Kroženje Coulombov zakon Premo gibanje - Shrani.si

Kroženje
Enakomerno kroženje
Je gibanje po krožnici s stalno obodno hitrostjo v. Kot φ, ki ga radij r oklepa z izbrano smerjo(osjo x) narašča
linearno s časom φ=ωt, ω je konta hitrost. Med enim obhoodom t0 radij opiše polni kot 2π. Torej, je ω=2π/ t0
=2πυ. Število t0 je povezano s υ in sicer: t0=1/ υ kotna hitrost je premo sorazmerna z obodno hitrosjo.
V kratkem intervalu dt se radij zasuče za kot dφ= ωdt.Velja v = ds / dt = rϕ d / dt = rω ali ω = v / r
Ker je obodna hitrost stalna, ni tangentega pospeška at=0. Celoten pospešek je pravokotn na tirnico
(krožnico);to je radialni pospešek ar, tako da se telo giblje po krožnici.
2
dv = vdϕ = a dt ali a = vdϕ / dt = vω = rω
(smer proti središču kroženja)
r r
Neenakomerno kroženje
Poleg radialnega pospeška imamo tudi tangentni pospešek at, tako da se spreminja hitrost obodne hitrosti v in
s tem tudi kotne hitrosti ω. Zaradi tangentnega pospeška kroženje ni enakomerno. Če ima tangentni pospešek
smer obodne hitrosti, se ta povečuje s časom. at = dv / dt = rdω / dt = rα
→ α =d ω /dt
Pri enakomernem kroženju je kotni pospešek nič: α=0
Če je α =d ω /dt=konst. , potem kotna hitrost enakomerna narašča ω = ω o + α t s pomočjo ω= dφ/dt izrazimo
dφ= ωdt=(ω0 +αt)dt integriramo po času in dobimo izraz: ϕ = ω t + α t
2 2
Če enačbi združimo, da dobimo povezavo med ω in φ, imamo nov izraz: ω = ω + 2α
ϕ
Coulombov zakon
Električni naboj definiramo in merimo s pomocjo električne sile med naelektrenimi delci. Eleltrična sila med
naelektrenima telesoma je premo sorazmerna s produktom nabojev obeh teles. Spreminja se obratno
sorazmerno s kvadratom razdalje. Coulombov zakon: Telesi z nabojem e1 in e2, razmaknjeni za r, se odbijata
2
ali privlacita z električno silo: F = konst. e1e2 / r
Enota 1C=1A 1s=1As (ampersekunda). Konstanta, ki nastopa v enačbi ima obliko: 1/ 4π ε 0 , v tej konstanti
− 12 2 2
nastopa nova konstanta, ti. Influenčna konstanta. Njena vrednost je enaka: ε 0 = 8,8 ⋅ 10 ( As) /( Nm ) . Z
2
influčenčno konstanto dobimo končno obliko zakona, ki ga tudi najpogosteje uporabljamo: F = e1e2 /(4 π ε 0r
) .
Velja neposredno za točkasta telesa(velikost majhna v primerjavi z njihovo medsebojno oddaljenostjo).
Razdalja r, je razdalje med središči teles. (po Newtnovem zakonu o medsebojnem učinkovanju teles; če prvo
telo privlači drugo telo s silo F, privlači drugo telo prvo z nasprotno enako silo. Sili se privlačita, če sta naboja
teles nasprotna, in odbojni, če sta ista.
Premo gibanje
Točka se ves čas giblje v eni in isti ravni črti.(osi x). Ker se točka giblje vzdolž osi x, lahko na vektorje
pozabimo in jemljemo hitrost in pospešek kot skalarni količini. Hitrost je definirano kot kvocient premika dx
in časovnega intervala dt: v = dx / dt (hitrost pozitivna, če se točka giblje v desno in negativna, če se giblje v
0
2
/ 2
0

levo). Pospešek je dan s kvocientom: a = dv / dt Pozitiven pospešek pomeni pozitiven dv, to je povečanje
pozitivne hitrosti(pospešeno gibanje v desno) oziroma zmanšanje negativne hitrosti(pojemajoče gibanje v
levo).Negativen pospešek ravno obratno(grafi). Pospešek je odvod hitrosti po času, ker je tudi hitrost dana z
2 2
odvodom(x po času t), lahko pospešek izrazimo kot drugi odvod x po času: a = dv / dt = d x / dt .
Naklonski kot tangente na grafu x(t) podaja hitrost, zakrivljenost grafa pa podaja pospešek.
Če poznamo a(t), vemo, da je celotna sprememba hitrosti od začetne vo do končne v dana z intergralom
diferncialnih sprememb dv:
t t
ň ň ň Sprememba hitrosti je časovni integral pospeška.
Δ v = v − v = dv = a( t) dt ali v = v + a( t) dt
0 0
0 0
Sprememba koordinate x je dana s ploščino pod časovnim grafom hitrosti: dx=vdt
t
x = ň v( t) dt Sprememba koordinate je časovni integral hitrosti. (privzamemo da je telo v začetku v
0
koordinatnem izhodišču)
Zakon o električnem pretoku
Električni pretok (oznaka Φe) je merilo za število električnih silnic skozi ploskev(enote As). Električni pretok
vpeljemo podobno kot masni pretok pri gibanju tekočin: Φ m = ρ ň vdS Tu je ρ gostota tekočine, v hitrost
pretakanja in dS vektor, ki je pravokoten na ploskev. Integriramo po ploskvi, za katero računamo pretok. V
električnem polju je namesto hitrosti v jakost električnega polja E, namesto gostote ρ pa nastopa influenčna
konstanta εo: Φ m = ε 0 ň E ⋅ dS (merska enota je C oz. As), kar je enako kot naboj. Električni pretok skozi
zaključeno ploskev je enak naboju, ki ga ploskev objema.
Dokažimo: (točkast naboj v središču kroglaste ploskve s polmerom R)Jakost polja je pravokotna na ploskev in
2
2
je po vsej ploskvi enako velika. E = e / 4π
ε 0R
. Površina S je enaka S = 4π
R (ker je polje kroglasto
simetrično).
Gausov stavek:Električi pretok skozi poljubno zaključeno ploskev je enak algebraični vsoti električnih
nabojev, ki jih ploskev objema.
Vrtenje togega telesa
Telo se vrti okrog vrtilne osi, na katero je vpeto(os se med vrtenjem ne spremija). Telo razdelimi na masne
elemente dm(med vrtenjem krožijo v ravnini,pravokotno na vrtilno os). Masni element dm na oddalenpsti r od
osi se giblje po krogu s polmerom r z obodno hitrojstjo v=rω, ker je telo togo kroži vsak masni element z isto
kotno hitrosjo; njihova obodna hitrost pa je premo sorazmerna z oddaljenostjo r od vrtilne količine. Na masni
element dm vplivata zunanjna sila dF in notranja sila dFn, ki pa nespreminjata kotne hitrosti vrtenja, če je
vzporedna z vrtilno osjo, najmočneje pa jo spreminja, če je pravokotna na vrtilno os. Sili dF in dFn s svojima
tangentnima komponentama povročata tangentni pospešek. Tega izračunamo z Newtnovim zakonom
' '
dinamike. dF + dF = dm ⋅ a = dm ⋅ rα = dF sin δ + dF sin δ (kota med smerjo vektorja r in sile dF).
n t n n
' '
Velja: sin δ = r / r oz. sin δ = r / r ,kjer je r' ročica sile dF, to je pravokotna oddaljenost vrtišča od smeri
n n
' '
sile. Dobimo: r dF + rndF n =
2
α ⋅ r dm , na levi strani enačbe je navor sile, ki ga označimo z dM:
dM
'
= r dF = rdF sin δ , to je produkt sile in njene ročice: dM = r × dF(vektorska
oblika) , njegova smer je
pravokotna na radij in na silo dF. Izraz r2 2
dm je vztrajnostni moment dJ masnega elementa dm: dJ = r dm .

Enačbo dinamike za vrtnenje masnega elementa okrog stalne osi potemtakem napišemo: dM + dM n = α dJ ,
dobljeno enačbo integriramo(seštejemo vse masne elemente), ker notranje sile vedno nastopajo v parih
nasprotno enakih sil, se navori vseh notranjih sil medsebojno izničijo in ostanejo le navori vseh zunanjih sil,
ki lahko pospešujejo vrtenje togega telesa: dM = α dJ
ň ň . Enačbo dinamike za vrtenje telesa krog stalne osi
lahko zapišemo za togo telo v obliki: M=Jα(vektorja M in α imasta smer rotacijkse osi). Telo se vrti tem bolj
pospešeno, čim večja je rezultanta navorov vseh zunanjih sil in čim manjši je vztrajnostni moment.
Zakon o magnetnem pretoku
Magnetne tokovnice imajo v magnetnem polju podobno vlogo kot običajne tokovnice v hitrostnem polju
gibajočje se tekočine. Kakor je hitrost v na danem mestu tekočine tangentna na tokovnico, je magnetni vektor
B tangenten na magnetno tokovnico. Mislimo si, da po magnetni tokovni cevi teče magnetni pretok Φ. Tega
definiramo podobno, kot vpeljemo volumnski tok Φ v = ň v ⋅ dS gibajoče se tekočine, ter podobno kot vpeljemo
električni pretok. Definiran kot:
ň
Φ = B ⋅ dS
(integriramo po ploskvi). V homogenem magnetnem polju se
izraz poenostavi v: Φ = B ⋅ S = BS cosϕ
(kot med tokovnicama).Največji pretok, če je ploskev pravokotna na
tokovnice.B predstavla gostota magnetnega pretoka.
Merske enote magnetnega pretoka:( Vs/m2 )m2 =Vs=Wb(weber)
Magnetni pretok skozi zaključeno ploskev je enak nič. Iz enačbe sledi, da v magnetnem polju ni magnetnih
nabojev.
Elektricni nihajni krog
Električni nihajni krog je sestavljen iz tuljave in kondenzatorja. (Ohmska upornost tuljave in dovodnih žic
mora bit čim manjša). Če je tuljava dolga v primerjavi s premerom, da se, magnetno polje zadržuje v glavnem
le v notranjosti tuljave, in če je premer plošč kondenzatorja velik v primerjavi z razmikom med ploščama,
tako da je električno polje le v prostoru med ploščama, se tak električni nihajni krog imenuje zaprt nihajni
krog.Kondenzator nabijemo z napetostjo U0 in ga nato kratko sklenemo prek tuljave, da se začne prazniti. Ko
se naboj na kondenzatorju zmanšuje, tok skozi tuljavo počasi narašča, ker naraščanju nasprotuje v tuljavi
inducirana napetost. Tok doseže največjo vrednost v trenutku, ko se kondenzator izprazni in ker ni več
napetosti na kondenzatorju, bi moral tok skozi tuljavo prenehati. To se ne zgodi zaradi inducirane napetosti, ki
poganja tok še naprej v isti smeri, tako da tok le počasi pojema. V tej fazi se kondenzator polni z nasprotne
smeri; prvotno negativna plošča se zdaj polni s pozitivnim nabojem in obratno. Napetost na kondenzatorju
narašča in doseže največjo vrednost, ko je tok skozi tuljavo nič. Pojav se nato še naprej ponavlja. Tok skozi
tuljavo torej niha harmonično (zanemarimo ohmsko upornost). to=2π(LC) 1/2
Gibalna količina
Newtonov zakon dinamike(F=ma) lahko izrazimo nekoliko drugač, če vpeljemo gibalno količin G; ta je po
uv v
definiciji produkt mase telesa in njegove hitrosti. G = mv . Gibalna količina ima smer hitrosti. Če se hitrost
spremeni, se spremeni tudi gibalna količna. Sprememba hitrosti je dana z Newtonovim zakonom dinamike:
F = ma = mdv / dt = d( mv) / dt = dG / dt . Sila je enaka odvodu gibalne količine po času.

Produkt sile in časovnega intervala, v katerem sila učinkuje, se imenuje sunek sile. V kratkem časovnem
intervalu dt je sunek sile F enak Fdt. Sunek sile je enak spremembi gibalne količine Fdt=dG
Celotna sprememba gibalne količine je enaka celotnemu sunku sile oz. Končna gibalna količina je vektrorska
vsota začetne gibalne količine in sunku sile: G2 = G1 + ňFdt
Težno nihalo
t2
t1
Nihajoče telo je obešeno tako, da se lahko vrti okrog vodoravne osi, težišče telesa (C) je pod osjo. Oblika
telesa je poljubna, oddaljenost težišča od vrtišča je d,vztrajnostni moment telesa glede na os skozi 0 je J.
Potencialna energija je tu gravitacijska potencialna energija, ki je dolocena z višino težišča. V stabilni
ravnovesni legi je težišče najnižje - tik pod vrtiščem. Ko nihalo zasukamo za kot φ0, se težišče dvinge za
h = d(1 − cos φ0) in potencialna energija se poveča za: Wp = mgh = mgd(1 − cos φ0)
Vidimo da se potencialna energija spreminja s kosinusom odmika φ0 in ker ni kvadratna funkcija težno nihalo
v splošnem ne niha harmonično(le za majhen φ0). Ko dvignjeno nihalo spustimo, zaniha skozi ravnovesno
lego z najvecjo kotno hitrostjo Ω0 (kotni hitrost smo tu označili Ω namesto ω, da oznaka ne sovpada z lastno
2 ć mgd ⎞ 2
mgd
frekvenco nihala) oziroma z najvecjo kineticno energijo: J Ω 0 / 2 = ⎜ ⎟ ϕ 0 ali Ω 0 = ϕ 0 = ϕ 0ω
.
č 2 ř
J
Obhodni čas težnega nihala: t0
=
Primeri težnih nihal:
2π
J
mgd
- Matematično nihalo je najenostavnejša vrsta težnega nihala: vsa snov je približno enako oddaljena od
vrtišča, npr. kroglica na koncu lahke niti, utež na koncu lahke palice ipd. J = md2 ω =
g
d
→ t0
= 2π
d
g
Gravitacijski zakon
Newton si je pomagal pri svojem gravitecijskem zakonu s Keplerjevim zakonom (ki je povedal da je količnik
povprečne oddaljenosti planeta od sonca in kvadratom njegovega obhodnega časa za vse planete našega
osončja enak). Kroženje planetov okrog Sonca omogoča gravitacijsko sila F, s katero Sonce privlači planete
in jim vsiljuje radialni pospešek ar=r ω2 =r(2π/to) 2 . Če s pomočjo Keplerjevega zakona uporabimo Newtonov
2 2 2 2
zakon dinamike, dobimo enačbo za kroženje planetov: F = mar = m ⋅ 4 π r / t0 = m4 π K / r .
Razmišljamo takole s kolikršno silo privačuje Sonce planet, s tolikšno silo pravlačuje tudi planet Sonce.
Sila mora biti premo sorazmerna tudi z maso Sonca(M). Zato zapišemo Keplerjovo konstano K v obliki
K=G/4π2 − 11 3 2
. Pri čemer smo vpeljali novo konstano G,ki je gravitacijska konstanta G= G = 6,7 ⋅10
m / kgs
Izraz za gravitacijsko silo med Soncem in planeti, ki ga je Newton posplošil v gravitacijsko zakon in velja za
vsa telesa(tudi na zemljski površini); telo z maso m1 in telo z maso m2, ki sta razmakjeni za r, se medsebojno
2
privlačita z gravitacijsko silo:
1 2 / F = Gm m r .Sila je premo sorazmerna s produktom mas obeh teles in
obratno sorazmerna s kvadratom njune oddaljenosti.

Kondenzator
Kondenzator je prirejen za shranjevanje električne energije(elektricnega naboja). Sestavljata ga prevodni
plošči, ki sta nekoliko razmaknjeni ena od druga. Ena plošča je naelektrena z nabojem +e in druga z nabojem
-e. Električno polje je izrazito le med ploščama, drugje pa je šibko. Pozitivna plošča ima višji potencial
kot negativna plošča, zato je med ploščama napetost, ki je tem večja, čim večji je naboj na ploščah. Formula,
ki povezuje naboj in napetost je: e = CU. Parameter C ima posebno ime, imenuje se kapacitivnost
kondenzatorja. Ta poda naboj na ploščah, pri katerem je napetost med ploščama enaka 1V. Čim večja je
kapacitivnost kondenzatorja, tem večji naboj lahko shranimo na ploščah pri enaki napetosti. Merska napetost
je 1 farad(F). (1 F=1As/V) Kapacitivnost 1 F je razmeroma velika, saj sprejme kondenzator s to
kapacitivnostjo velik naboj 1 As, pa je napetost men njegovima ploščama le 1V. Večinoma imajo
kondenzatorji kapacitivnost nekaj µF, nekaj nF ali celo nekaj pF. Najenostavnejši je ploščni kondenzator, ki je
narejen iz dveh ravnih, vporednih plošč, razmaknjenih za dolžino d, vsaka plošča ima enako površino S. Če je
razmik med ploščama majhen v primerjavi s prečno dimenzijo plošč velja: U=Ed, kjer je E jakost električnega
σ e
Sε
0
polja pri naboju e na ploščah E = = sledi: C =
ε 0 Sε 0
d
Se druge vrste kondenzatorjev: valjasti kondenzator, papirni kondenzator, elektrolitski kondenzator.
Navor sile
Navor M sile F zapišemo v vektorski obliki z enačbo: M = r × F (merske enote Nm) . Pri čemer je r vektor
oddaljenosti prijemališče sile od osi. Smer navora M je določena s smerjo vektorskega produkta vektrorja r in
F. Vektor navora je pravokoten na ravnino, ki jo tvorita krajevni vektor r prijemališče sile in sama sila F.
'
Po velikosti je produkt sile in njene ročice: M = M = rF sin δ = r F , kot je med smerjo sile in smerjo vektorja
r. Iz definicije sledi, da se navor sile ne spremeni, če silo pomikamo v njeni lastni smeri(ročica ne spremeni).
Če učinkuje na telo več sil hkrati, F1,F2,... določimo navor vsake sile posebej, M1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2
,... in
nato poiščemo rezultanto vseh navorov: M=M1+M2+... Kako se telo vrti okrog neke vrtilne osi je odvisno od
rezultante navorov vseh delujočih sil.
Sila curka
Curek delcev, je množica delvec, ki se gibljejo s približno enako hitrostjo. Podamo hitrosti curka v, njegov
prečni presek in masni tok. Masni tok je kvocient mase snovi, ki v časovnem intervalu dt steče skozi prečni
presek curka: Φ m = dm / dt . Skozi prerez S prispe v časovnem intervalu dt vsa snov, ki je v volumenskem
elemntu z osnovno ploskvijo S in dolžino vdt vzdolž curka do prereza S, to je dm=ρdV=ρSvdt. Sledi:
Φ m = ρ Sv . Curek predstavlja gibajočo se snov, to je tok gibalne količine. Ta se ne spreminja, če je vsota vseh
sil, ki učinkujejo na delce curka, enake nič; curek teče tedaj enakomerno. Ko curek zadane v oviro se gibalna
količina spremeni. Sprememba gibalne količine v enoti časa je enaka sili, s katero ovira učinkuje na curek.
Ovira spremeni tako velikost kot smer hitrosti delcev v curku. Delci vpadajo na oviro s hitrostjo v, zapuščajo
pa jo s hitrosti v1. V časovnem intervalu dt prispe do ovire dm = Φ mdt
snovi, ki prinese gibalno količino vdm.
Zaradi ovire se gibalna količina spremeni za dG=dm(v1- v), kar je sprememba gibalne količine curka v
časovnem intervalu dt. Sila curka je sila, s katero curek odriva oviro: F = Φ m(
v − v1)
. Sila curka je produkt

masnega toka in spremembe hitrosti curka. Če se curek ob oviri ustavi ali se razlije enakomerno v vse smeri
ima sila vpadno smer: F = Φ mv
Vztrajnostni moment
Velik vztrajnostni moment pomeni, da dobi telo pri danem navoru zunanjih sil majhen kotni pospešek, da se
kotna hitrost počasi spreminja. Torej je vztrajnostni moment J telesa merilo za vztrajnost telesa proti
spremembi kotne hitrosti vrtenja. Vztrajnostni moment je odvisen od mase snovi in od njene razporeditve
glede na vrtilno os. Če želimo velik vztrajnostni moment mora biti telo masivno in snov čim bolj oddaljena od
2
vrtilne osi. Enačba: J = ň r dm . Če se pri istem telesu spremeni vrtilna os, se pri tem spremeni tudi
vztrajnosnti moment. Vztrajnostni moment računamo tako, da razdelimo telo na tanke valjaste plasti, vsak
delček je oddaljen približno za r od osi. Vztrajnostni moment ene take plasti je dJ=r2dm=r2ρdV, kjer je dV
volumen plasti.
2 2 2
J obroča z maso m in polmerom R glede na simetrično os obroča: J = r dm = R dm = mR
J tanke palice z maso m in dolžino b(na razdalji x(vrtilna os) od središča):
+ b / 2
ň ň
2 3 2
J = dJ = ρ S x dx = ρ Sb /12 = mb /12
− b / 2
ň ň
3 2
J polnega valja z maso R in polmerom R(in višino h): J = dJ = 2 π ρ h r dr = mR / 2
J polne krogle z maso m in polmerom R:
R
ň ň
0
R
(8 π ρ / 3)
4
8 π ρ
4
/15 2
2
/ 5
ň ň
J = dJ = r dr = R = mR
2
Steinerjev izrek: J = JC + a m
Vztrajnostni moment telesa na poljubno os je vsota vztrajnostnega momenta glede na vzporedno težiščno os
in vztrajnost momenta a2m (kot če bi bila snov zbrana v težišču), kjer je a oddaljenost obeh vzporednih osi.
Faradeyev zakon indukcije
V zanki se napetost inducira zato, ker se zaradi gibanja spreminja s časom magnetni pretok skozi zanko.
Napetost se inducira tudi, če se magnetni pretok skozi zanko giblje ali če se gostota magnetnega polja (B) na
območju zanke spreminja s časom. Splošno velja, da se ob kakršnikoli spremembi magnetnega pretoka skozi
zaklučeno zanko v zanki inducira napetost, ki je dana s časovnim odvodom magnetnega pretoka. Ta trditev je
znana pod imenom Faradeyev zakon indukcije.
Če se magnetni pretok Φm skozi poljubno zaklučjeno zanko kakorkoli spreminja s časom, se vzdolž celotne
zanke inducira napetost , ki je enaka časovnemu odvodu magnetnega pretoka: U = − d Φ / dt = E ⋅ ds
0
ň
i i
Tu je d Φ sprememba magnetnega pretoka skozi zanko, ki nastna v kratkem časovnem intervalu dt.
Inducirana napetost je enaka količniku spremembe magnetnega pretoka in časovnega intervala, v katerem se
ta sprememba naredi.
V homogenem megnetnem polju B je pretok skozi zanko s presekom S, katere normala oklepa kot φ s
tokovnico, dan z enačbo: Φ = BS cosϕ
. Magnetno pretok skozi zanko se spreminja s časom, če se spreminja:
a) gostota magnetnega polja B na območju zanke
b) presek zanke S
c) nagib zanke glede na tokovnice φ