III. Funkce jedné promenné

III. Funkce jedné proměnné
Obsah
1 Definice a základní vlastnosti 2
1.1 Definice funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Zadávání funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Globální vlastnosti funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Algebraické operace s funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Sloˇzená funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 Definice a základní vlastnosti
1.1 Definice funkce
S funkcemi se setkáváme vˇsude tam, kde zkoumáme závislost mezi několika veličinami, pˇričemˇz tyto
veličiny jsou svázány určit´ym vztahem. Funkce se uˇzívají v technick´ych, pˇrírodních, ekonomick´ych i
jin´ych vědách.
My se nyní budeme zab´yvat speciálním typem funkcí, a to reáln´ymi funkcemi jedné reálné
proměnné.
Definice 1.1 Zobrazení f mnoˇziny A ⊂ R do mnoˇziny R (zapisujeme f : A → R) se naz´yvá reálná
funkce jedné reálné proměnné (zkráceně budeme ˇríkat jen funkce).
Definice 1.2 Skutečnost, ˇze (x, y) ∈ f, zapisujeme jako y = f(x); číslo f(x) se naz´yvá hodnota
funkce f v bodě x (neboli funkční hodnota v bodě x).
Proměnná x ∈ A se naz´yvá argument funkce f nebo nezávisle proměnná. Proměnná y se
naz´yvá závisle proměnná.
Definice 1.3 Mnoˇzina A ⊂ R se naz´yvá definiční obor funkce f, značíme jej D(f) nebo Df.
Mnoˇzina {y ∈ R; y = f(x), x ∈ A} (tj. mnoˇzina vˇsech funkčních hodnot funkce f ) se naz´yvá obor
hodnot funkce f, značíme jej H(f) nebo Hf.
Poznámka: Funkcí f rozumíme pˇredpis, kter´ym je kaˇzdému prvku x z definičního oboru
Df ⊂ R pˇriˇrazen právě jeden prvek y = f(x) z oboru hodnot Hf ⊂ R.
Poznámka: Pro označení funkcí obvykle pouˇzíváme písmena f, g, h, F, G, H, . . . nebo také písmena
ˇrecké abecedy, nejčastěji ϕ a ψ.
Definice 1.4 Grafem funkce f naz´yváme mnoˇzinu uspoˇrádan´ych dvojic
Značíme ji G(f) nebo Gf nebo graf f.
{(x, f(x)); x ∈ Df} ⊂ R 2 .
Poznámka: Grafem funkce je vlastně kˇrivka v rovině R 2 o rovnici y = f(x), kde x ∈ Df.
2

Poznámka: Reálnou rovinou R 2 rozumíme kartézsk´y součin R × R spolu se zavedenou kartézskou
soustavou souˇradnic (počátek a dvě na sebe kolmé souˇradnicové osy x a y). Kaˇzd´y bod roviny je
jednoznačně určen sv´ymi souˇradnicemi a naopak.
Poznámka 1.1 Je d˚uleˇzité si uvědomit, ˇze
• Df ⊂ R
• Hf ⊂ R
• G(f) ⊂ R 2
1.2 Zadávání funkce
a) analyticky, tj. vzorcem (funkčním pˇredpisem; rovnicí nebo soustavou rovnic)
1. explicitně, tj rovnicí y = f(x) a definičním oborem Df
2. implicitně, tj. rovnicí F(x, y) = 0 a podmínkami pro x a y
3. parametricky, tj soustavou rovnic x = ϕ(t)
y = ψ(t),
kde ϕ a ψ jsou funkce nezávislé proměnné t mající stejn´y definiční obor
4. místo souˇradnic (x, y) pouˇzijeme polární souˇradnice r a ϕ bodu v rovině (r je vzdálenost
bodu od počátku a ϕ je orientovan´y úhel mezi kladn´ym směrem osy x a pr˚uvodičem daného
bodu).
b) tabulkou, tj zadání v´yčtem funkčních hodnot (xi, f(xi)), i = 1, . . .,n. Pokud není definičním
oborem konečná mnoˇzina, tak není zadání funkce mimo body {x1, . . .,xn} pˇresné a určuje se
pouze pˇribliˇzně (tˇreba interpolací). Zadání funkce tabulkou se pouˇzívá zpravidla pˇri experimentálních
měˇreních.
c) grafem - pouˇzívá se pˇredevˇsím v aplikacích a není pˇríliˇs vhodn´y pro dalˇsí matematické zpracování,
protoˇze hodnoty z grafu stanovujeme pouze pˇribliˇzně. Tento zp˚usob zadání ale dává
názornou pˇredstavu o pr˚uběhu funkce.
d) kombinací v´yˇse uveden´ych moˇzností
Poznámka: V pˇrípadech a)2., a)3. a a)4. musíme pˇridat vˇzdy podmínky na funkce F, ϕ, ψ tak, aby
tyto pˇredpisy skutečně určovaly funkci. Napˇríklad rovnice x 2 + y 2 − 1 = 0 (tj. typ F(x, y) = 0)
neurčuje funkci, ale pokud pˇridáme podmínku y ≥ 0, dostaneme pˇredpis pro funkci.
3

Poznámka: Analytick´y zp˚usob zadávání funkce je pro matematické účely nejvhodnějˇsí a proto se
také uˇzívá nejčastěji.
Pˇríklad: Funkce lze zadat více zp˚usoby nebo i r˚uzně pˇri stejném zp˚usobu:
• explicitně f(x) = |x|, x ∈ R nebo f(x) = √ x 2 , x ∈ R nebo f(x) =
• implicitně y − |x| = 0, x ∈ R, y ∈ R + 0
• parametricky
• grafem
x = t
y = |t|
• v polárních souˇradnicích r ∈ R + 0 , ϕ ∈ { π 3π , 4 4 }
4
x pro x ≥ 0
−x pro x < 0

Poznámka: Mnoˇziny Df a Hf mohou mít r˚uzné tvary (intervaly, sjednocení interval˚u, diskrétní
mnoˇziny,. . .). Je-li funkce f zadána explicitně a není-li zadán její definiční obor, tak jako Df bereme
největˇsí mnoˇzinu M ⊂ R takovou, ˇze pro kaˇzdé x ∈ M existuje f(x).
Pˇri určování Df vyuˇzíváme znalostí o základních elementárních funkcích, tj. zejména
• jmenovatel = 0
• pod sudou odmocninou musí b´yt nezáporné číslo
• argument logaritmu musí b´yt kladn´y
• základ logaritmu musí b´yt kladn´y a nesmí se rovnat 1
• argument funkce tg x se nesmí rovnat (2k + 1) · π,
k ∈ Z 2
• argument funkce cotg x se nesmí rovnat k · π, k ∈ Z
• argumenty funkcí arcsin x a arccos x musí patˇrit do intervalu < −1, 1 >
1.3 Globální vlastnosti funkcí
Definice 1.5 Funkce f se naz´yvá periodická, jestliˇze existuje číslo p ∈ (0, ∞) takové, ˇze
a) x ∈ Df ⇐⇒ x + p ∈ Df
b) f(x + p) = f(x) pro kaˇzdé x ∈ Df.
Číslo p se naz´yvá perioda funkce f. Nejmenˇsí perioda funkce f se naz´yvá primitivní perioda
funkce f.
Pˇri zkoumání vlastností periodické funkce se stačí omezit na libovoln´y polouzavˇren´y interval délky
p. Takov´y interval se naz´yvá základní interval periodicity této funkce.
Poznámka 1.2 Funkce sin x, cos x jsou periodické s primitivní periodou 2π.
Funkce tg x, cotg x jsou periodické s primitivní periodou π.
5

Definice 1.6 Funkce f se naz´yvá sudá (lichá), jestliˇze
a) x ∈ Df ⇐⇒ −x ∈ Df
b) f(−x) = f(x) pro kaˇzdé x ∈ Df (f(−x) = −f(x) pro kaˇzdé x ∈ Df).
Poznámka: Definice poˇzaduje, aby definiční obor sudé i liché funkce byl symetrick´y kolem
počátku. Graf sudé funkce je osově souměrn´y podle osy y a graf liché funkce je stˇredově
souměrn´y podle počátku soustavy souˇradnic.
Pˇríklad: Funkce f(x) = x 2 , g(x) = cos x jsou sudé.
Pˇríklad: Funkce f(x) = x 3 , g(x) = sin x jsou liché.
Uvaˇzujme mnoˇzinu M ⊂ Df a M = ∅.
Definice 1.7 Funkce f se naz´yvá prostá na mnoˇzině M, jestliˇze pro vˇsechny dvojice x1, x2 ∈ M
platí
x1 = x2 =⇒ f(x1) = f(x2).
Poznámka: Poˇzadavek prostoty lze ekvivalentně vyjádˇrit ve tvaru
f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2.
Jestliˇze je f prostá na mnoˇzině M, potom kaˇzdá rovnoběˇzka s osou x protíná graf funkce f
nejv´yˇse v jednom bodě.
6

.
Definice 1.8 Jestliˇze pro vˇsechna x1, x2 ∈ M, x1 < x2 platí
se naz´yvá
⎛
⎜
⎝
rostoucí
klesající
nerostoucí
neklesající
⎞
⎟
⎠ na mnoˇzině M.
⎛
⎜
⎝
f(x1) < f(x2)
f(x1) > f(x2)
f(x1) ≥ f(x2)
f(x1) ≤ f(x2)
⎞
⎟
⎠ , pak se funkce f
Definice 1.9 Funkce, která je nerostoucí nebo neklesající na mnoˇzině M, se naz´yvá monotonní
na mnoˇzině M. Funkce, která je rostoucí nebo klesající na mnoˇzině M, se naz´yvá ryze monotonní
na mnoˇzině M.
7

Definice 1.10 Funkce f se naz´yvá konstantní na M, jestliˇze ∀ x1, x2 ∈ M platí f(x1) = f(x2).
Poznámka: Je-li f konstantní na M, pak existuje konstanta a ∈ R tak, ˇze f(x) = a ∀x ∈ M.
Speciálním pˇrípadem konstantní funkce je funkce nulová.
Definice 1.11 Funkce f definovaná pˇredpisem f(x) = 0 ∀ x ∈ M, se naz´yvá nulová na M.
Věta 1.1 Funkce, která je ryze monotónní na M, je prostá na M.
Poznámka: Obráceně věta neplatí
Definice 1.12 Funkce f se naz´yvá
• omezená shora na M, jestliˇze ∃k ∈ R tak, ˇze f(x) ≤ k ∀x ∈ M.
• omezená zdola na M, jestliˇze ∃l ∈ R tak, ˇze f(x) ≥ l ∀x ∈ M.
8

• omezená na M, jestliˇze je na M omezená shora i zdola zároveň.
Věta 1.2 Funkce f je omezená na M právě tehdy, kdyˇz ∃K ∈ R + tak, ˇze |f(x)| ≤ K ∀x ∈ M,
tj. právě tehdy, kdyˇz −K ≤ f(x) ≤ K ∀x ∈ M.
Poznámka: Některé typy funkcí omezen´ych shora nebo zdola nulou mají speciální názvy:
• f(x) < 0 ∀x ∈ M . . . funkce záporná na M
• f(x) ≤ 0 ∀x ∈ M . . . funkce nekladná na M
• f(x) > 0 ∀x ∈ M . . . funkce kladná na M
• f(x) ≥ 0 ∀x ∈ M . . . funkce nezáporná na M
Definice 1.13 Necht’ c ∈ M. Číslo f(c) se naz´yvá globálním maximem (resp. globálním minimem)
funkce f na M, jestliˇze
f(x) ≤ f(c) ∀x ∈ M,
Značíme
(resp. f(x) ≥ f(c) ∀x ∈ M).
f(c) = max f(x) = max{f(x); x ∈ M},
x∈M
(resp. f(c) = min f(x) = min{f(x); x ∈ M}).
x∈M
Globální maxima a globální minima funkce f na M naz´yváme souhrnně globálními (absolutními)
extrémy funkce f na M.
9

1.4 Algebraické operace s funkcemi
Definice 1.14 ˇ Ríkáme, ˇze funkce f a g si jsou rovny na M, jestliˇze f(x) = g(x) ∀x ∈ M. Jestliˇze
navíc M = Df = Dg, ˇríkáme, ˇze f a g si jsou rovny. Značíme f = g (na M).
Definice 1.15 Necht’ M = Df ∩ Dg. Potom
• součtem funkcí f a g nazveme funkci f + g takovou, ˇze (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x ∈ M;
• rozdílem funkcí f a g nazveme funkci f − g takovou, ˇze (f − g)(x) = f(x) − g(x) ∀x ∈ M;
• součinem funkcí f a g nazveme funkci f · g takovou, ˇze (f · g)(x) = f(x) · g(x) ∀x ∈ M;
• podílem funkcí f a g (v tomto poˇradí) nazveme funkci f
g
f
(x) =
g
f(x)
g(x)
takovou, ˇze
∀x ∈ M \ {x ∈ Dg; g(x) = 0}.
• absolutní hodnotou funkce f nazveme funkci |f| takovou, ˇze |f|(x) = |f(x)| ∀x ∈ Df.
10

1.5 Sloˇzená funkce
Definice 1.16 Necht’ f a g jsou funkce takové, ˇze Hg∩Df = ∅. Funkci y = f(g(x)) naz´yváme funkce
sloˇzená z funkcí f a g. Funkce f se naz´yvá vnějˇsí funkce a g se naz´yvá vnitˇrní funkce sloˇzené
funkce f(g(x)). Pro sloˇzenou funkci se pouˇzívá značení y = f(g(x)) = (f ◦ g)(x).
1.6 Inverzní funkce
Definice 1.17 Necht’ je funkce f prostá na Df. Potom funkci f −1 naz´yváme funkcí inverzní
k funkci f, jestliˇze kaˇzdému y ∈ Hf pˇriˇrazuje číslo x ∈ Df tak, ˇze y = f(x).
Poznámka: Pˇredpoklad, aby f byla prostá, je pro existenci inverzní funkce nezbytn´y (tzv. nutná
podmínka existence inverzní funkce). Pro f a f −1 platí, ˇze
a
Df = H f −1
Hf = D f −1.
Poznámka: Grafy funkcí f a f −1 jsou souměrné podle pˇrímky y = x, tj. podle osy prvního a tˇretího
kvadrantu.
11

Poznámka: Pokud není funkce f prostá na celém Df, ale pouze na M ⊂ Df, hledáme inverzní funkci
pouze na M a ne na celém Df.
12