3 ) =
3 3 3
2 ( 1 )
3
= H Č
2
P , ( 2 )
5
= H Č
3
P , ( 3 )
4
= H Č P
P
1 2 1 2 1 3 109
( Č)
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = = 0,
605
3
3
3
5
3
4
180
29. H1 - 2 črni, H 2 - 1 črna in 1 bela, H 3 - 2 beli
21
( 1 )
66
= H
35
P , ( 2 )
66
= H
10
P , ( 3 )
66
= H P
7
6
5
P ( Č H1
) = , P ( Č H 2 ) = , P ( Č H 3 ) =
9
9
9
P ( Č)
= 0,
685
30. 1
H - je študiral, H 2 - ni študiral, A – pravilno reši
38
P ( H1
) = = 0,
76
50
P ( A H1
) = 0,
90
12
P ( H 2 ) = = 0,
24
P ( A H 2 ) = 0,
15
50
a) P ( A)
= 0 , 76 ⋅ 0,
90 + 0,
24 ⋅ 0,
15 = 0,
72
b) P ( H 2
P(
A H 2 ) 0,
24 ⋅ 0,
15
A)
= = ≅ 0,
05
P(
A)
0,
72
31. 1
H - lepo vreme, H 2 - dežuje, A – zmaga
2
( 1 )
3
= H
3
P P ( A H1
) = 0,
75 =
4
1
1
P ( H 2 ) =
P ( A H 2 ) = 0,
50 =
3
2
P(
H 2 ) ⋅ P(
A H 2 ) 1
P ( H 2 A)
=
=
P A
( ) 4
32. A – obe števili lihi, B – vsota izvlečenih števil je sodo število
P
( )
( A ∩ B)
P A B =
P B
( )

B – izvlečemo dve sodi ali dve lihi števili
⎛5
⎞ ⎛4
⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝2
⎠ ⎝2
P (B)
=
⎠
⎛9
⎞
⎜ ⎟
⎝2
⎠
Dogodek A je način dogodka B, zato je
⎛5
⎞
⎛5
⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
( ) ( ) ⎝2
∩ = =
⎠
2
P A B P A in zato P ( A B)
=
⎝ ⎠
≅ 0,
625 .
⎛9
⎞
⎛5
⎞ ⎛4
⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝2
⎠
⎝2
⎠ ⎝2
⎠
33. P ( A)
= P 10;
, 2 =
≅ 0,
044
P
P
( B)
2 8
⎛ 1 ⎞ ⎛10⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
= P⎜10;
, 0⎟
+ P⎜10;
, 1⎟
+ P⎜10;
, 2⎟
= ... ≅ 0,
0547
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
= 1−
P⎜10;
, 0⎟
− P⎜10;
, 1⎟
= ... ≅ 0,
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
( C)
989
1
34. Verjetnost, da pade grb v sedemindvajsetem poskusu je , saj so poskusi neodvisni.
2
⎛8
⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
P A = ⎜ ⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝6
⎠⎝
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
6
28
256
35. ( ) = ≅ 0,
109
2
36. A − štirje grbi v sedmih metih B − šest grbov v devetih metih
P A ≅ 0, 273 > P B ≅ 0,
( ) ( ) 164
−6
37. P ( A)
= P(
4;
0,
04;
4)
= ... = 2,
56 ⋅10
P(
B)
= 1−
P(
A)
= 0,
99999744
P(
C)
= 1−
P(
4;
0,
96;
4)
≅ 0,
151
1 1
38. a) np − q = 30 ⋅ − = 14,
5
2 2
to ni celo število, k 0 = ⎡14, 5⎤
= 15 ;
1 1
b) np − q = 35 ⋅ − = 17
2 2
celo število, 0 17 = k in 18 ' 0 = k .
P
A
⎛ 1
P⎜n
⎝ 6
⎞
⎟
⎠
0
⎛n
⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝0
⎠⎝
6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
39. ( ) = 1−
; ; 0 = 1−
≥ ;
n
1
2

⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 6 ⎠
n
≤
1
2
⇒
n log
5
6
≤
Potrebni so vsaj štirje meti.
1
log
2
6!
⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2!
2!
2!
⎝10
⎠ ⎝10
⎠ ⎝10
⎠
⇒
40. P ( A)
=
≅ 0,
0922
2
2
2
1
log
n ≥
2
≅
5
log
6
3,
80
⎛ n −1⎞
k n−k
⎛9⎞
6 4
41. P
( A)
= ⎜ ⎟ p ( 1−
p)
= ⎜ ⎟ ⋅ 0,
45 ⋅ 0,
55 ≅ 0,
0957
⎝k
−1⎠
⎝5⎠